勾股定理几何原本中的证明
几何原本中勾股定理的证明
几何原本中勾股定理的证明在数学中，勾股定理是一个经典的几何定理，它是被广泛接受的基本原理之一。
此定理在三角形中成立：斜边的平方等于两腰的平方之和。
这个公式可以写成a² + b² = c²的形式，其中a、b、c是三条边的长度。
许多人都熟悉勾股定理，然而，少有人了解它的证明。
下面我们来看看几何原本中勾股定理的证明。
证明一证明勾股定理的其中一种方法是使用尺规法。
这个证明起源于中国古代，然后传到了印度。
之后，它被许多数学家重新证明，其中包括欧几里德、泰勒和毕达哥拉斯等人。
事实上，这种证明被称为毕达哥拉斯定理。
这种状态可以概括为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方之和。
证明二知道勾股定理的第二种方法是通过图形证明。
这种证明包括画一张类似于大写字母"T"的图像，然后将其旋转90度，使其看起来像一个直角三角形。
当你这样做时，你将会发现在上面的线段的平方等于下面的两段线段平方之和。
这个图形证明在很大程度上是基于物理直觉推导出的，因为我们都知道垂直的线段的长度相等。
证明三还有一种证明勾股定理的方法叫做代数证明。
这个证明通常可以使用代数符号解决问题。
假设三角形的三条边分别为a、b和c。
我们可以使用勾股定理的公式c² = a² + b²，然后将其重新排列为a² = c² - b²。
当我们将b定量时，我们可以使用这个公式来代替a。
这样c² = (c - b)² +b²。
然后，我们可以将这个公式继续展开，并判断a² + b²是否等于c²。
总结勾股定理的证明方法有多种，每一种都以其独特性而广为人知。
无论是尺规法、图形证明，还是代数证明，每一种都试图使我们对勾股定理更深入地了解。
一个好的数学家应该学习多种方法来理解这个定理。
勾股定理不仅是有用的数学工具，也可以让我们凭借对数学的掌握而增强我们的思维能力。
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等（边长都是),所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂.二、赵爽弦图的证法(图2）第一种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”.因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法很简明，很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
古希腊数学的伟大成就:1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证明体系，希腊成为论证数学发祥地;3、创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等；4、萌芽了一些高等数学，如数论、极限等;5、希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密,论证认真细致，为后世树立了样板等；不足：如，重几何轻代数,认为几何方法是数学证明唯一方法，畏于无理数的存在，而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺.古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论,数学命题要加以演绎证明，在数学中要建立一般的原理好人规则，数学命题的证明就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.演绎证明的方法即演绎推理的方法，指从一般到特殊的推理方法,其核心是三段论法，即有两个已知判断,推出第三个判断，例如，平行四边形的对角线互相平分(第一个已知一般判断成为大前提），矩形是平行四边形（另一个已知较特殊的判断，成为小前提）,则矩形的对角线互相平分(推出新判断，即结论).用演绎法证明命题使几何由实验阶段,过渡到一门抽象的理论科学，使人类对自然的认识由感性(或经验)认识上升到理性认识，因此这是一个划时代的贡献。
勾股定理的证明方法和相关故事
04
勾股定理的故事和传说
毕达哥拉斯与勾股定理的故事
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学 家，被认为是勾股定理的创始人。传说他 通过观察铁匠铺打铁的声音，发现了音符 与数的关系，进一步推导出勾股定理。
毕达哥拉斯学派认为，数是万物的本原， 自然界的秩序和原理都可以用数来解释。 他们通过大量的实践和证明，不断完善勾 股定理，并将其广泛应用于各个领域。
勾股定理的推广和变种
勾股定理的推广包括勾股定理的逆定理、勾股定理的推广 形式等。这些推广形式可以用于解决更广泛的问题，如确 定三角形的形状、计算三角形的面积等。
勾股定理的变种包括勾股定理的特殊形式、勾股定理的变 形等。这些变种形式可以用于解决一些特殊问题，如确定 特殊三角形的各边长度、计算特殊三角形的面积等。
证明方法基于数论和音乐理论，将数 学与哲学、音乐相结合，展现了毕达 哥拉斯学派的独特思想。
赵爽证明方法
赵爽是中国古代数学家，他在《周髀算经》中给出了勾股定理的证明，使用了“ 出入相补”原理。
赵爽的证明方法简单易懂，适合初学者理解，对中国古代数学的发展产生了重要 影响。
反证法证明方法
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来推导出矛盾， 从而证明原命题成立。
使用反证法证明勾股定理时，首先假设三角形不是直角三角 形，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
