67 静定结构由于温度变化引起的位移计算

加相应单位荷载， 加相应单位荷载，作 F 图和 M N
1
B t1 =-30℃ C ℃ B t1 =-30℃ ℃ A l t2 =-20℃ ℃ l A l A C l B
图
C B C 1 A
M图
FN 图
∆CV
l2 =− × ( + l 2 ) + α × (−25) × (−1× l ) h 2 15αl 2 15 ×10 −5 × 400 2 =− + 25αl = − + 25 ×10 −5 × 400 h 40 = −0.50cm (↑)
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因此，位移公式（ ） 因此，位移公式（6-9）可进一步简化为
∆ = ∑ ∫ Mdθ + ∑ ∫ FN du
（6-19） ）
式中， 为实际温度状态下， 式中，dθ 和du为实际温度状态下，因材料热胀冷 为实际温度状态下 缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。 缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要 能求出d 的表达式， 能求出 θ 和du的表达式，即可利用（6-19）求得 的表达式 即可利用（ ） 结构的位移。 结构的位移。
形心轴
若令上下边缘温差为
dθ du
αt1ds αt0ds αt2ds
∆t = t 2 − t1
（6-22） ）
t2 ds
则温度引起的微段弯曲变形可表达为
dθ =
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α∆tds
h
（6-23） ）
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五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式
将式（ ），即得 将式（6-21）和式（6-23）代入式（6-19），即得 ）和式（ ）代入式（ ），
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α ×10
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【例6-16】图6-31a所示结构杆 由于制造误差过长∆l=2cm， 】 所示结构杆DE由于制造误差过长 ， 所示结构杆 试求铰C左右两侧截面 左右两侧截面C 试求铰 左右两侧截面 1、C2的相对转角 。 θC C
1 2
θC C
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∆=∑
α ∆t
h
AM + ∑ αt 0 AFN
M
式中 ， A
AFN = ∫ FN ds，为 FN 图的面积。 图的面积。
图的面积； = ∫ M ds ，为 M 图的面积；
对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时， 对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴 向变形的影响一般不容忽视。 向变形的影响一般不容忽视。 六、关于符号的规定 当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正， 当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正， 即其乘积为正，反之则为负。据此， 取绝对值， 即其乘积为正，反之则为负。据此，如∆t取绝对值，则 取绝对值 高温一侧的为正；如t0以升高为正，则以拉为正。 高温一侧的为正； 以升高为正，则以拉为正。
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三、关于du的计算表达式 关于 的计算表达式
截取一微段ds 截面变形之 截取一微段 ,截面变形之 后仍保持为平面。其上侧、 后仍保持为平面。其上侧、 下侧形心轴处纤维伸长分 别为 du1 = at1ds du2 = at2ds du = at0ds 式中， 为材料的温度线膨胀系数 为材料的温度线膨胀系数。 式中，a为材料的温度线膨胀系数。
∆CV
B
1
ds C
t1
t2 A
dθ,du A t1 h1
形心轴
M , FN
h2 h1 αt 0 ds = (αt1ds) + (αt 2 ds) h h
dθ du
αt1ds αt0ds αt2ds
故
h h2 t2 ds
h2 t1 + h1t 2 t0 = h
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（6-20a） ）
6.7
静定结构由于温度变化引起的位移计算
一、关于温度变化的假定 第一，温度沿杆件长度均匀分布； 第一，温度沿杆件长度均匀分布； 第二，温度沿截面高度直线变化。 第二，温度沿截面高度直线变化。 二、静定结构温度变形的特征 静定结构当温度发生变化时， 静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形 但不产生内力），同样可采用单位荷载法。 ），同样可采用单位荷载法 （但不产生内力），同样可采用单位荷载法。由于上 述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能 述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布， 出现剪切变形（即微段dv=0），同时注意到实际状态 ），同时注意到实际状态 出现剪切变形（即微段 ）， 的支座位移为零（ 的支座位移为零（即），
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七、静定结构由于制造误差引起的位移计算
对于桁架，在温度变化时， 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为
∆ = ∑ FN αt 0 l
（6-26） ）
当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时， 当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时， 由此引起的位移计算与温度变化时相类似。 由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长 度的误差为∆l（伸长为正，缩短为负），则位移计算公 度的误差为∆ （伸长为正，缩短为负），则位移计算公 ）， 式为 ∆= FN ∆l （6-27 )
∑
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所示刚架施工时温度为20℃ 【例6-15】图6-30a所示刚架施工时温度为 ℃，试求冬季当 】 所示刚架施工时温度为 外侧温度为-10℃ 内侧温度为0℃ 外侧温度为 ℃，内侧温度为 ℃时，C点的竖向位移∆CV。 点的竖向位移 已知： 各杆均为矩形截面，高度h=40cm。 已知：l=4m，a =10-5，各杆均为矩形截面，高度 ， 。 解：外侧温变为: 外侧温变为 t1 = (-10)-20 = -30℃ ℃
B
t1
t2 A
M , FN
αt1ds αt0ds αt2ds
h1 h h2
形心轴
du = αt 0 ds
（6-21） ）
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t2 ds
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四、关于dθ 的计算表达式 关于
dθ =
αt 2 ds − αt1ds
h
=
α (t 2 − t1 )ds
h
h1 h h2 t1
B t1 =-30℃ ℃ C
内侧温变为: 内侧温变为 t2 = 0-20 = -20℃ ℃
∆t = t 2 − t1 = − 20 − (−30) = 10 ℃
t1 =-30℃ ℃ t2 =-20℃ ℃ l
A l
t1 + t 2 (−30) + (−20) t0 = = = −25 ℃ 2 2
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ds B1 B t1 t2
C1 C
∆CV
B
1
ds C
t1
t2 A
dθ,du A t1 h1
形心轴
M , FN
dθ du
αt1ds αt0ds αt2ds
h h2 t2 ds
按几何关系可得中性 轴温度的变化为
ds B1 B t1 t2
C1 C
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当截面对称于形心轴， 当截面对称于形心轴，即
h1 = h2 =
B1
h 2
t1 t2
时，则式（6-20a）成为 则式（ ）
ds C1 C dθ,du A t1 dθ du
t1 + t 2 t0 = ） 2 （6-20b）
于是， 于是，温度变化引起的 微段轴向变形
∆CV
B
1
ds C
A F F1 D1 D a C C1 C2 G G1
1 2
B a
A
F
C
G
B
1
D
1
1 2m
E
a
a
E E1 a
FNDE =
解：
θC C
1 2
1 = FNDE∆l = × 0.02m = 0.01 2m
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(
)
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h 沿各自杆件全长为常量， 若t0、∆t和h沿各自杆件全长为常量，则 和 沿各自杆件全长为常量 α ∆t ∆=∑ ∫ M ds + ∑ α t 0 ∫ F N dshLeabharlann ∆=∑∫Mα ∆t
ds + ∑ ∫ F N α t 0 ds
即
∆=∑
α ∆t
h
AM + ∑ αt 0 AFN
（6-25b） ）
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