文字命题的证明
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证明文字命题的一般步骤:
1.分清命题的条件和结论. 2.根据题意画出正确图形. 3.结合图形写出“已知”、“求证”. 4.分析题意,探索证题思路.
5.依据思路写出证明过程。
例1.证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC 的角平分线。 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB(等边对等角). ∵ ∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1∠ACB， 2 2 ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中，
B
C
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC.
A D
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
试一试P86 2
矩形的性质
定理:矩形的两条对角线相等.
A
驶向胜利 的彼岸
D
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. B C 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, 分析:根据矩形的性 ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. 质性质,可转化为全等 三角形(SAS)来证明. ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS).
例8.证明:对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. A 求证:四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC. ∴四边形ABCD是正方形. B O
D
C
例
BFra Baidu bibliotek
D E
C
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， BD＝CE，AD＝AE. 求证： AB＝AC.
回顾
思考
等腰梯形的判定
A D
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.
例7.证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. A 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, B C ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. D O
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来 证明四边形是平行四 边形,可使问题得证.
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB， ∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
◇链接◇ 1.证明：等腰三角形两腰上的高相等.
A
E
B A 2.证明：等腰三角形两腰上的中线相等. E
D C
D
B
C
例2.求证：三角形一边的两个端点到这边中线的距离相等.
已知：如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E, BF⊥AD于F； 求证：CE=BF
∴AC=DB.
随堂练习P88 5
矩形的判定
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
A
驶向胜利 的彼岸
2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
D
求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 . AD∥BC,AB∥CD. ∴ ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
E B F D C A
例3.证明:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
如图，对于以下三个论断： ① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． 请你以其中两个作为条件，另外一个作为结论，补全 下面的题目，并证明你的结论．
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， ， ． A 求证： ．
B
D
E
C
① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． A
已知：如图，在△ABC中，D、E是 BC边上的两点，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
A
1 4 3 2
D
C
B
连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.
例4.求证：梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
A E B
D F C
M
例5.证明:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800. ∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形. B C A D
例6.证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: A D O C
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO. ∵AC⊥BD. ∴∠AOD=∠COD=90°. ∵ OD=OD. ∴ △AOD≌△COD. ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形. B
1.分清命题的条件和结论. 2.根据题意画出正确图形. 3.结合图形写出“已知”、“求证”. 4.分析题意,探索证题思路.
5.依据思路写出证明过程。
例1.证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC 的角平分线。 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB(等边对等角). ∵ ∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1∠ACB， 2 2 ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中，
B
C
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC.
A D
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
试一试P86 2
矩形的性质
定理:矩形的两条对角线相等.
A
驶向胜利 的彼岸
D
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. B C 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, 分析:根据矩形的性 ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. 质性质,可转化为全等 三角形(SAS)来证明. ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS).
例8.证明:对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. A 求证:四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC. ∴四边形ABCD是正方形. B O
D
C
例
BFra Baidu bibliotek
D E
C
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， BD＝CE，AD＝AE. 求证： AB＝AC.
回顾
思考
等腰梯形的判定
A D
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.
例7.证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. A 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, B C ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. D O
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来 证明四边形是平行四 边形,可使问题得证.
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB， ∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
◇链接◇ 1.证明：等腰三角形两腰上的高相等.
A
E
B A 2.证明：等腰三角形两腰上的中线相等. E
D C
D
B
C
例2.求证：三角形一边的两个端点到这边中线的距离相等.
已知：如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E, BF⊥AD于F； 求证：CE=BF
∴AC=DB.
随堂练习P88 5
矩形的判定
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
A
驶向胜利 的彼岸
2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
D
求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 . AD∥BC,AB∥CD. ∴ ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
E B F D C A
例3.证明:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
如图，对于以下三个论断： ① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． 请你以其中两个作为条件，另外一个作为结论，补全 下面的题目，并证明你的结论．
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， ， ． A 求证： ．
B
D
E
C
① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． A
已知：如图，在△ABC中，D、E是 BC边上的两点，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
A
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D
C
B
连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.
例4.求证：梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
A E B
D F C
M
例5.证明:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800. ∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形. B C A D
例6.证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: A D O C
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO. ∵AC⊥BD. ∴∠AOD=∠COD=90°. ∵ OD=OD. ∴ △AOD≌△COD. ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形. B