求解旅行商问题的几种解法
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
组合优化中的旅行商问题
组合优化中的旅行商问题组合优化问题是指在给定的集合或者结构中，寻找一个最优解或者一个近似最优解的问题。
而旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，也是一个NP困难问题。
它的问题描述是：给定一些城市和它们之间的距离，求解一个最短路径，使得每个城市只经过一次，并且最后能够回到起始城市。
旅行商问题在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、电路板布线、旅游路线规划等。
由于问题的复杂性，寻找解决该问题的最优算法一直是学术界和工业界的研究热点。
为了解决旅行商问题，已经提出了一系列的算法。
下面将介绍其中几种常见的算法。
1. 穷举法穷举法是最简单的解决旅行商问题的方法之一。
它的思想是对所有可能的路径进行穷举，计算路径的总长度，并选择其中最短的路径作为结果。
然而，由于旅行商问题的解空间巨大(复杂度是O(n!))，穷举法在问题规模较大时计算量会非常庞大，因此不适用于大规模问题。
2. 动态规划法动态规划法是另一种解决旅行商问题的常用方法。
它的思想是通过将问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从城市i出发，经过集合j中的城市一次后，回到起始城市的最短路径长度。
通过动态规划的递推公式，可以求解出dp数组中的所有元素，从而得到整个问题的最优解。
3. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化和遗传机制的搜索算法。
它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量。
在解决旅行商问题时，可以将每个可能的路径编码成一个染色体，并用适应度函数评估每个染色体的优劣。
然后通过选择、交叉和变异等操作，使得优秀的染色体得以传递下去，最终得到一个接近最优解的路径。
4. 其他启发式算法除了上述提及的算法，还有一些启发式算法常被用于解决旅行商问题，如蚁群算法、模拟退火算法和遗传算法等。
这些算法多为基于自然现象和启发式规则的搜索算法，可以有效地在大规模数据集上求解旅行商问题。
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
算法论文：旅行商问题的求解方法(动态规划法和贪心法)讲解
旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。
关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。
研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。
关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。
归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。
在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。
最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。
但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。
2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。
一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。
在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。
2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。
如对于图1，我们求解过程如下：（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。
TSP问题的求解
（1）优点：算法稳定，易得标准值 （2）缺点：针对 TSP 问题，需要先计算出第 i 个城市到其余城市的距离， 当城市数目较多时计算复杂。
关键词：TSP 问题 模拟退火算法 线性规划 遗传算法
一、问题重述
1.1 引言 TSP 是典型的组合优化问题, 并且是一个 NP-hard 问题，TSP 简单描述为:
一名商人欲到 n 个不同的城市去推销商品, 每 2 个城市 i 和 j 之间的距离为 d ij , 如何选择一条路径使得商人每个城市走一遍后回到起点, 所走的路径最短。用数 学符号表示为:设 n 维向量 s =(c1 , c2 , …, cn )表示一条路经, 目标函数为:min
小可以不断变化。在该题中，取温度的衰减系数α=0.9，其中固定温度下最大迭 代次数为：100 次，固定温度下目标函数值允许的最大连续未改进次数为 5 次， 即当算法搜索到的最优值连续若干步保持不变时停止迭代。
④最短路径的确定
借助 Matlab 通过模拟退火算法得出最短路径为：27—26—25—24—15— 14—8—7—11—10—21—20—19—18—9—3—2—1—6—5—4—13—12—30—23 —22—17—16—29—28—27，最短路径图如下图 1
图1 最短距离为：423.7406
（2）法二：遗传算法 优化过程如下图 2 所示：
图2 初始种群中的一个随机值（初始路径）:
22—6—3—16—11—30—7—28—17—14—8—5—29—21—25—27—26—19 —15—1—23—2—4—18—24—13—9—20—10—12—22
TSP的几种求解方法及其优缺点
v1.0 可编辑可修改TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP,即给定n个城市和两两城市之间的距商，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的是短路线。
其图论描述为：给定图G= (V, A),其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamihon回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1)对称旅行商问题3j=dji, ni, j=l, 2, 3, - , n)；2)非对称旅行商问题(dijHdji, Bi, j=1, 2, 3, - , n)o非对称旅行商问题较碓求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={V H V2, V n - , %}的一个访问顺序为T={l), b, tj, - , tj, - , tj,A其中衣v (i=l, 2, 3,・・・，□),且记t n+l=tl＞则旅行商问题的数学模型为：血工Xzr-l TSP是一个典型的组台优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中槪括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和板高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近台并、最近插入、晨远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质長较差，迄今为止巳开发了许多性能较好的改迸型搜索算法，主要有：1)模拟退火算法2)禁忌搜索算法3)Hopficld神经网络优化算法4)蚁群算法5)遗传算法6)混合优化策路2.1模拟退火算法方法1)编码选择：采用描述TSP解的臺常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于站径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SV7AP）;②逆序操作（INV）；③插入操作仃NS）。
路线设计算法
路线设计算法路线设计算法通常用于解决旅行商问题（TSP，Traveling Salesman Problem），即在给定一组城市和各城市之间的距离（或成本）情况下，找到一条最短的路径，使得旅行商可以经过每个城市一次并返回起点城市。
以下是几种常见的路线设计算法：穷举法（Brute Force）：穷举法是一种简单但非常耗时的方法，它遍历所有可能的路径组合，并计算每一条路径的总距离，最后选择最短路径作为解决方案。
然而，随着城市数量的增加，穷举法的计算时间呈指数增长，因此只适用于小规模的问题。
贪心法（Greedy Algorithm）：贪心法是一种启发式算法，它在每一步选择当前最优的解决方案，并希望通过这种局部最优解来达到全局最优解。
