中考数学热点专题练习方案设计问题
中考数学专题复习——方案设计问题(经典题型)
中考数学专题复习——方案设计问题（经典题型）【专题点拨】方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案，有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优。
它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等。
【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）根据总利润=三种蔬菜的利润之和，计算即可；（2）由题意，列出不等式组即可解决问题；（3）由题意，列出二元一次不等式，求出整数解即可；【解答】解：（1）由题意y=x+1.5×2x+2=﹣2x+200．（2）由题意﹣2x+200≥180，解得x≤10，∵x≥8，∴8≤x≤10．∵x为整数，∴x=8，9，10．∴有3种种植方案，方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷．方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷．方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．（3）∵y=﹣2x+200，﹣2＜0，∴x=8时，利润最大，最大利润为184万元．设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个，由题意5a+8b≤×184，∴5a+8b≤23，∴a=1，b=1或2，a=2，b=1，a=3，b=1，∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个，或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个，或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个，或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个．【例题2】（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得： =，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（5+2）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【例题3】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：=，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x﹣4=6．答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10﹣n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；∴有三种方案：①购买这种笔7支，购买本子5本；②购买这种笔4支，购买本子10本；③购买这种笔1支，购买本子15本．【能力检测】1.（2017黑龙江鹤岗）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【考点】95：二元一次方程的应用．【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案．【解答】解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：6x+7y≤20，当x=1，y=2符合题意；当x=2，y=1符合题意；当x=3，y=0符合题意；故建造方案有3种．故选：B．2.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y 万元由题意得，解得，答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，由题意得：，解得，∴3≤a≤5，∵x取整数，∴x=3，4，5．即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．3.（2017黑龙江鹤岗）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据：“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”列方程组求解即可；（2）设A型口罩x个，根据“A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”确定x的取值范围，然后得到有关总费用和A型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．【解答】解：（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：，解得：．答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元．（2）设A型口罩x个，依题意有：，解得35≤x≤37.5，∵x为整数，∴x=35，36，37．方案如下：B型B型方案口罩口罩一35 15二36 14三37 13设购买口罩需要y元，则y=5x+7（50﹣x）=﹣2x+350，k=﹣2＜0，∴y随x增大而减小，∴x=37时，y的值最小．答：有3种购买方案，其中方案三最省钱．4.（2017•温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．5. （2017宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）A B第一次30 40 3800第二次40 30 3200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，∴1000﹣m≥4m，解得：m≤200．∵在w=10m+10000中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．。
中考数学专题复习教学案--方案设计型(附答案)11页word文档
方案设计型㈠应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型例1.（2009 •益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18元钱买了 1支钢笔和3本笔记本；小亮用 31元买了同样的钢笔 2支和笔记本5本.（1） 求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2） 校运会后，班主任拿出 200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用.，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组.第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与 笔记本的数量关系列出不等式组.解：（1）设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得:所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元（2）设买a 支钢笔，则买笔记本（48 — a ）本依题意得：3a 5（48 a ）200，解得：20 a 24，所以，一共有5种方案48 a a2. （ 2009 •益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了 1支钢笔和3本笔记本；小亮用 31元买了同样的钢笔 2支和笔记本5本.X 3y 18 解得：X 3 2x 5y 31y 5即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20, 28; 21 , 27; 22 , 26; 23 , 25; 24 , 24.点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系， （或不等关系）列出相应的方程（或不等式组） 同步检测：1 （2009 •安顺）在“五一”期间，小明、小亮等同学随家 长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1） 小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2） 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 说明理由.或A'.理禿尤¥ £：壤成人糞」(1) 求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2) 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 练习参考答案：1. 解：(1)设成人人数为x人，则学生人数为(12-x)人.则3535x + (12 - x) = 350 解得：x = 82故：学生人数为12-8 = 4 人，成人人数为8人.(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用：35X 0. 6X 16 = 336 元336 < 350 所以，购团体票更省钱.所以，有成人8人，学生4人；购团体票更省钱.一一x 3y 18 x 3 2. 解：(1)设每支钢笔x兀，每本笔记本y兀，依题意得：解得：2x 5y 31 y 5 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48 —a)本依题意得：3a 5(48 a) 200，解得：20 a 24，所以，一共有,种方案48 a a即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20, 28; 21 , 27; 22 , 26; 23 , 25; 24 , 24.、应用函数设计方案问题: 例2. (2009 •安徽)(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.(2)写出批发该种水果的资金金额w (元)与批发量m( kg)之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图(2)所示, 该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润丫=日最高销售量x X每千克的利润(每千克的利润=零售价-批发价)，由此整理可得到y关于x的二次函数，解：(1)图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量咼于60kg的该种水果，可按4兀/kg批发.钱.(2)由题意得：w5m (205 ' 60),函数图象略.4m ( m >60)由图可知资金金额满足 240< g 300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.(3)设日最高销售量为x kg (x > 60)即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6元/kg ，当日可获得最大利润160元点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用. 同步检测：3: ( 2009 •四川省南充市)某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费； 方式B 除收月基费20元外，再以每分钟0.06 元的价格按上网时间计费.假设顾客甲一个月手机上网的时间共有 x 分钟，上网费用为y 元.(1)分别写出顾客甲按 A 、B 两种方式计费的上网费 y 元与上网时间x 分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象;(2)如何选择计费方式能使甲上网费更合算? y/元练习参考答案：练习 3。
