等比数列的前n项和第二课时
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式(2课时)
请做：课时作业（十三）
4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3 成等 1
差数列，则{an}的公比为___3_____．
解析 由题意得 2(2S2)＝S1＋3S3，即 4S2＝S1＋3S3，很明显公 比 q≠1，则 4·a1（11－－qq2）＝a1＋3·a1（11－－qq3），解得 q＝13.
列的公比，即SS偶奇＝q. (3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，
n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A⇔数列{an}为等 比数列．
(4)若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qn·Sm.
思考题 1 已知等比数列{an}，an>0，S3＝6，a7＋a8＋a9＝
A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析 根据等比数列的性质：若{an}是等比数列， 则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数列． 据此 X，Y－X，Z－Y 成等比数列． 故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得 Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选 D.
解得ad1＝＝31，，或da1＝＝－8，4. 因此 Sn＝12n(3n－1)或 Sn＝2n(5－n)．
探究 2 在等差数列{an}中，通常把首项 a1 和公差 d 作为基 本量，在等比数列{bn}中，通常把首项 b1 和公比 q 作为基本量， 列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列问题的常用 方法．
探究 3 在弄不清一个等比数列的公比是不是等于 1 时，要 分两种情况讨论．(这种情况经常发生在公比 q 用字母表示时)
q＝1 时，不能用公式 Sn＝a1（11－－qqn）及 Sn＝a11－－aqnq求和； q≠1 时，也不能用公式 Sn＝na1 求和．
2020年年数学人教A版必修五优化课件第二章等比数列的前n项和公式的性质及应用
对等比数列求和的项数用错致误 [典例] 在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 87 项和 S87＝140，则 a3 ＋a6＋a9＋…＋a87＝________.
[ 解 析 ] 法 一 ： a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a87 ＝ a3(1＋ q3 ＋ q6 ＋ … ＋ q84) ＝ a1q2·1－1－qq3329＝1＋qq2＋q2·a111－－qq87＝47×140＝80.
在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算， 本题的法四运用了当 q≠－1 时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍 成等比数列，公比为 qm；法二运用了等比数列的性质：Sm＋n＝Sn＋ qnSm；法三运用了等比数列的性质：当 q≠±1 时，1－Smqm＝1－Snqn.
列的性质的由来． 并能应用．
2．理解等比数列的性质并能应用． 难点：掌握等比数列的性质
3．掌握等比数列的性质并能综合应 并能综合应用.
用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为 q. (1)两项关系：an＝ am·qn－m (m，n∈N*)． (2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝ apaq . (3)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap 成等比数列．
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
4.3.2等比数列的前n项和公式(2)课件-高二人教A版数学选择性【05】
4
把q5 4代入（1）得 a1 10 1q 3
所以S15
a1(1 q15 ) 1 q
a1 1 q
(1
(q5 )3 )
( 10) (21) 3
210
法2：利用性质速解（自主完成）
变式 2．已知各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
S10＝10，S30＝70，则 S40＝ ( )
数列的前n项和公式解决
实际问题
温故知新：等比数列的前n项和Sn
Sn
a1
na1 (1 q
n
(q )
1 q
1) (q 1)
因为a n
a1q n1 , 所以Sn
a1 anq 1q
注意：
(q 1)
1.当q≠1时，基本量a1,an,q,n,Sn；知三求二
2.使用公式求和时，需注意对q=1和q≠1的情况加以 讨论；
S3n S2n 3na1 2na1 na1
所以Sn，S2n Sn ，S3n S2n 成等比数列，公比为 1.
当q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
S2n
Sn
a1 (1 1
q2n ) q
a1(1 qn ) 1 q
a1qn (1 qn ) 1 q
qnSn
S3n
S2n
a1 (1 1
q3n q
2. Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0, q≠－1或k不是偶数时, 则Sk, S2k－Sk, S3k－S2k(k∈N*)是等比数列. 性质：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝Sn＋Sm－m Sn(q 为公比.
基础巩固练习
1.若等比数列{an}中，Sn＝m·3n－5，则实数m＝__5___.