在TSP中，贪心法可以从一个起始城市开始，每次选择距离最近的未访问过的城市作为下一个目的地，直到所有城市都被访问过，然后返回起始城市。
虽然贪心法计算速度较快，但结果不一定是最优解，因为它可能会陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
动态规划法（Dynamic Programming）：动态规划法是一种适用于TSP的精确解法，它通过将问题划分为子问题，并保存每个子问题的最优解，然后根据已解决的子问题来逐步解决更大规模的问题。
在TSP中，动态规划法使用一个二维数组来保存每一对城市之间的最短距离，并利用递推关系式来计算最优解。
尽管动态规划法能够找到最优解，但它的计算复杂度为O(n^2 * 2^n)，其中n是城市的数量，因此在大规模问题上可能不太实用。
遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种启发式优化算法，模拟了自然界中的进化过程。
在TSP中，遗传算法通过构建初始种群（即路径的集合），然后使用交叉、变异等操作来不断演化种群，直到找到满足停止条件的最优解。
遗传算法通常能够在较短的时间内找到较好的解决方案，尤其是对于大规模问题而言。
以上是一些常见的路线设计算法，每种算法都有其优缺点，具体选择取决于问题的规模、精确度要求和计算资源等因素。
行程问题的九个公式
行程问题的九个公式行程问题（TravellingSalesmanProblem，简称TSP）在理解和解决许多实际问题（例如路由规划、车辆调度与最优路径搜索）方面都发挥着重要作用。
其主要研究内容是：在一定网络结构中，以某一源点为起点，按指定的顺序依次访问该网络中的其他结点，并且最终到达源点，构成一个闭环路径，该闭环路径的路径权值最小。
TSP的数学模型被称为旅行商问题，它的解表示最优路线以及最小距离，是人们研究图论一大难题。
研究行程问题需要使用一些特定的公式，下文将介绍求解TSP过程中使用到的九个公式。
第一个公式是显示型，即给定一个旅行商路径，可以算出它的路径权值：d(Pi, Pj)= d(i,j)+d(j,k)+... d(pk-1,pk)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序。
第二个公式是移动型，即某一结点被插入到一条路径中时，其权值的增加量：d(i, j)+d(j, k)-d(i, k) 。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(i,k)表示从结点i到结点k的距离。
第三个公式是换位型，即某一结点在路径上两个相邻位置之间“移动”时，其权值变化：d(i, j)+d(k, l)-d(i, k)-d(j, l) 。
其中，d(i,j)和d(k,l)分别表示权值变化前的两条路径的长度，d(i,k)和d(j,l)表示权值变化后的两条路径的长度。
第四个公式是回头路检查型，即确定某结点是否能被加入某个方案的路径时：D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1,pk)+d(pk,i)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k 时从k回到i的距离。
第五个公式是分支限界型，即确定当前搜索节点的最小路径权值时：D(i,j)= C(i,j)+f(i,j) 。
用于解决多目标旅行商问题的算法
多目标旅行商问题（MO-TSP）是指在多个目标地点之间找到最优路径，使得旅行商能够同时满足多个旅行目标的问题。
这是一个复杂的组合优化问题，涉及到时间、成本、距离等多个目标的平衡。
针对这一问题，已经有许多算法被提出，比如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
在本文中，我将针对用于解决多目标旅行商问题的算法进行深入剖析和讨论。
1. 遗传算法遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的优化方法，通过种群的进化来寻找问题的最优解。
在解决MO-TSP问题时，遗传算法可以通过不断进化种群中的路径来寻找最佳的解决方案。
在每一代进化中，选择、交叉和变异等操作都会对种群进行改进，直到找到最优的解。
2. 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式算法，模拟金属退火过程中的晶粒结构变化来寻找问题的最优解。
在解决MO-TSP问题时，模拟退火算法可以通过接受较差解的概率来跳出局部最优解，并在搜索空间中进行全局搜索，以找到更好的解。
3. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚁群寻食行为的启发式算法，模拟蚂蚁在搜索食物时释放信息素的过程。
在解决MO-TSP问题时，蚁群算法可以通过蚂蚁在路径上释放信息素的方式来寻找最优路径，蚁群不断更新信息素浓度，并通过信息素浓度来选择下一步的移动方向。
在实际应用中，这几种算法都有其优缺点，如何选择最合适的算法取决于实际问题的复杂度、目标要求和算法的性能。
在我看来，遗传算法在求解MO-TSP问题时具有良好的全局搜索能力，但对于大规模问题的收敛速度可能较慢；模拟退火算法适用于局部搜索和全局搜索的结合，但在处理多目标问题时需要合理设定参数；蚁群算法在求解路径优化问题时具有较好的鲁棒性和稳健性，但对于问题解空间的探索可能会存在过早收敛的问题。
MO-TSP问题是一个复杂的组合优化问题，需要综合运用各种启发式算法和元启发式算法，以及结合实际问题的特点和要求，才能找到最佳的解决方案。
通过对算法的深入理解和灵活运用，我们可以在实际问题中取得较好的优化效果。
求解旅行商问题的几种解法
2010年第5期(总第77期)边疆经济与文化THE BORDER ECONOMY AND CULT URENo 1512010General 1No 17710 B I A N J I A N G J I N G J I Y U W EN HUA【旅游经济】求解旅行商问题的几种解法高春涛(哈尔滨商业大学基础科学学院,哈尔滨150028)摘 要:旅行商问题(TSP )是一个典型的NP 完全问题,现在还没有找到有效的解法。
目前比较热门的求解TSP 问题的方法主要有四种:神经网络算法;模拟退火算法;遗传算法;蚁群算法。
关键词:旅行商问题;组合优化;解法中图分类号:F 592 文献标志码:A 文章编号:167225409(2010)0520010202收稿日期:2010201222作者简介:高春涛(1973),女,黑龙江拜泉人,讲师,硕士,主要从事混沌神经网络研究。
一、引言旅行商问题(Traveling Sales man Pr oble m ),是指给定n 个城市,任何两城市之间皆有路连通,其距离为已知,某旅行商从其中某城市出发,要经过每城市一次,且只能一次,最后又必须返回出发城市,要求找出最短的巡回路径。
由于在很多实际问题中,如印刷电路板的铅孔路线方案、连锁店的货物配送路线等问题经过简化处理,均可建模为旅行商问题,因而对旅行商问题求解方法的研究具有重要的应用价值。
旅行商问题是运筹学中有代表性的组合优化问题,也是典型的NP 完全问题。
虽然它陈述起来很简单,但求解却很困难,对于具有n 个城市的TSP 问题,其可能的路径数目为(n -1)!/2,至今尚未找到有效的求解方法,在理论上枚举法可以解决这一问题,但是当n 较大时,解题的时间消耗会使枚举法显得没有任何实际价值。
因此寻求一种求解时间短,能满足实际问题精度要求的解,成为解决该问题的主要途径。
二、TSP 求解方法求解旅行商问题的方法可以分为两大类,一类是精确算法,目的是要找到理论最优解;另一类是近似算法,其算法简单,计算量小,大多数情况下求得的满意解能满足要求。
图论旅行商tsp
例 求v1到其它各点的最短路。
v4
令d(v1)=0, 则(红点集合表示S):
1
1
vi v1 v2 v3 v4 v5 v6
Байду номын сангаас
v2
1
v5 d(vi) 0 1 1 ∞ ∞ ∞
1
11
11
vi v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 1
d(vi) 0 1 1 2 2 2
v3 1 v6
vi v1 v2 v3 v4 v5 v6
再添上负数边，将Dijkstra算法得到 的路长作为路长的初值，可有效提高算法 的效率。
21
2.7 关键路径 1.PT 图 • 一个结点表示一道工序。工序i 完工 后才能开始工序j 表示为一条有向边(i, j), 边长表示完成此工序所需时间。
于是，一个工程可用一个有向图表示， 这就是PT 图。 • 求最早完工时间，就是求PT 图的最 长路长度，而最长路即为完成工程的关 键工序（关键路径）。
因此，算法的迭代次数不超过n 。
18
Ford 算法
1) 令d(1):=0, d(i):=∞, i =2,3,…,n; p:=1;
2) 对i =2,3,…,n, 修改vi 的标号：
d(i):=min(d(i), p:=p+1;
mkin(d(k)+wvkii)
)
.