03
勾股定理的应用和推广
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在平面几何中有着广 泛的应用，如确定直角三角形 各边的长度、计算直角三角形 的面积等。
在三维几何中，勾股定理可以 用于确定空间直角三角形的各 边长度，以及计算其体积和表 面积。
《几何原本》对后世的数学发展 产生了深远的影响，成为数学教
几何原本勾股定理证明
几何原本勾股定理证明1. 基本图形构建- 分别以 AB、BC、AC 为边向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHK。
2. 证明三角形全等- 连接 CD、BK。
- 因为∠ ACB=∠ ACH = 90^∘，所以∠ BCK=∠ ACH+∠ ACB = 180^∘，这表明 C、A、K 三点共线。
- 同理，C、B、D 三点共线。
- 在 AKB 和 ACB 中，AK = AC（正方形 ACHK 的边），AB = AB（公共边），∠ KAB=∠ KAC+∠ CAB=∠ BAC + 90^∘，∠ CAB + 90^∘=∠ CAE，而在正方形 ABDE 中∠ CAE=∠ DAB，∠ DAB=∠ ABC + 90^∘，所以∠ KAB=∠ ABC。
- 根据 SAS（边角边）判定定理， AKB≅ ACB。
- 同理可证 BCD≅ BCA。
3. 面积关系推导- 因为 AKB 和矩形 AKNL（N 在 AB 上，L 在 DE 上，且 AN⊥ KL）有相同的底 AK，并且在相同的平行线 AK 和 BL 之间，所以 S_{ AKB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 由于 AKB≅ ACB，所以 S_{ ACB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 同理，S_{ BCD}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}，又因为 BCD≅ BCA，所以S_{ BCA}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}。
- 正方形 ACHK 的面积 S_{ACHK}=AC^2，正方形 BCFG 的面积S_{BCFG}=BC^2，正方形 ABDE 的面积 S_{ABDE}=AB^2。
- 而 S_{ABDE}=S_{矩形AKNL}+S_{矩形CDLM}，即 AB^2=AC^2+BC^2，从而证明了勾股定理。
勾股定理证明
参考:
证明五
a2
b2
证明五
证明五
证明五
证明五
a2 + b2 = c2 c2
出入相补
• 刘辉(生于公元三世纪)
• 三国魏晋时代人。 • 魏景元四年（即 263 年） 为古籍《九章算术》作注 释。 • 在注作中，提出以「出入 相补」的原理来证明「勾 股定理」。后人称该图为 「青朱入出图」。
《几何原本》第一卷的 第 47 命题。
证明二
b
a c
(a + b)2=c2 + 4(½ab)
a2+2ab+b2=c2 + 2ab
a 2 + b 2 = c2
证明二
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b2
弦图
• 赵爽 • 东汉末至三国时代吴 国人 • 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
证明七
注意：
面积 I : 面积II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明七
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
无字证明－课后研究
b a a+b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
自主学习
• 香港道教联合会青松中学 .hk • 梁子杰网上文集
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• History of Mathematics
关于“勾股定理”的60种证法
关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。
过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。
90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。
正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。
2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。
因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。
Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。
3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。
整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是一条古老而又深远的几何定理，其内容简洁却充满力量。
它的发现和应用不仅为几何学带来了重大突破，还被广泛运用于各个领域，产生了深远的影响。
本文将介绍勾股定理的由来、几何证明和实际应用。