人教版中考复习数学练习专题五：方案设计专题（含答案）
专题五方案设计专题【考纲与命题规律】考纲要求方案设计问题是运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析计算，证明等，确定出最佳方案的数学问题，一般涉及生产的方方面面，如：测量，购物，生产配料，汽车调配，图形拼接，所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形，概率和统计等知识.命题规律方案设计问题应用性比较强，解题时要注重综合应用转化思想，数形结合的思想，方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.【课堂精讲】例1.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注：不同的分法,面积可以相等)分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．解答：根据分析，可得。
(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=1(cm2).例2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。
中考题中“方案设计型”问题的解法
中考题中“方案设计型”问题的解法2001年各地中考试题中出现了许多高质量的方案设计型题目，以激励学生运用数学知识和思想方法去解决现实生活中的问题，现介绍这类中考题的几种解法，供同学们毕业复习时参考。
一、用一元一次方程来解例1：我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售加工完毕。
为此，公司研制了在种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工。
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成。
你认为哪种方案获利最多？为什么？二、用一元一次不等式来解例2：某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除了保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分为A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票：B类门票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元，C类门票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方法，并且你计划在一年中用80元在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算？三、用方程与不等式混合组来解例3：在双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派四、用分式方程来解例4：“丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元。
数学中考试题专题五方案与设计
数学中考试题专题五方案与设计哎呦，来了来了，今天给大家带来的是数学中考试题专题五——方案与设计。
别看数学考试总是那么严肃，但方案与设计这块儿可是最能激发创意和逻辑思维的地方。
咱们这就开始吧！方案与设计题型通常考察的是空间想象、逻辑推理和实际应用能力。
这类题目一般会给出一个具体的场景，然后要求我们根据条件进行设计、计算或者证明。
好，就让我带着大家一起梳理一下解题思路。
一、审题审题是关键！拿到题目后，先别急着动手，先看清楚题目要求我们做什么。
是求面积、体积，还是设计一个方案？题目中的已知条件和要求往往隐藏着解题的关键。
二、画图表示空间想象能力很重要，尤其是对于立体几何题目。
在纸上画个草图，把题目中的信息都标注出来，这样一来，问题就变得直观多了。
三、建立数学模型根据题目要求，我们需要建立一个数学模型。
这个模型可以是方程，也可以是不等式，或者是几何图形。
关键是要把题目中的信息转化为数学语言。
四、解题就是解题了。
这个过程可能会用到一些数学定理、公式或者解题技巧。
这里给大家举个例子：题目：一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，且a、b、c成等差数列。
求证：长方体的表面积S与体积V的关系为S=2V。
解题步骤：1.根据题目条件，我们知道a、b、c成等差数列，所以有2b=a+c。
2.长方体的表面积S=2ab+2ac+2bc，体积V=abc。
3.把2b=a+c代入S和V的表达式中，得到S=4ab+2(a+c)bc，V=abc。
4.化简S的表达式，得到S=4ab+2abc+2b^2c。
5.由于V=abc，所以S=4V+2b^2c。
6.由等差数列的性质，我们知道b^2c≤(a+c)^2/4bc=4V/4=V。
7.因此，S=4V+2b^2c≥4V+2V=6V。
8.证明完成。
五、检验结果一步很重要，就是要检验一下我们的结果是否正确。
这个过程可以通过代入特殊值或者用其他方法验证。
1.注意单位统一，尤其是涉及到长度、面积、体积这类量的时候。
中考数学专题之方案设计问题含练习答案
中考数学专题之方案设计问题含练习答案方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等.题型之一 利用方程、不等式进行方案设计例1 (2014·益阳)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本) (1)求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据“3台A 型+5台B 型”的销售收入=1 800以及“4台A 型+10台B 型”的销售收入=3 100，列方程组得各自售价；(2)设购进A 型a 台，则B 型(30－a )台，利用金额不超过5 400建立不等式求解； (3)根据(2)中30台得利润为为1 400，建立方程，求解.【解答】(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元.依题意，得35 1 800,410 3 100x y x y +=+=⎧⎨⎩．解得250,210.x y ==⎧⎨⎩答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.(2)设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(30－a )台.依题意，得 200a +170(30－a )≤5 400,解得a ≤10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5 400元.(3)依题意有：(250－200)a+(210－170)(30－a)=1 400,解得a=20,此时，a>10.即在(2)的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.方法归纳：列方程(组)或不等式组设计方案问题的关键是找到题目中的等量关系或者不等关系，然后根据结果设计方案.1.(2013·自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.(1)求该校的大小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案?2.已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.3.(2014·衡阳)某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品.已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件.(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率.题型之二利用函数进行方案设计例2 (2013·桂林)在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出两种购买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，设方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x 个月.(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？【思路点拨】(1)根据题意可直接写出y与x的函数关系式；(2)分别过两点画图象；(3)根据图象得到方案.【解答】(1)y1=250x+3 000，y2=500x+1 000.(2)如图：(3)由(2)得当x＞8时，方案1省钱；当x=8时，两种方案一样；当x＜8时，方案2省钱.方法归纳：运用一次函数判断何种方式更合算，通常用分类讨论的方法列出方程和不等式，求自变量取值范围，但如果题目中有画好的函数图象，也可以直接观察图象解决.1.我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元.(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1，y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？2.(2014·凉山)我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1 000株用以绿化校园.甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.