…
vk
3) 若全部d(i)没有变化则结束; 否则,当 p<n 时转向2) ，当p≥n 时存在负回路问 题无解.
全部情形考察完毕时的d0即为最短H回路长 度，取其值的那个S就是问题的解。
•（将一条边看作一个字符，步骤1已得各字符
间的先后关系。对于长为n且各字符互异的所有
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。
由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。
本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。
由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。
枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。
2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。
直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。
最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。
3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。
插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。
插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。
缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。
4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。
在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。
遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。
缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。
5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。
在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。
动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。
缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。
以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种典型的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的研究意义和应用价值。
TSP常用来描述一个旅行商在给定的一系列城市之间寻找最短路径的问题，即如何选择最短路径经过所有城市并回到起始城市。
针对TSP问题，有多种求解方法可供选择，下面将介绍一些常用的方法及其优缺点。
1.穷举法穷举法是一种非常简单和直观的方法，它会列举出所有可能路径并计算它们的总长度，然后从中选择最短的路径作为最优解。
穷举法的优点是能够保证找到最优解，但当城市数量较多时，计算量呈指数级增长，很难在合理的时间内得到结果。
2.贪婪算法贪婪算法是一种基于局部最优策略的求解方法。
它从一些城市出发，在每一步选择离当前城市最近的未访问过的城市作为下一步访问的城市，直到所有城市都访问过并回到起始城市。
贪婪算法的优点是简单、易于实现，计算速度较快。
然而，贪婪算法并不能保证得到最优解，可能会陷入局部最优解。
3.动态规划动态规划是一种通过将原问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题的方法。
对于TSP问题，可以使用动态规划求解。
动态规划的优点是能够在较短的时间内找到最优解，但由于需要存储大量的中间结果，空间复杂度较高。
4.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法。
它通过对候选解进行遗传操作（交叉、变异等），然后根据适应度函数来评估和选择较好的解进行下一轮进化，直到满足停止条件为止。
遗传算法的优点是适用于大规模问题，能够得到较优解，但其需要调整一些参数，并且收敛速度较慢。
5. Lin-Kernighan启发式算法Lin-Kernighan启发式算法是一种基于局部优化的TSP求解方法。
它采用迭代的方式，在每一步通过反转局部路径来优化当前解，直到达到停止条件。
Lin-Kernighan算法的优点是计算速度较快，对于大规模问题也有较好的效果。
tsp问题有几种方案
TSP问题有几种方案引言TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，找出一条最短路径，使得旅行商可以从起始城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到起始城市。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学领域被广泛研究。
本文将介绍TSP问题的几种解决方案。
1. 暴力法暴力法是最简单直接的解决TSP问题的方法。
该方法通过枚举所有可能的路径，并计算每个路径的总距离，最后找出最短路径。
但是，由于TSP问题的解空间随着城市数量的增加呈指数级增长，因此暴力法的时间复杂度非常高，不适用于大规模的问题。
2. 穷举法穷举法是改进的暴力法，通过剪枝操作减少了暴力法的时间复杂度。
穷举法一般使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来遍历解空间，并在搜索过程中记录当前路径的总距离。
当搜索到目标节点时，更新最短路径。
穷举法的时间复杂度仍然很高，但相比暴力法有所改善。
3. 动态规划动态规划是一种常用的解决TSP问题的方法。
动态规划通过将原问题划分为若干子问题，并记录每个子问题的最优解，从而通过计算较小规模的问题得到整体问题的最优解。
具体来说，动态规划中的状态转移方程可以表示为：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])，其中 S 表示已经访问过的城市集合，i 表示当前城市，j 表示 i 的上一个访问的城市。
通过迭代计算出 dp[S][i]，最后找出使得 dp[S][i] + d[i][0] 最小的 i 值作为最优路径的终点。
4. 贪心算法贪心算法是一种启发式算法，它通过贪心地选择当前最优解来逐步构建整体问题的解。
在TSP问题中，贪心算法每一步都选择离当前城市最近的未访问过的城市，直到遍历完所有城市。
然而，贪心算法并不能保证得到最优解，因为局部最优解并不一定是全局最优解。