等比数列的前n项和(二)
课前训练
1 1 1 的前n项和 求等比数列 1, , , ,…的前 项和 n. 的前 项和S 2 4 8
例题1: 例题1: 变式1: 变式1:
n 17 3 5 9 2 +1 的前n项和 项和S 求数列 2 , , 8 , 16,… 2 n 的前 项和 n. 4
若数列{a 的通项a 项和S 若数列 n} 的通项 n =2n+n，求其前 项和 n. ，求其前n项和
变式2 学案与测评》 变式2：《学案与测评》P32 第7题 题
求数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1 ,…的前 求数列 的前 n项和 n. 项和S 项和
Байду номын сангаас
例题2: 例题2:
若数列{a 的通项a 求其前n项和 项和S 若数列{an} 的通项an =n2n，求其前n项和Sn.
变式1： 变式1
课外练习: 课外练习:
《学案与测评》P32 学案与测评》 “举一反三”第2题, ”能力提高”第8题, 举一反三” 能力提高” 举一反三 题 能力提高 题 ”拓展延伸”第9题 拓展延伸” 拓展延伸 题
课外作业
课本P61 课本P61 第4题
等比数列的前n项和
na1 等比数列{a 中 当公比 当公比q=1时,Sn=_________; 等比数列 n}中,当公比 时 n a1 an q a1（1-q ) （ 当公比q≠1时,Sn=________________=________________; 当公比 时 1-q 1 q
等比数列的前n项和 的公式推导过程中， 等比数列的前 项和Sn的公式推导过程中，用 项和 了什么方法?___________ 了什么方法 错位相减法
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
【高中数学】第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)
4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增． 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√)(2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－n (n ＋1)2.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n .1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79， 则AB＝q ＝3，即A ＝3B ． 又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________.70 解析：(方法一)设数列{a n}的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q20)1－q＝30.两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a 11－q＝－10. ∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝(30－10)210，即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1 ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝⎛⎭⎫1－13＋32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＋…＋32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＝32n －34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＝3(2n －1)4＋14×⎝⎛⎭⎫13n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？ 解：设该数列的第n 项为a n ，则 a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， 所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝2×(1－210)1－2－2×(1－24)1－2＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， 从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1， 所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n (3n －1)2＋1－4n 1－4＝n (3n －1)2＋4n －13. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)， 化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)由(1)知，na n ＝3n ⎝⎛⎭⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3n ⎝⎛⎭⎫12n －1， 12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋3n ⎝⎛⎭⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3×⎝⎛⎭⎫12n －1－3n ⎝⎛⎭⎫12n ＝3×1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－3n ⎝⎛⎭⎫12n ＝6－6＋3n 2n. 所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 所以1S n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11，由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b 1b 11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立． 又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8， 而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a 3a 2＝2，a 1＝a 2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S 2 019S 1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )， 即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S 2 019S 1＝a 1[1－(－1)2 019]1＋1a 1＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1. (2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝⎛⎭⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系．3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q1－q＝1－a n ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋1q 2＋1q 3＝q 3＋q 2＋q ＋1a 1q 3＝a 1(q 3＋q 2＋q ＋1)a 21q 3＝158－98＝－53. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，∴前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n －1＋12n .6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( ) A ．978 B ．557 C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d . ∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝1，a 2＋b 2＝1，a 3＋b 3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )．∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋10×(0－9)2＝978.知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( ) A ．1 033 B ．1 034 C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1， ∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29 ＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1) ＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4， ∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12.9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( ) A ．a 1＝－1 B ．公比q ＝－2 C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1. ∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ， ∵S 3＝a 1·(1－q 3)1－q ＝2，S 6＝a 1·(1－q 6)1－q ＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2， ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33. 11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C) D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )， 即(B －A)2＝A(C －B)， ∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( ) A ．66 B ．55 C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)． 又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1. ∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1. ∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，首项为1，公比为12，∴T 5＝1×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝3116.14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝a 1(1－25)1－2＝1，∴a 1＝131.∴S 10＝a 1(1－210)1－2＝131×1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3. 又因为a 3＝5，所以公差d ＝2. 从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3. 从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1， 分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1.若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1. ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 若q 3＝－12，则2S 3＝3a 11－q ，S 6＝34a 11－q ，S 12－S 6＝316a 11－q.∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a 11－q 2＝3a 11－q ·316a 11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列 (60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误 [防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0. [对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列． 证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，① a 23＝a 2·a 4，②2a 4＝1a 3＋1a 5.③ 由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，∴a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤由④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a 5. ∴a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5. 