成人高考数学模拟试题及答案

2014年成人高考数学模拟试题3第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72. 已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45- 3. 不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 4. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．6 C ．13D ．35. 函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6. 已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 11. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14. 函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B.19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小. 20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是，,,，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于，求k 的最小值.21. （本小题满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l 的方程.2014年成人高考数学模拟试题答案3一、选择题二、填空题13. -16014.3215. 5 16.43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）解：（1）由2122n n n a a a ++=-+得2112n n n n a a a a +++-=-+，即12n n b b +=+，又1211b a a =-=.所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）得12(1)n b n =+-，即121n n a a n +-=-，于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑于是211n a a n +-=，即211n a n a +=+，又11a =，所以{}n a 的通项公式为222n a n n =-+18.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得，3sin cos 2sin cos A C C A =所以3tan cos 2sin A C C = 因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =. 1tan 2C =所以tan tan[180()]B A C =-+tan()A C =-+=tan tan 1tan tan A CA C+--=-1,即135B =19.（本小题满分12分）解法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC ，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，连结1A C ，因为侧面11AAC C 是棱形，所以11AC AC ⊥， 由三垂线定理的11AC A B ⊥.（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ⊂平面11BCC B ，故平面11AAC C ⊥平面11BCC B ，作11A E C C ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B ， 又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 间的距离，13A E =， 因为1A C 为1ACC ∠的平分线，故113A D A E ==作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F ,由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角， 由22111AD AA A D =-=,得D 为AC 的中点，1525AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan 15A D A FD DF∠==， 所以二面角1A AB C --的大小为arctan 15.解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内.（1）设1(,0,)A a c ，由题设有2a ≤，(2,0,0),(0,1,0)A B ，则AF =(-2，1，0)，1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-，由12AA =22(2)2a c -+=，即2240a a c -+=， 于是11AC BA ⋅=2240a a c -+= ① 所以11AC BA ⊥.（2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则m CB ⊥，1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=， 因为11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-， 故0y =，且(2)0a x cz --=，令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===，又依题设，点A 到平面11BCC B， 所以 c =代入①得3a =（舍去）或1a =. 于是1(AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.0p-=且20p q -+=， 令p =，则q =，1r =，(3,2n =， 又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量， 故1cos ,4n p n p n p⋅<>==， 所以二面角1A AB C --的大小为1arccos 420.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是，,,，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于，求k 的最小值.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ===⨯=.所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ 0.31=（2）由（1）知，若3k =，则()0.310.1P F =>又2E B C A =⋅⋅，22()()()()()0.06P E P B C A P B P C P A =⋅⋅=⋅⋅=若4k =，则()0.060.1P F =<. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）.（ⅰ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数.（ⅱ）由于0a ≠，故当1a <时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若01a <<，则当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数；（Ⅱ）当0,0a x >>时, ()0f x '>，所以当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数.若0a <时，()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入由22(0)y px p =>中得08x p=， 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p =所以C 的方程为24y x =.（Ⅱ）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1,(0)x my m =+≠，代入24y x =中得2440y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +，224(1)AB y m =-=+，有直线l '的斜率为m -，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++， 将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m +-+=. 设3344(,),(,)M x y N x y ，则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+.故MN 的中点为E 2222(23,)m m m++-，23424(m MN y m+=-= 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=, 即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得210m -=，解得1m =或1m =-，所以所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=。