深圳大学 胡鹏彦：《一元微积分》课程教学大纲
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微积分学PPt标准课件32-第32讲一元微积分应用
2021/4/21
3
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如
何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 .
2021/4/21
你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
)
3 2
(1
22
)
3 2
125
y
2
2
2021Hale Waihona Puke 4/2127曲率中心为
x0
y(1 y2 ) y
1
2(1 22 ) 2
4
y0
1 y2 y
11 22 2
7 2
曲率中心： D(4 , 7) . 2
曲率圆的方程为
(x 4)2 ( y 7)2 125 24
2021/4/21
28
中心 D(, ) 的坐标为
x0
y(1 y2 ) y
,
y0
1 y2 y
,
式中 y 与 y 是 y f (x) 在点 M 处的导数 .
2021/4/21
23
证 设曲线 y f (x) 在点 M (x0, y0 ) 处的
曲率半径为 R , 曲率中心为 D(, ) , 则
曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率圆方程为
y0
1 y2 y
由 (2) 式 , 得
x0
y(1 y2 ) y
2021/4/21
26
求抛物线 y x2 在点 (1, 1) 处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
解
x0 1, y0 1,
y x1 2x x1 2 , y x1 2 ,
第讲集合与函数
f ( x) 的定义域为
D f (, 0) (0, ) ,
g ( x) 的定义域为
Dg (0, ) ,
D f Dg
f ( x) 与 g ( x) 不相同。
例7 解
函数 f ( x) | x | 与 g ( x) x 2 是否相同？
f ( x) 与 g ( x) 的定义域均为实数域 R ,
。 2 。 1 。 3 2 1 。 x O 1 2 3 4 。 1 。 2 。 3
想想取整函数的图形是什么样子？
y [ x]
例5
已知 f ( x 1)
x 2， 0 x 1 ， 求 f ( x) 的表达式。 2 x， 1 x 2，
解
令 t x 1，得 f (t )
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个引映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函 数在区间 I 上单调增加, 记为 f ( x) I 。
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是单调减少的。 若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是严格单调减少的。
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
《经济数学(一元微积分)》课程大纲
《经济数学（一元微积分）》课程大纲一、课程简介《经济数学》是经济、管理类本科各专业主干课程之一，是一门重要基础理论课，它为学生学习后续课程及工作实践提供必备的数学思想、计算方法、基础知识和基本技能。
通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微学；3.一元函数积分学等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
本门课程在传授知识的同时，除了要逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
另外，在课程学习过程中要通过各个教学环节的设计，注意培养学生的团结协作与创新精神。
二、课程开课时间和时长开课时间安排在每学年的第一学期，学习时长规划13周，对于每一周的内容，大约安排10段不超过20分钟的视频。
三、对学习者的基础要求掌握高中数学基础知识四、课程运作步骤1. 9月初新生入学发布开课通告，给学习者注册预留半个月时间；2. 9月底开课，每周一发布本周的讲课视频、作业等学习材料；3. 每周六收集作业。
五、课程章节基本内容第一章函数、极限和连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 常用经济函数1.4 数列极限1.5 函数极限1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两重要极限1.8 无穷小和无穷大1.9 函数的连续性第二章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分第三章微分中值定理与导数的应用3.1 洛必达法则3.2 函数的单调性与极值3.3 曲线凹凸性和拐点3.4 导数在经济分析中的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 分部积分法4.3 换元积分法第五章定积分及其应用5.1 定积分的概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法与分部积分法5.5定积分在经济分析中的应用。
深圳大学数学与计算科学学院
主要内容
1. 内积空间 2. 泛函延拓定理 3. Hilbert 空间的规范正交系 4. 共轭算子
教学要求
