1.1随机事件及其运算

记X、 Y分别为第一、二粒骰子出现的点数，则： （1）事件“点数之和等于5”可表示为 {( X ,Y ) | X Y 5} { X Y 5} {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
（2）事件“最大点数为6”可表示为 {max( X ,Y ) 6}
事件表示法
1.语言法 2.集合法 3.随机变量法
“事件A不发生”，称
为 A 的对立（逆）事件 . 记
作Ā. 即
A
A
A { x | x A}
Ω
注1：若事件A, B 满足A∪B= Ω，且AB= .则 称事件A与B互为对立（逆）事件.
思考：事件A与B互为对立和事件A与B互不相
容的关系？
1.1.6 事件的运算
对立事件与互不相容事件的区别
A、B 互不相容 A、B 对立
例2:抛二粒骰子的样本空间为：
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
通俗地讲，试验中可能发生也可能不发生的结 果，称为随机事件.
例 购买体育彩票一张，“中特等奖”、“中
奖”、 “中三等奖”均为随机事件.
一般地，试验的若干样本点组成的集合，称为
随机事件，简称为事件. 常用大写字母A,B,C,…表示.
试验的样本空间Ω与事件A的关系?
集合的角度：全集与子集 ，
A
1.1.3 随机事件
例2:在一批灯泡中任意抽取一只 ,测试它的寿命. 事件B:“寿命小于1000小时”,则
B={t|0≤t<1000}
例 3: 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 . 事 件C:“最高温度与最低温度相差10度”,则
C={(x,y)|y-x =10, T0≤x≤y≤T1}
思考：说事件A发生意味着什么？什么条
A B A B
AB A B
A A
k 1 k k 1


k
A A .
k 1 k k 1 k


1.1.6 事件的运算
例1
设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件
用A,B,C 表示出来. (1) A 出现 , B, C 不出现;
AB C
(2) A, B都出现, C 不出现; ABC (3) 三个事件都出现;
B={寿命超过20000小时”}={T| T>20000}.
则BA.
1.1.5.2 相等关系
若事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导 致A发生，则称事件A与B相等. 记作A = B . 即 AB且BA A＝B . 例1 抛二粒骰子，A={二粒骰子点数之和为奇数}， B ={二粒骰子的点数为一奇一偶} . 则 A = B.
件. 1.1.5.1 包含关系 若事件A发生必导致事件B B B A Ω AB 发生，则称事件B包含事件 A. 记作A B .
A B.
例1: 抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出
现偶数点” 则A. B .
例2:记T为电视机的寿命, 令
A={寿命超过10000小时}={T| T>10000}，
A
B

A
BA

AB
A B 且 AB
对 立
互不相容
练习：
1.将差事件A-B表示成积的形式. 2. 将和事件A∪B表示成互不相容事件的和.
A B AB A AB
A B AB AB AB A AB B AB
1.6.5 事件运算的规则
件下说某事件A发生？
例 掷一粒骰子，记A,B,C分别表示“出现大
点”, “出现幺点”，“出现偶数点”. 若出现6点， 则事件A,C均发生，但事件B不发生. ※ 称事件A发生，当且仅当A中的某个样本点出现.
※ 在每一次试验中都发生的事件，称为必然事件
（Certain Event),记为Ω. 在每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件
例1 将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现
的情况.用集合表示下列事件.
Ω={H （1）事件A1={第一次出现的是正面H},则 HH,H A1={HHH,HHT,HTH,HTT} HT,H TH,T （2）事件A ={三次出现同一面},则 2 HH,H A2={HHH,TTT} TT,T HT,T （3）事件A3={出现二次正面},则 TH,T A3={HHT，HTH，THH} TT}
(Impossible event )，记为.
1.1.4 随机变量(random variable)
直观定义
随试验结果的不同而变化的量称为随机变量.通 常用大写字母X,Y,Z,…表示. 例1:抛一粒骰子,记X为出现的点数，则X是一
个随机变量.
（1）事件“出现3点”可用“X=3”表示. （2）事件“出现的点数不小于3”可用“X≥3”表示.
点(Sampling Point ). 例1：抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情
况.则样本空间为
Ω={ω1， ω2} 其中ω1－－正面H朝上，ω2－－反面T朝上. 样本空间也可表示为 Ω = {H, T}
例2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出 现的情况. 则样本空间为 Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} 例3：将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数. 则样本空间为 Ω3={0,1,2,3} 例4：抛一粒骰子,观察出现的点数. 则样本空间为 Ω4={1,2,3,4,5,6}
性，但大量试验或观察中, 结果的出现具有一定的规
律性 －－统计规律性。 如何来刻划随机现象? 对随机现象进行大量重复的观测或实验，关注 的主要内容：
1.有哪些可能的结果------事件；
2. 结果出现的可能性大小------概率。
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机试验
例8 盒中有3个白球（编号为1,2,3）和2个红球
（编号为4,5），从中依次取出两球.
（1）观察两球的颜色. 则样本空间为 Ω={白白，白红，红白，红红} （2）观察出现的号码. 则样本空间为 Ω={12,13,14,15, 21,23,24,25, 31,32,34,35, （3）观察白球的个数. 41,42,43,45, 则样本空间为 51,52,53,54} Ω={0,1,2}
1.1.5.3 互不相容(Incompatible events) 若事件 A 与事件 B 不能同 时发生 , 则称事件 A 与 B 互不 A B
相容 .

