函数误差与误差合成
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第三章 误差的合成和分配
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
第三章 误差的合成与分解
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
第9页 页
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
第三章 误差的合成与分配
δ lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
其置信概率与xi相同
证明
（3-16）函数 极限误差公式
3-17
函数的极限误差计算公式
2 2 2 2 2 δ lim y = ± a12δ lim x1 + a 2 δ lim x2 + ⋯ + a n δ lim xn = ± 2 ai2 ⋅ δ lim xi ∑ i =1 n
y为间接测量值
3-7
已定） 一、函数(已定）系统误差计算 函数 已定
的全微分，其表达式为： 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy = ∂f ∂f ∂f ⋅ dx1 + ⋅ dx 2 + ⋯ + ⋅ dx n ∂xi ∂x 2 ∂x n
函数系统误差
∆y 的计算公式
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 + ... + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定） 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
3-6
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定）
间接测量的数学模型
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,… , xn 为各个直接测量值
（3-13）函数 13） 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
∂f 2 2 σ = ∑ ( ) ⋅ σ xi i =1 ∂xi
n 2 y
（3-14） ）
或
令
误差与理论分析实验报告
误差与理论分析实验报告实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。
二、实验原理 （1）正态分布设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)正态分布的分布密度: ()()222f δσδ-=正态分布的分布函数: ()()222F ed δδσδδ--∞=,式中σ-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞-∞==⎰它的方差为:()22f d σδδδ+∞-∞=⎰（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11nni i i i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有:1ni i v ==∑01）残余误差代数和应符合：当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1ni i v =∑为零；当1ni i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1ni i l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
误差理论与数据处理
ห้องสมุดไป่ตู้d1 d2
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差原理第三章误差的传递与合成概要课件.ppt
n
(ai i )2
i 1
第13页，共23页。
二.极限误差的合成
若已知各单项极限误差为的
lim1, lim2 li，mn各个误差互
不相关，且置信概率相同，则总极限误差为
n
(aii )2
i 1
一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据
各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为
s
s
u
(aiui )2 2 ijaia juiu j
i 1
1i j
(2)极限误差的合成
s
s
e t (aii )2 2 ijaia juiu j
i 1
1i j
第17页，共23页。
3.4 系统误差与随机误差的合成
一.按极限误差合成
总
二.按标准差合成
s ei2
i 1
1 n
q
2 i
i ti i i 1, 2 n;
第14页，共23页。
总的极限误差为
t
则
n
t
(ai i)
i 1
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
第15页，共23页。
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成
已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成采 用代数和。
总误差合成
1 2
2
i2
i 1
3
e2j
j 1
1 (12 0.82 ) (12 0.352 0.52 )m 1.48m
2
则测量结果为
L 50.0247mm 0.0015mm
第21页，共23页。
3.5 误差分配
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
1,2, ,q
其相应的误差传递系数为： a1,a2, ,aq
f
f
f
y N x 1 x 1 N x 2 x 2 N ... x n x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将上面方程组中的每个方程平方得到：
y 1 2 x f 1 2
2
x 1 1 2 ... x f n
x n 1 2 2 1 n i j x fi x fj x i1j1
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
h50mm,limh0.05mm
s500mm,lims 0.1mm求测量Leabharlann 果。s2 D= +h
4h
一、函数误差 ➢误差间的相关
各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随 机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关 联对函数总误差的影响大小。
n
ya 1 2 x 2 1 a 2 2 x 2 2 ... a n 2 x 2 n 2 aa ij i j x i x j 1 ij
第三章误差的合成与处理-精品文档
第3章
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
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第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
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以上两种方法，当f是输入量Xi的线性函数时，它们 的结果相同。但当f是Xi的非线性函数时，应采用第一 种的计算方法。
一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f (x1, x2,..., xn )
由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
dy
f x1
dx1
f x2
被测量的近似真值
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
系统误差
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
函数系统误差的计算
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
5计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
第5章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分布的模拟计算 误差合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
误差传递
当要测量截球体的体积时
，最方便的方法是先测量 圆截面的直径d和高度h， 在按下式计算体积V
hd 2 h3
V
2
dx2
...