又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列． 易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误 [防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同； (2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数． [对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0， ∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a 5a 2＝q 3＝27，∴q ＝3，∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＝－2＋a 2，2a 2＝a 1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，a 2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列， ∴b 22＝－2×(－8)＝16， ∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a 2－a 1b 2＝－6－(－4)－4＝12.易错点3| 忽视对公比q 的讨论 [防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；当公比q ＝1时，S n ＝na 1. [对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，1－an 1－a，a ≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a n1－a . ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，1－a n 1－a，a ≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n . 解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝4，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝4，①a 1(1－q 6)1－q＝36.②由②①得1－q 61－q 3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47.∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3， ∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3， ∴q ＝a 3a 2＝1.9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( ) A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2， ∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12.11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( ) A ．13 B ．－76 C ．46D ．76B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130 C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋2324，∴当n ＝11或12时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3，所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋3(1－31 009)1－3＝31 010－2.14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( )A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝⎛⎭⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4. 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12， 解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5， 故a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0， ∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a 2q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2×3n －1－n ， ∴S n＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－n (1＋n )2＝3n －1－n 2＋n2.18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5·3n －2，n ≥2，n ∈N *.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5n ·3n －2，n ≥2，n ∈N *. T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，① 3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，② ①－②得－2T n＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×3(1－3n －2)1－3－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
重难探究•能力素养全提升
探究点一 等比数列前n项和的性质的应用
【例1】 (1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=
.
(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,
且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=
.
(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等
又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,
故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
探究点二 等比数列的前n项和的实际应用
【例2】 某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第
一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款
=(a1+a3+…+a99)+q(a1+a3+…+a99)=(1+q)(a1+a3+a5+…+a99).
∵S100=36,q=2,
∴3S=36,∴a1+a3+a5+…+a99=12.
5.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵
数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(n∈N+)为
学建模求解等比数列问题.
3.常见误区:不能正确地使用等比数列的性质;涉及与数列有关的数学问题,
不能准确地转化为等比、等差数列问题.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于(
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1－qn1－q，它可以变形为S n ＝－a 11－q·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的取值是什么？[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为13，∴k ＝－13.2．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n－A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q . ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.[基础自测]1．思考辨析(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q ＝2.( )(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1－1，则a ＝1.( )(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×提示：(1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________. 2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【导学号：91432227】(－2)n －1[当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， 所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35，即a 5＋b 5＝35.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列前n 项和公式的函数特征应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )【导学号：91432228】A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n＝a ，∴数列{a n }是等比数列．] ）已知）若数列q n－，其中跟踪训练1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.－13 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n－1)， 又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.]等比数列前n 项和性质的应用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？提示：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍组成等比数列．2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？ 提示：由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q .(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21 D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________【导学号：91432229】思路探究：(1)由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列求解．(2)利用S 偶S 奇＝q ，及S 2n ＝S 奇＋S 偶求解． (1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21. ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28. (2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.]母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－x ，－x2＝x －y －，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q ＝3，S 80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128”求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12， 又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3128⇒12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12. 则此等比数列的项数为12.分组求和法已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了． [解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.2．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【导学号：91432230】[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n n ＋2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3A [设S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，∴S 10－S 5＝－k .