例 A={寿命小于10000小时}来自百度文库B=“寿命大于20000小 时” . 则事件A与B互不相容.
1.1.6 事件的运算(operation of events )
样 本 空 间 由 试 验 目 的 而 定
几点说明：
1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数。 2. 样本空间分类 样 本 空 间 样本点的个数 为有限或可列 离散样本空间 个 例1、2、3、4、5、8. 连续样本空间 例6、7. 样本点的个数为 不可列无限个
1.1.3 随机事件(random event)
1.1.6 事件的运算
1.1.6.2 事件的积（交）(Product of events)
“ 事件 A 与 B 都发生”，称 为事件A与B的积（交）.记作 A AB B
A∩B 或AB
即 A∩B=AB ={x|x∈A，x∈B} 命题 若事件A与B互不相容，则AB＝ .反之亦然.
1.1.6 事件的运算
1.1.6.1 事件的和（并）(Union of events) “事件A,B 中至少有一个发 生”，称为事件A与B的和（并 ）.记作A∪B. 即 A∪B={x|x∈A或x∈B} A∪ B A B

注 意
A∪B = {事件A发生或事件B发生} ＝{A 发生,且B不发生;或A不发生,且B 发生;或A ,B都发生}
1.1.6.3 事件的差(Difference of events)
“事件 A 出现而事件 B 不出现”,称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B. 即
A B { x | x A, x B}
图示 A 与 B 的差.
B A
A B A B
B A
B A A B


1.1.6.4 对立(逆）事件(Opposite events)
6
7
0.44 251 22 1 在 处波动较大 25 0.50 249 2 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 0.2 1 21 0.42 256 5 1.0 1 25 0.50 247 在 处波动较小 1 24 0.48 0.2 2 251 2 波动更小 18 0.36 262 0.4 4 0.8 0.54 258 27 0.4 0.6
百货楼，观察所遇到的红灯次数. 例3 从一批灯泡中任取一 只, 测试其寿命.
研究随机现象,就是要研究:
(1) 可能有哪些结果------事件. (2) 每个事件发生的可能性大小--------概率.
1.1.2 样本空间(Sampling Space )
随机试验E的一切可能基本结果组成的集合称为
样本空间,记为Ω={ω}.ω表示基本结果, 又称为样本
随机现象有没有规律？怎样获得其规 律？
掷硬币试验 高尔顿板试验
抛硬币试验
观察正面出现的次数nH及频率f. 试验 序号
1 2 3 4 5
1.1 随机现象
将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍,
n5
n 50
f
nH
2 3
nH
f
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512 0.494
ABC
(4) 三个事件至少有一个出现; A B C (5) 三个事件都不出现;
ABC
(6) 不多于一个事件出现;
ABC ABC ABC ABC
1.1.6 事件的运算
(7) 不多于两个事件出现;
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
或A B C
(8) 三个事件至少有两个出现; ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现;
对随机现象进行的观测或实验统称为随机试验. 1. 在相同条件下可以重复进行. 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明 确试验的所有可能结果. 3. 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
随机试验的例子 例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正
反两面出现的情况. 例2 从学校西门口乘车到市
1. 交换律(Exchange law) A∪B＝B ∪ A，AB＝BA 2. 结合律(Combination law) (A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，(AB)C＝A(BC) 3.分配律(Distributive law) (A ∪ B)C＝(AC) ∪(BC)，(AB) ∪ C＝(A ∪ C)(B ∪ C) 4. 对偶律 (Dual law)
0.502
0.524
0.516
1.1 随机现象
高尔顿(Galton)板试验
试验模型如下所示: 自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰
到钉子时,从左边落下与从右边
落下的机会相等.碰到下一排钉
子时又是如此.最后落入底板中
的某一格子.
1.1 随机现象
请看动画演示
结论
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然
例5 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
则样本空间为 Ω5={0,1,2,3,…} 例6 在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命. 则样本空间为 Ω6={t|t≥0} 例7 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.则样 本空间为 Ω7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1} 这里x表示最低温度,y表示最高温度.
例1:抛一粒骰子,观察出现的点数. 记X为出现的点
数，则样本空间为 ＝{1,2,3,4,5,6} 事件A：“出现的点数不小于3” 集合法 A={3,4,5,6} A={X≥3} 随机变量法 语言描述
1.1.5 事件间的关系(Relation of events )
设试验E的样本空间为Ω , A,B,Ak(k=1,2,…)是事