2021年巧解钟表上的角度问题

巧解钟表上的角度问题
欧阳光明（2021.03.07）
让我们重新认识一下时钟：时钟的表面被均分成12大格、60小格，若把钟表表面看成以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度为30°，每一小格为6°，也就是说，分针每分钟转过6°的角，时针每分钟转过×30°＝0.5°的角，即每分钟分针总比时针多转5.5°.有了上述知识，我们再来求有关钟表的问题，就不会感到困难了.
分针转的角度为：分钟数×6°；
时针转的角度为：小时数×30°＋分钟数×0.5°.
例1.试问时钟的分针与时针一昼夜重合多少次？
解析：你可能直觉认为，分针每小时转一圈，每转一圈就要与时针重合一次，一昼夜有24小时，分针与时针岂不是要重合24次吗？
乍听起来这个说法颇有道理，但还是让我们计算后再下结论吧！
设分针与时针从上一次重合到下一次重合用时x分钟，易知其间分针比时针多转了360°，于是有
6x－0.5x＝360，解得x＝（分）.
一昼夜分针与时针重合的次数为：24×60÷＝22（次）.
怎么样，还相信你的直觉吗？
例2.某人晚上6时后外出时，钟表上时针与分针的夹角时110°，晚上7时前回来时，钟表的时针与分针的夹角仍为110°，求此人外出了多长时间？
解析：易知，6时后时针与分针首次呈110°角时，分针落后时针110°角，第二次呈110°角时，分针超过时针110°，即其间分针比时针多走了2×110°，设完成此过程共经过了x分钟，则有6x－0.5x＝2×110，解得x＝40（分）.
即此人外出了40分钟.。