狭义相对论基础

S/→S系变换(逆变换)
x ( x / ut ) y y z z t ( t / u x / ) c2
式中
r
1 2

1 u2 1 2 c
u c
14
三、洛仑兹变换式的推导
同一事件P在两个惯性系中有: S (x, y, z, t)和S’ (x/, y/, z/, t/) t0 = t0/ = 0，时原点发出一光信号
如：
S 0 c x 0/ x/
S／ u
按伽里略变换 S/系中 c-u.
5
如何解释出现的矛盾呢? 问题集中在经典电磁学的以太假说． 当时人们认为麦克斯韦方程只有在相对以太 “绝对静止”的惯性坐标系中成立。 电磁波在 “绝对静止”的惯性系中沿各方向传 播的速度都等于恒量c． 想找到麦克斯韦电磁场方程组对 “绝对静止” 参考系的形式。那么，就要找到以太，或 “绝对静 止”的惯性坐标系
19
用dt/去除它前面的三式，即得
dx ( x u)dt x u / x u x u x dt (1 2 )dt 1 2 c c y dy dy / y u u x dt x (1 2 )dt (1 2 ) c c z dz dz / z u u x dt (1 x )dt (1 2 ) 2 c c
1 1 1 , 2 1
t
l1 l2 u 2 ( ) c c
应有干涉条纹移动的数目
N c t

l1 l2 u 2 ( ) c
实验时取 l1=l2=l，则
2l u 2 N ( ) c
10
迈克耳逊与莫雷在 1887 年的实验中，使臂长 l1=l2=11m 所 用 光 波 长 l=5.9×10-7m ， 如 果 取 u=3.0×104m/s (为地球绕太阳公转的速度)，预 期ΔN≈0.37条。但实验观测值小于0.01条。
u c
有x x ut
伽利略变换
u2 (1 2 ) 1 c
y y
z z t t
18
四、洛仑兹速度变换
在S/系的速度
根据速度的定义
x
/ x
一个质点P在S系的速度 ( x , y , z )
/ / ( x , y ,z/ )

/
dx , dt
13
二、洛仑兹变换（L变换）
S→S/ 的变换(正变换)
x ( x ut ) y y z z t ( t u x ) c2
S S/
u
(x, y, z) ( x / , y / , z/ )
P x x/
o x
ut
1
o/
x/
12
狭义相对论的两条基本原理： 1.相对性原理： 所有物理定律在一切惯性系中都具有相同的形 式．或者说所有惯性系都是平权的，在它们之中所有 物理规律都一样． 2.光速不变原理： 所有惯性系中测量到的真空中光速沿各方向都等 于c，与光源的运动状态无关． •力学相对性原理 整个物理学的相对性原理 •光速不变原理与伽利略变换是彼此矛盾的，意味着 伽利略变换应该修改，这必然抛弃牛顿的时空观! 那么，什么样的变换能保证所有的物理规律对这 种变换都具有不变的形式, 而又能保证在所有惯性系 中光速不变呢？
15
设S/ → S的变换为： 根据相对性原理
x k( x ut )
/ /
S → S/的变换为：
由光速不变原理：
x k( x ut )
/
原点重合时，从原点发出一个光脉冲，其空间坐标为： S系 : S/系: x=c t x/=ct/
xx/ k 2 ( x ut )( x / ut / )
t
t/
实验得到了“零”结果！
11
§3.3狭义相对论基本原理
一.狭义相对论的两条基本原理
洛仑兹变换
爱因斯坦认为： 应该抛弃以太假想，电磁场不是媒质的状态，而 是独立的实体，是物质存在的一种基本形态． 物质世界的规律应该是和谐统一的, 麦克斯韦方程 组也应对所有惯性系成立、形式不变,也满足物理的 相对性原理． “真空中的光速始终是一个常数，与参考系无关” 是个实验事实， 应该接受。 应该对伽利略变换关系进行修正！ 爱因斯坦把这些观点概括表述为
l1 l1 2l1c t1 2 c u c u c u2
• 设从G1到 M2 的距离为l2,往返时间为t2
t2 2 l2 c 2 u2
•则两光束会合时的时间差为
2 l1 l2 t t1 t2 [ ] 2 2 2 2 c 1 u c 1 u c
如果把整个装置转动90
c 2tt / k 2tt / (c u)(c u)
由此求得
k
c c u
2 2

