不定积分经典习题

第六次习题课
通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。

3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计
算。

4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。

⎧ 一、知识网络图 ⎧
原函数 ⎪
⎪
⎪1.基本概念⎨不定积分
⎪ ⎪
⎪ ⎩不定积分的几何意义
⎪ 不
不定积分的性质 ⎪2.性质与公式⎨
⎪
⎧ ⎩基本积分公式
⎪
直接积分法
⎪
⎪
⎧第一换元积分法(凑微分法)
⎨
⎪
⎪
⎪换元积分法⎨
积 ⎪3.计算方法⎨
⎩第二换元积分法
⎪
⎪
⎪ ⎪分部积分法
分
⎪
⎪
⎪
⎧
有理函数积分
⎪
⎪
⎪
4.特殊函数的积分⎨三角函数有理式积分
⎪
⎪
某些无理函数积分
⎪
⎩ ⎩
一、求不定积分：
例 1. 计算 ⎰ 2 arctan e x dx .
e 2 x
提示： ⎰
2 arctan e x
- ⎰ arctan e x
de -2 x
= -[ e -2 x
arctan e x
- ⎰
de x
dx =
]
e 2 x e 2 x (1 + e 2 x ) -2 x x de
x
de x = -[ e arctan e - ⎰ e
2 x +
⎰ ]
(1 + e 2 x )
= - e -2 x
arctan e x
- 1
- arctan e x + C
e x
例 2．计算 ⎰ 1 dx
x (1 + x )
1
[解一] ⎰ 1 dx = ⎰ 1
d (x + 1 ) = ln (x + 1
) + (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 + C x (1 + x ) (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 2 2 2 2
2 2
1
+ x (x + 1) + C
= ln x +
2
[解二] 1
dx = 1
dx =
2d x
= 2 ln( x + 1 + x ) + C 1
⎰
x (1 + x ) ⎰ x
⎰
1 + ( x ) 2
(1 + x )
1
= ln x + + x (x + 1) + C
2
其中 C = C 1 - ln 2
[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。

例 3．计算 ⎰ xe x dx (e x + 1) 2
[解一] 令 e x
= t ，则 ⎰ xe x dx = ⎰ t ln t 1 dt = ⎰ ln t dt (e x + 1) 2 (t + 1) 2 t (t + 1) 2
= - ln t + ⎰[1 - 1 ]dt = - ln t + ln t t + 1 t + 1 t + 1 t
= xe x - ln(e x
+ 1) + C
e x + 1
= ⎰ ln td (- t +1 1) = - 1ln +t t + ⎰ t +1 1 ⋅ 1t dt
- ln(t + 1) + C
[解二] ⎰ xe x dx = ⎰ xd (e x + 1) = ⎰ xd (- 1 ) = - x + ⎰ 1
dx (e x + 1) 2 (e x + 1) 2 e x + 1 e x + 1 e x + 1
= - x + ⎰ e x dx = - x + ⎰ de x
e x +1 e x (e x +1) e x +1 e x (e x +1)
= - x + ⎰ ( 1 - 1 )de x = - x
+ ln e x - ln(e x + 1) + C
e x
+ 1 x e x + 1 e x e + 1 = xe x - ln(e x
+ 1) + C
e x + 1
[方法小结] 被积函数中含有 e x 的不定积分，可令 e x = t , 从而将积分化为其它易积的
积分。

另一方面，当用分部积分法，其中 u , dv 难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成
f '(ϕ ( x ))d ϕ ( x ) 的形式，从而 dv = df (ϕ ( x )) 。

例 4．计算 ⎰ x 2 (1 + x 2 )dx
.
2
arctan x
[解一] 令 arctan x = t ，即 x = tgt ，则 dx =sec 2
tdt
⎰ arctan x dx = ⎰
t sec 2
tdt = ⎰ t cot 2
tdt = ⎰t (csc 2
t -1)dt
x 2
(1 + x 2
) tan 2
t ⋅ sec 2
t
= - ⎰ td cot t - ⎰ tdt = -t cot t + ⎰ cot tdt - t 2
2
= -t cot t + ln | sin t | - t 2 + C
2
= - arctgx + ln | x | - (arctgx ) 2 + C
x 1 + x 2 2
[解二] ⎰ arctan x dx = ⎰ ( 1 - 1 ) arctan xdx
= ⎰ arctan x
dx - ⎰arctan xd arctan x x 2 (1 + x 2 ) x 2 1+ x 2 x 2
=
⎰ arctan x (arctan x )2 1 (arctan x )2
x 2 dx -
2 = - ⎰ arctan xd x -
2
= - arctan x
+ ⎰
1
dx - (arctan x )2
x x (1 + x 2 ) 2
令 x = 1
，则 ⎰
1 dx = -⎰ t dt = -
1 ⎰ 1 d (t
2 + 1) = - 1 ln(t 2 + 1) + C x (1 + x 2 ) t 2 2 t 2 t + 1 + 1 2
= ln | x
| +C
1 + x 2
从而原式= - arctan x + ln | x | - (arctan x )2 + C 。

x 1+ x 2 2
[方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。

另
若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。

例 5. 计算 ⎰
1 + sin x
dx 1 + cos x
[分析一]本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。

