高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析

高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题

一、选择题

1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )

A . π6

B . π3

C . π6或5π6

D . π3或2π3

2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( )

A ．75°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )

A ．一定是锐角三角形

B ．一定是直角三角形

C ．一定是钝角三角形

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )

A . 518

B . 34

C . 32

D . 78

5．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝

2a ，则 ( )

A ．a ＞b

B ．a ＜b

C ．a ＝b

D ．a 与b 大小不能确定

二、填空题

6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.

7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B

＝2，则角A 的大小为________．

8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为

________．

三、解答题

9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .

10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .

（1）求角C 的大小；

（2）又若sin A sin B ＝34

，判断△ABC 的形状．

11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，

且S ＝34

(a 2＋b 2－c 2)． （1）求角C 的大小；

（2）求sin A ＋sin B 的最大值．

答案及解析

1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B ＝π6

. 【答案】A

2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32

. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°. 【答案】B

3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.

∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．

【答案】C

4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为

22＋22－122×2×2＝78. 【答案】D

5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝

(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b .

【答案】A

6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°.

【答案】30°

7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝12

， A ＝π6

. 【答案】π6

8．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12

BC ＝2， ∴在△ABD 中，AD ＝

AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.

【答案】 3

9．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c 2R

，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理 得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 2

2bc

，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，① 由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin B sin C

＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．② 解①②得b ＝4.

10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3

. (2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B ＝34

， ∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．

11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.