《数学建模》复习思考题答案

（0349）《数学建模》复习思考题答案
一、名词解释
1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

5．测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

7．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。

8．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。

9．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。

10．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。

11．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。

12．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。

13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。

14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。

15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。

16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。

17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。

18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。

二、填空题
1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（）。

答案：原型替代物
2．数学模型是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的（）
（ ）（ ）。

答案：数学公式、图形、算法。

3．机理分析是根据对（ ）的认识，找出反映内部机理的（ ），建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

答案：客观事物特性、数量规律
4．理想方法是从观察和经验中通过（ ）和（ ），把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

答案：想象和逻辑思维
5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（ ）用计算机程序语言模拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行（ ）。

答案：数学规律、定量分析
6．测试分析是将研究对象看作一个（ ）系统，通过对系统（ ）、（ ）数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

答案：黑箱、输入、输出
7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（ ）构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行（ ），间接地研究原型的某些规律。

答案：相似原理、模拟实验
8．用（ ）和（ ）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。

答案：需求曲线、供应曲线
9．数学模型按建模目的有（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）五种分类。

答案：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型
10． Logistic 规律就是用微分方程（ ）描述受环境约束的所谓“阻滞增长”的规律。

答案：)1()(N
x
rx t x -
=& 11．如何用（ ）（ ）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模型叫概率模型。

答案：随机变量、概率分布
12．模型同时包含（ ）和（ ）的数学规划，称为混合整数规划。

答案：连续变量、整数变量
13．从总体抽取样本，一般应满足（ ）（ ）两个条件。

答案：1）随机性；2）独立性。

14．TSP 近似算法有（ ）和（ ）两种。

答案：1）构造型算法；2）改进型算法。

15．序列无约束最小化方法有（ ）和（ ）两种基本方法。

答案：1）SUMT 外点法；2）SUMT 内点法。

三、判断题。

（正确的打R ，错误的打W ）
1．原型和直观模型是一对对偶体。

（ ） W 2．模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。

（ ） R
3．一个原型只能建立一个模型（）W
4．用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模型。

（）R
5．衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。

（）W
6．根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。

（）R
7．寻求公平分配席位方法的关键是建立衡量公平程度的既合理有简明的数量指标。

（）R 8．掌握建模这门艺术。

培养想象力和洞察力只要学习、分析、评价、改造别人作过的模型就可以了。

（）W
9．做数学规划的模型中一般有先分析问题，找出目标函数以及约束条件，从而得出线性规划问题的数学符号及式子等步骤。

（）W 10．传染病一般有模型1（微分方程）；模型2（SI）模型；模型3（SIS）模型；模型4（SIR）模型。

这几种模型中模型1和2是可行的。

（）W
四、问答题
1．数学建模的重要意义是什么？
答案：1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。

2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。

3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。

2．在国民经济和社会活动中那些方面，数学建模有具体的应用？
答案：分析与决策、预报与决策、控制与优化、规划与管理。

3．数学建模的一般步骤是什么？
答案：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

4．数学模型的特点是什么？
答案：模型的逼真性和可行性、模型的渐进性、模型的强健性、模型的可转移性、模型的非预制性、模型的条理性、模型的技艺性、模型局限性
5．数学模型按表现特性有几种分类？
答案：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型
6．数学模型按建模目的有几种分类？
答案：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型。

7．层次分析法的基本步骤是什么？
答案：1）建立层次结构模型2）构造成对比较阵3）计算权向量并做一致性检验。

4）计算组合权向量
8．从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论来看，它有那些优点？
答案：系统性、实用性、简洁性。

9．数学模型是怎样得到数学结构的？
答案：一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

10．简述数学建模与计算机技术的关系？
答案：数学建模与计算机技术有密不可分关系，一方面，新型飞机设计、石油勘探数据处理中数学模型的求解离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的
日常活动，另一方面，以数字话为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真、归纳整理、分析现象、显示结果等，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求求助于数学模型。

