不定积分经典习题

第六次习题课

通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。

3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计

算。

4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。

⎧ 一、知识网络图 ⎧

原函数 ⎪

⎪

⎪1.基本概念⎨不定积分

⎪ ⎪

⎪ ⎩不定积分的几何意义

⎪ 不

不定积分的性质 ⎪2.性质与公式⎨

⎪

⎧ ⎩基本积分公式

⎪

直接积分法

⎪

⎪

⎧第一换元积分法(凑微分法)

⎨

⎪

⎪

⎪换元积分法⎨

积 ⎪3.计算方法⎨

⎩第二换元积分法

⎪

⎪

⎪ ⎪分部积分法

分

⎪

⎪

⎪

⎧

有理函数积分

⎪

⎪

⎪

4.特殊函数的积分⎨三角函数有理式积分

⎪

⎪

某些无理函数积分

⎪

⎩ ⎩

一、求不定积分：

例 1. 计算 ⎰ 2 arctan e x dx .

e 2 x

提示： ⎰

2 arctan e x

- ⎰ arctan e x

de -2 x

= -[ e -2 x

arctan e x

- ⎰

de x

dx =

]

e 2 x e 2 x (1 + e 2 x ) -2 x x de

x

de x = -[ e arctan e - ⎰ e

2 x +

⎰ ]

(1 + e 2 x )

= - e -2 x

arctan e x

- 1

- arctan e x + C

e x

例 2．计算 ⎰ 1 dx

x (1 + x )

1

[解一] ⎰ 1 dx = ⎰ 1

d (x + 1 ) = ln (x + 1

) + (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 + C x (1 + x ) (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 2 2 2 2

2 2

1

+ x (x + 1) + C

= ln x +

2

[解二] 1

dx = 1

dx =

2d x

= 2 ln( x + 1 + x ) + C 1

⎰

x (1 + x ) ⎰ x

⎰

1 + ( x ) 2

(1 + x )

1

= ln x + + x (x + 1) + C

2

其中 C = C 1 - ln 2

[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。

例 3．计算 ⎰ xe x dx (e x + 1) 2

[解一] 令 e x

= t ，则 ⎰ xe x dx = ⎰ t ln t 1 dt = ⎰ ln t dt (e x + 1) 2 (t + 1) 2 t (t + 1) 2

= - ln t + ⎰[1 - 1 ]dt = - ln t + ln t t + 1 t + 1 t + 1 t

= xe x - ln(e x

+ 1) + C

e x + 1

= ⎰ ln td (- t +1 1) = - 1ln +t t + ⎰ t +1 1 ⋅ 1t dt

- ln(t + 1) + C

[解二] ⎰ xe x dx = ⎰ xd (e x + 1) = ⎰ xd (- 1 ) = - x + ⎰ 1

dx (e x + 1) 2 (e x + 1) 2 e x + 1 e x + 1 e x + 1

= - x + ⎰ e x dx = - x + ⎰ de x

e x +1 e x (e x +1) e x +1 e x (e x +1)

= - x + ⎰ ( 1 - 1 )de x = - x

+ ln e x - ln(e x + 1) + C

e x

+ 1 x e x + 1 e x e + 1 = xe x - ln(e x

+ 1) + C

e x + 1

[方法小结] 被积函数中含有 e x 的不定积分，可令 e x = t , 从而将积分化为其它易积的

积分。另一方面，当用分部积分法，其中 u , dv 难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成

f '(ϕ ( x ))d ϕ ( x ) 的形式，从而 dv = df (ϕ ( x )) 。

例 4．计算 ⎰ x 2 (1 + x 2 )dx

.

2

arctan x

[解一] 令 arctan x = t ，即 x = tgt ，则 dx =sec 2

tdt

⎰ arctan x dx = ⎰

t sec 2

tdt = ⎰ t cot 2

tdt = ⎰t (csc 2

t -1)dt

x 2

(1 + x 2

) tan 2

t ⋅ sec 2

t

= - ⎰ td cot t - ⎰ tdt = -t cot t + ⎰ cot tdt - t 2

2

= -t cot t + ln | sin t | - t 2 + C

2

= - arctgx + ln | x | - (arctgx ) 2 + C

x 1 + x 2 2

[解二] ⎰ arctan x dx = ⎰ ( 1 - 1 ) arctan xdx

= ⎰ arctan x

dx - ⎰arctan xd arctan x x 2 (1 + x 2 ) x 2 1+ x 2 x 2

=

⎰ arctan x (arctan x )2 1 (arctan x )2

x 2 dx -

2 = - ⎰ arctan xd x -

2

= - arctan x

+ ⎰

1

dx - (arctan x )2

x x (1 + x 2 ) 2

令 x = 1

，则 ⎰

1 dx = -⎰ t dt = -

1 ⎰ 1 d (t

2 + 1) = - 1 ln(t 2 + 1) + C x (1 + x 2 ) t 2 2 t 2 t + 1 + 1 2

= ln | x

| +C

1 + x 2

从而原式= - arctan x + ln | x | - (arctan x )2 + C 。 x 1+ x 2 2

[方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另

若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。

例 5. 计算 ⎰

1 + sin x

dx 1 + cos x

[分析一]本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。

解一 ] 令 t = tan x ，则 sin x = 2t ,cos x = 1-t 2

, dx = 2dt

2 1+t 2

1+t 2

1+t

2

[

1 + sin x 1 + 2t

2 t 2 + 2t + 1 2t ⎰

1 + t 2

dx = ⎰ dt = ⎰ 2 dt = ⎰ (1 + )dt = t + ln(1 + t 2 ) + C

1 + cos x

1 + 1 - t

2 1 + t 2 1 + t 1 + t 2

1 + t 2

= tan x + ln(1+ tan 2 x ) + C

2 2

3