由S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，∴S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.]2．等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为( )【导学号：91432231】A.a 1－q 2n1－qB.a 1－q 3n1－q 3C.a 3－q 3n 1－q3D.a 2－q 2n1－qC [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a 3，a 6，…，a 3n 是等比数列，且首项为a 3，公比为a 6a 3＝q 3，再用等比数列的前n 项和公式求解，即S n ＝a 3－q 3n1－q3，故答案为C 项．]3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. －63 [通解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32.所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.优解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－－261－2＝－63.]4．数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为________.【导学号：91432232】n －1＋12n [通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12n＝1－12n∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝n －1＋12n .]5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列． 由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。
4.3 4.3.2 第二课时 数列求和[习题课]公开课
![4.3 4.3.2 第二课时 数列求和[习题课]公开课](https://img.taocdn.com/s3/m/bf895af3b9f67c1cfad6195f312b3169a451ea2c.png)
1．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求
得其和．
2．裂项求和的几种常见类型：
(1)n（n1＋k）＝1kn1－n＋1 k；
(2)
1 n＋k＋
n＝1k
n＋k－
n；
(3)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1；
(4)若{an}是公差为 d 的等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 选条件①： (1)∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d＞1， ∴a21a＋1＋2d5＝ d＝5，6b1q＝6a1d，解得ad1＝＝21，或ad1＝＝152265，(舍去)，∴bq1＝＝21，， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
第四
章
数列
4．3 等比数列 4．3.2 等比数列的前 n 项和公式
第二课时 数列求和(习题课)
分组转化法求和
[例 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N *. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和．
[解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n. a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n. (2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式(第2课时) 分层作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n 项和公式(第2课时)分层作业(原卷版)(50分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于()A ．35B ．53C ．－35D ．－533.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.知识点2分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为()A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n－16．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为()A ．978B ．557C ．467D ．979知识点3等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝()A ．1033B ．1034C ．2057D ．20588．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a1＝()A．2B．－2C．12D．－129．(5分)(多选)已知{a n}为等比数列，S n是其前n项和．若a2a3＝8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则()A．a1＝－1B．公比q＝－2C．a4＝8D．S5＝31能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于()A．－3B．5C．－31D．3311．(5分)设等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则() A．A＋B＝C B．B2＝ACC．A＋B－C＝B2D．A2＋B2＝A(B＋C)12．(5分)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则数列{log2a n}的前12项和等于() A．66B．55C．45D．613．(5分)已知{a n}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，n项和为T n，则T5＝() A．3116B．31C．158D．15414.(5分)在等比数列{a n}中，公比q＝2，前n项和为S n，若S5＝1，则S10＝________.15.(5分)若等比数列{a n}的前n项和S n＝2×3n＋r，则r＝________.16.(12分)已知等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和为S n，且a3＝5，S3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)等比数列{b n}(n∈N*)，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{a n＋b n}的前n项和T n.17.(13分)已知数列{a n}是等比数列，S n是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n 项和公式(第2课时)分层作业(解析版)(50分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q 1－q ＝1－a n ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于()A ．35B ．53C ．－35D ．－53D解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝＋1q ＋1q 2＋＝q 3＋q 2＋q ＋1a 1q 3＝a 1(q 3＋q 2＋q ＋1)a 21q3＝158－98＝－53.3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11.知识点2分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为()A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝21－12＝1－12n ，∴前n 项和S n…＝n ＋14＋…＝n －1＋12n .6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为()A ．978B ．557C ．467D ．979A解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d .∵c n ＝a n ＋bn 1＋b 1＝1，2＋b 2＝1，3＋b 3＝2，1＝1，＝－1，＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )．∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋10×(0－9)2＝978.知识点3等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝()A ．1033B ．1034C ．2057D ．2058A解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1033.8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝()A ．2B ．－2C ．12D ．－12D解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12.9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则()A ．a 1＝－1B ．公比q ＝－2C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1.∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33D解析：设{a n }的公比为q ，∵S 3＝a 1·(1－q 3)1－q ＝2，S 6＝a 1·(1－q 6)1－q ＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33.11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则()A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C)D解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)，∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于()A ．66B ．55C ．45D ．6A解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1.∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1.∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，n 项和为T n ，则T 5＝()A ．3116B ．31C ．158D ．154A解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.1，公比为12，∴T 51－12＝3116.14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33解析：∵S 5＝a 1(1－25)1－2＝1，∴a 1＝131.∴S 10＝a 1(1－210)1－2＝131×1023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－ 2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n .解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3.又因为a 3＝5，所以公差d ＝2.从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3.从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1.若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1.∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12，则2S 3＝3a 11－q ，S 6＝34a 11－q ，S 12－S 6＝316a 11－q .34a 11－q 2＝3a 11－q ·316a 11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．。
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
4.若等比数列{an}的公比为13，且 a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前 100 项 和为__8_0__.
