第二讲动点存在性问题

第一讲动点存在性问题

一．考情分析

二．知识回顾

1、题型分类

在中考中，存在性问题一般分为四类：

1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；

2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；

3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；

4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。

2、方法归纳

在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。

对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。

而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。

对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。

对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。

类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。当t 为何值

时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图3），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图4），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由

.

学习心得

A

B Q P D 图1

（B ）【典型例题3】如图，已知直线1

12y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线

21

2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

〖练习〗

（B ）1．如图6，在梯形ABCD 中，

3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．

（1）求BC 的长．

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

C

图6

（C ）2．如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分点别是边AB AC ， 的中，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

（B ）3．已知抛物线223y kx kx k =+-，交x 轴于A 、

B 两点(A 在B 的左边)，交y 轴于

C 点，且y 有最大值4．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形?

若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

A

B C

D E

R

P H Q 图7

类型二：是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）

（B ）【典型例题4】如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．

（1） 求抛物线对应的函数表达式； （2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在

这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（C ）【典型例题5】如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．