数形结合,巧妙解题
数论题的解题诀窍
数论题的解题诀窍数论题是数学中的一个分支，研究整数之间的性质和关系。
解题的诀窍包括找规律、分类讨论、数形结合等方法。
下面将详细介绍这些解题的技巧，并以实例加以说明。
一、找规律是解决数论题的常用方法之一。
数论题通常需要找到或证明一种性质或关系。
这时我们可以从一些特殊情况入手，观察数列或方程中数值的变化规律，尝试找到规律并进行归纳。
举例说明：求证任意一个整数的平方必为偶数。
我们考察一些数字的平方和奇偶性：1^2=1，是奇数；2^2=4，是偶数；3^2=9，是奇数；4^2=16，是偶数；...我们发现，无论正整数n取多大，n^2的结果都是偶数。
所以可以得出结论：任意一个整数的平方都是偶数。
二、分类讨论是解决数论题的常用方法之一。
当数论题目中的数字或问题具有多种情况时，我们可以按照特定的规则进行分类讨论，从而找到问题的解决之道。
举例说明：有一袋中有100个球，其中有红球、蓝球和绿球，红球与蓝球的数量相等，绿球的数量是红球和蓝球的数量之和的一半。
问红球、蓝球和绿球分别的数量是多少？解析：设红球的数量为x，蓝球的数量为y，则绿球的数量为(x+y)/2。
根据题目条件可以列出方程组：x + y + (x + y)/2 = 100。
化简得到：3x + 3y = 200，即x+y = 200/3。
由于x和y都是整数，所以200/3必须是整数。
假设x和y都小于200/3，那么它们的和不可能等于200/3，所以x和y必然大于等于200/3。
但是，200/3在整数范围内最近的整数是67，所以x和y的和必然小于等于最大为67，因此只有一种情况。
分类讨论可用于解决类似的数论题目，当题目中数字或情况有多种组合时，我们可以采用这种方法。
三、数形结合是解决数论题的另一种方法。
有些数论问题可以通过数学模型的图形推理或与几何问题的联系相结合来解决。
举例说明：在一个等边三角形的顶点上依次标上1,2,…,100这一百个整数，要求将顶点上的整数分别用两个颜色红和蓝进行染色，使得对于每一个等边三角形的三个顶点，如果存在一个定的整数n，且其三个顶点的整数之和为n的话，则这三个顶点必须用同样的颜色染色。
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
妙用“数形结合提高学生解题能力
妙用“数形结合提高学生解题能力潘玉亭[摘要]数形结合是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的概念直观化，帮助学生形成概念：可使计算中的算式形象化，帮助学生理解算理；可将抽象的关系直观化、形象化，帮助学生理解数量关系；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，激发学生兴趣，提高学生的思维能力。
适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。
[关键词]学生；教学；数形结合；思想数学是一门逻辑性和抽象性较强的学科，而小学生的思维正处于由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，如何将抽象的数学知识转化成形象、易于学生理解和掌握的知识呢？这就需要教师在教学中充分挖掘教材中数形结合的素材，有意识地、持之以恒地渗透数形结合思想，搭起“数学”与“学生”之间的桥梁，引导学生理解和掌握好数学知识，提高学生思维水平，发展分析、解决问题的能力。
一、数形结合，激发学生兴趣画画是孩子的天性所在，在抽象的数学教学中，教师可以利用孩子爱画画这一特性，把“图”与数学学习有机结合起来，激发他们的学习数学的兴趣。
学生只要有了较浓厚的兴趣才有探究新知的欲望，才会有学习的动力。
所以教学中，我们可以创设直观的生活情境，利用生动形象的原生态图形，使数学与图形结合，以画促思，最终化复杂为简单，化抽象为直观，从而更好的获取新知，找到解决问题的方法，在这种愉悦的学习过程中，让每个孩子都能积极主动的参与，在尝试画图解决问题中获得成功的快乐，体验到画图法解题的成功感和价值感。
二、数形结合，提高学生思维（一）借“形”表“数”，建立概念概念教学一直是数学教学中的难点，因为数学概念通常都比较抽象。
如二年级《倍的认识》，学生理解“倍”的概念有一定的难度，因此教学中，教师要重视学生对“数”的敏感性的培养，努力将直观的形和抽象的数巧妙结合，让学生“心中有数”，正确“倍”的意义。
数形结合,巧解小学数学难题
数形结合，巧解小学数学难题作者：殷辉斌来源：《江西教育C》2016年第07期“数形结合”是数学中经典的解题方法，能够巧妙地解决各种数学难题。
对于小学生来说，由于他们的抽象思维能力不足，具象思维能力更强，所以“数形结合”的方法正好可以用来帮助他们更好地学习数学。
一、用具体展现抽象，形成概念在小学数学教学中，要让学生理解抽象的数学概念，并不是一件容易的事情，但是如果使用“数形结合”的方法就能够将抽象转变为具象，让数学概念更加直观，帮助学生更好地理解它们。