1. 勾股定理的由来勾股定理最早可以追溯到古代埃及、巴比伦等文明，但被广泛应用并具有明确证明的则是我国古代数学家所提出的方法。
亚里士多德学派的《几何原本》中，勾股定理首次被明确表述，并以数学推导的方式予以证明。
在中国，勾股定理被称为“勾股”或“勾三股四弦五”，并且经过了漫长的实践和完善。
2. 勾股定理的几何证明在几何证明方面，勾股定理有多种推导方法。
其中一种直观的证明方法是基于图形构造。
设有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
我们可以在三角形ABC的三边上分别构造正方形，使得它们的面积分别为a^2, b^2和c^2。
通过观察可以发现，三个正方形所围成的图形正好构成一个面积为c^2的正方形。
这一构造过程就是勾股定理的一个几何证明。
3. 勾股定理的应用勾股定理在数学和各个领域中都有广泛的应用。
在几何学中，勾股定理是解决直角三角形相关问题的基础，例如求解未知边长、角度和面积等。
它还是解析几何的基础，可以用来推导、证明和应用其他几何定理。
而在物理学中，勾股定理则被广泛应用于力学和电磁学等领域。
以力学为例，当一个物体在斜面上滚动时，我们可以利用勾股定理求解物体所受的重力分解和加速度。
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电路中的电压、电流和电阻等参数。
此外，勾股定理还应用于测量学和导航学等实际领域。
例如，测量学中的三角测量方法即利用勾股定理来计算两点之间的距离。
而在导航学中，勾股定理可以帮助我们确定物体在地球上的位置和航向。
4. 总结勾股定理作为一条简洁而又实用的几何定理，在几何学、物理学、测量学和导航学等领域都有重要的应用价值。
它的发现和证明经历了漫长的历史，是古代智慧和现代科学的结合。
无论是在纯理论研究还是实际应用中，勾股定理都起到了至关重要的作用，不断推动着科学的发展。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ab S c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .K由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = ab b 212-， 985S S S +=， ∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABER= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=， ∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）E设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，D DC M76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.勾股定理有367种证明方法，最著名的有5种：梅文鼎证明、项明达证明、赵浩杰证明、欧几里得证明、欧几里得的证法。
勾股定理证明课件
股b
弦c
勾a
= 6×
+
∵ c × c+4÷2ab=8÷2ab+(b-a)(b-a)
∴ a2 b2 c2
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方法四：毕达哥拉斯“拼图”
毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家.
图1
图2
A
B
b
a
b
a
D
C
将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b) 的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方 形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所 示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两 个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必 定相等。
即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形
CBFG ，
E
也就是 a2+b2=c2．
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方法二：加菲尔德“总统证明法”
谁说总统就是在国家领导，每天忙于外交的工作，然而有一个人他在 1876年4月1日，在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一 证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总 统”证法。我们不要说自己忙忙于时间去做，任何事情，他就是我们的
a2 b2 c2
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其它的证明方法：
刘徽“青朱出入图” 达·芬奇的证明 五巧板“拼图” 在印度、阿拉伯和欧洲出现的拼图证明
从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如 图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方ABED 被分成两个矩形．连结CD和KB