1 1 u2 c 2
16
x / ut / x u 1 ( )2 c
x/
x ut u 1 ( )2 c
从这两个式子消去 x/ 或 x，得到关于时间的变换式．
ux 2 c t u 1 ( )2 c t
2
§3.1 伽利略变换和经典力学时空观
一、伽利略变换 经典力学时空观
如图所示.设时刻t＝t/＝0时，两坐标系的坐标原 点O与O′重合.
伽利略坐标变换方程
x / x ut x x / ut / / / y y y y / / z z z z t t / t / t 时间间隔与参照 t t 系的运动无关
x u
/ x / y / z
按伽里略速度变换
y z
在以太坐标系中， x =u, z =0 则 u2+y/2 +0=c2，
/ y y c 2 u2
当光沿沿y/ 轴的负方向传播时
/ y y c 2 u2
8
在与地球固连的实验室系S/中，光沿各方向传播 的速度大小并不相等， • 设从G1到 M1 的距离为l1,往返时间为
y z
/ z
du a ax dt / ay ay
/ x
az/ az
在所有惯性系中，加速度是不变量. 经典力学中:m/＝m， 在S中有 F＝ma，在S/系中一定有F/＝m/a/.
4
§3.2 狭义相对论产生的实验基础和历史条件 一、伽利略变换的困难
1865年麦克斯韦建立了描述电磁运动普遍规律的 麦克斯韦方程组． •预言了电磁波的存在 •发现电磁波的波速等于光速c c：是一个常数，与参考系无关。 然而，人们发现麦克斯韦电磁场方程组并不具有 伽利略变换下形式不变的特点。
第 3章 相 对 论
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 伽利略变换和经典力学时空观 狭义相对论产生的实验基础和历史条件 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换 狭义相对论时空观 狭义相对论动力学
1
爱因斯坦 Albert Einstein 1879-1955 德裔瑞士人，美国苏黎世大 学、普林斯顿高等研究院理论 物理学家相对论的创建者. 因在理论物理学上的发现， 特别是发现了光电效应的定律. 于 1921年获诺贝尔物理学奖.
/ 平行于x/ 轴的情况，/x=/, /y=0, /z=0
/ u x , / u 1 2 c y 0, z 0
22
例: 有一辆火车以速度u相对地面作匀速直线运动. 在火车上向前和向后射出两道光，求光相对地面的 速度． 解 以地面为S系，火车为S/系，则光相对车向前的 速度为 /= +c，向后的速度/= -c 光向前的速度
y
/ y
dy , dt
z
/ z
dz dt
dx/ /, dt
dy/ /, dt
dz/ / dt
对洛仑兹变换式取微分：
dx (dx udt ) (
dy dy
dz dz
dt (dt
dx u)dt dt
u u dx u x dx ) ( 1 ) dt ( 1 )dt 2 2 2 c c dt c
cu c uc 1 2 c cu c uc 1 2 c
光向后的速度
这正是光速不变原理所要求的．
23
例: 设有两个火箭A，B相向运动，在地面测得A、B 的速度沿x轴正方向各为A=0.9c, B= - 0.9c．试求它们 相对运动的速度． 解: 设地球为参考系S，火箭A为参考系S/． A沿x轴的正方向运动，x与x/轴同向，则u=A． B相对A的运动速度，就是以A为参考系S/中测得B的 速度/x，现已知B在S系中的速度x=B= - 0.9c,
17
x
x ut 1 u c
2 2
y y z z
t
u t 2 x c 1 u2 c 2
5. 时间和空间的坐标都是实数，变换式中 1 ( u ) 2 c 不应该出现虚数；
u>c 变换无意义
速度有极限
6. 洛仑兹变换与伽利略变换本质不同，但是在低速和 宏观世界范围内洛仑兹变换可以还原为伽利略变换。
S
S/
u
P
o
o/ x
x x/
x/
空间间隔与参照 系的运动无关
l l
3
二、伽利略相对性原理
一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对描述 运动的力学规律来说是完全相同的. 或者说力学规律对一切惯性系都是等价的.这就 是力学的相对性原理，也称伽利略相对性原理.
x u
/ x / y
6
三.迈克耳逊-莫雷的实验
使干涉仪的一臂沿着地球轨道运动方向。
M2 M1 /
z/
y/
u 设地球在“绝对静止”(以太)参考系中的速度为
0
x/
.
光 源
G1
G2
M1
按伽利略速度变换计算
G1 M1 M1 G1
Байду номын сангаас
=c-u =c+u
7
当光沿沿y/ 轴的正方向传播时 /x =/z =0 /y＞0，
/
根据相对性原理，把上式中的u换为-u，便得到 从S/系到S系的速度变换式为
20
u x / u x 1 2 c / y y / u x (1 2 ) c z/ z 2 u x (1 2 ) c
ux 2 c t u 1 ( )2 c t
对于洛仑兹变换的说明： 1. 在狭义相对论中，洛仑兹变换占据中心地位； 2. 洛仑兹变换是同一事件在不同惯性系中两组 时空坐标之间的变换方程 3.各个惯性系中的时间、空间量度的基准必须一致； 4.相对论将时间和空间，及它们与物质的运动不可 分割地联系起来了；
2 l1 l2 t2 [ t t1 ] 2 2 2 2 c 1 u c 1 u c
9
干涉仪转动前后，光通过两臂时间差的改变量为：
t t t
2(l1 l2） 1 1 [ ] 2 2 2 2 c 1 u c 1 u c
考虑(u/c)2是小量，利用近似公式
/ x
当u<<c和 x<<c时，→1
/ x x u, / y y,
u x0 2 c
伽利略速度变换式．
21
z/ z
一维洛仑兹速度变换式 平行于x轴的情况，x=, y=0, z=0，
/ x
u , u 1 2 c
/ y 0,
z/ 0
x u u x
/ x
1
c2
0.9c 0.9c 1.8c 0.995c (0.9c )(0.9c ) 1.81c 1[ ] c2
同样可得A相对B的速度 /x=0.995c． 通过速度变换，在任何惯性系中物体的运动速 度都不可能超过光速．
显然有 y/=y, z/=z．
o x ut
S S/
u
(x, y, z) (x/,y/,z/)
P
x x/
• 考察O点任意时刻t x＝ 0 , x/+ut/＝0.
• 考察O/ 点任意时刻t x/＝0 ， x - ut＝0
o/
x/
(1) 时空是均匀的，因此惯性系间的时空变换 应该是线性的。 (2) 新变换在低速下应能退化成伽利略变换。