例如在学习“小数”的时候，为了让学生更好地理解“小数”这个概念，就可以运用“数形结合”的方法：在黑板上画一条长度为1分米的横线，将其十等分，让学生量一下，学生可以发现，每一等分都是1厘米。
这时候学生自然就能够理解1厘米就是1/10分米，同时也是0.1分米。
随后可以向学生提出问题：“如果要在横线上找出0.4分米，可以有几种方案？想一下0.4分米如果换算成分数的话，应该如何表示呢？”此后又可以让学生思考0.2分米、0.5分米、0.7分米在线段上可以如何表现，用来巩固“小数”的概念。
在学生对小数的概念有一定了解之后，教师还可以使用“分蛋糕”等其他数形结合的方式让学生对小数的概念有所巩固，让他们明白小数和分数之间的换算关系。
在展示图形的过程中，利用“数形结合”让学生对知识进行内化，让他们可以更加直观地感受数学概念，从而找到概念的本质所在。
二、用显性凸显隐性，找切入点在小学数学教学中，必然会遇到一些算法方面的内容，很多教师不知道该如何展示算法的内容，如何能够将隐含在算式之中的数学逻辑清晰地向学生传达出去，让其变得显性。
但如果运用“数形结合”作为切入点，将很容易使隐性的算法变得显性，促进学生更好地学习。
例如在教学“分数和分数相乘”的时候，为了让隐性的算法变得显性，可以利用“数形结合”的方法来进行教学。
首先将分数乘以分数的内容用一定的情境展现出来，如向学生提问：“现在屋子里要铺地砖，如果一个小时能够铺1/2块的地面，那么1/3个小时能够铺多少地面呢？”为了让学生更好地理解该问题，可以教学生用图表将题目的内容画出来：先画一整个方块，代表整块地面，而一个小时能铺1/2块的地面，就将整个方块一分为二，代表1/2块的地面，而1/3个小时就是将一个小时铺的地面再平均分成三份。
数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧
数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种复杂的算式，由于步骤繁琐或运算量大，可能会让我们感到头疼。
但实际上，只需要掌握一些小巧思，就能够简化计算过程，提高效率。
本文将介绍一些解决复杂算式的巧妙技巧，帮助大家更轻松地面对数学难题。
一、使用数形结合法简化计算数形结合法是一种将数学问题通过图形化方式进行表示的方法。
通过将算式转化为几何图形，可以利用图形的性质来解决问题。
例如，我们遇到一个复杂的多项式相乘的算式，可以利用数形结合法进行简化。
假设有一个算式 (a + b)(c + d)，我们可以将它表示为一个矩形，其中a、b、c、d分别代表矩形的边长。
通过观察面积的变化，我们可以得到简化后的结果。
二、利用分配律简化计算分配律是数学中常用的一条基本运算法则，它可以帮助我们简化复杂的算式。
例如，当我们遇到一个算式 a(b + c)，我们可以利用分配律将其转化为 ab + ac。
通过这种方式，我们可以减少乘法的步骤，简化计算过程。
三、使用乘法简化法则简化乘法运算在进行乘法运算时，我们可以利用一些简化法则，快速计算出结果。
1. 乘以10的幂：当一个数乘以10的幂时，我们只需要将这个数的末尾添加对应数量的0即可。
例如，3 × 10^4 = 30000。
2. 乘法交换律：当我们遇到较大的乘法运算时，可以根据交换律的原则，优先计算两个数中较小的数。
例如，3 × 7 × 8 = 8 × 3 × 7。
3. 减法替代法：当我们需要计算一个较大数减去一个较小数时，可以将减法转化为加法。
例如，27 - 8 = 27 + (-8) = 19。
四、利用特殊性质简化计算在数学中，有一些特殊性质可以帮助我们简化计算。
1. 平方差公式：当我们遇到两个平方数相减时，可以利用平方差公式，将其转化为一个平方差的形式。
例如，16 - 9 = (4 + 3)(4 - 3) = 7。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用数形结合是指数学中将数学概念与图形形式相结合，通过使用图形直观地表示数学问题，从而加深学生对数学概念的理解和记忆。
在高中数学教学中，数形结合的巧妙应用可以使学生更加深入地理解和掌握数学知识，并能够更好地应用于解决实际问题。
数形结合可以帮助学生更加形象地理解几何图形的性质。
以平行四边形为例，传统教学中通常使用文字和符号来描述平行四边形的定义和性质，但学生往往难以直观地理解其几何特征。
而将平行四边形的定义和性质与相应的图形形式结合起来，可以使学生通过观察图形直观地感受到其特点，从而更好地理解和记忆。
数形结合还可以帮助学生更加直观地理解数学中的变量和函数关系。
在函数的教学中，常常使用符号和公式来表述函数关系，但对于学生来说，往往难以把握函数图形与其代数表达的对应关系。
而通过绘制函数图形，可以使学生直观地观察到函数关系的变化规律，从而更加深入地理解和掌握函数的性质和特点。
数形结合在解决数学问题中也有着巧妙的应用。
以解方程为例，传统的解方程方法往往通过运算步骤来推导出方程的解，但对于一些复杂的方程，运算步骤往往会较为繁杂，学生容易迷失在计算中。
而通过数形结合的方法，可以将方程转化为图形问题，通过观察图形解决方程，不仅更能激发学生的兴趣，还能够简化解题过程，提高解题效率。