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等 高(即平行线AD和CN间的距离)， ∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
【勾股定理证明】
【勾股定理证明】勾股定理的16种证明方法勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理，也是数学家认为探索外星文明与外星人沟通的最好“语言”。
勾股定理导致希伯索斯无理数的发现，引发了第一次数学危机，加深了人们对数的理解，促进了数学的进步发展。
勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答，从而促使费尔玛大定理的提出，这是一只下金蛋的鹅，数学家们经过350年的历程才获得解决，这期间给整个数学界带来了巨大的财富。
我国古代数学家对勾股定理的证明，极富创意，即使在理论方面也占一席之地。
以赵爽的“弦图”作为2002年在中国召开世界数学家大会的会徽，可知“弦图”已作为了我国古代数学成就的代表。
而在西方，欧几里得在证明勾股定理的同时结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。
中国的数学文化传统体现了重视应用、数形结合、以计算为主的务实精神。
因为毕达哥拉斯定理是在没有研究的情况下描述的，所以在中国古代从未超越直观经验和具体操作，发展成为一个完整的演绎体系。
而是作为一种技能传播应用，只走了一条解决实际问题的模式化道路。
证明勾股定理的方法有上百种。
下面是16种证明勾股定理的基本方法，有兴趣的同学可以研究一下。
勾股定理，又称毕氏定理，是三角形中最基本的定理之一，它描述了直角三角形斜边与两条直角边的关系。
其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和，即$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边，$a$和$b$为直角边。
勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍16种。
1. 几何证明法：欧几里得证明法欧几里得是古希腊的数学家，他在《几何原本》中提出了勾股定理的证明方法。
他的证明方法基于相似三角形和三角形面积的计算公式。
首先，画出一个直角三角形，将它的直角边分别称为$a$和$b$，斜边称为$c$。
然后，以$c$为直径画一个圆，将圆心记为$o$，圆上任意一点记为$d$。
勾股定理的数学史以及证明方法
勾股定理的数学史以及证明方法勾股定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的著名定理，被誉为“几何学的基石”，在数学史上占有重要地位。
它的存在，不仅推动了古代数学的发展，也在现代科学中有着广泛的应用。
早在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派就发现了这个规律。
他们发现，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个发现，被后人称为“毕达哥拉斯定理”或“勾股定理”。
这个定理的提出，标志着人类对几何形状和数量关系的理解迈出了重要的一步，是早期数学从直观走向逻辑推理的重要标志。
在数学史上，勾股定理的证明方法多种多样，反映了数学家们对这个定理的深入理解和创新思考。
其中，最经典的证明之一是欧几里得的面积比较法。
在《几何原本》中，欧几里得通过将一个直角三角形切割并重新组合，证明了直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这种方法直观明了，充分体现了欧氏几何的严谨性和美感。
另一种证明方法是利用相似三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例相等。
以此为基础，我们可以构建两个相似的直角三角形，通过比较它们的边长关系，也能得出勾股定理。
这种方法揭示了比例和面积之间的内在联系，进一步深化了我们对几何形状的理解。
此外，还有许多其他有趣的证明方式，如代数证明、解析几何证明、复数证明等。
例如，通过坐标系，我们可以将直角三角形的三个顶点坐标代入平面直角坐标系下的距离公式，也能得出勾股定理。
这种方法融合了代数和几何，展现了数学的统一性和普适性。
在实际应用中，勾股定理无处不在。
从测量建筑物的高度，到计算天文距离，再到计算机图形学中的向量运算，勾股定理都发挥着重要作用。
它不仅是一个理论定理，更是解决实际问题的强大工具。
勾股定理的历史和证明方法，反映了数学的探索精神和创新思维。
从古至今，无数的数学家在这一简单的定理上倾注了智慧，创造出各种精妙的证明。
这不仅是对知识的追求，也是对真理的热爱。
而这种精神，正是数学乃至科学发展的动力源泉。
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
总统证明法
美国总统加菲尔德在1876年独 立发现了勾股定理的一种新的 证明方法，后来被称为“总统 证明法”。
总统证明法利用了代数和三角 恒等式来证明勾股定理，这种 方法与前两种几何证明方法有 所不同。
总统证明法不仅证明了勾股定 理，而且也展示了数学中代数 和三角学的紧密联系。
05
勾股定理的推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形三边满足勾股定理， 则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理和三角形的性质， 通过反证法证明。假设三角形不 是直角三角形，则其三边不满足 勾股定理，与已知条件矛盾。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广