(1)若购买这两种树苗共用去28 000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？(2)要使这批树苗的成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.3.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？4.(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数.题型之三图形问题中的方案设计例3 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形.王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.【思路点拨】方案二：由题意得分割成的一部分面积为9π，故在圆心O处以3个单位长度为半径作圆，然后将圆环三等分即可；方案三：作出圆的直径AB，分别画两个半径为3个单位长度的小圆即可.【解答】方法归纳：图形方案设计问题通常先给出一个图形(可能是规则的也可能是不规则的)，然后让你用直线或弧线将图形分成形状或面积相等的几部分.解决这类问题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行分割.1.某市要在一块平行四边形ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD 面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求四点顶点分别在□ABCD 的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E ，F 已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案(2)：如图2所示，一个出入口M 已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.2.(2014·拱墅模拟)请用直尺和圆规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上，面积相同的图形视为同一种.(保留作图痕迹).题型之四测量问题中的方案设计例4 如图，EF是一条笔直的河岸，A村与B村相距4千米，A，B两村到河岸EF的距离分别是5千米，3千米，现要在河岸EF上选一地址C建一个自来水厂，并铺设水管把水引至A，B两村.问：如图1，图2，图3所示的三条铺设水管的路径(图中实线部分)哪条最短？并说明理由. 【思路点拨】图1，图2中铺设水管路径长都可以一眼看出，在图3中由对称性可得：BC=B′C，AB′=BC+AC，以AB′为斜边构造一个直角三角形(要求直角边平行EF或垂直EF)，若再能求出A，B两村的垂直距离，问题就不难解决了.【解答】图1：4+5=9（千米）；图2：3+4=7（千米）；图3：BC=B′C，过B′作B′M∥EF，过A作AN∥BB′交B′M于D，则构成Rt△ADB′.B′D，∴AB.∵7＜9，∴图2的路径最短.方法归纳：这是一道判断方案题，题中给出了三种不同方案，由同学们根据所学图形与空间的知识按题中要求选择方案.1.某高速铁路即将动工，工程需要测量长江某一段的宽度.如图1，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°.(1)求所测之处江的宽度(sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48)；(2)除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形.2.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路x同侧，AB=50 km，A、B到直线x的距离分别为10 km和40 km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小明设计了两种方案，图1是方案一的示意图(AP与直线x垂直，垂足为P)，P到A、B 的距离之和s1=P A+PB，图2是方案二的示意图(点A关于直线x的对称点是A′，连接BA′交直线x于点P)，P到A、B的距离之和s2=P A+P B.(1)求s1、s2，并比较它们的大小；(2)请你说明s2=P A+PB的值为最小；(3)恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30 km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.参考答案题型之一 利用方程、不等式进行方案设计1.(1)设该校大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人，则5550740,5055730x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得8,6.x y =⎧⎨=⎩ 答：该校大寝室每间住8人，小寝室每间住6人. (2)设应安排小寝室z 间，则有 6z +8(80－z )≥630，解得z ≤5. ∵z 为自然数，∴z =0,1,2,3,4,5. 答：共有6种安排住宿方案.2.（1）设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、y 吨，根据题意，得210,211.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3,4x y =⎧⎨=⎩． 答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨. （2）根据题意可得3a +4b =31.因为租车数a ，b 都是自然数，使a ，b 都为整数的情况共有a =1，b =7或a =5，b =4或a =9，b =1三种情况. 故租车方案分别为： ①A 型车1辆，B 型车7辆； ②A 型车5辆，B 型车4辆； ③A 型车9辆，B 型车1辆.（3）方案①花费为100×1+120×7=940(元)； 方案②花费为100×5+120×4=980(元)； 方案③花费为100×9+120×1=1 020(元).故方案①最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆. 3.(1)y =15－2x ；(2)设笔记本和中性笔两种奖品各a ，b 件， 则a ≥1，b ≥1，2a +b =15.当a =1时，b =13；当a =2时，b =11；当a =3时，b =9；当a =4时，b =7；当a =5时，b =5；当a =6时，b =3；当a =7时，b =1.故有7种购买方案；(3)买到的笔记本和中性笔数量相等的购买方案有1种，共有7种购买方案.∵1÷7=17，∴买到的笔记本和中性笔数量相等的概率为17. 题型之二 利用函数进行方案设计1.(1)由题意得，y 1=4x +400，y 2=2x +820.(2)当y 1=y 2时，4x +400=2x +820.解得x =210.∴当运输路程小于210 km 时，y 1＜y 2，选择邮车运输较好；当运输路程等于210 km 时，y 1=y 2，选择两种方式一样；当运输路程大于210 km 时，y 1＞y 2，选择火车运输较好.2.(1)设购甲种树苗x 株，乙种树苗y 株，则1 000,253028 000x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得400,600x y =⎧⎨=⎩．答：购甲种树苗400株，乙种树苗600株.(2)设购买甲种树苗z 株，则乙种树苗(1 000－z )株，列不等式：90%z +95%(1 000－z )≥92%×1 000，解得z ≤600.答：甲种树苗至多购买600株.(3)设购买树苗的总费用为w 元，则w =25z +30(1 000－z )=－5z +30 000.∵－5＜0，∴w 随z 的增大而减小.∵0＜z ≤600，∴当z =600时，w 最小值为30 000－5×600=27 000(元).答：当购甲种树苗600株，乙种树苗400株时，总费用最低，最低费用是27 000元.3.设有x (x >0)名教师到外地进行学习，甲宾馆费用为y 甲，乙宾馆费用为y 乙，当x >45时，由题意，得y 甲=120×35+(x －35)×120×90%=108x +420；y 乙=120×45+(x －45)×120×80%=96x +1 080.分三种情况：①当y 甲>y 乙时，108x +420＞96x +1 080.解得x >55；②当y 甲=y 乙时，108x +420=96x +1 080.解得x =55；③当y 甲＜y 乙时，108x +420＜96x +1 080.解得45<x <55.当x≤45时，又分两种情况：①当0＜x≤35时，y甲=y乙=120x;②当35<x≤45时，y甲=108x+420,y乙=120x.此时y甲<y乙.综上所述当人数大于55人时选乙宾馆，当人数大于0小于等于35人或等于55人时甲乙宾馆均可，当人数大于35人小于55人时选甲宾馆.4.(1)根据题意，得90 m =753m，解得m=18.经检验，m=18是所列方程的解，且符合题意.答：m的值为18.(2)由(1)可知，A型号的污水处理设备每台18万元，B型号的污水处理设备每台15万元. 设购买A型号的污水处理设备x台，则18x+15(10－x)≤165，解得x≤5.又∵0＜x＜10，且x为整数，∴x可取0,1,2,3,4,5，即共有6种购买方案.设某种方案每月能处理的污水量为w吨，则w=220x+180(10－x)=40x+1 800.∵w随x的增大而增大，∴当x=5时，w有最大值，其最大值为2 000.即购买A型号、B型号的污水处理设备分别为5台、5台时，月处理的污水量最多，为2 000吨.题型之三图形问题中的方案设计1.方案(1)：画法1（如图甲)：①过F作FH∥AB交AD于点H.②在DC上任取一点G，连接EF,FG,GH,HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形.画法2（如图乙)：①过F作FH∥AB交AD于点H.②过E作EG∥AD交DC于点G，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形.画法3（如图丙)：①在AD上取一点H，使DH=CF.②在CD上任取一点G，连接EF,FG,GH,HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形.方案(2)：画法（如图2)：①过M点作MP∥AB交AD于点P.②在CD上取一点N，连接MN.③过点P作PQ∥MN交AB于点Q,连接QM，PN.则四边形QMNP就是所要画的四边形.2.所作菱形如图1，图2所示.说明：作法相同的图形视为同一种.例如：类似图3，4的图形视为与图2是同一种.题型之四测量问题中的方案设计1.(1)在Rt△BAC中，∠ACB=68°，AC=100米，∴AB=AC·tan68°≈100×2.48=248(米).答：所测之处江的宽度约为248米.