在几何证明中，数形结合也有着重要的应用价值。
几何证明通常需要通过逻辑推理和形式化的描述来确立结论，而对于一些复杂的几何证明，学生往往难以从中找到突破口。
而通过数形结合的方法，可以将几何问题转化为数学问题，通过对数学关系或性质的推导来解决几何证明，从而使学生更加直观地理解几何问题的本质，提高几何证明的能力。
九年级数学上多种解题技巧
九年级数学上多种解题技巧九年级数学上涉及多种解题技巧，以下列举几种常用的方法：1．观察猜想法：在探索规律性的问题时，常用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
这种方法主要适用于从题目所给的特殊值或图形中找出规律，从而解决问题。
2．数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义。
这种方法使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
3．特殊值法：有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
这种方法通常称为特殊值法。
4．直接求解法：有些选择题本身就是由一些填空题、判断题解答题改编而来的，因此往往可采用直接法直接由从题目的条件出发通过正确的运算或推理直接求得结论再与选择项对照来确定选择项。
这种方法通常适用于计算或推导的过程中。
5．逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
这种方法也称为逐步淘汰法。
6．代入验证法：与直接法的思考方向相反，它将选择支中给出的答案逐一代入已知条件中进行验证，与已知相矛盾的为错误选项，符合条件的为正确选项。
这种方法通常称为代入验证法。
7．枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
这种方法通常用于解决一些涉及多种可能性的问题。
以上方法并非孤立的，解题时常常需要综合运用几种方法。
在解题过程中，要灵活运用各种方法，不断尝试、不断总结经验，提高解题效率。
数形结合,巧妙解题
。
．
．
点 Ｐ就是 所 要 求 作 的 点 ．
证 明： （ ） 略
鼹 ：’ Ｄ ｜Ｃ Ａ ｜ Ｂ
肋 Ｐ的 值 ＋ 剐、为 ｃ
＋— — Ｘ ８２ 悟 ／ ） （ ＋ ３４
＋ ＋ ５ 愕 ３ ３ ：
解法 ２ ：如 图 ，过点 作 Ｄ ｊＣ － Ｂ交 Ｃ Ｂ的
延 长 线 于 点 Ｅ． ￣ ． ＡＤ￣ＡＢ于 Ａ，Ｂ Ｃ￣ＡＢ于
Ｃ
・ ．
四 边 形 ＡＤ Ｅ 为 矩形 Ｂ
．
Ｄ’
￡
．
・
Ｐ ＋ Ｃ的 最 小 值 为 ５ ＤＰ
回顾 ：相信同学 们对于上面的巧妙解答一定能理解 ．但可能也有 同学 会问 ：上 面 的方 法 是怎 样想 到 的 呢？ 其实 ，这 就 是恰 当寻找 “ ” 与 “ ”的 结合 点 ： 数 形
“
＞ 、， ０ ０ ＞ ”对应 的就是 “ 、ｙ为两 条线段 ” “ ＝ ”对应的就是 “ ． ４ 这两 条线段
之和等于定长 ４ “ ”， 、ｙ为 变量 ” 对应 “ Ｐ为 线 段 Ａ 上 的 一 个 动 点 ”， 点
“ ／盯 、
、 ／
”对 应 图 中 “ 线段 Ｐ ” “ ／ Ｄ ， 、
” 对 应 “ 段 Ｐ ” “ 、 ｌ＋ 线 Ｃ． 求 ／＋
的最小值”对应 “ 求动点 Ｐ到 Ｄ、Ｃ两点的距离 之和的最小值” ： 小 结：从本题的构造转 化中 ．我们不难发 现 ，观察问题 的 “ 题设”与 “ 结论 ”
的特 征是寻求 解题方法 的关键 ，而在运用 “ 数形结 合”这一数学 方法 时如何把握 “ ’ 数 ’与 “ 形” 的结 合点则需要我们在学 习过程 中知识 与能力得到同步发 展。愿广
中职数学解题技巧之“数”“形”结合———以高教版教材为例
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ １６中职数学解题技巧之 结合中职数学解题技巧之 数 形 结合㊀㊀㊀ 以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出 数 形 定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到 数 与 形 的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁ 数 与 形 的定义及数形结合思想的应用价值（一） 数 与 形 的定义数 是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中， 数 的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等． 