对于任意多边形，如果其内角和为 180度，则其边长满足勾股定理。
对未来研究的展望
深入研究和探索
勾股定理的证明方法有很多种，但还有很多 值得探索和研究的地方。例如，如何将不同 的证明方法进行比较和整合，如何进一步简 化证明过程等。这些问题的研究和探索，有 助于推动数学教育的发展和进步。
与其他学科的交叉研究
勾股定理不仅在数学中有应用，在其他学科 如物理学、工程学、经济学等也有广泛的应 用。如何将勾股定理与其他学科进行交叉研 究，发挥其在解决实际问题中的作用，也是 未来研究的一个重要方向。
03
勾股定理的代数证明方法
哈里奥特证明法
哈里奥特证明法是一种基于无穷小差分的代数证明方法。它 通过将直角三角形转化为等腰直角三角形，利用无穷小差分 的性质，推导出勾股定理。
哈里奥特证明法不仅证明了勾股定理，还为微积分学的发展 奠定了基础。
欧拉证明法
欧几里得证明勾股定理的详细步骤
欧几里得证明勾股定理的详细步骤1. 引言1.1 欧几里得简介欧几里得（Euclid）是古代希腊数学家，被誉为几何学之父。
他生活在公元前四世纪，是亚历山大大帝时期的一位杰出数学家和几何学家。
欧几里得的作品《几何原本》是古代数学史上最著名且最具影响力的著作之一，被称为几何学的权威经典。
欧几里得的几何学理论体系被认为是严密而完整的，并且具有很高的逻辑性和条理性。
他所提出的公理化方法为后世的数学发展奠定了基础。
在《几何原本》中，欧几里得系统地讨论了几何学的基本理论，包括点、直线、平面、角等概念，以及各种几何定理和命题的证明方法。
欧几里得的贡献不仅在于他建立了几何学的公理化体系，还在于他证明了许多重要的几何定理，其中包括著名的勾股定理。
他的严密推理和清晰的逻辑思维使他成为古代数学史上的一个巨匠，对数学的发展产生了深远的影响。
欧几里得的成就不仅在于他本人的杰出才华，更在于他为世人展示了数学思维的力量和美妙。
1.2 勾股定理简介欧几里得在古希腊时期被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》是古代几何学重要的著作之一。
在这部著作中，欧几里得证明了许多几何定理，其中最著名的是勾股定理。
勾股定理是指直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理在几何学和数学中有着广泛的应用，被认为是最基本的几何定理之一。
欧几里得证明勾股定理的方法被称为几何证明，通过构造图形、运用几何性质和推理来证明。
这个证明方法展示了欧几里得在数学推理方面的才华和严密性。
勾股定理可以帮助我们计算直角三角形的各边长，解决实际问题中的三角形计算等。
勾股定理也为其他几何定理的证明提供了参考和启发。
欧几里得在证明勾股定理的过程中展现了他在几何学和数学领域的才华和贡献。
这个定理也成为了他在数学史上的重要里程碑，被后人广泛传颂和应用。
1.3 欧几里得证明勾股定理的重要性欧几里得证明勾股定理的重要性在数学史上具有非常重要的意义。
勾股定理是古希腊数学中最著名的定理之一，被广泛运用于解决各种数学和几何问题。
勾股定理的8种证明方法
勾股定理的8种证明方法这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。
路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a^2+b^2=c^2证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上，a^2+b^2=c^2证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a^2+b^2=c^2证法5(欧几里得的证法)《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
勾股定理的证明方法(完整版)
勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法第一篇：勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法绪论勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。
而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。
可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。
第一节勾股定理的基本内容文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为，那么a^2+b^2=^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。
第二节勾股定理的证明1欧洲在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。
欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。
毕达哥拉斯的证明方法（相传）：一说采用拼图法，一说采用定理法。
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为，再做三个边长分别为a、b、的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。
a2+b2+4×12ab = 2+4×12ab ，整理即可得到。
