中考数学压轴题_定值问题

定值问题

1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．

（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）．

①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线()2

2y x 4x 3x 21=-+=--，

∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。

（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。

②线段EF 的长度不会发生变化。

∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，

∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k ≠0，∴x 2﹣4x+3=8。解得：x 1=﹣1，x 2=5。

∴EF=x 2﹣x 1=6。∴线段EF 的长度不会发生变化。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。

【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。

（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。

②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。

2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将

正方形ABCD

以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，

连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH

的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中

0≤x≤2.5.

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；

⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

【答案】解：（1）∵CG ∥AP ，∴∠CGD=∠PAG ，则t a n C G D =t a n P A G ∠∠。∴CD PG =GD AG

。 ∵GF=4，CD=DA=1，AF=x ，∴GD=3－x ，AG=4－x 。 ∴

1y =3x 4x --，即4x y=3x --。∴y 关于x 的函数关系式为4x y=3x

--。 当y =3时，4x 3=3x --，解得:x=2.5。 （

2）∵()()121

14x 11113S =GP GD=3x x+2S =GD CD=3x 1x+223x 22222

-⋅⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅=--，， ∴121131S S =x+2x+2222

⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为常数。

（3）延长PD 交AC 于点Q.

∵正方形ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD=45°。

∵PQ ⊥AC ，∴∠ADQ=45°。

∴∠GDP=∠ADQ=45°。

∴△DGP 是等腰直角三角形，则GD=GP 。 ∴4x 3x=

3x

---，化简得：2x 5x+5=0-，解得：55x=2±。 ∵0≤x ≤2.5，∴55x=2-。 在Rt △DGP 中，()0GD

552+10PD==23x =23=22cos45⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭。 【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据题意表示出AG 、GD 的长度，再由tan CGD=tan PAG ∠∠可解出x 的值。

（2）利用（1）得出的y 与x 的关系式表示出S 1、S 2，然后作差即可。

（3）延长PD 交AC 于点Q ，然后判断△DGP 是等腰直角三角形，从而结合x 的

范围得出x 的值，在Rt △DGP 中，解直角三角形可得出PD 的长度。

3. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D(0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式；

(2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；

(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．

【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c ，

则4a 2b+c=04a+2b+c=0c=1-⎧⎪⎨⎪-⎩ 解得1a=4b=0c=1⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

。

∴抛物线对应二次函数的解析式 所以21y=x 14

-。

（2）设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，

∴22112211y =x 1y =x 144--，，∴x 22=4(y 2+1)。

又∵()()2222222222ON x y 4y 1y y 2=+=++=+，∴2ON y 2=+。

又∵y 2≥－l ，∴ON=2＋y 2。

设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为

P 、F ， 则 22y OC NP EF 22

++==， ∴ON=2EF ，

即ON 的中点到直线1l 的距离等于ON 长度的一半，

∴以ON 为直径的圆与1l 相切。

（3）过点

M 作MH ⊥NP 交NP 于点H ，则()()222222121MN MH NH x x y y =+=-+-，

又∵y 1=kx 1，y 2=kx 2，∴（y 2－y 1)2=k 2(x 2－x 1)2。∴MN 2=(1+k 2)(x 2一x l )2。

又∵点M 、N 既在y=kx 的图象上又在抛物线上， ∴21kx=x 14-，即x 2－4kx －4=0，∴x 2＋x 1=4k ，x 2·x 1=－4。

∴MN 2=(1+k 2)(x 2一x l )2=(1+k 2) =16(1+k 2)2。∴MN=4(1+k 2)。

延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作MS ⊥2l 交2l 于点S ，

则MS ＋NQ=y 1＋2＋y 2＋2=22121

1x 1+x 1+444

-- ()()()()

222222*********=x +x +2=x +x 2x x +2=16k +8+2=4k +4=41+k 444⎡⎤-⋅⎣⎦ ∴MS+NQ=MN ，即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。

【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。