形 是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中， 形 可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数 与 形 相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从 数 形 两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁ 数 形 结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用 形 助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版 集合的运算 一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用 形 助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用 形 解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版 一元二次不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用 数 助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到 题眼 ，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版 柱㊁锥㊁球及其简单组合体 一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形 这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用 数 助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版 两点间的距离与线段中点的坐标 一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了 数 形 结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版 函数的应用 一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３ ５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握 数 形 的本质，根据 数 形 之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略 直线与圆的方程 示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
运用数形结合巧解化学题目
运用数形结合巧解化学题目【摘要】数形结合在化学题目中的应用是一种重要的解题技巧。
通过数学计算和几何形状的结合，可以更快更准确地解答化学问题。
本文将深入探讨计算题和化学题中数形结合的应用，以及数学模型与化学反应之间的关联。
将介绍数形结合在解答难题中的作用，并通过实例分析展示如何巧解化学题目。
结论部分将强调数形结合对化学题目解答的重要性，以及运用数形结合技巧解答化学题目的实际意义。
未来将继续探索数形结合在化学中的应用领域，以提高解题效率和准确度。
数形结合不仅是数学和化学的结合，更是解决问题的利器和思维方式。
【关键词】数形结合，化学题目，计算题，应用技巧，数学模型，化学反应，难题解答，实例分析，重要性，实际意义，应用领域。
1. 引言1.1 数形结合的重要性数形结合在化学题目中起着举足轻重的作用，其重要性不可忽视。
数学和几何图形可以帮助我们更清晰地理解化学概念，提高解题效率。
通过数形结合，我们可以将复杂的化学问题转化为具体的数学计算，使问题更加直观和易于理解。
数形结合也可以帮助我们更好地运用知识，解决化学题目中的难点。
通过将抽象的概念转化为具体的数学模型或图形，我们可以更深入地掌握知识，更准确地分析问题，从而提高解题的准确性和速度。
数形结合在化学题目中扮演着至关重要的角色，它不仅可以帮助我们更好地理解和运用化学知识，还可以提高我们解题的效率和准确性。
掌握数形结合的技巧对于化学学习和解题是至关重要的。
在接下来的内容中，我们将进一步探讨如何运用数形结合巧解化学题目，以及数形结合在化学中的实际应用意义。
1.2 运用数形结合巧解化学题目引言：数形结合在化学题目中的运用是非常重要的，它能够帮助我们更快更准确地解答化学题目。
通过将数学知识和几何形状结合起来，我们能够更深入地理解化学反应过程和原理，从而更好地解答各种化学题目。
数形结合的方法可以帮助我们更好地理解题目中的概念和关系，更快地找到解题的思路。
在解题过程中，我们可以通过绘制图形或者建立数学模型来帮助我们分析和解决问题，从而提高我们的解题效率。
(完整版)应用数形结合的思想提高学生解决问题能力
应用数形结合的思想提高学生解决问题能力我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
”所谓数形结合，是一种重要的数学思想方法。
