微分几何答案(第二章)

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr

=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕ

ϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑa a a a a a z a y a x

即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；

法线方程为

ϑ

ϑ

ϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有

一个切平面 。

解 椭圆柱面22

221x y a b +=的参数方程为x = cos ϑ, y = asin ϑ, z = t ,

}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= , }1,0,0{=t r

。所以切平面方程为：

01

0cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a t

z b y a x ，即x bcos ϑ + y asin ϑ － a b = 0 此方程与t 无关，对于ϑ的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而ϑ的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

5．证明曲面},,{3

uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证 },0,1{23v

u a r u -= ，},1,0{23uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv

v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv a 2

3)。于是，四面体的体积为：

3

32

9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２ 曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.

解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==

2

222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=

,

∴ I = +++2222)4(du v b a 22

22222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12

==u r E ，0=⋅=v u r r F

，

222b u r G v +==

，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I =2

22sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。 解 由条件=2

ds 2

2

2

sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2

ds 得

=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长

为|sinh sinh ||cosh |

122

1

v v vdv v v -=⎰

。

4．设曲面的第一基本形式为I = 2

2

2

2

)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，2

2a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2

a G =。

曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为ϕ，则有

cos ϕ=

22

222211a a v

G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.

解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r

={1，

0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为ϕ，则有cos ϕ = 20

22020

0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅

6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的

微分方程为E δu + F δv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .