静电场5
人教版高中物理《静电场》第5节 电势差
第一章 静电场
第5节 电势差
复习巩固：
1.静电力做功的特点
静电力做的功，与电荷的起始位置和终止位置（初末位置）有关，与电荷 经过的路径无关。
2.静电力做功与电势能变化的关系
WAB=EpA-EpB 电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增大 3.电势高低的判断
1.沿着电场线的方向，电势逐渐降低
WG/G
h
2m 2mg
2mgh
h
3m 3mg
3mgh
h
电场
a
E
b
电荷量
q
电场力
qE
做功（W电） qEd
W电/电量
Ed
2q
2qE 2qEd Ed
3q
3qE 3qEd Ed
比值与移动的电荷电量无关，只与电场本身有关。
电势差
一、电势差： (1)定义：电场中两点间电势的差值叫电势差，也叫电压
（2）公式：U AB A B
U BA B A
U AB U B A
电势差类比理解
A
高度
B 参考平面
A 电势
B 参考点
电势差类比理解
A
高度差
B
A
电势差
B
电势差的理解
3V2V 1V 0V AB C D
U AB __A___B__3_V__2V 1V UBA ___B___A___2_V 3V 1V
电势差有正值也有负值，电势差的正负表示什么意义？
5、电势差是标量。
课前预习作业 课本P22
课堂练习
B
课堂练习
二.电势差与静电力做功与的关系
5.决定因素
WAB跟路径无关,UAB也是跟路径无关,且跟WAB 和q都无关,
大学物理学(上册)第5章 静电场
e 1.6021019C 量子性
电荷量e的数值最早由美国 科学家密立根用实验测得．
量子性始终不变
强子理论研究中提出所谓夸克模型,以四味夸克为例
夸克 U quark (上)
带电量 2/3 |e|
D quark(下) S quark(奇) C quark(粲)
-1/3 |e| -1/3 |e|
电量为Q
电量为Q
+
v
X′
X
⑵ 库仑定律
库仑（1736～1806)
库仑扭秤
① 库仑定律的内容主要内容 在真空中处于静止状态的两个点电荷的相互作用力的大 小,与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线. 当 两个点电荷带同号电荷时，它们之间是排斥力，带异号 电荷时，它们之间是吸引力．
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
人教版静电场第五节 电势差
（3）﹣1.5×10﹣9C 的电荷从 A 点移 到 C 点，静电力做功 WAC=qUAC=﹣ 1.5×10﹣9×（﹣125）J=1.875×10﹣7J
（4）根据以上所得的结果，定性地画出电
场分布的示意图，标出 A、B、C 三点可能 的位置
例2、在匀强电场中把2.0×10－9C的正电 荷从A点移到B点，静电力做功 1.5 ×10－ 7J。再把这个电荷从B点移到C点，静电 力做功－4.0×10－7J 。
（1）比较A、B、C三点的电势高低；
（2）计算A、B间， B、C间， A、C间 的电势差；
（3）计算把－1.5×10－9C的电荷从A点 移到C点静电力做功；
例1、在下图中，某电场的等势
面用实线表示，各等势面的电势分别 为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝ ____0____，UBC＝____1_2___，UCA＝ ___-1_2____.