5. 遗传算法遗传算法是一种演化算法，模拟生物进化的过程来寻找最优解。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（TSP）是一个组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够访问一系列城市并返回起始点。
TSP由于其复杂性而被广泛研究，已经发展出了许多求解方法。
本文将讨论几种主要的TSP求解方法，包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法，并分析它们的优缺点。
1.贪婪算法贪婪算法是一种基于贪心策略的求解方法。
它从一个起始城市开始，每次选择距离当前城市最近的未被访问过的城市作为下一步的目标城市，直到所有的城市都被访问过。
贪婪算法的优点是简单易于理解和实现，并且在处理小规模问题时效果显著。
然而，贪婪算法没有考虑全局最优解，很容易陷入局部最优解，不能保证找到最优解。
2.局部算法局部算法是一类启发式算法，它通过不断优化当前解来逐步接近最优解。
其中最典型的是2-opt算法，它通过交换路径中的两个顶点位置来改进解的质量。
局部算法的优点是可以找到局部最优解，且计算时间较短。
然而，局部算法容易陷入局部最优解，而且计算开销随问题规模增加而增加，且不能保证找到全局最优解。
3.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的随机算法。
它通过模拟遗传、交叉和变异等基因操作来生成和改进解。
遗传算法的优点是可以处理大规模问题，且不容易陷入局部最优解。
同时，遗传算法能够在空间中探索多个解，提高解的多样性。
然而，遗传算法的计算开销相对较高，需要大量的迭代和种群更新。
此外，遗传算法的性能与参数设置相关，需要进行调整。
4.蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法。
它通过模拟蚂蚁在路径上释放信息素的过程，来引导蚂蚁选择路径。
蚁群算法的优点是能够找到较好的解并具有一定的自适应性。
它适用于处理大规模问题，且能够处理问题中的不确定性。
然而，蚁群算法的计算开销较高，并且参数设置对结果影响较大。
综上所述，TSP的求解方法包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法等。
每种方法都有自己的优点和缺点。
选择适合问题规模、问题特征和求解时间的方法是关键。
旅行商问题的几种求解算法比较
旅行商问题的几种求解算法比较作者:(xxx学校)摘要:TSP问题是组合优化领域的经典问题之一,吸引了许多不同领域的研究工作者,包括数学,运筹学,物理,生物和人工智能等领域,他是目前优化领域里的热点.本文从动态规划法,分支界限法,回溯法分别来实现这个题目,并比较哪种更优越,来探索这个经典的NP(Nondeterministic Polynomial)难题.关键词:旅行商问题求解算法比较一.引言旅行商问题(Travelling Salesman Problem),是计算机算法中的一个经典的难解问题,已归为NP 一完备问题类.围绕着这个问题有各种不同的求解方法,已有的算法如动态规划法,分支限界法,回溯法等,这些精确式方法都是指数级(2n)[2,3]的,根本无法解决目前的实际问题,贪心法是近似方法,而启发式算法不能保证得到的解是最优解,甚至是较好的解释.所以我认为很多问题有快速的算法(多项式算法),但是,也有很多问题是无法用算法解决的.事实上,已经证明很多问题不可能在多项式时间内解决出来.但是,有很多很重要的问题他们的解虽然很难求解出来,但是他们的值却是很容易求可以算出来的.这种事实导致了NP完全问题.NP表示非确定的多项式,意思是这个问题的解可以用非确定性的算法"猜"出来.如果我们有一个可以猜想的机器,我们就可以在合理的时间内找到一个比较好的解.NP-完全问题学习的简单与否,取决于问题的难易程度.因为有很多问题,它们的输出极其复杂,比如说人们早就提出的一类被称作NP-难题的问题.这类问题不像NP-完全问题那样时间有限的.因为NP-问题由上述那些特征,所以很容易想到一些简单的算法――把全部的可行解算一遍.但是这种算法太慢了(通常时间复杂度为O(2^n))在很多情况下是不可行的.现在,没有知道有没有那种精确的算法存在.证明存在或者不存在那种精确的算法这个沉重的担子就留给了新的研究者了,或许你就是成功者.本篇论文就是想用几种方法来就一个销售商从几个城市中的某一城市出发,不重复地走完其余N—1个城市,并回到原出发点,在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条,比较是否是最优化,哪种结果好.二.求解策略及优化算法动态规划法解TSP问题我们将具有明显的阶段划分和状态转移方程的规划称为动态规划,这种动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的,具有严格的数学形式,适合用于理论上的分析.在实际应用中,许多问题的阶段划分并不明显,这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦.一般来说,只要该问题可以划分成规模更小的子问题,并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解(即满足最优子化原理),则可以考虑用动态规划解决.所以动态规划的实质是分治思想和解决冗余,因此,动态规划是一种将问题实例分解为更小的,相似的子问题,并存储子问题的解而避免计算重复的子问题,以解决最优化问题的算法策略.旅行商问题(TSP问题)其实就是一个最优化问题,这类问题会有多种可能的解,每个解都有一个值,而动态规划找出其中最优(最大或最小)值的解.若存在若干个取最优值的解的话,它只取其中的一个.在求解过程中,该方法也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解,但与分治法和贪心法不同的是,动态规划允许这些子问题不独立,(亦即各子问题可包含公共的子子问题)也允许其通过自身子问题的解作出选择,该方法对每一个子问题只解一次,并将结果保存起来,避免每次碰到时都要重复计算.关于旅行商的问题,状态变量是gk(i,S),表示从0出发经过k个城市到达i的最短距离,S为包含k个城市的可能集合,动态规划的递推关系为:gk(i,S)=min[gk-1(j,S\{j})+dji] j属于S,dji表示j-i的距离.或者我们可以用:f(S,v)表示从v出发,经过S中每个城市一次且一次,最短的路径.f(S,v)=min { f(S-{u},u)+dist(v,u) }u in Sf(V,1)即为所求2.分支限界法解TSP问题旅行商问题的解空间是一个排列树,与在子集树中进行最大收益和最小耗费分枝定界搜索类似,使用一个优先队列,队列中的每个元素中都包含到达根的路径.假设我们要寻找的是最小耗费的旅行路径,那可以使用最小耗费分枝定界法.在实现过程中,使用一个最小优先队列来记录活节点,队列中每个节点的类型为M i n H e ap N o d e.