(1) 掌握 Banach 空间的定义与基本例子（n 维欧氏空间 Rn、连续函数空间 C(A)、有 界数列空间 l∞ 、 p 次 收敛数列空间 lp、 p 方可积函数空间 Lp 等都是 Banach 空间） ；知道非 Banach 空间是存在的：C[a,b]在 Lp 范数下不是 Banach 空间； (2) 掌握内积与内积空间的定义与基本例子；熟练掌握内积的正定性、首元线性性与 共轭对称性；掌握内积诱导范数的思想；熟练掌握内积诱导范数的基本性质、和 的范数恒等式；掌握内积满足 Schwarz 不等式并且是二元连续函数的事实；掌握 内积空间的特征：范数满足平行四边形法则； (3) 掌握 Hilbert 空间的定义与基本例子；知道在同构的意义下，可分的 Hilbert 空间 只有 Rn 与 l2； (4) 掌握正交向量的定义；知道正交向量满足勾股定理，而且在实内积空间中，勾股 定理是两个向量正交的充分必要条件；了解极小化向量定理与正交分解定理（投 影定理） ； (5) 了解正交系、规范（标准）正交系、完全规范正交系或规范（标准）正交基的概 念与基本例子；掌握 Gram-Schmidt 正交化过程；知道每个非零的可分 Hilbert 空 间 X 必存在规范（标准）正交基； (6) 了解 Fourier 系数、Fourier 级数的定义； 了解最佳逼近定理； 知道 Bessel 不等式、 Parseval 恒等式；知道向量可以展成 Fourier 级数的条件； (7) 掌握 Banach 空间基本定理之 Hahn-Banach 定理；掌握 Hilbert 空间之 Riesz 表示 定理。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。
经济数学一一元微积分教学设计
经济数学一一元微积分教学设计前言经济学是一门非常重要的学科，而微积分更是经济学中必不可少的一部分。
本文将就如何设计一堂经济数学一一元微积分课程进行讨论。
教学目标经过学习本课程，学生应该能够：1.了解微积分的基本概念与方法；2.理解微积分的应用场景，如经济学中的边际效应等；3.能够运用微积分的方法进行经济学问题的求解。
教学内容第一部分：微积分基础1.微积分的基本概念，如导数、微分、积分等；2.常见微积分公式的推导与运用；3.隐函数求导等高阶微积分概念的引入。
第二部分：微积分在经济学中的应用1.边际效应的概念与解析；2.经济学中优化问题的微积分求解；3.积分在经济学中的应用，如消费者剩余等。
教学方法1.讲授式教学：通过PPT等多媒体工具讲解相关微积分概念及其应用；2.课堂练习：针对每个小节的内容提供相关的练习，以帮助学生掌握所学知识；3.实例分析：通过实际经济问题进行分析，引导学生进行思考与求解。
教学评估方式1.课堂测试：在每个小节学习内容后进行测试，以便及时纠正学生的理解问题；2.课后作业：针对每个小节的内容布置相关的作业，确保学生对本节内容进行掌握；3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握程度。
教学资源1.课堂教学PPT；2.经济学相关案例资源；3.智能互动平台。
教学安排第一周1.微积分的基本概念；2.导数的求法及其应用。
第二周1.微积分的基本定理；2.隐函数求导的方法。
第三周1.边际效应的概念及其解析；2.优化问题的微积分求解。
第四周1.积分的概念及其性质；2.消费者剩余的应用。
结语本教学设计通过讲授微积分基础、微积分在经济学中的应用、实例分析等方式，旨在帮助学生快速掌握微积分概念及其在经济学中的应用。
同时，通过课堂测试、课后作业、期末考试等方式进行教学评估，以确保学生掌握本课程中的重点内容。
深圳大学 数学新课程研究教学大纲
数学法则是严格的、无庸置疑的，法则的逻辑基础是公理系统。但是对法则的理解和解释却不可能事事诉诸公理系统，在教学过程中尤其如此。初学者有必要在教师的引导下对于一些应用起来过程相对复杂的运算规则有一个直观而准确的理解。
主要内容
第一章数与数系
第二章方程
第三章函数
第四章数列
第五章不等式
第六章算法
教学要求
了解:中学代数内容及其教学理论与实的概述,包括数与数系,式、代数式与不等式，方程，函数，数列，算法及中学代数问题精选等内容。
理解中学几何的公理体系。公理化思想方法的内涵与价值。半个世纪的中国平面几何教学。
掌握平面解析几何的教学特点。
第二篇中学代数研究
教学目的
用较高的数学观点加以分析、加深对中学代数相关内容的本质理解。“中学代数教学”的一个基本原则：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。
中学代数与几何课程的主要差别在于：代数（包括概念和法则）抽象、繁琐，而几何直观、形象。在代数教学中引入适当的几何直观、注重利用贴近生活的形象思维便是代数教学中一项重要任务。
2.王林全.初等几何研究教材[M].广州:暨南大学出版社出版,1998年.
二、教学内容
第一篇中学几何研究
教学目的
通过学习知道“几何研究”、“教学研究”、“解题研究”三者的重要性，把三者糅合在一起。深入地了解中学几何的内容，有高观点却不能脱离中学实际，解决教学中可能遇到的问题。
数学教育的核心，是呈现数学的教育形态，高效率地让学生理解数学的本质。因此，用较高的观点来考察“中学几何”内容，并适当地加以扩充。值得提出的是，系统地处理了“度量几何””和“公理化方法”。度量几何学，从长度的定义开始，到面积、体积、以至到可列可加测度，加上将几何学定量化的三角学，分形、以及分数维数的计算，这是全新的几何处理。
主要内容
第一章数与数系
第二章方程
第三章函数
第四章数列
第五章不等式
第六章算法
教学要求
了解:中学代数内容及其教学理论与实的概述,包括数与数系,式、代数式与不等式，方程，函数，数列，算法及中学代数问题精选等内容。
理解中学几何的公理体系。公理化思想方法的内涵与价值。半个世纪的中国平面几何教学。
掌握平面解析几何的教学特点。
第二篇中学代数研究
教学目的
用较高的数学观点加以分析、加深对中学代数相关内容的本质理解。“中学代数教学”的一个基本原则：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。
中学代数与几何课程的主要差别在于：代数（包括概念和法则）抽象、繁琐，而几何直观、形象。在代数教学中引入适当的几何直观、注重利用贴近生活的形象思维便是代数教学中一项重要任务。
2.王林全.初等几何研究教材[M].广州:暨南大学出版社出版,1998年.