解一 ] 令 t = tan x ，则 sin x = 2t ,cos x = 1-t 2
, dx = 2dt
2 1+t 2
1+t 2
1+t
2
[
1 + sin x 1 + 2t
2 t 2 + 2t + 1 2t ⎰
1 + t 2
dx = ⎰ dt = ⎰ 2 dt = ⎰ (1 + )dt = t + ln(1 + t 2 ) + C
1 + cos x
1 + 1 - t
2 1 + t 2 1 + t 1 + t 2
1 + t 2
= tan x + ln(1+ tan 2 x ) + C
2 2
3
[分析二] 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和
差化积、积化和差等公式），往往能简化计算。

[解二]
1 +
2 sin x
x
x
⎰
1 +
sin x
dx = ⎰
cos
1
d x + 2 ⎰ sin
d x = tan x - 2 ln | cos x
2 2 dx =
⎰
2 | +C
2 x 1 + cos x
2 cos
2 x cos 2 cos
x 2 2 2
2
2
2
[方法小结] 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数
恒等式进行化简。

前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。

另须注意，本题两种解法
给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。

例 6．计算 ⎰
1 dx
(x - a )(b - x )
[分析一]注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式 作变量替换。

[解一]
1
=
x - a = 1x - a
(x - a )(b - x ) x - a b - x x - a b - x x - a = t , 即 x = a + bt 2 2(b - a )t
dt ,
令
, dx =
b - x 1 + t 2 (1 + t 2 ) 2
1
1+ t 2
2(b - a )t
1
x - a
⎰
dx = ⎰
t (1+ t 2 )2 dt = 2⎰
dt = 2 arctan t + C = 2 arctan
+ C
(x - a )(b - x ) (b - a )t 2 1+ t 2 b - x [分析二]本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。

[解二] ⎰
1 dx = ⎰
2 d x - a = 2⎰ d x - a = 2 arcsin x - a + C
(x - a )(b - x )
b - x (b - a ) - ( x - a ) 2 b - x
[方法小结] 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用
凑微分法。

例 7. 计算 ⎰
1
2
dx
3 + sin x
[分析一] 被积函数分子、分母同除以 sin 2 x ，可化为 csc 2 x 的函数，利用 - csc 2 x = d cot x ，
csc 2 x = cot 2 x +1 可以将积分化简。

1
dx = ⎰ csc 2 x
dx = -⎰ d cot x
1 ⎰
d cot x
[解一] ⎰
= -
3 + sin 2
x (3 csc 2
x + 1) 3 cot 2
x + 4 3 cot 2 x + ( 2
) 2
3
4
= 1 3 arctg
cot x
+ C 。

2
3
[分析二] 被积函数分子、分母同除以 cos 2 x ，可化为 sec 2 x , tan 2 x 的函数，而利用 sec 2 x = d tan x ，可以将积分化简。

[解二]
1
sec 2 x
d tan x 1
d tan x
1 2
tan x
⎰
dx = ⎰
dx = ⎰
=
⎰
=
arctg
+ C
3 + sin 2 x (3sec 2 x + tg 2 x )
4 tan 2 x + 3 4 tan 2 x + (
3 )2
4 3
3 2
2
[方法小结] 当被积函数含有 sin x 或 cos x 的齐次函数时，常从各项中提取 sin 2 x 或 cos 2 x ，凑 成 d tan x 或 d cot x 。

例 8. 计算 ⎰ 1
dx
x 4 1 + x 2
[分析一] 注意到被积函数中根式内外都有 x 的幂次，可尝试用倒代换。

[解一]令 x =
1
t ，则
⎰
1
dx = - ⎰ t 3 dt
1 ⎰ t
2 dt 2 2
1 ⎰ udu 1 ⎰ u + 1 - 1 = -
2 u = t - 2 = - 2 du x 4 1 + x 2 1 + t 2 1 + t 2 1 + u 1 + u
= - 1 ⎰ 1 ⎰ 1 1 3 1
1 + udu + du = - (1 + u )
2 + (1 + u ) 2 + C
2 2 1 + u 3
1 3 1 (1 + x
2 )
3 1 + x 2 = - (1 + t 2 ) 2 + (1 + t 2 ) 2 + C = - + + C
3 3x 3
x
[分析二]本题也可以用三角代换，令 x = tan t ，则根式下可化为 sec 2 x 。

从而
被积函数可化为 sin x 、 cos x 的函数。

[解二] 令 x = tan t ，
⎰
1
dx = ⎰ cos 3 t
dt = ⎰ 1 - sin 2 t d sin t = ⎰ d sin t - ⎰ d sin t = - 1 (sin t ) -3 + 1 + C x 4 1 + x 2 4 t 4 t 4 t 2 t 3 sin t sin sin sin sin
= -
1 ( sec t )
3 + sec t
+ C = - (1 + x 2 )3 + 1 + x 2 + C
3x 3 x
3 tan t tan t
[方法小结] 被积函数中含有 x 的幂次，可尝试用倒代换，如果出现 (x 2 ± a 2 ) ， (a 2 - x 2 ) 或
(x 2 ± a 2 ) ， (a 2 - x 2 ) 则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。

例 9. 计算 ⎰ 1 - x ⋅ 1
dx
1 + x x 5。