每个节点包括如下区域: x(从1到n的整数排列,其中x [ 0 ] = 1 ),s(一个整数,使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [ s + 1 : n - 1 ]),c c(旅行路径前缀,即解空间树中从根节点到当前节点的耗费),l c o s t(该节点子树中任意叶节点中的最小耗费), rc o s t(从顶点x [ s : n - 1 ]出发的所有边的最小耗费之和).当类型为M i n He a p N o d e ( T )的数据被转换成为类型T时,其结果即为l c o s t的值.分枝定界算法的代码见程序.程序首先生成一个容量为1 0 0 0的最小堆,用来表示活节点的最小优先队列.活节点按其l c o s t值从最小堆中取出.接下来,计算有向图中从每个顶点出发的边中耗费最小的边所具有的耗费M i n O u t.如果某些顶点没有出边,则有向图中没有旅行路径,搜索终止.如果所有的顶点都有出边,则可以启动最小耗费分枝定界搜索.根的孩子(图1 6 - 5的节点B)作为第一个E-节点,在此节点上,所生成的旅行路径前缀只有一个顶点1,因此s=0, x[0]=1, x[1:n-1]是剩余的顶点(即顶点2 , 3 ,., n ).旅行路径前缀1 的开销为0 ,即c c = 0 ,并且,r c o st=n i=1M i n O u t .在程序中,bestc 给出了当前能找到的最少的耗费值.初始时,由于没有找到任何旅行路径,因此b e s t c的值被设为N o E d g e.程序旅行商问题的最小耗费分枝定界算法templateT AdjacencyWDigraph::BBTSP(int v[]){// 旅行商问题的最小耗费分枝定界算法// 定义一个最多可容纳1 0 0 0个活节点的最小堆MinHeap > H(1000);T *MinOut = new T [n+1];// 计算MinOut = 离开顶点i的最小耗费边的耗费T MinSum = 0; // 离开顶点i的最小耗费边的数目for (int i = 1; i <= n; i++) {T Min = NoEdge;for (int j = 1; j <= n; j++)if (a[j] != NoEdge &&(a[j] < Min || Min == NoEdge))Min = a[j];if (Min == NoEdge) return NoEdge; // 此路不通MinOut = Min;MinSum += Min;}// 把E-节点初始化为树根MinHeapNode E;E.x = new int [n];for (i = 0; i < n; i++)E.x = i + 1;E.s = 0; // 局部旅行路径为x [ 1 : 0 ] = 0; // 其耗费为0E.rcost = MinSum;T bestc = NoEdge; // 目前没有找到旅行路径// 搜索排列树while (E.s < n - 1) {// 不是叶子if (E.s == n - 2) {// 叶子的父节点// 通过添加两条边来完成旅行// 检查新的旅行路径是不是更好if (a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] != NoEdge && a[E.x[n-1]][1] != NoEdge && ( + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1] < bestc || bestc == NoEdge)) {// 找到更优的旅行路径bestc = + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1]; = bestc;E.lcost = bestc;E . s + + ;H . I n s e r t ( E ) ; }else delete [] E.x;}else {// 产生孩子for (int i = E.s + 1; i < n; i++)if (a[E.x[E.s]][E.x] != NoEdge) {// 可行的孩子, 限定了路径的耗费T cc = + a[E.x[E.s]][E.x];T rcost = E.rcost - MinOut[E.x[E.s]];T b = cc + rcost; //下限if (b < bestc || bestc == NoEdge) {// 子树可能有更好的叶子// 把根保存到最大堆中MinHeapNode N;N.x = new int [n];for (int j = 0; j < n; j++)N.x[j] = E.x[j];N.x[E.s+1] = E.x;N.x = E.x[E.s+1]; = cc;N.s = E.s + 1;N.lcost = b;N.rcost = rcost;H . I n s e r t ( N ) ; }} // 结束可行的孩子delete [] E.x;} // 对本节点的处理结束try {H.DeleteMin(E);} // 取下一个E-节点catch (OutOfBounds) {break;} // 没有未处理的节点}if (bestc == NoEdge) return NoEdge; // 没有旅行路径// 将最优路径复制到v[1:n] 中for (i = 0; i < n; i++)v[i+1] = E.x;while (true) {//释放最小堆中的所有节点delete [] E.x;try {H.DeleteMin(E);}catch (OutOfBounds) {break;}}return bestc;}while 循环不断地展开E-节点,直到找到一个叶节点.当s = n - 1时即可说明找到了一个叶节点.旅行路径前缀是x [ 0 : n - 1 ],这个前缀中包含了有向图中所有的n个顶点.因此s = n - 1的活节点即为一个叶节点.由于算法本身的性质,在叶节点上lco st 和cc 恰好等于叶节点对应的旅行路径的耗费.由于所有剩余的活节点的lcost 值都大于等于从最小堆中取出的第一个叶节点的lcost 值,所以它们并不能帮助我们找到更好的叶节点,因此,当某个叶节点成为E-节点后,搜索过程即终止.while 循环体被分别按两种情况处理,一种是处理s = n - 2的E-节点,这时,E-节点是某个单独叶节点的父节点.如果这个叶节点对应的是一个可行的旅行路径,并且此旅行路径的耗费小于当前所能找到的最小耗费,则此叶节点被插入最小堆中,否则叶节点被删除,并开始处理下一个E-节点.其余的E-节点都放在while 循环的第二种情况中处理.首先,为每个E-节点生成它的两个子节点,由于每个E-节点代表着一条可行的路径x [ 0 : s ],因此当且仅当是有向图的边且x [ i ]是路径x [ s + 1 : n - 1 ]上的顶点时,它的子节点可行.对于每个可行的孩子节点,将边的耗费加上 即可得到此孩子节点的路径前缀( x [ 0 : s ],x) 的耗费c c.由于每个包含此前缀的旅行路径都必须包含离开每个剩余顶点的出边,因此任何叶节点对应的耗费都不可能小于cc 加上离开各剩余顶点的出边耗费的最小值之和,因而可以把这个下限值作为E-节点所生成孩子的lcost 值.