(2)可以利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可. 如：方案2，如图2，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进到E处，再从E点开始向点E的正南方向上插上标杆F，并在线段AE的中点C处插上标杆C，当标杆B，C，F在同一直线上时，直接测出EF的长也就是江的宽度.2.(1)图1中过B作BC⊥x于C，过A作AD⊥BC于D，则BC=40.又∵AP=10，∴BD=BC－CD=40－10=30.由勾股定理可得AD=40.在Rt△PBC中，BPs1km.图2中，过B作BC⊥AA′，垂足为C，AA′与直线x交于点N，则A′C=NC+NA′=NC+AN=50，又AC=CN－AN=40－10=30,AB=50,则在Rt△BCA中，BC=40，∴BA由轴对称知：P A=P A′，∴s2=P A+PB=P A′+PB=BA km.∴s1＞s2.(2)如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA=MA′，∴MB+MA=MB+MA′＞A′B，∴s2=BA′=P A+P A为最小.(3)如图3过A作关于x轴的对称点A′，过B作关于y轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点P，交y轴于点Q，则P，Q即为所求.过A′、B′分别作x轴、y轴的平行线交于点G，B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，A′B∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q，∴所求四边形的周长为（km.。
中考数学压轴题专题六-方案设计题
中考数学压轴题专题六方案设计题试题特点方案设计型问题是近年中考数学试卷中的热点和亮点,此类问题要求综合运用已有的知识和经验，经过自主探索以及解决问题方案的设计和选择，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，通过对此类问题的解答能感受“问题情境——建立模型--求解--解释与应用"的基本过程，体会数学知识与现实生活之间的联系，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，产生丰富多彩的研究体验和个性化创造性的表现．因此，此类问题是考查创新意识的重要载体．由于方案设计型问题常常可以设计多种方案，并要进行方案的比较和选择，方案设计型问题能有效考查分类、优化等数学思想方法．方式趋势方案设计型问题的命题将更加贴近考生的生活实际，关注数学应用的社会价值，加强对应用意识的考查．涉及的知识还将以方程、函数、不等式、解三角形、统计与概率等为主，以这些知识为载体,突出考查分析问题和解决问题的能力，以及从实际生活中抽象出数学模型的能力，并在其中渗透分类思想和优化思想，以形成学数学、用数学、做数学的良好意识．热点解析一、不等式（组）型【题1】为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13％的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台,根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元，其中，收割机的进价和售价见表1：设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．(1）试写出y与x的函数关系式．（2)该市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大?最大利润是多少？此种情况下,购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？【思路】“一次性购进A、B两种型号的收割机共30台”蕴含等量关系，“全部销售后利润不少于15万元”和“资金130万元”蕴含不等关系．利用已知条件，把等量关系或不等关系表示出来．【解答】（1）y＝（6－5。
中考数学必刷热点专题10：方案设计型解题方法
中考数学专题十：方案设计型问题解题方法考点一：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例1 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据考点二：设计搭配方案问题这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2 某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B 两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：造型花卉甲乙A 80 40B 50 70（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？分析：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可．（2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案．考点三：设计销售方案问题在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例5 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？分析：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．考点四：设计图案问题图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。
中考数学专题复习：“方案设计题型”解析
（元）
假设购进B种彩票与C种彩票各10扎 假设购进B种彩票与C种彩票各10扎。 10 销售完后获手续费为： 销售完后获手续费为： 0.3 × 10000 + 0.5 × 10000 = 8000 （元） 所以获得手续费最多的方案为： 所以获得手续费最多的方案为： 种彩票5 种彩票15 15扎 购A种彩票5扎，C种彩票15扎。
• （2）若销售A种彩票1张获手续费0.2元，B种 若销售A种彩票1张获手续费0.2元 0.2 彩票1张获手续费0.3 0.3元 种彩票1 彩票1张获手续费0.3元，C种彩票1张获手续 0.5元 在购进两种彩票的方案中， 费0.5元。在购进两种彩票的方案中，为使销 售完时获得手续费最多， 售完时获得手续费最多，应选择哪种进票方 案？ 假设购进A种彩票5 种彩票15 15扎 解：假设购进A种彩票5扎，C种彩票15扎。 销售完后获手续费为： 销售完后获手续费为：
二、统计型设计题
• 例3. 某中学要召开运动会，决定从初三年 某中学要召开运动会， 级全部150名女生中选30 150名女生中选30人组成一个彩旗方 级全部150名女生中选30人组成一个彩旗方 要求参加方队学生的身高尽可能接近）。 队（要求参加方队学生的身高尽可能接近）。 现在抽测了10名女生的身高，结果如下（ 10名女生的身高 现在抽测了10名女生的身高，结果如下（单 cm）：166，154，151，167，162，158， ）：166 位：cm）：166，154，151，167，162，158， 158，160，162，162。 158，160，162，162。
如果这个玩具厂剩下的余料是长为4厘米 厘米， 例6. 如果这个玩具厂剩下的余料是长为 厘米， 宽为3厘米的矩形布料 厘米的矩形布料， 宽为 厘米的矩形布料，在这块矩形布料上 要求剪下两个相同的半圆以供使用， 要求剪下两个相同的半圆以供使用，并且要 求尽量提高布料的使用率， 求尽量提高布料的使用率，一位同学设计了 如下图的方案， 如下图的方案， （1）你能帮他计算出半圆的半径吗？ ）你能帮他计算出半圆的半径吗？
中考数学专题复习(方案设计)
中考数学专题复习：方案设计问题【知识梳理】方案设计问题特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐。
【课前预习】1．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．2．某班50名同学分别站在公路的A 、B 两点处，A 、B 两点相距1000米，A 处有30人，B 处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）A ．A 点处B ．线段A B 的中点处C ．线段A B 上，距A 点10003米处D ．线段A B 上，距A 点400米处3．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和 俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 124．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 5．某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？ 35° A B 主视图俯视图【例题精讲】【例1】如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）．（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？ （2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性．【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y 1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y 2（元）关于x （个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【例3】某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下． 如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?甲 乙【巩固练习】1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个2．从2、3、4、5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p,q)共有（）A．12对B．6对C．5对D．3对3．某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件，生产A、B两种产品用料情况如下表，设生产A产品x件，请解答下列问题：（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。
2023年中考数学热点专题复习课件4 方案设计型
∵tan∠EAC= =tan 22°≈ ,∴DC=AF≈ FC=50(m).
在 Rt△ABD 中,∠ABD=∠EAB=67°,
∵tan∠ABD=
=tan 67°≈ ,∴BD≈ AD= (m),
∴BC=DC-BD=50- ≈41.7(m),即大桥 BC 的长约为 41.7 m.
若6x+160>8x,则x<80;
若6x+160=8x,则x=80;
若6x+160<8x,则x>80.
综上所述,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,选择两超
市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少.
利用方程(组)或不等式(组)解决方案设计问题, 首先要根据题中蕴含的相等关系或不等关系,列
专题四
方案设计型
1.方案设计型问题涉及生产生活的方方面面,一般主要有以下几种类型:
(1)方程、不等式型方案设计问题;
(2)函数型方案设计问题;
(3)测量方案设计问题.
2.解决方案设计型问题的关键点:
方案设计题贴近生活,具有较强的操作性和实践性,应用性非常突出,题目一般较长,做题之前要认
真读题,理解题意,选择和构造合适的数学模型,并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析,
或
方法2:(利用全等)
方法3:(利用相似)
解决测量方案设计题应熟练掌握三角形全等、相似、锐角三角函数的有关性质,认真审题,理解
题意,选择恰当的测量方案,注意:(1)不同的方案,所用的数学原理不同,所选用的测量工具、测
2025年中考数学高分拓展必刷题之方案设计类问题
2025年中考数学高分拓展必刷题方案设计类问题1.考点解析方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．2.考点分类：考点分类见下表考点分类考点内容考点分析与常见题型常考热点二元一次方程组，不等式路程问题，面积最值一般考点一次函数、二次函数求最大值最大利润等冷门考点统计型设计题数目统计解决问题【方法点拨】此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起．我们在阅读材料的时候一定要把相关的信息进行整理与分类，便于后面做的过程中有条理，不会弄错条件，可以列成表格形式便于自己看清楚。
一、中考题型分析方案设计问题在近几年的中考中出现的频率还是比较高的，一般以应用题的形式出现行联结，一般以工程方案或者销售购买方案居多，占8-10分左右。
此类题目难度中等，需要学生对题目的条件理清楚，掌握基本的列方程解题的能力。
二、典例精析★考点一：函数类方案设计问题◆典例一：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：原料型号甲种原料乙种原料A产品（每件）9 3B产品（每件） 4 10（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【解析】（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解；（2）可以分别求出三种方案比较即可．学￥#科网◆典例二：1．某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?【解答】(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意，得，解得：答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件．(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100－a)件，根据题意列，得解得20≤a≤22.∵总利润W＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，∴当x＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100－20＝80。
热点专题7方案设计问题-2020年《三步冲刺中考·数学》之热点专题冲刺(广东专用)(解析版)
热点专题7 方案设计问题方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优。
方案设计型问题在中考中以函数、方程和不等式为主，以现实生活为命题背景，根据不等式的结果设计符合要求的决策和方案。
方案设计问题主要有以下两种题型：题型一：方程（组）、不等式（组）进行方案设计；题型二：函数类方案设计。
考向1 方程（组）、不等式（组）进行方案设计例1：（2018秋•汕头校级模拟二）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【解析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：23803295x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2510xy=⎧⎨=⎩．答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：2510200m n +=，解得：285m n =-．m ，n 均为正整数，∴1165m n =⎧⎨=⎩，22410m n =⎧⎨=⎩，33215m n =⎧⎨=⎩，∴共3种购买方案，方案一：购进A 型车6辆，B 型车5辆；方案二：购进A 型车4辆，B 型车10辆；方案三：购进A 型车2辆，B 型车15辆．（3）方案一获得利润：800065000573000⨯+⨯=（元)； 方案二获得利润：8000450001082000⨯+⨯=（元)； 方案三获得利润：8000250001591000⨯+⨯=（元)．730008200091000<<，∴购进A 型车2辆，B 型车15辆获利最大，最大利润是91000元．例2：（2019 •湛江市一模）湛江市在进行“创文创卫”的过程中，决定购买A ，B 两种树对某路段进行绿化改造，若购买A 种树2棵，B 种树3棵，需要2700元；购买A 种树4棵，B 种树5棵，需要4800元． （1）求购买A ，B 两种树每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果，购进A 种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？【解析】（1）设购买A 种树每棵需要x 元，B 种树每棵需要y 元， 依题意，得：232700454800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：450600x y =⎧⎨=⎩．答：购买A 种树每棵需要450元，B 种树每棵需要600元． （2）设购进A 种树m 棵，则购进B 种树(100)m -棵， 依题意，得：48450600(100)52500m m m ⎧⎨+-⎩，解得：4850m ．m 为整数，m ∴为48，49，50．当48m =时，1001004852m -=-=；当49m =时，1001004951m -=-=；当50m =时，1001005050m -=-=． 答：有三种购买方案，第一种：A 种树购买48棵，B 种树购买52棵；第二种：A 种树购买49棵，B 种树购买51棵；第三种：A 种树购买50棵，B 种树购买50棵． 练习：1．（2019秋•武江区一模）在元旦节来临之际，小明准备给好朋友赠送一些钢笔和笔记本作为元旦礼物，经调查发现，1支钢笔和2个笔记本要35元；3支钢笔和1个笔记本要55元． （1）求一支钢笔和一个笔记本分别要多少元？（2）小明购买了a 支钢笔和b 个笔记本，恰好用完80元钱．若两种物品都要购买，请你帮他设计购买方案． 【解析】（1）设买一支钢笔需要x 元，买一个笔记本需要y 元，依题意，得：235355x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1510x y =⎧⎨=⎩．答：买一支钢笔需要15元，买一个笔记本需要10元． （2）依题意，得：151080a b +=，382b a ∴=-．a ，b 均为正整数，∴当2a =时，5b =；当4a =时，2b =．答：共有2种购买方案，方案1：购买2支钢笔、5个笔记本；方案2：购买4支钢笔、2个笔记本． 2．（2019•龙湖区期末）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价．（2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案： 方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规．方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由．【解析】（1）设文具袋的单价为x 元，圆规的单价为y 元． 依题意，得221,2339,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得15,3.x y =⎧⎨=⎩ 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元．（2）选择方案一的总费用为20153(10020)540⨯+⨯-=（元)， 选择方案二的总费用为2015103380%(10010)546⨯+⨯+⨯⨯-=（元)， 540546<，∴选择方案一更划算．3．（2019秋•罗湖区校级期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；（3）售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m 元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m 的值． 【解析】（1）设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元22800324600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1000800x y =⎧⎨=⎩， 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元； （2）设购进甲种型号手机a 部，则购进乙种型号手机(20)a -部， 174001000800(20)18000a a +-，解得710a ，共有四种方案，方案一：购进甲手机7部、乙手机13部； 方案二：购进甲手机8部、乙手机12部； 方案三：购进甲手机9部、乙手机11部； 方案四：购进甲手机10部、乙手机10部． （3）甲种型号手机每部利润为100040%400⨯=， 400(1280800)(20)(80)960020w a m a m a m =+---=-+-当80m =时，w 始终等于8000，取值与a 无关．