数字信号处理 6-Z变换

0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
2. 右序列
右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它n<n1序列值全为0。
X z
nn1


xn z n
n1可正可负，分两种情况考虑其收敛域。 (1) n1 ≥0，这时的右边序列就是因果序列。假设X(z)在 z z1 处绝 n 对收敛，即 x n z1 因n1 ≥0，则 z z1 时， xnz n
x(n )
频谱()
0
Re[ z ]
z
复频谱( z )
z平面
X z
n


x n z n ZT [ x(n)]
z变换存在的条件是上式的等号右边级数收敛
n
| x n z n |

满足上式的z变量的取值域就称为收敛域。
单边Z变换
X z x n z n
X 1 ( z ) a n z n
n 0
1 1 az 1
0
z za
a
z a
Re[ z ]
az
1
1
za
• 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的 一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。
• 1. 有限长序列
如序列x(n)满足下式： 其Z变换为
z平面
单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。若某序列ZT收 敛域包含单位圆，则可由二者关系式很方便的由ZT求得FT
4.2.2 Z 变换的收敛域
（1）收敛域的定义 使级数 x(n) z n 收敛的 Z平面上所有z 值的集
n
合，称为 Z变换的收敛域。 若级数不收敛，Z变换无意义； 若给定 X (z ) ，必须同时给定收敛域才能唯一 地确定x(n)。 j Im[ z ] n 例 x1 (n) a u(n) z 平面
直接计算围线积分比较麻烦的，所以常用以下三种方法求逆z变换的：
幂级数展开法（长除法）
部分分式展开法 留数定理法
1. 幂级数法(长除法)
按照Z变换定义式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的 系数就是序列x(n)。 要说明的是， 如果x(n)是右序列， 级数应是 降幂排列，展成负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是升幂排列， 展开成正幂级数。所以在展开幂级数之前应考察 X(z) 的收敛域， 以判断对应的是左边序列还是右边序列，进而根据序列是右边序 列(或左边序列)，确定应展开为z的负幂级数(或正幂级数)。 例 4-9已知 解：由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数
X z z k 1
n


xn z n k 1
按环绕原点并完全位于X(z)收敛域(Rx-，Rx+) 内的围线进行围线积 分，得
1 1 X z z k 1dz 2j c 2j c


xn z n k 1dz
n
c为收敛区域内一环绕原点逆时针旋转的围线。如果级数收敛，交 换积分与求和的次序，可得
3. 左序列 左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n1，序列值全为 n 零的序列。 左序列的Z变换表示为 n
X ( z)
n

2
x(n) z
如果n2<0, z=0点收敛， z=∞点不收敛， 其收敛域是在某一圆(半径 为Rx+)的圆内， 收敛域为0≤|z|<Rx+。 如果n2>0， 则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。

( a 1)

其频谱不存在，而
( r a )e
n n n 0

n 0
jn
( r 1ae j )n
n 0
若
r 1ae j 1 ，则级数收敛，∴要求 r a 。
对于任意一个序列 x(n)
n
[ x(n) r

n
]e
jn
b z 1 b
如果|a|≥1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。
4.2.3 逆Z变换及其求法 逆Z变换为Z 变换的逆过程，给定 X(z) 及其收 敛域，求 x(n) 。 正变换： ZT [x(n)]= X(z) 反变换： ZT [X(z) ]= x(n) 1．Z反变换公式
-1
若
则
X ( z)

e t

定义


[ xa (t )e
t
]e
j 2ft
dt xa (t )e


( j 2f ) t
st dt xa (t )e dt

xa (t )
的拉氏变换

j 2f
ℒ[
st xa (t ) ] X a (s) xa (t )e dt
n 0

对于因果序列，用两种z变换定义计算出的结果是一样的。
序列傅立叶变换
X (e j )
n
推广
Z 变换
j Im[ z ] Re[ z ]