11．现实对象与数学模型的关系是什么？
答案：一方面，数学建模是将现象加以归纳、抽象的产物，它原于现实，又高于现实，；另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实践——理论——实践这一循环。

12．掌握建模这门艺术。

培养想象力和洞察力要做好哪两条？
答案：第一，学习、分析、评价、改造别人作过的模型。

第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。

13．在做数学规划的模型中一般有哪些步骤？
答案：先分析问题，决定决策变量、目标函数以及约束条件，从而得出线性规划问题的数学符号及式子。

14． 传染病一般有那几种模型？ 答案：模型1（微分方程）；模型2（SI ）模型；模型3（SIS ）模型；模型4（SIR ）模型。

15．在传染病几种模型中，为什么说模型3、4是可行的？
答案：因为它们比较全面的达到了建模的目的，即描述传播过程、分析感染人数的变化规律，预测传染病高潮期到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段。

16．设人口模型中人口密度函数为p(r,t)那么从时刻0到时刻m r 的人口总数、平均年龄、平均寿命是怎么定义的？ 答案：人口总数N （t ）：⎰⎰
=
=
m
m
r r dr t r rp t N t R dr t r p t N 00
),()
(1)(,),()(平均年龄。

平均寿命S （t ）⎰
∞
-⎰=
-t
dr
t r d e t S t
ττψ0
),()(。

17．简述Volterra 模型的局限性？
答案：第一，多数食饵——捕食者系统都观察不到V olterra 模型显示的那种周期动荡，而是趋向某种平衡状态。

第二，自然界里生长期存在的周期变化的生态平衡系统应该是稳定的，而Volterra 模型描述的周期变化状态却不是稳定的。

18．什么是Logistic 规律？
答案：Logistic 规律就是用微分方程)1()(N
x
rx t x -
=&描述受环境约束的所谓“阻滞增长”的规律。

19．什么叫2倍周期收敛？
答案：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。

20．层次分析法是一种怎样的分析法？
答案：层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析法。

21．所有层次结构模型的两个共同特点是什么？
答案：第一，模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之间不存在相互影响或支配作用，或者这种影响可以忽略；第二，层次之间存在自上而下、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层次间的循环影响。

22．层次分析法中的一致性指标公式是什么？ 答案：1
--=
n n CI λ
23．一般的n 个顶点的竞赛图有那些性质？
答案：1）竞赛图存在完全路径；2）若存在唯一的完全路径，则由完全路径确定的顶点的顺序，与得分多少排列的顺序相一致，这里一个顶点的得分指标由它按箭头方向引出的边的数目。

24．合作对策分配应满足什么条件？
答案：
n
i i v x I v x i n
i i
,,3,2,1),()
(1
Λ=≥=∑=
25．马氏链的基本方程是什么？
答案：k
i p
k
j i p n p n a n a k
j ij
ij k
j ji j i ,,2,1,1,,2,1,,0,2,1,0,)()1(1
1
ΛΛΛ
===≥==+∑∑==
26．最简泛函极值的必要条件是什么？
答案：00=---=-
x F x F F F F dt
d
F x
x x x x t x x x &&&&&&&&&或
27．什么叫灵敏度分析？
答案：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。

为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。

这叫灵敏性分析。

28．整数线性规划问题的一般形式是什么样的？
）
为非负整数（m j x m i b x a
x c z j n
j j j ij
n
j j
j ,,2,1)
,,2,1(min 1
1
ΛΛ====∑∑==
29．什么叫梯度？
答案：设f(x ）是定义在n 维欧氏空间n
E 上的可微函数，则我们称
T
n
x x f x x f x x f ))(,,)(,)((
21∂∂∂∂∂∂Λ为f （x ）在点x 处的梯度。

30．关于步长的选择有几种不同的选法？
答案1）简单算法；2）一维搜索算法；3）可接受点算法。

31．梯度法的叠代步骤是什么？
答案1）给定初始点允许误差,0
n
E X ∈0,0=>k 令ε；2）计算)(k
X f ∇；3）检验是否
满足收敛的判别法准则；4）令k
k k k S X X f S 出发，沿从),(-∇=进行一维搜索，求得
使得,λ
)()(min 0
k k k k k S X f S X f λλλ+=+≥；5）令.1,1+=+=+k k S X X k k k k λ返回2）。