4．（2019 •电白县期末）某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元． （1）求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共6辆，且A 型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解析】（1）每辆A 型车和B 型车的售价分别是x 万元、y 万元． 则396262x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1826.x y =⎧⎨=⎩，答：每辆A 型车的售价为18万元，每辆B 型车的售价为26万元； （2）设购买A 型车a 辆，则购买B 型车(6)a -辆，则依题意得1826(6)130a a +-，解得134a ，1234a ∴．a 是正整数，2a ∴=或3a =．共有两种方案：方案一：购买2辆A 型车和4辆B 型车；方案二：购买3辆A 型车和3辆B 型车； 考向2 函数类方案设计例：（2019秋•新丰县期末）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致．每张办公桌800元，每张办公椅80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价的8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x 张(9)x ．（1）分别写出到甲、乙两个厂家购买桌椅所需的总金额1y 、2y （元)与椅子数x （张)之间的函数表达式； （2）试求购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算．【解析】（1）1800380(33)(801680)y x x =⨯+-⨯=+；2(800380)0.8(641920)y x x =⨯+⨯=+． （2）当到甲厂家购买划算时，641920801680x x +<+，解得：15x >． 答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算． 练习：1．（2019 •徐闻县期末）某地盛产樱桃，一年一度的樱桃节期间，很多果园推出了免费品尝和优惠采摘活动，其中甲、乙两家果园的樱桃品质相同，销售价格也相同，但推出了不同的采摘方案：小明和爸爸、妈妈在樱桃节期间也来采摘樱桃，若设他们的樱桃采摘量为x （千克）（出园时将自己采摘的樱桃全部购买），在甲采摘园所需总费用为1y （元)在乙采摘园所需总费用为2y （元)，图中的折线OAB 表示2y 与x 之间的函数关系．（1）①甲、乙两果园的樱桃单价为 元/千克；②直接写出1y 的函数表达式： ，并在图中补画出1y 的函数图象； （2）求出2y 与x 之间的函数关系式；（3）若小明一家当天所采摘的樱桃不少于30千克，选择哪个采摘园更划算？请说明理由．【解析】（1）①3001030÷=（元/千克）； 故答案为：30；②1300.62031860y x x =⨯+⨯=+；1y 的函数图象如图所示． 故答案为：11860y x =+；（2）由图可得，当010x 时，230y x =， 当10x >时，设2y kx b =+．将(10,300)和(20,450)代入2y kx b =+，得1030020450k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得15150k b =⎧⎨=⎩，∴当10x >时，215150y x =+．∴230(010)15150(10)x x y x x ⎧=⎨+>⎩；（3）令12y y <，即186015150x x +<+，解得30x <； 令12y y =，即186015150x x +=+，解得30x =； 令12y y >，即186015150x x +>+，解得30x >．答：当樱桃采摘量30x =千克时，两家采摘园所需费用相同； 当樱桃采摘量x 的范围为30x >千克时，乙采摘园更划算．2．（2019 •信宜市期末）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A 楼、B 楼、C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40米，B 楼与C 楼之间的距离为60米．已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案． 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站的距离之和． （1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？【解析】（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米． ①当040x 时，2070(40)60(100)1108800y x x x x =+-+-=-+∴当40x =时，y 的最小值为4400，②当40100x <，2070(40)60(100)303200y x x x x =+-+-=+ 此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 处；（2）设取奶站建在距A 楼x 米处， ①040x 时，2060(100)70(40)x x x +-=-解得32003x =-<（舍去） ②当40100x <时，2060(100)70(40)x x x +-=- 解得：80x =因此按方案二建奶站，取奶站建在距A 楼80米处．3．（2018•麻章区二模）某玩具厂安排30人生产甲、乙两种玩具，已知每人每天生产20件甲种玩具或12件乙种玩具，甲种玩具每件利润18元，当参与生产乙种玩具的工人为10人时，乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人，每件乙种玩具的利润下降1元，设每天安排x 人生产甲种玩具，且不少于10人生产乙种玩具．（1）请根据以上信息完善下表：（2）请求出销售甲乙两种玩具每天的总利润y （元)关于x （人)的表达式；（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天销售甲乙两种玩具的利润最大化，并求出这个最大利润． 【解析】（1）根据题意，得生产甲种玩具的工人数为x 人，每天产量20x 件，则生产乙种玩具的工人数为(30)x -人，每天产量12(30)x -件， 乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人， 每件乙种玩具的利润下降1元，乙每件利润为40(3010)20x x ---=+（元)． 故答案为20x 、30x -、12(30)x -、20x +． （2）根据题意，得182012(30)(20)y x x x =⨯+-+2124807200x x =-++．答：销售甲乙两种玩具每天的总利润y （元)关于x （人)的表达式为：2124807200y x x =-++．（3）由（2）得2124807200y x x =-++． 212(20)12000x =--+120-<，当20x =时，y 有最大值，最大值为12000答：分配20人生产甲种玩具，10人生产乙种玩具，使得每天销售甲乙两种玩具的利润最大化，这个最大利润为12000元．4．（2019秋•江海区校级模拟二）2019年3月5日，国务院总理李克强政府工作报告中有关“通信费用再降”的报告指出：移动网络流量平均资费再降低20%以上，在全国实行“携号转网”，规范套餐设置，使降费实实在在、消费者明明白白．某通信运营商积极响应国家号召，推出A ，B ，C 三种手机通话的收费方式，如表所示．（1）设月通话时间为x 小时，则方案A ，B ，C 的收费金额1y ，2y ，3y 都是x 的函数，请分别求出1y 和2y 函数解析式；（2）若选择方式A 最省钱，求月通话时间x 的取值范围；（3）小明、小华今年5月份通话费均为80元，但小明比小华通话时间长，求小明该月的通话时间． 【解析】（1）0.1元/6min =元/h ，∴由题意可得，130(025)6120(25)x y x x ⎧=⎨->⎩，250(050)6250(50)x y x x ⎧=⎨->⎩；（2）若选择方式A 最省钱，则612050x -，解得853x； 若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：8503x <； （3）小明、小华今年5月份通话费均为80元，但小明比小华通话时间长，∴小华选择的是方式A ，小明选择的是方式B ，将80y =分别代入250(050)6250(50)x y x x ⎧=⎨->⎩，可得625080x -=， 解得：55x =，∴小明该月的通话时间为55小时．。
(全国版)中考数学热点专题冲刺6 方案设计问题-人教版初中九年级全册数学试题
