高考数学圆锥曲线的经典性质50条(优选.)
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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭 圆
1.
点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2.
PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002
21x x y y a b
+=. 6.
若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的
直线方程是00221x x y y
a b +=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ
∠=，则
椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan
2
F PF
S b γ
∆=.
8.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点
M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11.
AB 是椭圆22
221
x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M
)
,(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a
⋅=-，
即0
2
02y a x b K AB
-=。
12. 若
000(,)
P x y 在椭圆
22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+.
13.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b +=
+. 双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2.
PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若
000(,)P x y 在双曲线
22
22
1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y
a b
-=. 6.
若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过
Po 作双曲线的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b -=.
7.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为
F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10
||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9.
设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q
交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11.
AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为
AB 的中点，
则0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被
Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若
000(,)P x y 在双曲线
22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与
y 轴平行的直线交椭
圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2.
过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
3.
若P 为椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+.