二、教学内容
第一篇中学几何研究
教学目的
通过学习知道“几何研究”、“教学研究”、“解题研究”三者的重要性，把三者糅合在一起。深入地了解中学几何的内容，有高观点却不能脱离中学实际，解决教学中可能遇到的问题。
数学教育的核心，是呈现数学的教育形态，高效率地让学生理解数学的本质。因此，用较高的观点来考察“中学几何”内容，并适当地加以扩充。值得提出的是，系统地处理了“度量几何””和“公理化方法”。度量几何学，从长度的定义开始，到面积、体积、以至到可列可加测度，加上将几何学定量化的三角学，分形、以及分数维数的计算，这是全新的几何处理。
深圳大学课程教学大纲-数学与统计学院
教学要求
识记：证券投资、基本分析法、技术分析法。
领会：科学、理性的证券投资分析过程包括哪些步骤？在证券投资分析过程中，容易出现哪些失误？应采取那些措施来避免？证券投资基本分析和技术分析方法的理论基础、主要内容和优缺点。
第二章有价证券的价格决定
教学目的
通过本章的学习，使学生掌握债券、股票、投资基金和其它投资工具的价格决定理论和投资价值分析。
平时成绩（含考勤、作业与测验)占30％，期末(卷面)成绩占70%。
2。 命题说明
期末采取闭卷考试，试卷形式采用客观题与非客观题结合;试卷内容，识记部分占30％左右，理解、操作题占70%左右,内容涉及教材章的100％，节的90%，知识点的70％左右；试卷难易比例控制在15%难、50％适中、35％易之间；试卷末设置难度系数在0.7~0.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。试卷采用A、B卷.
第七章K线理论
教学目的
通过本章的学习,使学生掌握证券投资分析中K线理论的主要内容和方法。
主要内容:
第一节K线的画法和主要形式
第二节单根K线的含义
第三节K线的组合形态
第四节应用K线理论应注意的问题
教学要求：
识记：指出几种反转形态的K线组合。
领会：K线组合的准确性与K线数量的关系。
应用：指出几种反转形态的K线组合。
领会：买进期权相对价格的性质。
第十五章投资管理
教学目的
通过本章的学习，使学生掌握投资管理的主要内容和方法。
主要内容
第一节投资管理
第二节投资业绩评价
第三节债券资产组合管理
第四节 国际环境下的投资行为
教学要求
领会:现代投资管理的意义，消极型管理与积极型管理的划分标准、特点，被动债券组合管理的策略方法.
识记：证券投资、基本分析法、技术分析法。
领会：科学、理性的证券投资分析过程包括哪些步骤？在证券投资分析过程中，容易出现哪些失误？应采取那些措施来避免？证券投资基本分析和技术分析方法的理论基础、主要内容和优缺点。
第二章有价证券的价格决定
教学目的
通过本章的学习，使学生掌握债券、股票、投资基金和其它投资工具的价格决定理论和投资价值分析。
平时成绩（含考勤、作业与测验)占30％，期末(卷面)成绩占70%。
2。 命题说明
期末采取闭卷考试，试卷形式采用客观题与非客观题结合;试卷内容，识记部分占30％左右，理解、操作题占70%左右,内容涉及教材章的100％，节的90%，知识点的70％左右；试卷难易比例控制在15%难、50％适中、35％易之间；试卷末设置难度系数在0.7~0.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。试卷采用A、B卷.
第七章K线理论
教学目的
通过本章的学习,使学生掌握证券投资分析中K线理论的主要内容和方法。
主要内容:
第一节K线的画法和主要形式
第二节单根K线的含义
第三节K线的组合形态
第四节应用K线理论应注意的问题
教学要求：
识记：指出几种反转形态的K线组合。
领会：K线组合的准确性与K线数量的关系。
应用：指出几种反转形态的K线组合。
领会：买进期权相对价格的性质。
第十五章投资管理
教学目的
通过本章的学习，使学生掌握投资管理的主要内容和方法。
主要内容
第一节投资管理
第二节投资业绩评价
第三节债券资产组合管理
第四节 国际环境下的投资行为
教学要求
领会:现代投资管理的意义，消极型管理与积极型管理的划分标准、特点，被动债券组合管理的策略方法.
常微分第一章
dt L
论
初值条件为 I t0 I0.
§1 常微分方程模型
(2) RLC电路
第
设R、L、C是常数, 电源电压e(t)是时间t的函
一 数. 当开关合上后有关系式
章
e(t) L d I RI Q ,
dt
C
绪 上式两边求导
论
d2 I dt2
R L
dI dt
I LC
d e(t) . dt
一般的两种群竞争系统模型
第 一 章
d x d t
M
(x,
y)x,
d
y
d t
N (x,
y) y,
绪 这里M(x, y), N(x, y)为相对于x与y的增长率.
论
§1 常微分方程模型
例6 Lorenz方程
第 一 章
d x
d
t
a( y
x),
绪
d y
d
t
xz
论
dy x
dx y
y 1 x2 y 1 x2 x2 y2 1
§2 概念及历史
含有n个独立的任意常数c1, c2 , , cn的解
第
y x, c1, c2, , cn
一
章 称为n阶方程(1.38)的通解.
注 解对常数的独立性是指: 及其直到n 1阶
d
y
d t
y(c
dx).
§1 常微分方程模型
竞争模型
第
假设种群甲和乙的数量分别为x, y, 则种群相
一 章
互竞争同一资源时的生长情况的模型为
微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点 二,曲线的渐近线 三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2
深圳大学 经济数学 教学大纲
（五）先修课程
数学分析，线性代数，概率论与数理统计
（六）后继课程
时间序列分析以及其他有关研究生课程等
（七）考核方式
开卷考试
（八）使用教材
李工农等编：《经济预测与决策》.
（九）参考书目
（1）冯文权主编《经济预测与决策技术》，武汉：武汉大学出版社，2002年第一版.
（2）李一智主编《经济预测技术》，北京：清华大学出版社，1990年第一版.
（三）基本要求
理解经济预测与决策的重要性。深刻理解经济预测中定性预测与定量预测之间的区别与联系。掌握基本、常用的经济预测的定量模型。理解、掌握较为基本的决策论的观点和方法。
（四）主要内容
经济预测与决策的基本概念。定性预测的常用手段以及与定量预测方法之间的区别与联系。时间序列模型，回归预测模型，灰色预测模型，马尔可夫预测模型，单目标决策的一般方法以及多目标决策的基本思想等。
教学目的
在前一章的基础上，讨论几种特殊的非线性回归模型的建立和应用。通过本章的学
习，让学生掌握两种生长曲线预测模型以及几种可以化为线性回归模型的非线性模
型的建立与应用。
主要内容
第一节生长曲线预测模型
第二节能化为线性回归模型的非线性回归模型
教学要求
了解：非线性回归模型的含义，生长曲线模型的含义。
理解：生长曲线模型的原理。
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号22143109
课程名称经济数学
课程类别综合选修
教材名称经济预测与决策
制订人李工农
审核人刘则毅
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课
数学分析，线性代数，概率论与数理统计
（六）后继课程
时间序列分析以及其他有关研究生课程等
（七）考核方式
开卷考试
（八）使用教材
李工农等编：《经济预测与决策》.
（九）参考书目
（1）冯文权主编《经济预测与决策技术》，武汉：武汉大学出版社，2002年第一版.
（2）李一智主编《经济预测技术》，北京：清华大学出版社，1990年第一版.
（三）基本要求
理解经济预测与决策的重要性。深刻理解经济预测中定性预测与定量预测之间的区别与联系。掌握基本、常用的经济预测的定量模型。理解、掌握较为基本的决策论的观点和方法。
（四）主要内容
经济预测与决策的基本概念。定性预测的常用手段以及与定量预测方法之间的区别与联系。时间序列模型，回归预测模型，灰色预测模型，马尔可夫预测模型，单目标决策的一般方法以及多目标决策的基本思想等。
教学目的
在前一章的基础上，讨论几种特殊的非线性回归模型的建立和应用。通过本章的学
习，让学生掌握两种生长曲线预测模型以及几种可以化为线性回归模型的非线性模
型的建立与应用。
主要内容
第一节生长曲线预测模型
第二节能化为线性回归模型的非线性回归模型
教学要求
了解：非线性回归模型的含义，生长曲线模型的含义。
理解：生长曲线模型的原理。
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号22143109
课程名称经济数学
课程类别综合选修
教材名称经济预测与决策
制订人李工农
审核人刘则毅
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课
深圳大学数学与计算科学学院-高等数学A5课程教学大纲(基础班)
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号2214000112
课程名称高等数学A(周5学时)
课程类别专业必修
教材名称《高等数学》
制订人赵冰
审核人阮晓青
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：专业必修课
2．适应专业：理工科各专业学生
3．开设学期：第一、二学期
理解：理解微分方程，阶，解，通解，初始条件和特解的概念。
掌握：掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法；掌握二阶线性齐次线性常系数微分方程的解法。
会用：会解齐次方程；会用降阶法求解下列三种高阶方程：
和
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
基本要求
了解：了解三重积分的概念，了解重积分的性质。
理解：理解二重积分概念，
掌握：掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）。
会用：会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、对球面坐标计算法不作要求）。
第十章曲线积分与曲面积分
教学目的引入两类曲线、曲面积分的概念和性质，并给出计算方法和几何应用。
主要内容
掌握：掌握不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。
第五章定积分
教学目的通过微积分基本公式将不定积分与定积分联系起来，给出了定积分的计算方法。
主要内容
第一节定积分的概念与性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
第四节反常积分
教学要求
了解：了解定积分的性质、定积分的中值定理；了解两种广义积分的概念，并会用定义求解较简单的广义积分。
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号2214000112
课程名称高等数学A(周5学时)
课程类别专业必修
教材名称《高等数学》
制订人赵冰
审核人阮晓青
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：专业必修课
2．适应专业：理工科各专业学生
3．开设学期：第一、二学期
理解：理解微分方程，阶，解，通解，初始条件和特解的概念。
掌握：掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法；掌握二阶线性齐次线性常系数微分方程的解法。
会用：会解齐次方程；会用降阶法求解下列三种高阶方程：
和
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
基本要求
了解：了解三重积分的概念，了解重积分的性质。
理解：理解二重积分概念，
掌握：掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）。
会用：会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、对球面坐标计算法不作要求）。
第十章曲线积分与曲面积分
教学目的引入两类曲线、曲面积分的概念和性质，并给出计算方法和几何应用。
主要内容
掌握：掌握不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。
第五章定积分
教学目的通过微积分基本公式将不定积分与定积分联系起来，给出了定积分的计算方法。
主要内容
第一节定积分的概念与性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
第四节反常积分
教学要求
了解：了解定积分的性质、定积分的中值定理；了解两种广义积分的概念，并会用定义求解较简单的广义积分。
微积分学 P.P.t 标准课件01-第1讲集合与映射
注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得 重复出现.