如果新生成孩子的lcost 值小于目前找到的最优旅行路径的耗费b e s t c,则把新生成的孩子加入活节点队列(即最小堆)中.如果有向图没有旅行路径,程序返回N o E d g e;否则,返回最优旅行路径的耗费,而最优旅行路径的顶点序列存储在数组v 中.3.回朔法解TSP问题回朔法有"通用解题法"之称,它采用深度优先方式系统地搜索问题的所有解,基本思路是:确定解空间的组织结构之后,从根结点出发,即第一个活结点和第一个扩展结点向纵深方向转移至一个新结点,这个结点成为新的活结点,并成为当前扩展结点.如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向转移,则当前扩展结点成为死结点.此时,回溯到最近的活结点处,并使其成为当前扩展结点,回溯到以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直到找到所求解空间中已经无活结点为止.旅行商问题的解空间是一棵排列树.对于排列树的回溯搜索与生成1,2,……, n的所有排列的递归算法Perm类似.设开始时x=[ 1,2,… n ],则相应的排列树由x[ 1:n ]的所有排列构成.旅行商问题的回溯算法找旅行商回路的回溯算法Backtrack是类Treveling的私有成员函数,TSP是Treveling的友员.TSP(v)返回旅行售货员回路最小费用.整型数组v返回相应的回路.如果所给的图G不含旅行售货员回路,则返回NoEdge.函数TSP所作的工作主要是为调用Backtrack所需要变量初始化.由TSP调用Backtrack(2)搜索整个解空间.在递归函数Backtrack中,当i = n时,当前扩展结点是排列树的叶结点的父结点.此时,算法检测图G是否存在一条从顶点x[ n-1 ]到顶点x[ n ]的边和一条从顶点x[ n ]到顶点1的边.如果这两条边都存在,则找一条旅行售货员回路.此时,算法还需判断这条回路的费用是否优于已找到的当前最优回路的费用best.如果是,则必须更新当前最优值bestc和当前最优解bestx.当i < n时,当前扩展结点位于排列树的第i–1 层.图G中存在从顶点x[ i-1 ]到顶点x[ i ]的边时,x[ 1:i ]构成图G的一条路径,且当x[ 1:i ]的费用小于当前最优值时,算法进入排列树的第I 层.否则将剪去相应的子树.算法中用变量cc记录当前路径x[ 1:i ]的费用.解旅行商售货员问题的回溯法可描述如下:templateclass Traveling {friend Type TSP(int * *,int [],Type);private:void Backtrack(int i);int n, //图G的顶点数* x, //当前解*bestx; //当前最优解Type * *a, //图G的邻接矩阵cc, //当前费用bestc, //当前最优值NoEdge; //无边际记};templatevode Traveling::Backtrack(int i){if(I==n){if(a[x[n-1]][x[n]]! = NoEdge &&a[x[n]][1]!= NoEdge &&(cc + a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]bestc== NoEdge) ){for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestc =cc + a[x[n-1]][x[n]]+ a[x[n]][1];}}else {for(int j=I; j<=n;j++)//是否可进入x[j]子树if(a[x[i-1]][x[j]]! = NoEdge &&(cc + a[x[i-1]][x[i]]< bestc||bestc == NoEdge//搜索子数Swap(x[i],x[j]);cc += a[x[i-1]][x[i]];Backtrack(I+1);cc -= a[x[i-1]][x[i]];Swap(x[i],x[j]);}}}templateType TSP(Type * *a,int v[],int n,Type NoEdge){Traveling Y;//初始化YY.x = new int[n+1];// 置x为单位排列for(int i=1;i<=n;i++)Y.x[i] = I;Y.a=a;Y.n=n;Y.bestc = NoEdge;Y.bestc = v; = 0;Y. NoEdge = NoEdge;//搜索x[2:n]的全排列Y.Backtrack(2);Delete[] Y.x;三.三种方法的比较1.动态规划法和回朔法的比较:这本来就是两个完全不同的领域,一个是算法领域,一个是数据结构问题.但两者又交叉,又有区别.从本质上讲就是算法与数据结构的本质区别,回朔是一个具体的算法,动态规划是数据结构中的一个概念.动态规划讲究的是状态的转化,以状态为基准,确定算法,动态规划法所针对的问题有一个显著的特征,即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复.动态规划法的关键就在于,对于重复出现的子问题,只在第一次遇到时加以求解,并把答案保存起来,让以后再遇到时直接引用,不必重新求解.简单的说就是:动态规划法是从小单元开始积累计算结果.回朔讲究过程的推进与反还,随数据的搜索,标记,确定下一步的行进方向,回朔是去搜索. 如果想要搜索时,发现有很多重复计算,就应该想到用动态规划了.动态规划和搜索都可以解决具有最优子结构的问题,然而动态规划在解决子问题的时候不重复计算已经计算过的子问题,对每个子问题只计算一次;而简单的搜索则递归地计算所有遇到的的子问题.比如一个问题的搜索树具有如下形式:........A......./.......B...C...../.\./.....D...E...F如果使用一般深度优先的搜索,依次搜索的顺序是A-B-D-E-C-E-F,注意其中节点E被重复搜索了两次;如果每个节点看作是一个子问题的话,节点E所代表的子问题就被重复计算了两次; 但是如果是用动态规划,按照树的层次划分阶段,按照自底向上的顺序,则在第一阶段计算D,E,F;第二阶段计算B,C;第三阶段计算A;这样就没有重复计算子问题E.搜索法的优点是实现方便,缺点是在子问题有大量的重复的时候要重复计算子问题,效率较低;动态规划虽然效率高,但是阶段的划分和状态的表示比较复杂,另外,搜索的时候只要保存单前的结点;而动态规划则至少要保存上一个阶段的所有节点,比如在动态规划进行到第2阶段的时候,必须把第三阶段的D,E,F三个节点全部保存起来,所以动态规划是用空间换时间.另外,有一种折衷的办法,就是备忘录法,这是动态规划的一种变形.该方法的思想是:按照一般的搜索算法解决子问题,但是用一个表将所有解决过的子问题保存起来,遇到一个子问题的时候,先查表看是否是已经解决过的,如果已解决过了就不用重复计算.比如搜索上面那棵树,在A-B-D-E的时候,已经将E记录在表里了,等到了A-B-D-E-C的时候,发现E已经被搜索过,就不再搜索E,而直接搜索F,因此备忘录法的搜索顺序是A-B-D-E-C-(跳过E)-F自底向上的动态规划还有一个缺点,比如对于下面的树:........A......./.......B...C......G...../.