定理法就是几何原本当中的证法：设△ab为一直角三角形，其中a为直角。
从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（sas定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法绪论勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。
而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。
可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。
第一节勾股定理的基本内容文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。
第二节勾股定理的证明2.1 欧洲在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。
欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。
毕达哥拉斯的证明方法（相传）：一说采用拼图法，一说采用定理法。
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。
a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。
定理法就是几何原本当中的证法：设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
勾股定理
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）勾股定理的来源：毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
常用勾股数3 4 5;5 12 13;8 15 17毕达哥拉斯有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股书籍》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。
又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
[编辑本段]最早的勾股定理应用从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
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勾股定理的证明
【摘要】：《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷。
这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
本文主要应用证明三角形全等、证明平行线间的距离处处相等等，最终推导出勾股定理的证明。
【引言】：勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，该定理首先由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras 约前580-前500）提出并证明，后经古希腊数学家欧几里得（Euclid 前3世纪）证明，并收录在现代数学的基础读本《几何原本》中。
而在中国早期也在例如《九章算术》之类的读本中探讨过该定理。
本文引用《几何原本》中对毕达哥拉斯定里的证明，并对其整理延展最终之目的在于更深一步的去了解毕达哥拉斯定理和旷世奇书《几何原本》达到科学启蒙的功效。
【关键词】：勾股定理证明
【材料和方法】：
已知：三角形ABC为直角三角形，且BC=a,AC=b,AB=c.
求证：a²+b²=c²
证明：如彩图所示，已直角三角形的三边a、b、c为边做三个正方形
（尺规作图）分别为CBFG、ACHK、ABED.连结CD、KB 过点C 作CN⊥DE于N交AB于M.
[求证：平行线间的距离处处相等]
证明：在任意的两条平行线l、m间任取l上两点A、B向m 上作垂线，垂足分别为C、D.(如下图所示）
∵ＡＣ⊥ｍ，ＢＤ⊥ｍ
∴ＡＣ∥ＢＤ
又∵ｌ∥ｍ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
∴ＡＣ=ＢＤ
又∵ｌ、ｍ、ＡＢ、ＣＤ都是任意的
∴平行线间的距离处处相等
∵△ABK与正方形ACHK有相同的底AK,
且△ABK的高等于AC（在平行线AK、BH间的距离
处处相等已证)
∴S正方形ACKH=2S△ABK
又∵△ACD与矩形ADNＭ有相同的底
AD,且△ADC的高等于AM（在平行线AD
ＣＮ间的距离处处相等已证）∴Ｓ矩形ＡＤＮＭ=２Ｓ△ＡＤＣ
c
b a
M
N
D E H
G
B A
C
∵ＡＫ=ＡＣ,ＡＢ=ＢＡ,∠ＢＡＫ=∠ＣＡＤ
∴△ＡＣＤ≌△ＡＢＫ（Ｓ．Ａ．Ｓ)
∴Ｓ正方形ＡＣＨＫ=Ｓ矩形ＡＤＮＭ
连结CE、AF
∵△CEB与矩形NEBM有相同的底BE
又∵△CEB的高等于NE(在平行线BE、CN间的距离处处
相等已证）
∴S矩形NEBM=2S△CEB
∵△ABF与正方形CBFG有相同的底BF
又∵△ABF的高等于BC（在平行线BF、CG间距离处处相
等已证）
∴S正方形CBFG=2S△ABF
∵BF=CB，AB=BE，∠CBE=∠ABF
∴△CEB≌△ABF(S.A.S)
∴S矩形NEBM=S正方形CBFG
∴S正方形ADBE =S矩形ADNM+S矩形MNEB= S正方形ACKH+ S正方形CBFG
∴a²+b²=c²(Q.E.D)
【结论】：直角三角形斜边长的平方等于两直角边长的平方和。