解析 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 由等比数列前 n 项和性质知XY＝q＝13， 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有
这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思
是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二
天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那
解析 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， ∴S7＝a111－－227＝381，解得 a1＝3.
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
随堂演练
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
部杀死至少需要
A.6秒钟
B.7秒钟
√C.8秒钟
D.9秒钟
1234
解析 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列， 设需要n秒细菌可将病毒全部杀死， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200， ∴11－－22n≥200， ∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8， 即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.
解析 由SS奇偶＝2，S 偶－S 奇＝100 可知 S 偶＝200，S 奇＝100，故 S2n＝300.
高中数学第一章数列3.2等比数列的前n项和第2课时数列求和习题课数学
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＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
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规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
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【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.
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(2)由题意知：S2n＋1＝（2n＋1）（2 b1＋b2n＋1）＝(2n＋1)·bn＋1， 又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以 bn＝2n＋1. 令 cn＝bann，则 cn＝2n2＋n 1， 因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋252＋273＋…＋22nn－－11＋2n2＋n 1， 又12Tn＝232＋253＋274＋…＋2n2－n 1＋22nn＋＋11，
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错位相减法求和 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝6， a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n＋1＝ bnbn＋1，求数列bann的前 n 项和 Tn.
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【解】 (1)等比数列{bn}的公比 q＝bb32＝93＝3， 所以 b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27. 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以 1＋13d＝27，即 d＝2. 所以 an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
人教A版高中数学选择性必修第二册 分层作业册精品课件 第四章 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
a1a2a3=-27,则a5=( D )
A.81
B.24
C.-81
D.-24
解析 由等比数列的性质可得a1a2a3= 23 =-27,解得a2=-3.设等比数列{an}
的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n-1),所以q=2,所以
为1,且4a5,a3,2a4成等差数列,则{an}的前6项和为( C )
A.31
31
B.32
63
C.32
D.63
解析 ∵4a5,a3,2a4成等差数列,
∴2a3=4a5+2a4,
又正项等比数列{an}的首项为1,
∴2q +q-1=0,解得
2
1
q= 或
2
q=-1(舍去),
6
1
1×[1-( ) ]
1 (1-6 )
10 -1
5 -1
10
q≠1,S10=
,S5= ,所以
1-
1-
5
10-1
31
1
1-
5
=q +1=32,解得 q=-2.
5
-1
1-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
=
6.[探究点二·2024黑龙江大庆校级高三模拟]已知正项等比数列{an}的首项
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则
等比数列前n项和的性质及应用 第2课时
答案 设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n ＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn ＝qn(S2n－Sn)， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于 1的常数)，
求证：数列{an}为等比数列.
证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)· an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)· an－1，n∈N*.
an＋1 ∴ a ＝a， n
∴数列{an}是等比数列.
③
解答
命题角度2 不连续n项之和问题
例3
a1＋a3＋a5＋a7 1 已知等比数列{an}的公比 q＝－3，则 等于 a2＋a4＋a6＋a8 1 B.－3 C.3 1 D.3
√
A.－3
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q ＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
a1＋a3＋a5＋a7 1 ∴ ＝q＝－3. a2＋a4＋a6＋a8
n 项和.
1 2 3 n 解 设 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n， n－1 1 1 2 n 则有2Sn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ n＋1， 2 1 1 1 1 1 n 两式相减，得 Sn－2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－ n＋1， 2 1 1 1 － n 2 2 1 1 n n 即2Sn＝ － n＋1＝1－ n－ n＋1. 1 2 2 2 1－2 n＋2 1 n ∴Sn＝2－ n－1－2n＝2－ 2n . 2
4.3.2.1等比数列的前n项和课件(人教版)
易错辨析 忽略对公比 q 的讨论致误 例 5 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________. 解析：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意，此时 a3＝a1＝2. 若 q≠1 时，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝－2，此时 a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上 a3 的值为 2 或 8. 答案：2 或 8
2．已知等比数列{an}的首项 a1＝3，公比 q＝2，则 S5 等于( ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：S5＝a111－－qq5＝311－－225＝93.故选 A. 答案：A
3．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝1，S6＝9，则公 比 q＝________.