\./.\..../.....D...E...F..H (I)如用自底向上的动态规划,各个阶段搜索的节点依次是:D,E,F,H,IB,C,GAA才是我们最终要解决的问题,可以看到,G,H,I根本与问题A无关,但是动态规划还是将它们也解决了一遍,这就造成了效率降低.而备忘录法则可以避免这种问题,按照备忘录法,搜索的次序仍然是:A-B-D-E-C-(跳过E)-F.备忘录法的优点是实现简单,且在子问题空间中存在大量冗余子问题的时候效率较高;但是要占用较大的内存空间(需要开一个很大的表来记录已经解决的子问题),而且如果用递归实现的话递归压栈出栈也会影响效率;而自底向上的动态规划一般用for循环就可以了.值得一提的是,用动态规划法来计算旅行商的时间复杂度是指数型的.2. 分支限界法和回朔法的比较:分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法.但在一般情况下,分支限界与回溯法的求解目标不同.回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解.我们先看一个列子:设G=(V,E)是一个带权图.图1中各边的费用(权)为一正数.图中的一条周游线是包括V中的每个顶点在内的一条回路.一条周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和.所谓旅行售货员问题就是要在图G中找出一条有最小费用的周游路线.给定一个有n个顶点的带权图G,旅行售货员问题要找出图G的费用(权)最小的周游路线.图1是一个4顶点无向带权图.顶点序列1,2,4,3,1;1,3,2,4,1和1,4,3,2,1是该图中3条不同的周游路线.1 256 1043 20 4图1 4顶点带权图该问题的解空间可以组织成一棵树,从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图G的一条周游路线.图1是当n=4时这种树结构的示例.其中从根结点A到叶结点L的路径上边的标号组成一条周游路线1,2,3,4,1.而从根结点到叶结点O的路径则表示周游路线1,3,4,2,1.图G的每一条周游路线都恰好对应解空间树中一条从根结点到叶结点的路径.因此,解空间树中叶结点个数为(n-1)!.A1B2 3 4C D E3 24 2 3F G H I J K4 3 4 2 3 2L M N O P Q图2 旅行售货员问题的解空间树对于图1中的图G,用回溯法找最小费用周游路线时,从解空间树的根结点A出发,搜索至B,C,F,L.在叶结点L处记录找到的周游路线1,2,3,4,1,该周游路线的费用为59.从叶结点L返回至最近活动结点F处.由于F处已没有可扩展结点,算法又返回到结点C处.结点C成为新扩展结点,由新扩展结点,算法再移至结点G 后又移至结点M,得到周游路线1,2,4,3,1,其费用为66.这个费用不比已有周游路线1,2,3,4,1的费用小.因此,舍弃该结点.算法有依次返回至结点G,C,B.从结点B,算法继续搜索至结点D,H,N.在叶结点N算法返回至结点H,D,然后再从结点D开始继续向纵深搜索至结点O.依次方式算法继续搜索遍整个解空间,最终得到1,3,2,4,1是一条最小费用周游路线.以上便是回溯法找最小费用周游路线的实列,但如果我们用分支限界法来解的话,会更适合.由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同.回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T,而分支限界法则以广度优先或以最小消耗优先的方式搜索解空间树T.分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活动点表中选择下一个扩展结点.为了有效地选择下一扩展结点,以加速搜索的进程,在每一活结点处,计算一个函数值(限界),并根据这些已计算出的函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上的最优解的分支推进,以便尽快的找出一个最优解.四.结论:参考文献:动态规划dynamic programming图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：dongtai guihua动态规划(卷名：自动控制与系统工程)dynamic programming研究多段（多步）决策过程最优化问题的一种数学方法，英文缩写DP，是最优控制和运筹学的重要数学工具。
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2010年第5期(总第77期)
边疆经济与文化
THE BORDER ECONOMY AND CULT URE
No 1512010General 1No 177
10
B I A N J I A N G J I N G J I Y U W EN HUA
【旅游经济】
求解旅行商问题的几种解法
高春涛
(哈尔滨商业大学基础科学学院,哈尔滨150028)
摘 要:旅行商问题(TSP )是一个典型的NP 完全问题,现在还没有找到有效的解法。
目前比较热门的求解TSP 问题的方法主要有四种:神经网络算法;模拟退火算法;遗传算法;蚁群算法。
关键词:旅行商问题;组合优化;解法
中图分类号:F 592 文献标志码:A 文章编号:167225409(2010)0520010202
收稿日期:2010201222作者简介:高春涛(1973
),女,黑龙江拜泉人,讲师,硕士,主要从事混沌神经网络研究。
一、引言
旅行商问题(Traveling Sales man Pr oble m ),是指给定n 个城市,任何两城市之间皆有路连通,其距离为已知,某旅行商从其中某城市出发,要经过每城市一次,且只能一次,最后又必须返回出发城市,要求找出最短的巡回路径。
由于在很多实际问题中,如印刷电路板的铅孔路线方案、连锁店的货物配送路线等问题经过简化处理,均可建模为旅行商问题,因而对旅行商问题求解方法的研究具有重要的应用价值。
旅行商问题是运筹学中有代表性的组合优化问题,也是典型的NP 完全问题。
虽然它陈述起来很简单,但求解却很困难,对于具有n 个城市的TSP 问题,其可能的路径数目为(n -1)!/2,至今尚未找到有效的求解方法,在理论上枚举法可以解决这一问题,但是当n 较大时,解题的时间消耗会使枚举法显得没有任何实际价值。
因此寻求一种求解时间短,能满足实际问题精度要求的解,成为解决该问题的主要途径。
二、TSP 求解方法
求解旅行商问题的方法可以分为两大类,一类是精确算法,目的是要找到理论最优解;另一类是近似算法,其算法简单,计算量小,大多数情况下求得的满意解能满足要求。
1.Hopfield 神经网络算法
1982年,Hopfield 开创性地在物理学、神经生物学和计算机科学等领域架起了桥梁,提出了Hopfield 反馈神经网络模型(HNN )。
Hopfield 网络是典型的全连接网络,通过在网络中引入能量函数以构造动力学系统,并使网络的平衡态与能量函数
的极小解相对应,从而将求解能量函数极小解的过程转化为网络向平衡态的演化过程。