32．什么叫序列无约束最小化方法？
答案：罚函数基本思想是求通过构造函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法求解。

这类方法称为序列无约束最小化方法。

33．序列无约束最小化方法有那两种基本方法？ 答案：1）SUMT 外点法；2）SUMT 内点法。

34．什么叫动态规划方法？
答案：在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前的状态，而又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在状态的运动变化中产生的，因此，把处理它的方法称为动态规划方法。

35．动态规划法的递推方式有那两种形式？
答案：1）逆推法，当初始条件给定时用；2）顺推法，当终止状态给定时用。

36．建立微分方程模型要对研究对象作具体分析的三种方法是什么？ 答案：1）根据规律建模；2）用微元法建模；3）用模拟近似法建模。

37．什么叫TSP 问题？
答案：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP 问题。

38．TSP 近似算法有那两种？
答案：1）构造型算法；2）改进型算法。

39．在计算网络最大流量问题时，它的基本思想是什么？
答案：判别网络N 中当前给定的流f （初始时，f 为零流）是否存在增广链，若没有，职责该流vf 为最大流；否则，求出f 的改进流F ，在进行判断和计算，直到找到最大流为止。

40．什么叫抽样？
答案：为了对总体X 的分布律进行各种所需的研究，就必须对总体进行抽样观察，根据抽样观察所得的结果来推断总体的性质。

这种从总体X 中抽取若干个体来观察某中数量指标X 的取值过程称为抽样。

41．从总体抽取样本，一般应满足那两个条件？ 答案：1）随机性；2）独立性。

42．对容量n 的样本，常用的统计量有那些？
答案：1）平均值；2）标准差、方差和极差；3）偏度和峰度；4）k 阶原点矩；5）k 阶中心矩。

43．引起等级结构变化的因素有那两种？
答案；1）系统内部等级间的转移，即提升或降级；2）系统内外的交流，即调入或退出。

44．马氏链的两种主要类型是什么？ 答案：正则链和吸收链。

45．什么叫随机存储策略？
答案：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s 和一个上界S ，当周末存货不小于s 时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S ，这种策略称为随机存储策略。

46．什么是随机模型？
答案：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。

47．什么叫概率模型？
答案：如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模型叫概率模型。

48．在循环比赛中，什么叫双向连通？
答案：在循环比赛中，对于任意一队顶点，存在两种有向路径，使两个顶点可以相互连通，这种有向图称为双向连通。

49．在用数学模型来解决实际问题时，一般有几个步骤？
答案：1）决策变量；2）决策目标；3）约束条件；4）模型求解。

50．什么是混合整数规划？
答案：模型同时包含连续变量和整数变量的数学规划，称为混合整数规划。

五、建立数学模型
1．一盘标明180分钟的录象带从头到尾，用时184分钟，计数器读数从0000到6061。

在某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问盛下的一段能否下一小时的节目。

（注意：录象带没有记时器）建立一个表述这个关系的模型。

（注：录象带有两个轮盘一开始录象带缠满的那个称为左轮盘，另一个为右轮盘，计数器与右轮盘相连，其读数与右轮盘转动的圈数成正比，开始时，右轮盘空读数为0000，随着带子从左向右转，右轮盘半径增加，使转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢） 答案：模型假设：
1）录象带的线速度是常数 v ；
2）计数器读数n 与右轮盘的转数m 成正比，m=kn,k 为比例系数；
3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈见间的缝隙）是常数w ，空右轮盘半径为r ； 4）初始时刻t=0时n=0； 模型建立：
设当右轮盘转到地I 圈时其半径为r+wi ，周长为)(2wi r +π，m 圈的总长度恰好等于v 录象带转过的长度vt ，即
vt wi r m
i =+∑=1
)(2π （1）
考虑到w 比r 小的多，并代入m=kn ，容易算出
n v
rk
n v
wk t ππ222
+
=
（2） 这就是需要建立的数学模型。