它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。
其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题。
而在小学，学生正处在形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大。
应用数形结合的思想方法去观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于拓展学生数学思维，提高解决问题的能力。
一、数形结合创设直观情境，培养学生发现问题的能力《数学课程标准》明确指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。
”在数学课堂教学过程中，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣和探索欲望，启发学生创新思维。
教学的艺术不在于传授知识的多少，而在于激励、唤醒、鼓舞。
教学中老师可以根据儿童的年龄特点、知识经验、能力水平、认知规律等因素，抓住学生的思维，不断创设有意义的与生活联系密切的问题情境，创设一种立足儿童的生活现实，贴近儿童的知识背景形象直观的情境，让学生身临其境，感受到数学的事实、实情，在情境中让学生发现问题，提出问题，从而自主地探索，提高学生解决问题的能力。
例如多媒体出示（泡沫地垫）：3块彩色小正方形表示27，大正方形的表示180根据以上信息，你能提出哪些数学问题？能解决这些问题吗？生1：每块彩色小正方形代表多少？27÷3=9生2：整个大正方形里共有几块小正方形？180÷（27÷3）=20生3：9个小正方形表示多少？27÷3×9=81从贴近学生生活中熟悉的直观图形入手，在富有开放性的问题情境中，通过数形结合，学生的思维开阔了，思维的火花闪现了，利用原有的知识结构去探究该情境中存在的数学问题，并积极地从多角度去思考问题、发现问题。
高中数学函数教学方法
浅谈高中数学函数教学方法摘要：新课程标准中明确提出教学中要加强学生对基本概念和基本思想的理解与掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生加深对数学知识的理解。
函数既然是数学教学的基础模块，其基本性质基本概念的教学理应受到重视。
教师在引导学生牢牢掌握基础知识的同时，应该以函数为基础工具，努力开展其他数学模块的教学。
关键词：高中数学；函数；教学方法中图分类号：g633.6 文献标识码：b 文章编号：1672-1578（2013）08-0171-011.把握函数基本性质，理解函数核心概念高中数学二次函数教学对于学生而言，的确是一个难点。
就函数概念而言包括定义、定义域、值域、反函数等。
函数的性质包括单调性、奇偶性以及周期性。
1.1 教学初步，认识函数概念与性质。
数学函数概念的提出，应该结合教学实际，提出问题、创设情境。
通过例举与概念相符、直观性较强的例子，让学生在学习抽象的函数概念时，能够形成较为感性的认识。
在以往的教学中，课堂教学方法虽然能很好地界定函数概念的内涵与外延，可是由于函数本身过于抽象，函数教学初步计划中，学生对函数基本概念的认识过于简单。
比如，函数基本三要素：定义域、值域、对应法则的理解。
定义域是函数自变量的取值范围；对应法则则是函数最直接的发现方式。
1.2 教学深入，理解函数概念与性质。
在挖掘函数概念与性质的基础上理解概念和性质是对已经认知的概念的发展与完善。
新课程标准中要求学生要体验数学概念与性质的产生过程，理解与掌握的基础上能够真正运用其概念与性质。
函数教学中，函数单调性与周期性的研究是函数课堂教学一直涉及的问题。
比如指对数函数的单调性教学中，要根据函数的底数的范围（ 0，1）或者是（ 1，+ ∞）来判断其单调性，还有函数的单调性则要根据函数图像的拐点来划分单调区间。
二次函数的三种基本形式：1：一般式：y=ax2+bx+c（a ≠ 0，a，b，c 为常数），则称 y 为 x 的二次函数。
妙用数形结合 让初中生数学解题思路更清晰
2021年14期65扫描二维码，获取更多本文相关信息教学案例引 言数形结合是一种比较有效的解题方式，也是当下初中生应该具备的一种思维能力。
具备良好的数形结合思维后，学生就能借助“以形助数、以数辅形”，将抽象的数学问题具体化，从而有效解决问题。
因此，本文将重点分析数形结合思想在初中数学解题中的应用，以培养学生良好的数形结合解题思想。
一、数形结合思想在初中数学解题中的应用意义（一）促使学生解题思路更为优化教师将数形结合思想应用于初中数学解题教学中，有利于帮助学生发现数量与图形之间的关系，使其懂得运用图形的直观性去理解题目中涉及的数量，优化解题思路，从而提升学生的解题效率。
（二）有助于锻炼学生的逻辑和空间思维学生利用数形结合解题思想分析和探究实际的数学问题，可以逐渐培养自己的逻辑和空间想象思维。
比如，在分析数量与图形相结合的问题时，学生既要分析其中的数量关系，又要探究图形的规律，而在将二者有机结合的过程中，他们的逻辑和空间思维也能得到很好的锻炼，这对提升学生的逻辑思维和空间想象思维都有一定的促进作用[1]。