(4)当 q≠－1 时，连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…) 仍组成__等__比____数列(公比为__q_m_____，m≥2)，注意：这连续 m 项
的和必须非零才能成立．
笔记小结 (1)当 q ＝ －1 且 k 为偶数时，Sk，S2k －Sk，S3k －S2k，…不 是等比数列； (2)当 q≠ －1 时，或 q ＝ －1 且 k 为奇数时，Sk，S2k －Sk， S3k －S2k，…是等比数列．
解 析 ： S6 － S3 ＝ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ (a1 ＋ a2 ＋ a3)q3 ＝ S3·q3 ＝ 1×q3 ＝ 8.∴q＝2.
答案：2
题型一 等比数列前 n 项和的基本运算 例 1 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.
高中数学第二章数列第5节等比数列的前n项和第2课时数列求和(习题课)课件新人教A版3必修5
(2)cn＝(3n－2)·2n－1， Tn＝1·20＋4·21＋…＋(3n－2)·2n－1， 2Tn＝1·21＋4·22＋…＋(3n－2)·2n， ∴－Tn＝1＋3×(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n ＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n ＝(5－3n)·2n－5， Tn＝(3n－5)·2n＋5.
4n，
（x（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n. （x≠±1）
当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数 列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这 些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组 求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列 前 n 项和的和．
讲一讲 3．等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝10，a2 为整 数，且 Sn≤S4. (1)求an的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列bn的前 n 项和 Tn.
[尝试解答] (1)由 a1＝10，a2 为整数知：等差数列an 的公差 d 为整数．又 Sn≤S4，故 a4≥0，a5≤0；
和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2．本节课的难点和易错点是“错位相减法”和 “奇偶并项求和法”．如讲 2 和讲 4.
第 2 课时 数列求和（习题课）
[思考]
若数列 c 是公差为 n
d
的等差数列，数列bn
是公比为 q(q≠1)的等比数列，且 an＝cn＋bn，如何求数
列 a 的前 n 项和？ n
名师指津：数列 a 的前 n 项和等于数列 c 和 b n
n
n
的前 n 项和的和．
＝
1 3
＋3×31211－－313n1－1
－
(3n
高中数学北师大版(新)必修第一册 第四章 数 列 课件 第2课时 等比数列前n项和公式的应用
(3)自然数的和、平方和、立方和
nn＋1 1＋2＋3＋…＋n＝_______2______.
nn＋12n＋1 12＋22＋32＋…＋n2＝_________6_________.
【评价自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时使用公式 Sn＝na12＋an
较为合理．( )
(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝a11－－aqn＋1.(
)
(3)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.(
答案：(1)56 (2)15
2＋n (3)2－ 2n
(4)20＋2110
【题型探究】
题型一 分组求和法求和
例 1 已知数列{cn}：112，214，318，…，试求{cn}的前 n 项和． [解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝nn＋ 2 1＋1211－－1212n＝nn＋ 2 1＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
nn＋12 13＋23＋33＋…＋n3＝______2_______.
知识点二 倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或 等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用___倒__序__相__加__法____， 如_等__差___数列的前 n 项和即是用此法推导的． 知识点三 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个_等__差___数列和一个_等__比___数列的对应项 之_积__构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如_等__比___数 列的前 n 项和就是用此法推导的．
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
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二、等比数列前n项和的应用
例2.如果一个等比数列的前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么
它前15项的和等于多少？
思路一：
利用等比数列的前n项和公式
Sn
a1 1 q n 1 q
思路二： 利用等比数列的前n项和公式的变形 S n = A Aqn
思路三： 利用等比数列的前n项和公式的性质
中项式 前n项和公式
若m+n=k+s,则
am+an=ak+as
Sn
na1
2
an
na1
nn 1 d
2
若m+n=k+s,则
a m a n = a k a s
Sn
a1 1 qn 1 q
a1 anq q 1
1 q
二、等比数列前n项和的应用
例1.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售
若Sn是等比数列{an}的前n项和，若连续m项的和不等于0， 则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍组成等比数列，且公比为qm.