f xn
dxn
各个直接测得值的系统误差 x1, x2 , , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分
量 dx1, dx2 ,L , dxn
函数系统误差 y 的近似计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1,2,L , n) 为各个输入量在该测量 点 (x1, x2,K , xn ) 处的误差传播系数
4
3
如果在直接测得值d和h中含有误差△d 和
△h ，则由V=f (h，d)计算出的体积V中，也
必然会有误差△V ，而且与 △d 和 △h之间
也有一定的函数关系,这就是误差传递。
误差的合成与分配
由两个（如△h, △d）或多个误差值合并成 一个误差值（如△V），叫作误差的合成。
它是间接测量计算误差的基本方法。
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
f x1 x1, x2 x2 ,L , xn xn
f x1, x2 ,L , xn
f xi
xi
L
y
f xi
xi
L
常见函数的系统误差计算
若函数形式为线性公式
y a1x1 a2 x2 ... an xn
函数的系统误差为
sin cos
正弦函数的角度系统误差公式为
1
cos
n i 1
f xi
xi
【例】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂 检验部门又用高准确度等级的卡尺量 得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
▪ xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用
▪ xi 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi 起到误差单位换算的作用
函数系统误差的计算
直接测得值的系统误差x1, x2 , , xn 对直接测得值进行修正，得到
x10 x1 x1, x20 x2 x2 ,L , xn0 xn xn
若三角函数为
sin f x1, x2,..., xn
可得三角函数的系统误差为
sin
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
在角度测量中，需要求得的误差不是三角
函数误差，而是所求角度的误差。
常见函数的系统误差计算
对正弦函数微分得
d sin cosd
d d sin cos
用系统误差代替相应的微分量，则有
反过来如上例中已知对△V的要求，进而要 确定具体测量时对△h和△d的要求，这就 是误差的分配或误差的分解。
它是设计仪器和装置时不可缺少的步骤， 即从仪器总的精度要求出发，确定仪器各 个组成部分和环节（包括零件、部件和装 调等）的精度要求。
函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量
D f (l,h) l2 h 4h
误差传播系数为
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 2 50
间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函 数，故称这种间接测量的误差为函数误差
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差 的传递问题。而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
间接测量数学模型
某类间接测量的数学模型（显函数）
Y f (X1, X 2 , , X N )
y f (x1, x2,..., xn )
x1, x2,K , xn 与被测量有函数关系的各个直接测 量值及其他非测量值，又称输入量
y 间接测量值 又称输出量
被测量Y的最佳估计值
重复测量时，被测量Y的最佳估计值y，可以有以下两
种方法获得：
第一种方法
y
y
1 n
n k 1
yi
1 n
n k 1
f ( x1k , x2k ,L
, xNk )
第二种方法 y f ( x1, x2,L , xN )
第一种方法适用于输入量彼此相关，输入量受环境 条件在内的影响量的影响
第二种方法适用于输入量不相关，且不受环境条件 的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正
y a1x1 a2x2 ... anxn
式中的各误差传播系数ai为常数。 当ai =1时，则有
y x1 x2 ... xn
函数为各个测得值的和时，其函数系统误 差亦为各测得值系统误差之和。
常见函数的系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函 数关系为三角函数式，它常以 sin 、cos 、tan 等形式出现。
一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f (x1, x2,..., xn )
由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
dy
f x1
dx1
f x2
被测量的近似真值
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
系统误差
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
函数系统误差的计算
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
5计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
第5章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分布的模拟计算 误差合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
误差传递
当要测量截球体的体积时
，最方便的方法是先测量 圆截面的直径d和高度h， 在按下式计算体积V
hd 2 h3
V
2
dx2
...
f xn
dxn
各个直接测得值的系统误差 x1, x2 , , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分
量 dx1, dx2 ,L , dxn
函数系统误差 y 的近似计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1,2,L , n) 为各个输入量在该测量 点 (x1, x2,K , xn ) 处的误差传播系数
4
3
如果在直接测得值d和h中含有误差△d 和
△h ，则由V=f (h，d)计算出的体积V中，也
必然会有误差△V ，而且与 △d 和 △h之间
也有一定的函数关系,这就是误差传递。
误差的合成与分配
由两个（如△h, △d）或多个误差值合并成 一个误差值（如△V），叫作误差的合成。
它是间接测量计算误差的基本方法。
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
f x1 x1, x2 x2 ,L , xn xn
f x1, x2 ,L , xn
f xi
xi
L
y
f xi
xi
L
常见函数的系统误差计算
若函数形式为线性公式
y a1x1 a2 x2 ... an xn
函数的系统误差为
sin cos
正弦函数的角度系统误差公式为
1
cos
n i 1
f xi
xi
【例】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂 检验部门又用高准确度等级的卡尺量 得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
▪ xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用
▪ xi 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi 起到误差单位换算的作用
函数系统误差的计算
直接测得值的系统误差x1, x2 , , xn 对直接测得值进行修正，得到
x10 x1 x1, x20 x2 x2 ,L , xn0 xn xn
若三角函数为
sin f x1, x2,..., xn
可得三角函数的系统误差为
sin
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
在角度测量中，需要求得的误差不是三角
函数误差，而是所求角度的误差。
常见函数的系统误差计算
对正弦函数微分得
d sin cosd
d d sin cos
用系统误差代替相应的微分量，则有
反过来如上例中已知对△V的要求，进而要 确定具体测量时对△h和△d的要求，这就 是误差的分配或误差的分解。
它是设计仪器和装置时不可缺少的步骤， 即从仪器总的精度要求出发，确定仪器各 个组成部分和环节（包括零件、部件和装 调等）的精度要求。
函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量
D f (l,h) l2 h 4h
误差传播系数为
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 2 50
间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函 数，故称这种间接测量的误差为函数误差
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差 的传递问题。而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
间接测量数学模型
某类间接测量的数学模型（显函数）
Y f (X1, X 2 , , X N )
y f (x1, x2,..., xn )
x1, x2,K , xn 与被测量有函数关系的各个直接测 量值及其他非测量值，又称输入量
y 间接测量值 又称输出量
被测量Y的最佳估计值
重复测量时，被测量Y的最佳估计值y，可以有以下两
种方法获得：
第一种方法
y
y
1 n
n k 1
yi
1 n
n k 1
f ( x1k , x2k ,L
, xNk )
第二种方法 y f ( x1, x2,L , xN )
第一种方法适用于输入量彼此相关，输入量受环境 条件在内的影响量的影响
第二种方法适用于输入量不相关，且不受环境条件 的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正
y a1x1 a2x2 ... anxn
式中的各误差传播系数ai为常数。 当ai =1时，则有
y x1 x2 ... xn
函数为各个测得值的和时，其函数系统误 差亦为各测得值系统误差之和。
常见函数的系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函 数关系为三角函数式，它常以 sin 、cos 、tan 等形式出现。