（三）能有效激发学生对数学解题的兴趣数形结合既有数量关系又有图形分析，能够丰富学生的学习内容。
而且在分析数量与图形关系时，学生能够感觉到数学知识的神奇，并且也会从分析中体会到数学图形的美。
妙用数形结合 让初中生数学解题思路更清晰张新溪（福建省诏安县官陂中学，福建诏安 363509）摘 要：数学知识具有较强的抽象性和逻辑性，需要学生注意学习的方式与方法。
当前，很多学生在理解和应用数学知识解答问题时，往往不知如何下手，这与学生学习思维能力有关。
为提升学生的数学思维能力，本文在阐述数形结合思想在解题应用中的意义的基础上，通过函数问题、几何问题、不等式问题等的典型实例，说明了在解题教学中如何引导学生巧妙运用数形结合方法分析、解决问题。
关键词：初中数学；数形结合；思想方法中图分类号：G 427 文献标识码：A 文章编号：2095-9192(2021)14-0065-02二、数形结合思想在初中数学解题中的应用分析（一）将数形结合思想应用于初中数学函数问题的解答中初中数学涉及很多知识点，因而数学问题也千变万化。
数形结合思想在乘除法中的渗透
数形结合思想在乘除法中的渗透发布时间：2021-10-18T07:25:27.855Z 来源：《教学与研究》2021年16期作者：闫建娥[导读] 数形结合是一种非常重要的数学思想方法，它不仅有助于数学各个领域的融会贯通闫建娥孝义市中和路小学数形结合是一种非常重要的数学思想方法，它不仅有助于数学各个领域的融会贯通，而且有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻、灵活，是现代数学教学中强调的基本思想之一。
我们要在整个小学阶段，将数形结合等数学思想方法贯彻始终，将不同的数学问题，进行分类整理，用不同的数形结合的方法予以解决，对我们的数学教学有非常重要的研究意义。
（一）加强理论学习，更新教育观念自课题申报以来，我们就十分注重理论学习，在学习中我们主要采用个人学习和统一学习两种方式。
按照教研组计划，首先个人收集相关资料，查阅文献书籍，认真学习关于数形结合方面的新理论、新知识、新技术、新方法，做好读书笔记。
其次，我们又统一学习了《数学新课程标准》、本年级数学教师用书等相关书籍，然后交流、讨论、实践、反思，在不断的理论学习中，在反复的实践反思中提升自己的教学素养和教研能力。
（二）实际调研，夯实研究的基础。
我们组针对学校数学教学的实际，精心设计了《二年级学生数学学习情况调查问卷》，并对我们每个班的学生进行了调查问卷，对部分名教师进行了访谈。
其中学生问卷共分两部分：第一部分为基本情况，第二部分为学生的学习情况。
要求学生可填写一个答案，也可以补充答案。
旨在了解孩子心目中的数学课和数学老师是什么样子。
侧重于“对数学的总体印象”“学习的整体现状”“问题意识和交流能力”“作业完成”以及“自我评价”等五个方面。
通过调查和访谈，我们发现学生整体还是比较喜欢数学；在学习方式上主要习惯于依靠老师的讲解来学习，自主学习的意识较弱；老师给孩子提供的发言和讨论的机会不多；大部分孩子不善于提出问题和讨论交流；基本能完成课外作业；很多孩子在理解和解决问题上遇到了较大的困难。
初中数学解题常用的数学思想方法
初中数学解题常用的数学思想方法数学学习分为好多个环节，比如预习、上课、作业、复习、考试等等，而上课的部分是非常关键的环节。
小编整理了初中数学解题常用的数学思想方法，欢迎参考借鉴。
初中数学解题常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。
配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。
换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。
借用“数形结合”巧解数学问题
借用“数形结合”巧解数学问题作者：朱若兰来源：《文理导航·教育研究与实践》2015年第07期【摘要】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。
【关键词】小学数学;数形结合;解题数形结合思想是一种重要的数学思想。
数形结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。
有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。
著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形无数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。
”数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。
笔者结合自己的教学实践，谈谈数形结合在数学教学中在运用和体会。
一、见形想数，体现直观数学学习内容的一个重要方面就是关于算理、法则、规律的认识和运用，代数知识和几何知识同样包含许多规律性的知识。