二、等比数列前n项和的应用
练习2.等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（D ）
A.A+B=C
B.B2=AC
C.(A+B)-C=B2
D.A2 +B2 =A(B+C)
注意： 找出基本量！！！
解得n≈5（年）.
答：大约5年可以使总销售量达到30000台.
二、等比数列前n项和的应用
练习1：某企业去年产值是138万元，计划今后5年内每年比上一年产值
增长10%，这5年的总产值是多少？
提示：a1=138（1+10%）=151.8
答：这5年的总产值是1518（1.15-1）万元.
注 意：
对公比q的讨论！
[错解] 由等比数列的前 n 项和公式得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6，
∴1－q11－＋qq＋q2＝3，∴1＋q＋q2＝3，∴q2＋q－2＝0.∴q＝－2 或 q＝1(舍
去)∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
[正解] 若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式，得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1， a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
二、等比数列前n项和的应用
练习4.若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+a5+…+a99=60,求{an}的前100项和.
解： 令
X=Ya=1a+2a+3a+4a+05a+6……++aa19090=6
则Байду номын сангаасS100=X+Y 由等比数列的前n项和性质知
Y q1
X
3
∴Y=20
即 S100=X+Y=80
等比数列的前n项和
随堂巩固 1.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于( A)
A.
B.
C.
D.
2.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( A )
A. 4
B. －4
C. 2 D. －2
等比数列的前n项和
随堂巩固
3.已知等比数列{an}的前n项和
等比数列的前n项和
课后作业
1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.
2.已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保 留到个位）？
解：由题意知，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中
a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000
于是得到 5000 11.1n 30000 1 1.1
整理，得1.1n=1.6
人教A版 必修五
第二章 数列
2.5 等比数列的前n项和
第2课时 等比数列的前n项应用
等比数列 复习回顾
数列
等差数列
定义式
an+1-an=d
公差（比）
d 叫公差
等比数列
an1 q an
q叫公比
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
an=a1qn-1 an=amqn-m
二、等比数列前n项和的应用
例3.已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，
偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解：设该等比数列为{an}．公比为 q，项数为 n，由 题意得：
SS偶奇＝aa1＋2＋aa3＋4＋……＋＋aan－n 1＝q＝18750＝2，∴q＝2 Sn＝a111－－qqn＝2n－1＝85＋170＝255. ∴2n＝256，∴n＝8.
an＝n＋2 1.
(2)由(1)得 b1＝1，b4＝a15＝15＋ 2 1＝8.设{bn}的公比为 q，则 q3＝bb41＝8，从而 q＝2.故{bn}的前 n 项和 Tn＝b111－－qqn＝1×1－1－22n＝2n－1.
二、等比数列前n项和的应用
例5.已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
二、等比数列前n项和的应用
练习5.已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝
9.
2
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋3×2 2d＝92，
化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝32，解得 a1＝1，d＝12，故通项公式 an＝1＋n－2 1，即
则m＝( C)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.则数列{an}的通项 公式为 a1 n＝3.n－
7.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于 170 .
等比数列的前n项和 课后作业
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6 成 等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列.
二、等比数列前n项和的应用
练习3.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，
求该数列的公比q.
解析： 由题意知 S 奇＝S 偶＋80， 则 S2n＝S 偶＋S 奇＝2S 偶＋80＝－240， ∴S 偶＝－160，则 S 奇＝－80，∴q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
Sn
t 5n，2则 实1 数t的值为( 5
)
B
A.4 B.5 C.
D54.0
4.已知等比数列｛an｝的公比q = 12，且a1+a3+a5+…+a99=60，则
a1+a2+a3+a4+…+a100等于( B )
A.100 B.90 C.60 D.40
等比数列的前n项和 随堂巩固
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，
二、等比数列前n项和的应用
例4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝
a5. (1)求{an}的通项公式； (2[解)求析和] ：(1b)1设＋等b差3＋数b列5＋{a…n}的 ＋公b2差n－为1. d.
因为 a2＋a4＝10，所以 2a1＋4d＝10， 解得 d＝2，所以 an＝2n－1. (2)设等比数列{bn}的公比为 q， 因为 b2b4＝a5，所以 b1qb1q3＝9， 解得 q2＝3. 所以 b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 从而 b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－2 1.