热点专题7方案设计问题《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，2019年中考试卷中有一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念.考向1 设计测量安装方案问题1．（2019·某某），，选取两个不同测点，，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).任务一:两次测量A ，B 之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH 的高度.，，，，，tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)解：任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=任务二:由题意可得，四边形ACDB ，ACEH 都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设EG=xm ，在Rt △DEG 中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，∵tan31°=EG DE ，∴DE=tan 31x ， 在Rt △CEG 中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，∵tan25.7°=EG CE ，∴CE=tan 25.7x ， ∵CD=CE －DE ，∴tan 25.7x －tan 31x =5.5，∴x=13.2， ∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.答:旗杆GH 的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.2．（2019·某某）如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB=25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB=37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE=50cm ，CE=130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．解：过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意可知AD∥CE，∠ADE=90°∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB=∠BNC=9 0°，MN=DE，MD=NE．在Rt△ABM中，∠D AB=37°， sin∠MAB=MB AB ，∴MB=AB·sin37°==15，cos∠MAB=AMAB，∴AM=AB·cos37°==20，∵MN=DE=50，∴NB=50－15=35，∵∠ABM=90°－37°=53°，∠ABC=72°，∴∠NBC=180°－53°－72°=55°，∴∠B=90°－55°=35°．在Rt△BNC中，tan∠B=BNCN，∴=350.75=50，∴EN=+CE=50+130=180=MD，∴AD=MD－AM=180－20=160（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．考向2 设计方案搭配问题1.（2019·某某）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人，若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？解（1）设租用A 型客车的费用是x 元，B 型客车的费用是y 元，根据题意得4x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300;答：租用A 型客车的费用1700元，B 型客车的费用是1300元.（2）设租用A 型客车a 辆，B 型客车b 辆，根据题意得45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000； ∴17b 13-1003b 2-16≤≤a ，∵a ，b 均为正整数，∴a=2，b=5;a=4，b=2两种方案， 当a=2，b=5时，费用为99005130021700=⨯+⨯（元），当a=4，b=2时，费用为94002130041700=⨯+⨯（元），答：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元.2．（2019某某滨州，22，12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a 人，b 人，23=1802=105a b a b ，， 解得=45=30.a b ，答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人．（2）设租用甲种客车x 辆，租车费用为y 元，根据题意，得y=400x+280（6－x ）=120x+1680．由45x+30（6－x ）≥240，得x≥4． ∵120＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x 为最小值4时，y 值最小． 即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）．3．（2019某某省某某市）某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B 游玩．景区B 的门票价格为100元/X ，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【解题过程】（1）该旅行团中成人有x 人，少年有y 人，根据题意，得：103212x y x y ++=⎧⎨=+⎩，解得175x y =⎧⎨=⎩.答：该旅行团中成人有17人，少年有5人； （2）①∵成人8人可免费带8名儿童，∴所需门票的总费用为：100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1320(元).②设可以安排成人a 人、少年b 人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5.设10≤a≤17时，(i) 当a=10时，100×10+80b≤1200，∴b≤52， ∴ b 最大值=2，此时 a+b=12，费用为1160元；(ii) 当a=11时，100×11+80b≤1200， ∴b≤54，∴ b 最大值=1，此时 a+b=12，费用为1180元； (iii) 当a≥12时，100a≥1200，即成人门票至少需要1200元，不符合题意，舍去.设1≤a＜10时，(i) 当a=9时，100×9+80b+60≤1200，∴b≤3，∴ b 最大值=3，此时 a+b=12，费用为1200元；(ii) 当a=8时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b≤72， ∴ b 最大值=3，此时 a+b=11＜12，不符合题意，舍去；(iii) 同理，当a ＜8时，a+b ＜12，不符合题意，舍去.综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人、少年2人；成人11人、少年1人；成人9人、少年3人.其中当成人10人、少年2人时购票费用最少.考向3 设计产品销售方案问题1. （2019·某某）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，=10x﹣17．解得x=17．答：小明原计划购买文具袋17个．（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣x）支，依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400--－17×10+17．解得y≤4.375．即y最大值=4．答：明最多可购买钢笔4支．2.（2019·某某）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(1) 求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？(2)该市明年计划采购A型、B型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元由题意得：y-x=0.6500x+200y=960⎧⎨⎩解得x=1.2y=1.8⎧⎨⎩故今年每套A型一体机的价格为1.2万元，每套B型一体机的价格为1.8万元. （2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100-m）套，由题意得：1.8（1100-m）≥1.2（1+25%）m，解得m≤600设明年需投入W万元，W=1.2×（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980∵-0.3<0，∴W随m的增大而减小∵m≤600，∴当m=600时，W有最小值为-0.3×600+1980=1800.故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.考向4 设计图案问题1.（2019·某某）如图3，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂照n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解析】如图所示，∴n的最小值为3.2. (2019·某某)图1，图2都是有边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中由5个小等边三角形已图上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个图上阴影:(1)使得6个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;(2)使得6个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形.(请将两个小题一次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)解：(1)画出下列其中一种即可(2)画出下列其中一种即可.。