这些知识的学习和把握往往比较抽象和深奥，数形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度。
数形结合巧妙用 解题思维高效率
要 ＣＢ 须 只 ｛ 得 ＜ ３ 使 Ｃ， 且 需 专叶 ， ２≤． ＿必 解 。 ．
④ 当 ａ一 ＜ ２时 ， ＝ ， Ａ ０ 此时 Ｂ Ｃ ０， ＣＢ成立 。 ＝＝ Ｃ ＿ 综上所述 ， 的取值范围是（ ，２ ｕ［ 一 ］ ａ 一 一） ， 。 １ ３
离 ／＿ 、 二 ＝
义。
例 叶≠求 ：一０＋ ＋０２≥ （ Ｊ ３若 １ ． （ （ ） ｝ 舶） ０证 ｌ ）６ｌ ＋ ＋ ＋ ＋
１ ． 恰当设参 、 ．２ ３ 合理用参 ， 建立关系 ， 由数思形 以形想数 ， 做好数形 转化 。 １ ． 正确确定 参数 的取值范 围 ．３ ３
２１ ０ １年
第３ ５期
Ｓ ＩＮＣ Ｃ Ｅ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ ＹＩＦ Ｒ Ｅ Ｈ Ｏ ＯＧ Ｏ ＭＡＴＯ Ｎ ＩＮ
０教 学研究 ０
科技信息
数形结合巧妙用 Байду номын сангаас解题思维高效率
向金华
（ 桃市 沔城 高级 中学 仙
“ 与“ 作为数学 中最古老最重要的两个方 面 ， 数” 形” 一直就是一对 矛盾体 正如矛和盾 总是 同时存在一样 ． 数” 有“ 必有 “ ”有“ 必有 形 ． 形” “ 。 数” 我国著 名数学家华罗庚先生对此也有“ 数缺形 时少直观 ． 形缺数 时难入微” 的精辟论述 在解决数学问题上 ． ” 形” “ 与“ 两个基本概念常常可 以结合在一 数 起． 相辅相成 ， 相得益 彰 ， 使复杂 的问题 简单 化 ， 抽象 的问题具体化从 而提高学生思维能力 著名数学家拉格朗 日曾经说过 ：只要代数 同几 “ 何分道扬镳 ． 的进展就缓慢 。 它们 它们 的应用就狭窄 。 当这两 门科学 但 结合成伴侣时 ． 它们 就互 相吸收新鲜 的活力 ． 从而 以快捷 的步伐走 向 完美 ”
生物学习题中的数形结合思维运用两例
态， 故整个细胞被染 成蓝绿色。细菌细胞 膜上存在 氧
化酶 ， 故细菌细胞 也可被健那绿 Ｂ染成蓝绿色。
系与直观 的几何 图形 、 位置关 系结合起 来 ， 可将抽象 问 题具 体化 ， 优化解题思路 ， 现举 例如下
例 １ 图 １中表 示 四个 国家 的人 口出 生 率 和 人 口
。 。 。 蟀
图２
死 亡率 ， 图完成下列各题 读
３
蒋
２
＜ １
兰
Ｍ
Ｍ
０ ｍ， 因此光镜下可见。在光镜下观察 ， 通常采用健那
绿 Ｂ Ｊｍｓ ｒ ｎＢ 染 液对 线 粒 体 进行 活细 胞 染 色 ， （ａ ｌｇｅ ） ｅ 其 原 理是 健 那 绿 Ｂ 分 子式 Ｃ０ ３ＣＮ ， 子 量 ５ １０ ） （ ３Ｈ ｌ １６分 １ ．６
处于氧化态时呈蓝绿 色， 于还 原态时 呈无 色。在空 处
那绿 Ｂ染液 。染色过程 中染 液水分会蒸发 ， 而造 成 从
染液的高渗状态 ， 致细胞死亡 。这样做 的 目的是 为 导 了减轻水分蒸发对染 液浓度 的影 响 ； 也可在染色过 程
中在玻 片上罩一个培养皿以减轻水分蒸发 。
（ ） 取 一 小 块 洋 葱 鳞 茎 内 表 皮 ， 肉 面朝 下 漂 ２撕 叶
一
图４
例 ２ 将 甲、 乙两 种植 物混 种 ， 若设 定 ： 甲播 种 的 种子数／ 乙播种 的种 子数 ＝Ｎ， 获 时 甲种 子 数／ 获 收 收
时 乙种 子 数 ＝ 收 获 的 种 子 再 播 种 ， 续 进 行 若 干 代 Ｍ， 连
如 图４所示 ， Ｍ＝Ｎ表示 甲乙两种植物不存在竞争
题 型一 改 往 日死 板 专 一 的命 题 角度 ， 识 点 跳 跃 性 大 ， 知 涉猎 面广 ， 学 生 能 把 死 知 识 用 活 ， 解 决 实 际 问 题 ， 让 能
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数形结合，巧妙解题
作者：李洁
来源：《学校教育研究》2017年第23期
华罗庚教授曾说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合法是一种教与学的思想，教师在教学过程中若能充分重视这一教学思想，积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想，将会使学生在数学学习中得益非浅。
巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平，而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用. 而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来，使问题变得简单.全国各地中考数学试题中经常出现这一类试题。
1.试题呈现，激发兴趣
如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值.
