多元统计分析期末试题
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一、填空题（20分）
1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X
2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。
3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。
4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。
5、设样品),2,1(,),,('21n i X X X X ip i i i ==，总体),(~∑μp N X ，对样品进行分类常用的距离有：明氏距
离，马氏距离2
()ij
d M =)()(1j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L
=
6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。
7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型是：
εββββ++++=p p x x x y 22110。
8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。
二、计算题（60分）
1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21'X X 和3X 是否
独立？为什么？
解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。
把协差矩阵写成分块矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∑∑∑∑=∑22211211，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互独
立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。
2、设抽了五个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是1 ,2 ,4.5 ,6 ,8。若样本间采用明氏距离，试用最长距离法对其进行分类，要求给出聚类图。
解：样品与样品之间的明氏距离为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=02
5
.36
7
05.14505
.25.30
105
432154
321)
0(x x x x x x x x x x D 样品最短距离是1，故把21X X 与合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法）得距离阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
=025.3705.1505.30}
,{},{54
32154321)
1(x x x x x x x x x x D 类与类的最短距离是 1.5，故把43X X 与合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法）得距离阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
=05.3705),{0}
,{},{},{5
432154321)
2(x x x x x x x x x x D 类与类的最短距离是 3.5，故把543},{X X X 与合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法）得距离
阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=07},,{0},{},,{},{5432154321)
3(x x x x x x x x x x D 分类与聚类图（略）
3、设变量123,,X X X 的相关阵为 1.000.630.450.63 1.000.35,0.450.35 1.00R R ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值和单位化特征向量分别为
()111.96,0.63,0.59,0.51;T
l λ==
20.68,λ=()20.22,0.49,0.84;T
l =-- 30.37,λ=()30.75,0.64,0.18T l =--
（1） 取公共因子个数为2，求因子载荷阵A 。
（2） 计算变量共同度2
i h 及公共因子j F 的方差贡献，并说明其统计意义。
解：因子载荷阵⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=68.084.096.151.068
.049.096.159.068.022.096.163.0A 变量共同度：2
221)68.022.0()96.163.0(-+=h =
2222)68.049.0()96.159.0(-+=h =
2223)68.084.0()96.151.0(+=h =
公共因子j F 的方差贡献：
2221)96.151.0()96.159.0()96.163.0(++=S 2222)68.084.0()68.049.0()68.022.0(+-+-=S
统计意义（略)
4、设三元总体X 的协方差阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∑600030001，从∑出发，求总体主成分123,,F F F ，并求前两个主成
分的累积贡献率。
解：特征方程0||=∑-E λ，得特征根：1,3,6321===λλλ
61=λ的特征方程：0000030005321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ，得特征向量⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=1001u
31=λ的特征方程：0300000002321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ，得特征向量⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=0102u
11=λ的特征方程：0500020000321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x ，得特征向量⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=0013u
31x F = 22x F = 13x F =
前两个主成分的累积贡献率
9.010
9
=