高等数学(工专)第一章 函数

第一章 函数
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
5.绝对值:
( a 0)
-a a ;
a a ; b b
绝对值不等式:
a b a b a b.
P4-L3
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
无限区间
x
o
b
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
第一章 函数 3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a， ) {x a x a }.
函数y f ( x )的图形.
第一章 函数
几个特殊的函数
(1) 符号函数
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o -1 非初等 函数
x
x sgn x x
第一章 函数
(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数

a a 点a的去心的邻域,
0

a
记作U 0 (a， ).
x
U (a， ) {x 0 x a }.
第一章 函数 4.常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
第一章 函数
四、反函数
问题1 函数 y 2 x 1, x [1,3] 如果 y 作为 x 为因变量，是否可以构成函数？ 自变量， 为什么？与原函数三要素的关系？
y 2x 1
1 x ( y 1) 2
x [1,3]
y [3,7]
y [3,7]
x [1,3]
第一章 函数
第一章 函数 数集分类: N----自然数集
Q----有理数集 数集间的关系: 例如 A {1,2}, Z----整数集 R----实数集
N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
第一章 函数
当 t (,) 时, U 0.
U U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2E t, t [ 0, ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0 , t ( , )
D : [1,1] D : ( 1,1)
第一章 函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是 只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．
y
C
例如 多值函数：x2 y 2 a2．
y
( x, y)
x
o
x
D 定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
第一章 函数
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
判断是否偶 函数？
f ( x) x sin x ( x R)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
f ( x)在定义域 R 上是否偶函数？
第一章 函数
我们要学习 哪些？
高等数学（工专）
一. 函数 二. 极限与连续
高等数学（工本）
七.空间解析几何与向量代数 八.多元函数的微分学
三. 导数与微分
四. 微分中值定理与导数的应用 五. 一元函数积分学 六. 线性代数初步
九.重积分
十.曲线积分与曲面积分 十一.常微分方程 十二.无穷级数
第一章 函数
结论１函数 y f ( x)与x f
第一章 函数
1. 什么是高等数学？
初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是非匀变量。 高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之 间的交叉内容所形成的一门基础学科。 主要内容：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、 常微分方程。
高等数学 = 微积分+微分方程+空间解析几何
2. 高等代数又是什么？ 高等代数 = 线性代数+线性空间+多项式 高等代数主要内容是矩阵运算和线性空间的变换。
2
t
第一章 函数
1 0 x1 例2 设 f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b]
o a o a
b
x
第一章 函数
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
o a
( , b) { x x b}
第一章 函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
f ( x)
-x o x x
f ( x )
P14-结论
第一章 函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期. 且f ( x l ) f ( x )恒成立.
y M y=f(x) o 有界 -M x X -M M y 上界和 下界
x0
o X 无界
x
第一章 函数
2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0) 的函数关系式.
U 解 当 t [0, ] 时, ( , E) 2 2 E E 2E U t t; ( ,0 ) t o 2 2 当 t ( , ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E0 2E U 0 ( t ), 即 U (t ) 2
第一章 函数
1.发挥主观能动性
2.要学就要钻研
第一章 函数
学习起点
高中数学是全国高中生学习的一门学科。包括《集合与函数》 《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、Hale Waihona Puke Baidu合、二项 式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分~
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
《集合与函数》 《三角函数》 《不等式》 《数列》 《复数》 《排列、组合、二项式定理》 《立体几何》 《平面解析几何》
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 2 1 0} 规定 空集为任何集合的子集.
第一章 函数 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
第一章 函数
四、反函数
（1）反函数的概念
函数 y f ( x) x A 值域为 C ； 根据这个函数中 x, y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x y ； 如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通 过 x y ，在 A 中都有唯一的 x 值与它对 x 是自 应,那么 x y 就表示 y 是自变量， 变量 y 的函数． 这样的函数 x y ( y C ) 叫做 y f ( x) x A 的反函数.
四、反函数
问题2 是不是所有函数都有反函数？举例说明
yx
2
不存在 Y
什么样的函数存在反函数？ 如果一个函数反解之后还是函数,由函数的 定义,也就是一一对应的函数存在反函数．
O
X
第一章 函数
四、反函数
（2）记法：
x f
1
( y)
（3）表示形式：改写为
y f
1
( x)
第一章 函数
四、反函数
1.1.实数 1.2.函数的定义及其表示方法 1.3.函数的几种特征 1.4.反函数和复合函数 1.5.初等函数
第一章 函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
有限集
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B.
第一章 函数
1.自然数（natural number）是指非负整数； 2.整数（Integer）包括正整数、零与负整数； 3.无理数（irrational number）即非有理数之实数，不能 写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后 的数字有无限多个，并且不会循环； 4.有理数（rational number）可以写成分数的形式，包 括正整数、0、负整数、正分数、负分数。
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
第一章 函数
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o x
I
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y 4321 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 x 非初等 函数 阶梯曲线
第一章 函数
(3) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
f ( x) g( x )
故 D f : [3,1]
第一章 函数
三、函数的特性 1．函数的有界性: 2．函数的单调性:
3．函数的奇偶性:
4．函数的周期性:
第一章 函数
三、函数的特性 1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
第一章 函数
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
x
o
x
Max：maximum 最大值
Min ： minute最小值
第一章 函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
非初等 函数
第一章 函数
x a 或 x a;
第一章 函数
二、函数概念
D 是一个给定的数集， 定义 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量 自变量
数集D叫做这个函数的定义域
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.