例1 A = { 1, 2, 3, }; B = {东,南,西,北 }; G = { ( x, y ) | x 2 + y 2 = 1} ( xy 平面上的单位圆周 ); H = { 1, 1 } = { x | x 2 1 = 0 }.
如果有限集 A 含有n 个元素,则它的幂集 2 A 含有 2 n 项. 空集是任何一个非空集合的幂集的元素:
A ≠ ,则 2 A.
二,集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述上的方便,我们常常用记号 或 X 来表示所考虑的某种对象(元素)的全体所构 成的集合,称之为全集.
在wen图中,用矩形表示全集.
设有集合 A,B,C 及全集 ,则 交换律:
A ∪ B = B∪ A A ∩ B = B∩ A
结合律:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
分配律:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
对偶律:
A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B
幂等律:
A∪A =A
A∩A =A
吸收律:
A ∪ ( A ∩ B) = A
A ∩ ( A ∪ B) = A
= A
A∩ =
A∪A =
A∩A =
(A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C)
O
a
[
x (+∞)
(5) 区间长度
有限区间的长度 = 右端点值-左端点值
不论是闭区间,开区间,半开闭区间, 其长度计算均按此式进行.
高职一元微积分30课时的教学实施方案
高职一元微积分30课时的教学实施方案微积分课程把微积分常用概念、公式及计算方法、重要概念、定理进行了系统、有机的整合，它包括极限、微分学、积分学等。
本课程要求学生掌握一元微积分的基本概念和基本方法，了解二元微积分的基本内容，运用微积分法分析几何曲面，掌握重积分和极限概念，具有初步的几何解析能力。
30课时的一元微积分教学，学生应能掌握如下内容：1. 了解函数的定义、正弦、余弦、指数函数的特点，掌握求导法则及常用的基本函数的导数；2.握函数的增减性及存在唯一性定理、曲线的法则及偏导的概念，能够对复合函数的求导及应用；3.解函数的积分的概念，掌握常用函数的积分，掌握函数的积分的性质及应用，能解决积分的相关实际问题；4. 了解重积分及极限，能够运用重积分及极限来解决相关问题；5.解和运用二元函数的概念，掌握二元函数的导数、积分及应用；6.握几何曲线的计算方法，能使用微积分法处理平面几何曲线的性质、曲率等问题。
二、教学内容1.限的概念及其计算（4课时）(1)义，基本性质；(2)限的计算；(3)限的应用；(4)他已有结论。
2.数的概念及其计算（7课时）(1)数的定义，基本性质及计算；(2)数的应用，偏导；(3) 二阶导数；(4)值及最大值和最小值点；(5)量函数、变量函数及它们的偏导数。
3.分的概念及其计算（5课时）(1)分的定义及性质；(2)用积分的求解；(3)分的应用；(4)线积分，面积。
4.积分及其计算（4课时）(1)积分的定义，性质及计算；(2)开特殊函数及其应用；(3)边形积分、表示趋势的函数。
5. 二元函数及其计算（4课时）(1) 二元函数的定义、性质及计算；(2) 二元函数导数及应用；(3) 二元函数积分及应用。
6.面曲面函数及其计算（6课时）(1)面曲面函数的定义、性质及计算；(2)面曲面函数的曲率及应用；(3)圆和抛物线的计算。
三、教学方法本高职一元微积分教学实施方案遵循“以学生为中心”的教学理念，以揭示解决问题的方法为核心，遵循“引导认知、把握思路、具体实践、形成习惯、强化效果”的教学步骤，营造良好的学习氛围，最大限度地激发学生的学习兴趣，改变学生单纯记忆的学习模式。
2-第二讲 不定积分的计算方法(I)
1 2
求成本函数.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000 所以 c=1000,故本函数为:
y 7x 50 x 1000.
例3 解
3x 2 求 2 d x. x 1 3x 2 3x 2 3 3 1 d x d x 3 d x 3 x2 1 x2 1 1 x2 d x
令u cosx
凑微分得
ln cos x C
例9 解
求 sin 3 x cos x d x .