尤其是通过对TSP 问题的成功求解,开辟了神经网络模型在计算机科学应用中的新天地,动态反馈网络从而受到广泛的研究和关注,被广泛应用于优化问题中,且已
设计出了专用的硬件电路。
[1]
Hopfield 网络是一种非线性动力学模型,通过引入类似Lyapunov 函数的能量函数概念,把神经网络的拓扑结构(用连接矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)对应起来,转换成神经网络动力学系统的演化问题。
因此,在用Hopfield 网络求解优化问题之前,必须将问题映射为相应的神经网络。
对TSP 问题的求解,首先将问题的合法解映射为一个置换矩阵,并给出相应的能量函数,然后将满足置换矩阵要求的能量函数的最小值与问题的最优解相对应。
2.模拟退火算法
模拟退火算法最初的思想由Metr opolis 在1953
年提出,[2]
Kirkpatrick 在1983年成功地将其应用在组合最优化问题中。
模拟退火算法的出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。
模拟退火算法在某一初温下,伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特征在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解,即在局部优解能
概率性地跳出并最终趋于全局最优。
[1]
用固体退火模拟组合优化问题,将内能E 模拟为目标函数f,温度T 演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:有初始解i 和控制参数初值t 开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t 值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解。
高春涛:求解旅行商问题的几种解法
B I A N J I A N G J I N G J I Y U W EN HUA
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解决TSP 问题的模拟退火算法的框架为:[3]
给定起、止“温度”T,T 0和退火速度a,初始的一条路径C 0;W hile (T >T 0)do;在C 0的邻域内产生另一条路径C 1;计算两条路径所引起的目标函数(能量)值的变化△E;若△E ≤0,接受新值,若exp (-△E /T )>rand (0,1)(rand (0,1)表示0～1之间的随机数,也接受新值,否则就拒绝;确定新的参数值,若扰动被接受,则C0←C1,否则不变化;若接受新值,降温T ←aT,否则不降温;End 。
模拟退火算法的实验性能具有质量高、初值鲁棒性强、通用易实现的优点。
但是,为寻到最优解,算法通常要求较高的初温、较慢的降温速率、较低的终止温度以及各温度下足够多次的抽样,因而模拟退火算法往往优化过程较长,这也是模拟退火算法最大的缺点。
3.遗传算法
遗传算法(Genetic A lgorith m s 简称G A )是基于生物进化原理的普适性全局优化算法,是美国M ichigan 大学的Holland 教授于1975年受进化论的启发而首次提出的。
它引进生物学中基因遗传和“自然选择,适者生存”的进化思想,将优化问题的求解看成可行解的进化过程。
一般地,遗传算法以一群随机产生的可行解开始,每个解用一串编码表示为个体,由优化目标函数确定个体的适应度对个体进行评价。
通过交叉、变异等遗传算子的操作对种群进行组合产生下一代个体,逐步向优化的种群进化。
与传统的优化方法相比,遗传算法的主要特点是:遗传算法使用参数的编码集,而不是参数本身进行操作;遗传算法不在单点上寻优,而是从整个种群中选择生命力强的个体产生新的种群;遗传算法仅使用问题的目标函数进行工作,不需要其他的先决条件或辅助信息;遗传算法使用随机转换原理而不是确定性规则来工作。
遗传算法在具体实施中有多种变形和修正,其
主要操作思想可描述成:[4]
Step 1问题的染色体表示;Step2初始解组(种群)的生成;Step3计算解组中各个解的适值函数(代价函数);Step4从解组中随机抽取两个解作为父母代;Step5对父母代实施遗传操作(交叉、变异等)以产生一个后代解;
Step6按某种规则,用该后代解替代原解组中的某个解;Step7若当前解组符合停机条件,则算法终止,否则,转Step4。
遗传算法的优点是算法进行全空间并行搜索,并将搜索重点集中于性能高的部分,从而能够提高效率且不易陷入局部极小;算法具有固有的并行性,提高对种群的遗传处理可处理大量的模式,并
且容易并行实现。
其主要缺点是对于结构复杂的组合优化问题,搜索空间大,搜索时间比较长,往往会出现早熟收敛的情况;对初始种群很敏感,初始种群的选择常常直接影响解的质量和算法效率。
4.蚁群算法
蚁群算法(Ant Col ony A lgorithm ,简称ACA )是由意大利学者Dorigo M 等人首先提出来的一种新型的模拟进化算法。
它是从对蚁群行为的研究中产生的。
仿生学家经过大量细致观察与研究发现,原来蚂蚁在寻食的过程中,通过一种称之为信息素的物质相互传递信息。
更具体地说,蚂蚁在运动过程中能够在它所经过的路径上留下信息素,而且在运动过程中感知这种信息素的存在及其强度,并以此指导自己的运动方向。
蚂蚁倾向于朝着信息素强度高的方向前进,因此,由大量蚂蚁组成的蚁群的行为便表现出一种信息的正反馈现象:某一路径上走过的蚂蚁越多,则后来者选择该路径的概率就越大。
蚂蚁群就是通过个体之间这种信息交换机制来彼此协作达到搜索食物的目的。
为了避免蚂蚁两次走上同一条路径,为每个蚂蚁设置一个禁忌表以记录它走过的路径。
蚁群算法的优点在于:它是一种自适应、自组织、本质上并行的方法,而且是一种正向反馈的方法,可以促使整个系统向最优解进化,具有较强的鲁棒性,对蚁群算法模型稍加修改,就可以应用于其他问题,同时它可以与多种启发式算法结合,以改善算法的性能。
但是该算法也具有收敛速度慢、易陷入局部最优等缺点。
此外,算法中的参数设定目前尚无理论的依据,要靠实验来调整和确定。
TSP 问题是组合优化领域中的一个典型问题,解决此问题有较大的现实意义,并且此问题也可作为测试新的算法的标准问题,因此此问题一直是研究的热点。
参考文献:[1] 王 凌.智能优化算法及其应用[M ].北京:清华大学出版社,2001.
[2] M ETROP LO I S N,ROSE NBLUT B A W ,ROSE NBLUT B M N,ET AL.Equati on of State Calculati ons Fast Computing Machines
[J ].J of che m ical physica,1953,21(6):1087-1092.[3] 高 尚.求解旅行商问题的模拟退火算法[J ].华东船舶工业学院学报:自然科学版,2003,17(3):13-16.[4] 马 良.旅行推销员问题的算法综述[J ].数学的实践与认识,2000,30(2):156-165.
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