函数误差与误差合成

间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函 数，故称这种间接测量的误差为函数误差
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差 的传递问题。而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
间接测量数学模型
某类间接测量的数学模型（显函数）
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
f x1 x1, x2 x2 ,L , xn xn
f x1, x2 ,L , xn
f xi
xi
L
y
f xi
xi
L
常见函数的系统误差计算
若函数形式为线性公式
y a1x1 a2 x2 ... an xn
函数的系统误差为
Y f (X1, X 2 , , X N )
y f (x1, x2,..., xn )
x1, x2,K , xn 与被测量有函数关系的各个直接测 量值及其他非测量值，又称输入量
y 间接测量值 又称输出量
被测量Y的最佳估计值
重复测量时，被测量Y的最佳估计值y，可以有以下两
种方法获得：
第一种方法
反过来如上例中已知对△V的要求，进而要 确定具体测量时对△h和△d的要求，这就 是误差的分配或误差的分解。
它是设计仪器和装置时不可缺少的步骤， 即从仪器总的精度要求出发，确定仪器各 个组成部分和环节（包括零件、部件和装 调等）的精度要求。
函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
5002 4 50
50
Baidu Nhomakorabea
1300mm
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
D f (l,h) l2 h 4h
误差传播系数为
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 2 50
y a1x1 a2x2 ... anxn
式中的各误差传播系数ai为常数。 当ai =1时，则有
y x1 x2 ... xn
函数为各个测得值的和时，其函数系统误 差亦为各测得值系统误差之和。
常见函数的系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函 数关系为三角函数式，它常以 sin 、cos 、tan 等形式出现。
被测量的近似真值
y0 f (x10 , x20 ,..., xn0 )
系统误差
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
函数系统误差的计算
y y y0 f (x1, x2 ,..., xn ) f (x10, x20,..., xn0 )
第5章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分布的模拟计算 误差合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
误差传递
当要测量截球体的体积时
，最方便的方法是先测量 圆截面的直径d和高度h， 在按下式计算体积V
hd 2 h3
V
2
dx2
...
f xn
dxn
各个直接测得值的系统误差 x1, x2 , , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分
量 dx1, dx2 ,L , dxn
函数系统误差 y 的近似计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1,2,L , n) 为各个输入量在该测量 点 (x1, x2,K , xn ) 处的误差传播系数
若三角函数为
sin f x1, x2,..., xn
可得三角函数的系统误差为
sin
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
在角度测量中，需要求得的误差不是三角
函数误差，而是所求角度的误差。
常见函数的系统误差计算
对正弦函数微分得
d sin cosd
d d sin cos
用系统误差代替相应的微分量，则有
以上两种方法，当f是输入量Xi的线性函数时，它们 的结果相同。但当f是Xi的非线性函数时，应采用第一 种的计算方法。
一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f (x1, x2,..., xn )
由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
dy
f x1
dx1
f x2
4
3
如果在直接测得值d和h中含有误差△d 和
△h ，则由V=f (h，d)计算出的体积V中，也
必然会有误差△V ，而且与 △d 和 △h之间
也有一定的函数关系,这就是误差传递。
误差的合成与分配
由两个（如△h, △d）或多个误差值合并成 一个误差值（如△V），叫作误差的合成。
它是间接测量计算误差的基本方法。
y
y
1 n
n k 1
yi
1 n
n k 1
f ( x1k , x2k ,L
, xNk )
第二种方法 y f ( x1, x2,L , xN )
第一种方法适用于输入量彼此相关，输入量受环境 条件在内的影响量的影响
第二种方法适用于输入量不相关，且不受环境条件 的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正
sin cos
正弦函数的角度系统误差公式为
1
cos
n i 1
f xi
xi
【例】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂 检验部门又用高准确度等级的卡尺量 得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
▪ xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用
▪ xi 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi 起到误差单位换算的作用
函数系统误差的计算
直接测得值的系统误差x1, x2 , , xn 对直接测得值进行修正，得到
x10 x1 x1, x20 x2 x2 ,L , xn0 xn xn