3 3 sin x cos x d x sin x d sin x
凑微分得
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 d u
1 u4 C 4
1 4 sin x C 4
积分的线性性质
8 7 12 5 x x 2 x3 x C . 7 5
直接的积分公式
例2
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量
25 . 又固定成本为1000元 x的函数, y 7 x
25 y 7 . x 解: 因为 所以y是它的原函数,即:
25 y (7 ) d x 7dx 25x dx 7x 50 x c . x
(2). xadx=d(xa+1)/(a+1).
比如: xdx=d(x2)/2
• 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:
二. 三角函数的积分计算例:
1. 先观察下面这个例子的多种求解过程 例7 解
sin 2 x d x . 法1 : sin 2 x d x
求
1 sin 2 x d 2 x 2
记 F (u ) f (u ), 则
求成本函数.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000 所以 c=1000,故本函数为:
y 7x 50 x 1000.
例3 解
3x 2 求 2 d x. x 1 3x 2 3x 2 3 3 1 d x d x 3 d x 3 x2 1 x2 1 1 x2 d x
令u cosx
凑微分得
ln cos x C
例9 解
求 sin 3 x cos x d x .
3 3 sin x cos x d x sin x d sin x
凑微分得
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 d u
1 u4 C 4
1 4 sin x C 4
积分的线性性质
8 7 12 5 x x 2 x3 x C . 7 5
直接的积分公式
例2
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量
25 . 又固定成本为1000元 x的函数, y 7 x
25 y 7 . x 解: 因为 所以y是它的原函数,即:
25 y (7 ) d x 7dx 25x dx 7x 50 x c . x
(2). xadx=d(xa+1)/(a+1).
比如: xdx=d(x2)/2
• 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:
二. 三角函数的积分计算例:
1. 先观察下面这个例子的多种求解过程 例7 解
sin 2 x d x . 法1 : sin 2 x d x
求
1 sin 2 x d 2 x 2
记 F (u ) f (u ), 则
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第一章实数集与函数12学时
第二章数列极限10学时
第三章函数极限12学时
第四章函数连续性12学时
第五章导数与微分16学时
第六章微分中值定理及其应用20学时
第七章实数的完备性8学时
第八章不定积分12学时
第九章定积分20学时
第十章定积分的应用12学时
第十一章反常积分8学时
（二）考核要求
1.成绩评定
平时成绩（含作业，测验，考勤作为参考）占30％，期末（卷面）占70％.
第十一章反常积分
教学目的
会判断反常积分的敛散性。
教学内容
第一节反常积分概念
第二节无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
基本要求
理解反常积分的概念，掌握反常积分的性质和判别法。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为142学时，安排在第一学期，每周5学时，上课14周，共70学时。第二学期，每周4学时，上课18周，共72学时。
第八章不定积分
教学目的
通过学习本章内容，使学生能够利用不定积分解决一些实际问题，能够熟练地计算一些不定积分。
教学内容
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的积分
基本要求
理解不定积分的概念，掌握基本积分公式、换元积分法、分部积分法和某些特殊函数的积分法。
第四节高阶导数与高阶微分
第五节微分
基本要求
理解导数、微分、高阶导数和高阶微分的定义和导数与微分的几何意义，掌握求导法则、含参变量函数导数的计算和微分与导数的关系。
第六章微分中值定理及其应用
教学目的
通过本章的学习，使学生不仅能直接利用中值定理和泰勒定理解决一些问题，同时更能够利用通过中值定理和泰勒定理给出的一些方法对不定式极限和函数及其图象的性态进行较为深入的研究。
第七章实数的完备性
教学目的
通过学习，比较清晰地认识实数完备性的刻画，对闭区间上连续函数的性质的证明和上下极限的概念有一定的理解。
教学内容
第一节关于实数集完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
第三节上极限和下极限
基本要求
理解刻画实数完备性的几个定理和闭区间上连续函数性质的证明，理解上极限和下极限的概念。
2.命题说明
通过多样化的题型来测试学生各种能力，设计适当的开放性问题。基本题(
主要考查学生对一元微积分基本概念、理论与方法的一般掌握和理解）、计算题(主要考查学生对一元微积分的基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对一元微积分基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约1/3。难易比例控制在20％难、50％适中、30％易之间。涉及教材章的100％，节的85％，内容70％左右，试卷末设置能反映学生综合能力且有较大难度和较高要求的附加题。试卷采用A、B卷。