由图可知，A、B处在同一个 等势面上，则有φA=φB,故 UAB=0
BC间的电势差为 UBC=10-（-2）=12V
b )
1 2
mv2
0
q(a
c
)
1 2
mv2
0
代入数据解之得：v′=1.5v
例4、如图所示，Q为固定的正点 电荷，A、B两点在Q的正上方和 Q相距分别为h和0.25h，将另一 点电荷从A点由静止释放，运动 到B点时速度正好变为零，若此 电荷在A点处的加速度大小为3/4g ，试求(1)此电荷在B点处的加速 度．
探究小结一 一、电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值．
(2)表达式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA. (3)电势差是标量，但有正负(φA>φB，UAB>0，φA<φB，UAB<0)． (4)单位：V(伏)．
高考物理主题1静电场5电势差学案
5 电势差[学科素养与目标要求]U AB ＝φA －φB 及U AB ＝W ABq.3.知道电势差的正、负号与电势高低之间的对应关系.科学思维：1.通过类比电场强度、电势的定义方法，理解U AB ＝W ABq的意义，知道电势差U AB 与W AB 、qU AB ＝φA －φB 及U AB ＝W ABq进行计算，并在应用中培养逻辑推理能力.一、电势差1.定义：电场中两点间电势的差值，也叫电压.2.公式：电场中A 点的电势为φA ，B 点的电势为φB ，则U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低.U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高. 4.单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V. 二、静电力做功与电势差的关系 1.公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W ABq. 2.U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功.1.判断下列说法的正误.(1)电势差与电势一样，是相对量，都与零电势点的选取有关.(×) (2)电势差是一个标量，但是有正值和负值之分.(√)(3)若电场中两点间的电势差U AB ＝1V ，则将单位正电荷从A 点移到B 点，电场力做功为1J.(√)(4)将电荷量为q 的电荷从A 点移到B 点与将－q 从B 点移到A 点电场力所做的功相同.(√) 2.在某电场中，将一带电荷量为q ＝＋2.0×10－9C 的点电荷从a 点移到b 点，电场力做功W ＝－4.0×10－7J ，则a 、b 两点间的电势差U ab 为________V. 答案 －200一、电势差电场中A、B、C、D四点的电势如图所示.(1)A、C及A、B间的电势差各为多少？哪个较大？(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势为多少？A、C及A、B间的电势差各为多少？通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点？答案(1)U AC＝15V，U AB＝10V，U AC＞U AB(2)φA＝18V，φB＝8V，φC＝3V，U AC＝15V，U AB＝10V电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取无关.对电势差的进一步理解(1)电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关.(2)电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关.例1(多选)关于电势差U AB和电势φA、φB的理解，正确的是( )A.电势与电势差均是相对量，均与零电势点的选取有关B.U AB和U BA是不同的，它们存在关系：U AB＝－U BAC.φA、φB都有正负，所以电势是矢量φB＝0，则φA＝U AB答案BD解析电势差与零电势点的选取无关，A错；U AB＝－U BA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错；由U AB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝U AB，D正确.例2在电场中A、B两点间的电势差U AB＝75V，B、C两点间的电势差U BC＝－200V，则A、B、C三点的电势高低关系为( )A.φA>φB>φCB.φA<φC<φBC.φC>φA>φBD.φC>φB>φA答案 C解析由U AB＝φA－φB知U AB＝75V表示φA比φB高75V，U BC＝－200V，表示φC比φB高200V，所以三点电势高低为φC>φA>φB，故选C.二、静电力做功与电势差的关系在如图所示的电场中有A 、B 两点，若选取无穷远处为零电势点，A 、B 两点的电势分别为φA 、φB .(1)A 、B 两点的电势差U AB 是多少？若把某电荷q 从A 移到B ，电荷的电势能变化了多少？ (2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功. 