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热点专题7 方案设计问题《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，2019年中考试卷中有一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念.考向1 设计测量安装方案问题1．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).课题测量旗杆的高度成员组长:××× 组员:×××，×××，×××测量工具测量角度的仪器，皮尺等任务一:两次测量A ，B 之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH 的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)解：任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m任务二:由题意可得，四边形ACDB ，ACEH 都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设EG=xm ，在Rt △DEG 中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，∵tan31°=EG DE ，∴DE=tan 31x o， 在Rt △CEG 中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，∵tan25.7°=EG CE ，∴CE=tan 25.7x o ， ∵CD=CE －DE ，∴tan 25.7x o －tan 31x o =5.5，∴x=13.2， ∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.答:旗杆GH 的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.2．（2019·常德）如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB=25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB=37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE=50cm ，CE=130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．解：过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意可知AD∥CE，∠ADE=90°∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB=∠BNC=9 0°，MN=DE，MD=NE．在Rt△ABM中，∠D AB=37°， sin∠MAB=MB AB ，∴MB=AB·sin37°=25×0.6=15，cos∠MAB=AMAB，∴AM=AB·cos37°=25×0.8=20，∵MN=DE=50，∴NB=50－15=35，∵∠ABM=90°－37°=53°，∠ABC=72°，∴∠NBC=180°－53°－72°=55°，∴∠BCN=90°－55°=35°．在Rt△BNC中，tan∠BCN=BNCN，∴CN=350.75=50，∴EN=CN+CE=50+130=180=MD，∴AD=MD－AM=180－20=160（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．考向2 设计方案搭配问题1.（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人，若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？解（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意得4x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300;答：租用A 型客车的费用1700元，B 型客车的费用是1300元.（2）设租用A 型客车a 辆，B 型客车b 辆，根据题意得45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000； ∴17b 13-1003b 2-16≤≤a ，∵a ，b 均为正整数，∴a=2，b=5;a=4，b=2两种方案， 当a=2，b=5时，费用为99005130021700=⨯+⨯（元），当a=4，b=2时，费用为94002130041700=⨯+⨯（元），答：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元.2．（2019山东滨州，22，12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a 人，b 人，23=1802=105a b a b ，ì+ïïíï+ïî， 解得=45=30.a b ，ìïïíïïî答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人． （2）设租用甲种客车x 辆，租车费用为y 元，根据题意，得y=400x+280（6－x ）=120x+1680．由45x+30（6－x ）≥240，得x≥4． ∵120＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x 为最小值4时，y 值最小． 即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）．3．（2019浙江省温州市）某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B 游玩．景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【解题过程】（1）该旅行团中成人有x 人，少年有y 人，根据题意，得：103212x y x y ++=⎧⎨=+⎩，解得175x y =⎧⎨=⎩.答：该旅行团中成人有17人，少年有5人；（2）①∵成人8人可免费带8名儿童，∴所需门票的总费用为：100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1320(元).②设可以安排成人a人、少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5.设10≤a≤17时，(i) 当a=10时，100×10+80b≤1200，∴b≤52，∴ b最大值=2，此时 a+b=12，费用为1160元；(ii) 当a=11时，100×11+80b≤1200，∴b≤54，∴ b最大值=1，此时 a+b=12，费用为1180元；(iii) 当a≥12时，100a≥1200，即成人门票至少需要1200元，不符合题意，舍去. 设1≤a＜10时，(i) 当a=9时，100×9+80b+60≤1200，∴b≤3，∴ b最大值=3，此时 a+b=12，费用为1200元；(ii) 当a=8时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b≤72，∴ b最大值=3，此时 a+b=11＜12，不符合题意，舍去；(iii) 同理，当a＜8时，a+b＜12，不符合题意，舍去.综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人、少年2人；成人11人、少年1人；成人9人、少年3人.其中当成人10人、少年2人时购票费用最少.考向3 设计产品销售方案问题1.（2019·赤峰）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，依题意得：10（x+1）×0.85=10x﹣17．解得x=17．答：小明原计划购买文具袋17个．（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣x）支，依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400--－17×10+17．解得y≤4.375．即y最大值=4．答：明最多可购买钢笔4支．2.（2019·孝感）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(1) 求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？(2)该市明年计划采购A型、B型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元由题意得：y-x=0.6500x+200y=960⎧⎨⎩解得x=1.2y=1.8⎧⎨⎩故今年每套A型一体机的价格为1.2万元，每套B型一体机的价格为1.8万元.（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100-m）套，由题意得：1.8（1100-m）≥1.2（1+25%）m，解得m≤600设明年需投入W万元，W=1.2×（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980∵-0.3<0，∴W随m的增大而减小∵m≤600，∴当m=600时，W有最小值为-0.3×600+1980=1800.故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.考向4 设计图案问题1.（2019·河北）如图3，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂照n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解析】如图所示，∴n的最小值为3.2. (2019·宁波)图1，图2都是有边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中由5个小等边三角形已图上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个图上阴影:(1)使得6个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;(2)使得6个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形.(请将两个小题一次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)解：(1)画出下列其中一种即可(2)画出下列其中一种即可.。