2．正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度，实现这个规则的一种简便办法是“2秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。

建立一个模型来分析这个规则的合理性。

答案：模型假设：
1） 刹车距离d 等于反应距离21d d 与制动距离之和。

2） 反应距离1d 与车速v 成正比，比例系数为反应时间1t 。

3） 刹车时使用最大的制动力F ，F 作的功等于汽车动能的改变，且F 与车的质量m 成正比。

模型建立： 由假设2
v t d 11= （1）
由假设3，在F 的作用下行驶距离2d 作的功2Fd 使车速从v 变成0，能动的变化量为
222,,22
mv mv Fd F m =∞有又，按照牛顿第二定律可知，刹车时间的减速度a 为常数，
于是
22kv d = （2）
其中a
k 21
=
为比例系数，由假设1，刹车距离为 21kv v t d += （3）
（1）、（2）、（3）为所要建立的数学模型。

3．配件厂为装配线生产若干个部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产量无关）同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付储存费。

建立一个模型，使得每次产量为多少时，总费用最小。

答案：模型假设：
1）产品每天的需求量为常数r ；
2）每次生产准备费为1c ，每天每件产品储存费为2c ；
3）生产能力为无限大（相对于需求量），当储存量降到0时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

模型建立：
将储存量表示为时间t 的函数q(t),t=0生产Q 件，储存量q(0)=Q,q(t)以需求速率r 递减，直到q(T)=0，为止，显然有
rT Q = (1) 一个周期内的储存费是⎰
T
dt t q c 0
2
)(，其中积分为
2
QT
，因为一周期的准备费是1c ，再由（1）式，得到一周期的总费用为
2
22
2121rT c c QT c c C +=+= （2） 于是每天的平均费用是
2
)(21T c T c T C T C r +==
（3）
（3）为这个优化模型的目标函数。

4．汽车厂生产计划
问题：一汽车厂生产小、中、大三种类型汽车，已知各类型车辆对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时的现有量如下表所示。

试制定月计划，使工厂的利润最大。

进一讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变。

模型的建立：
设每月生产小、中、大型的汽车数量分别为1x ,32,x x ，工厂的月利润为z ，在题目所给的参数均不随生产数量变化的假设下，立即可得线性规划模型：
321432x x x Maxz ++=
S. T. 0
,60000400250280600
435.132,1321321≥≤++≤++x x x x x x x x x
5．汉诺塔问题：n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。

现在将此n 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。

移动过程桩A 也可以利用。

设移动n 个盘的次数为1a ，试建立关于
n a 的差分方程。

解：先将A 上的n-1个盘按题设要求移到C 上，这需要移动1-n a 次，于是得差分方程：
1
1211=+=-a a a n n
6．设第一月初有雌雄各一的一对小兔。

假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。

设第n 月末共有n F 对兔子，试建立
关于n F 差分方程。

解：因第n 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以
1
2121==+=--F F F F F n n n
n F 定义为Fibonacci 数列。

7．在一个平面上有n 个圆两两相交,但任个圆无公共点。

设此n 个圆将平面分为n a 个区域，试建立关于n a 的差分方程。

解：前n-1个两两相交，共2(n -1)个不同交点，这些点将第n 个圆恰好分为2(n-1)条弧，而每条弧又将所在的原来的区域一分为二，故加入第n 个圆后新增2(n-1)个区域。

于是，差分方程为
2
)1(211=-+=-a n a a n n
8．某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。

(1) 现有一客户需要50根4m\20根6m 和15根8m 的钢管.应如何下料最节省?
解：决策变量 用i x 表示第i(7,,3,2,1Λ=i )种模式切割的原料钢管的根数，它们应非负。

决策目标 以切割后剩余的总量最小为目标，则由表可得
7653211333x x x x x x MinZ +++++=
约束条件 为满足顾客的需求，按表应有
15
220
3250
234753654254321≥++≥+++≥++++x x x x x x x x x x x x。