特例
x(n)e j n
X z x n z n
n 0

0
z 1
X ( z ) z e j X (e j ) z 1
n 0
u (n) ] 1 e jn [
n 0
n 0

1
u(n )
1 r n e jn ( r 1e j )n

0
r n
n
若
r 1e j 1 ，则级数收敛，∴要求 r 1 。
再如，ℱ
a n u (n) ] a n e jn [
n n1
中每一项皆小于(4-48)式级数中的对应项，故有n1 ≥0时右序列的 收敛域为Rx- <|z|≤∞。 (2) n1<0,Z变换写为 X z
nn1
nn1


xnz n
nn1

1
xnz n

n 0

xnz n
第一项为有限长序列， 因n1<0,其收敛域为0≤|z|＜∞。 第二项 为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx-是第二项最小的收敛半 径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- <|z|<∞。
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为

X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n

xn z n
X z
nn1

n2
xn xn 0
xn z n
n1 n n2 其它n
只要有限项级数的每一项有界，级数和也就有界。而x(n)是有界的，
所以收敛域只需满足 z
n
，n1 n n2 ，可分三种情况讨论
显然，除z取0与∞两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z 平面均收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛 域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=∞点。 具体有 限长序列的收敛域表示如下：
1 1 k 1 X z z dz xn z nk 1dz 2j c 2j c n




1 1 X z z k 1dz xn z nk 1dz (4-50) 2j c 2j c n




1 根据复变函数理论中的柯西积分定理有 2j
z
4.2 序列的Z变换
4.2.1. Z变换的定义
如同拉氏变换对于连续时间信号与系统，Z 变换在离散 时间信号与系统的分析中起着非常重要的作用。 对于连续时间信号 xa (t ) ，其频谱为
xa (t )e j 2ft dt X a ( f ) =ℱ [ xa (t ) ]
若积分不存在，则 xa (t ) 的频谱不存在，无法分析信 号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的， 例如阶跃、正（余）弦等。 为分析这类信号，借助 一衰减因子
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n

RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
n
n0
b

z
1 bz b z 1 1 1 bz 1 bz n0
n n

b n z n
1 1 bz
1
zb
如果|b|<1， 两部分的公共收敛域为|b|<|z|<|b|-1， 其Z变换如下式：
bz 1 X z 1 bz 1 bz1
xa (t )
ℱ
ℒ
频谱( f )
0

0
s平面
复频谱( s ) 推广 傅立叶变换 拉氏变换 特例
X a ( s ) s j 2f X a ( f )
对于离散时间信号 x(n) ，其频谱为
X (e )=ℱ [x(n)
j
]
n
x(n)e jn

若级数不收敛，则 x(n) 的频谱不存在。 仿照连 续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子r n 。 例如，分析阶跃序列 u (n) 的频谱 ℱ

n
x(n)( re

j n
)
z re j 令
n
∴定义 x(n)
的Z 变换
ZT[x(n) ] X (z )
x ( n ) z n

可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以 分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅 与数字频率 有关，且 r 与有关，构成了一个复频 j Im[ z ] z re j 。 域 — Z域， ℱ
n
x ( n) z n
-1

R2 z R1
1 X ( x ) z n 1dz x(n) = ZT [X(z) ] 2j c
c ( R2 , R1 )
公式推导过程
将Z变换公式 X z
n


x n z n ZT [ x(n)] 两边同时乘以zk-1，得
c
m 1
1 dz 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm0 m0
因此(4-50)式等号右边的围线积分只有当-n+k=0,即n=k时为1，对其 余n均为0。所以等号右边等于x(k)，将等号左右两边k用n表示，即 得逆Z变换公式
1 xn 2j

c
X z z n1dz
c ( Rx , Rx )
总结：右序列收敛域位于极点限定的圆外，∞单独考虑。 若为因果序列，则包含∞，若不是因果的，则不包含∞
例 4.6求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：
X ( z)
n


a u(n ) z
n
n
a z
n 0

n n
1 1 az n
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n

1

xn z n
n n
n

1
b n z n

n0

b n z n
z 1 b
X 2 z
总结：左序列收敛域位于由极点限定的圆内，0点单独 考虑。
例 4-7求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
X ( z)
n



a u( n 1) z
n n n
n

n

1
a n z n
a z
n 1
a 1 z 1 X ( z) , 1 1 1 a z 1 az
即有限长序列的Z变换收敛域为整个Z平面，但0与∞需单独考虑。 只要有限长序列区间内包含<0的n值，则收敛域不包含∞；只要区 间内包含>0的n值，则收敛域不包含0。
•
• •
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞ n1<0， n2>0时， 0<z＜∞ n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞
N 1 n 0