教学内容
第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最大（小）值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图象的讨论
第七节方程的近似解
基本要求
掌握拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒定理，掌握不定式极限的计算方法和函数单调性、极值与最值、凸性与拐点等判别法，了解方程近似解的求法。
基本要求
理解函数极限、无穷大量、无穷小量及其阶的定义，掌握函数极限的性质、函数极限存在的条件、两个重要极限和无穷大（小）量阶的比较。
第四章函数的连续性
教学目的
通过本章的学习，使学生对函数的连续性有较为深刻的认识，会判断函数连续性，明白初等函数的连续性。
教学内容
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
基本要求
理解函数连续性的概念，掌握连续函数的性质和初等函数的连续性。
第五章导数与微分
教学目的
通过本章的学习，使学生对导数和微分的定义和几何意义有比较好的理解，会利用导数和微分解决一些实际问题，会求函数的导数、微分、高阶导数和高阶微分，以及含参变量函数的导数。
教学内容
第一节导数概念
第二节求导法则
第三节含参变量函数的导数
4.学时安排：周学时5、4，总学时142
5.学分分配：分别为5、4学分
（二）开设目的
一元微积分是以极限为工具研究一元函数微分、积分以及微分和积分之间关系的学科，是现代数学的基础学科，更为数学专业后续课程所必需，同时为数学在各个领域的应用提供了强有力的工具。所以开设和学习一元微积分既是进一步学习的需要，也是实际应用的需要。
第十章定积分的应用
教学目的
会用定积分处理几何、物理和近似计算方面的问题。
教学内容
第一节平面图形的面积
第二节由截面面积求立体体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理上的某些应用
第六节定积分的近似计算
基本要求
掌握平面图形的面积、由截面面积求立体体积、平面曲线的弧长与曲率和旋转曲面的面积的计算公式和方法，掌握定积分在物理上的某些应用，了解定积分的近似计算方面的应用。
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
二、教学内容
第一章实数集与函数
教学目的
通过本章的学习，使学生对实数集和函数的概念有比较清晰的认识，能够通过定义判断具有某些特性的函数，同时不仅对确界的定义和确界定理有较为深刻的理解，也能够利用确界定义和确界定理证明一些数集的确界。
教学内容
第一节实数
第二节数集确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
第九章定积分
教学目的
通过学习，能够判断函数的可积性和定积分的计算，会利用不定积分解决实际问题。
教学内容
第一节定积分概念
第二节牛顿—莱布尼兹公式
第三节可积条件
第四节定积分的性质
第五节微积分学基本定理定积分计算
第六节可积性理论补叙
基本要求
理解定积分的定义和几何意义，掌握牛顿—莱布尼兹公式、可积条件、定积分的性质和微积分学基本定理。
（三）基本要求
掌握一元微积分的基本理论与方法，理解一元微积分研究中所涉及的各种数学思想，特别是贯穿于整个微积分理论的极限理论，培养解决实际问题和理解与解决某些初等数学问题的能力。
（四）主要内容
包括极限理论、微分、积分、微积分基本定理。
（五）先修课程
代数，几何
（六）后继课程
多元微积分、常微分方程、实变函数、复变函数等
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
123066C
课程名称一元微积分
课程类别专业必修
教材名称数学分析
制订人胡鹏彦
审核人陈之兵
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1.课程类别：专业必修课
2.适应专业：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业
3.开设学期：第一、二学期
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
华东师范大学数学系编：《数学分析》（上册）.北京：高等教育出版社出版社，2003，第三版.
（九）参考书目
[1]常庚哲、史济怀.《数学分析教程》，北京：高等教育出版社，2003,第一版.
[2]刘玉琏、傅沛仁.《数学分析讲义》，北京：高等教育出版社，1992,第三版.
第三章函数极限
教学目的
通过本章的学习，使学生能够利用函数极限的定义和存在条件判断函数极限，会用两个重要极限进行一些函数极限的计算，能够用定义识别无穷大量与无穷小量，并进行阶的比较。
教学内容
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要极限
第五节无穷小量与无穷大量阶的比较
基本要求
理解数集、函数和确界等基本概念，掌握确界定理和具有某些特性的函数的性质。
第二章数列极限
教学目的
通过本章的学习，使学生能够利用数列极限的定义和存在条件判断数列极限。
教学内容
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
基本要求
理解数列极限的定义，掌握收敛数列的性质和数列极限存在的条件。
第二章数列极限10学时
第三章函数极限12学时
第四章函数连续性12学时
第五章导数与微分16学时
第六章微分中值定理及其应用20学时
第七章实数的完备性8学时
第八章不定积分12学时
第九章定积分20学时
第十章定积分的应用12学时
第十一章反常积分8学时
（二）考核要求
1.成绩评定
平时成绩（含作业，测验，考勤作为参考）占30％，期末（卷面）占70％.