本题第（3）问重点考查学生的图形感和阅读理解能力，可以根据第（2）问，依据题目的条件画图求解。
本题实际是考查学生对图形的直观感受，有利于学生进行观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动。
其实，本题来源于课本，但高于课本。
2.追根溯源，探究规律
（1）课本例题
在新人教版八年级上15.3《乘法公式》一节中出现以下思考题：
分析：大正方形面积-小正方形面积=剩余面积。
剩余部分可以拼凑为一个边长为
（a+b）、（a-b）的一个矩形。
证明：S剩余面积=S大 -S小=a2-b2 S剩余面积=（a+b）（a-b）
因此，a2-b2=（a+b）（a-b）。
通过对公式的证明，我们可以得出结论：利用图形可以证明乘法公式。
因此，我们必须学会构造图形。
（2）小试牛刀
你能运用构图法证明完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2吗？
分析：构图的关键是构造边长分别为（a+b）和（a-b）的正方形，运用面积法进行证明。
答案如下：
（3）归纳总结：构图法是数形结合思想的一个重要形式，它是一种创造性的解题方法，重在“构造图形”，在数学解题教学中，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，对学生的多元思维培养，学习兴趣的提高以及独创钻研精神的发挥无疑是十分有利的。
3.中考新题，拾级而上
新题展示：（1）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们构造成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出构造后的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
评析：本题考查勾股定理的逆定理，重在如何“构图”。
方法一：
解：（1）
如右图所示
（2）证明：大正方形的面积表示为，
大正方形的面积也可表示为
，，
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法二解：（1）
如右图所示
（2）证明：大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：，
，
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
新题展示：（2）
问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积.
（1）请你将的面积直接填写在横线上.__________________
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法.若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积.
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积.
评析：本题是阅读理解题，通过构造网格三角形求三角形面积，体现构图法“无所不能”。
聪明的你应该解这道题吧！
4.拓展应用，登高望远
构图法不仅可以解几何题，还可以求解代数题。
对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。
已知A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。
如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。
求甲、乙两人骑车的速度各是多少？
解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB，
设AC=x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB
设BD=x+4，表示乙的行驶速度，在AB上，
取A = ，表示甲在40分钟所行的路程，
⊥AB，且 =x，连结与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E 点，于是
由，得
解得：（舍去）
于是x=12，x+4=16.
即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
总之，数形结合法在解题中的有效运用，体现出数学的和谐美，能把学生从枯燥的数学语言、符号引导到生动形象的数字与图形的游戏中去，从而积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想方法，将会使学生在数学学习中得益非浅。
运用数形结合法可以把一些复杂问题简单化，在较短的时间内抓住问题的本质，既防止无关信息的负面干扰，又能举一反三、触类旁通。
因此，数形结合，更容易解决问题。