第十一章反常积分
教学目的
会判断反常积分的敛散性。
教学内容
第一节反常积分概念
第二节无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
基本要求
理解反常积分的概念，掌握反常积分的性质和判别法。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为142学时，安排在第一学期，每周5学时，上课14周，共70学时。第二学期，每周4学时，上课18周，共72学时。
第八章不定积分
教学目的
通过学习本章内容，使学生能够利用不定积分解决一些实际问题，能够熟练地计算一些不定积分。
教学内容
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的积分
基本要求
理解不定积分的概念，掌握基本积分公式、换元积分法、分部积分法和某些特殊函数的积分法。
第四节高阶导数与高阶微分
第五节微分
基本要求
理解导数、微分、高阶导数和高阶微分的定义和导数与微分的几何意义，掌握求导法则、含参变量函数导数的计算和微分与导数的关系。
第六章微分中值定理及其应用
教学目的
通过本章的学习，使学生不仅能直接利用中值定理和泰勒定理解决一些问题，同时更能够利用通过中值定理和泰勒定理给出的一些方法对不定式极限和函数及其图象的性态进行较为深入的研究。
第七章实数的完备性
教学目的
通过学习，比较清晰地认识实数完备性的刻画，对闭区间上连续函数的性质的证明和上下极限的概念有一定的理解。
教学内容
第一节关于实数集完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
第三节上极限和下极限
基本要求
理解刻画实数完备性的几个定理和闭区间上连续函数性质的证明，理解上极限和下极限的概念。
2.命题说明
通过多样化的题型来测试学生各种能力，设计适当的开放性问题。基本题(
主要考查学生对一元微积分基本概念、理论与方法的一般掌握和理解）、计算题(主要考查学生对一元微积分的基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对一元微积分基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约1/3。难易比例控制在20％难、50％适中、30％易之间。涉及教材章的100％，节的85％，内容70％左右，试卷末设置能反映学生综合能力且有较大难度和较高要求的附加题。试卷采用A、B卷。
教学内容
第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最大（小）值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图象的讨论
第七节方程的近似解
基本要求
掌握拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒定理，掌握不定式极限的计算方法和函数单调性、极值与最值、凸性与拐点等判别法，了解方程近似解的求法。
基本要求
理解函数极限、无穷大量、无穷小量及其阶的定义，掌握函数极限的性质、函数极限存在的条件、两个重要极限和无穷大（小）量阶的比较。
第四章函数的连续性
教学目的
通过本章的学习，使学生对函数的连续性有较为深刻的认识，会判断函数连续性，明白初等函数的连续性。
教学内容
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
基本要求
理解函数连续性的概念，掌握连续函数的性质和初等函数的连续性。
第五章导数与微分
教学目的
通过本章的学习，使学生对导数和微分的定义和几何意义有比较好的理解，会利用导数和微分解决一些实际问题，会求函数的导数、微分、高阶导数和高阶微分，以及含参变量函数的导数。
教学内容
第一节导数概念
第二节求导法则
第三节含参变量函数的导数
4.学时安排：周学时5、4，总学时142
5.学分分配：分别为5、4学分
（二）开设目的
一元微积分是以极限为工具研究一元函数微分、积分以及微分和积分之间关系的学科，是现代数学的基础学科，更为数学专业后续课程所必需，同时为数学在各个领域的应用提供了强有力的工具。所以开设和学习一元微积分既是进一步学习的需要，也是实际应用的需要。
第十章定积分的应用
教学目的
会用定积分处理几何、物理和近似计算方面的问题。
教学内容
第一节平面图形的面积
第二节由截面面积求立体体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理上的某些应用
第六节定积分的近似计算
基本要求
掌握平面图形的面积、由截面面积求立体体积、平面曲线的弧长与曲率和旋转曲面的面积的计算公式和方法，掌握定积分在物理上的某些应用，了解定积分的近似计算方面的应用。
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
二、教学内容
第一章实数集与函数
教学目的
通过本章的学习，使学生对实数集和函数的概念有比较清晰的认识，能够通过定义判断具有某些特性的函数，同时不仅对确界的定义和确界定理有较为深刻的理解，也能够利用确界定义和确界定理证明一些数集的确界。
教学内容
第一节实数
第二节数集确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
第九章定积分
教学目的
通过学习，能够判断函数的可积性和定积分的计算，会利用不定积分解决实际问题。
教学内容
第一节定积分概念
第二节牛顿—莱布尼兹公式
第三节可积条件
第四节定积分的性质
第五节微积分学基本定理定积分计算
第六节可积性理论补叙
基本要求
理解定积分的定义和几何意义，掌握牛顿—莱布尼兹公式、可积条件、定积分的性质和微积分学基本定理。
（三）基本要求
掌握一元微积分的基本理论与方法，理解一元微积分研究中所涉及的各种数学思想，特别是贯穿于整个微积分理论的极限理论，培养解决实际问题和理解与解决某些初等数学问题的能力。
（四）主要内容
包括极限理论、微分、积分、微积分基本定理。
（五）先修课程
代数，几何
（六）后继课程
多元微积分、常微分方程、实变函数、复变函数等
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
123066C
课程名称一元微积分
课程类别专业必修
教材名称数学分析
制订人胡鹏彦
审核人陈之兵
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1.课程类别：专业必修课
2.适应专业：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业
3.开设学期：第一、二学期
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
华东师范大学数学系编：《数学分析》（上册）.北京：高等教育出版社出版社，2003，第三版.
（九）参考书目
[1]常庚哲、史济怀.《数学分析教程》，北京：高等教育出版社，2003,第一版.
[2]刘玉琏、傅沛仁.《数学分析讲义》，北京：高等教育出版社，1992,第三版.
第三章函数极限
教学目的
通过本章的学习，使学生能够利用函数极限的定义和存在条件判断函数极限，会用两个重要极限进行一些函数极限的计算，能够用定义识别无穷大量与无穷小量，并进行阶的比较。
教学内容
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要极限
第五节无穷小量与无穷大量阶的比较
基本要求
理解数集、函数和确界等基本概念，掌握确界定理和具有某些特性的函数的性质。
第二章数列极限
教学目的
通过本章的学习，使学生能够利用数列极限的定义和存在条件判断数列极限。
教学内容
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
基本要求
理解数列极限的定义，掌握收敛数列的性质和数列极限存在的条件。