答案 (1)U AB ＝φA －φB 电势能的变化量为ΔE p ＝E p B －E p A ＝q (φB －φA ) (2)W AB ＝E p A －E p B ＝qφA －qφB ＝q (φA －φB )＝qU ABU AB ＝W ABq或W AB ＝qU AB 中符号的处理方法：把电荷q 的电性和电势差U 的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大.W AB ＝qU AB 适用于任何电场，其中W AB 仅是电场力做的功，不包括从A 到B 移动电荷时其他力所做的功.概念比较内容电势φ 电势差U区别定义电势能与电荷量的比值φ＝E p q电场力做的功与电荷量的比值U AB ＝W ABq决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q 、E p 无关 由电场和场内两点位置决定，与q 、W AB 无关相对性 与零电势点的选取有关与零电势点的选取无关联系 数值关系 U AB ＝φA －φB ，当φB ＝0时，U AB ＝φA单位 相同，国际单位制中均是伏特(V)标矢性都是标量，但均具有正负例3 有一个带电荷量q ＝－3×10－6C 的点电荷，从某电场中的A 点移到B 点，电荷克服静电力做6×10－4J 的功，从B 点移到C 点，静电力对电荷做9×10－4J 的功，问： (1)AB 、BC 、CA 间电势差各为多少？(2)若B 点电势为零，则A 、C 两点的电势各为多少？电荷在A 、C 两点的电势能各为多少？答案 见解析解析 (1)解法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负. |U AB |＝|W AB ||q |＝6×10－43×10－6V ＝200V ，因负电荷从A 移到B 克服静电力做功，必是从高电势点移到低电势点，即φA ＞φB ，U AB ＝200V. |U BC |＝|W BC ||q |＝9×10－43×10－6V ＝300V ，因负电荷从B 移到C 静电力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即φB ＜φC ，U BC ＝－300V.U CA ＝U CB ＋U BA ＝－U BC ＋(－U AB )＝300V －200V ＝100V.解法二：直接取代数值求.电荷由A 移到B 克服静电力做功即静电力做负功，W AB ＝－6×10－4J ，U AB ＝W AB q ＝－6×10－4－3×10－6V ＝200V.U BC ＝W BC q ＝9×10－4－3×10－6V ＝－300V.U CA ＝U CB ＋U BA ＝－U BC ＋(－U AB )＝300V －200V ＝100V.(2)若φB ＝0，由U AB ＝φA －φB ，得φA ＝U AB ＝200V. 由U BC ＝φB －φC ，得φC ＝φB －U BC ＝0－(－300) V ＝300V. 电荷在A 点的电势能E p A ＝qφA ＝－3×10－6×200J＝－6×10－4J.电荷在C 点的电势能E p C ＝qφC ＝－3×10－6×300J＝－9×10－4J.[学科素养] 此题通过练习使学生掌握电势差的定义式，以及静电力做功与电势差的关系，熟悉计算时各量的符号规定，较好地体现了“物理观念”和“科学思维”的学科素养. 针对训练 (2018·人大附中期中)把带电荷量为2×10－8C 的正点电荷从无限远处移到电场中A 点，要克服电场力做功8×10－6J ，若把该电荷从无限远处移动到电场中B 点，需克服电场力做功2×10－6J ，求： (1)A 点的电势； (2)A 、B 两点的电势差；(3)把2×10－8C 的负电荷由A 点移到B 点电场力做的功. 答案 (1)400V (2)300V (3)－6×10－6J 解析 (1)无限远处与A 点间的电势差：U ∞A ＝W 1q ＝－8×10－62×10－8V ＝－400V ，而U ∞A ＝φ∞－φA ，又φ∞＝0，所以φA ＝400V ；(2)无限远处与B 点间的电势差：U ∞B ＝W 2q ＝－2×10－62×10－8V ＝－100V ，而U ∞B ＝φ∞－φB ，又φ∞＝0，所以φB ＝100V ，则A 、B 两点的电势差为：U AB ＝φA －φB ＝300V ； (3)电场力做的功W ＝q ′U AB ＝－2×10－8×300J＝－6×10－6J.1.(电势差)下列说法正确的是( )A.电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压B.电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关C.U AB 表示B 点与A 点之间的电势差，即U AB ＝φB －φAD.A 、B 两点的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以U AB ＝U BA 答案 A2.(静电力做功与电势差的关系)(多选)对U AB ＝W ABq和W AB ＝qU AB 的理解，下列说法正确的是( )A 、B 两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量q 成反比 A 、B 两点移动不同的电荷，电场力做的功W AB 和电荷量q 成正比C.U AB 与q 、W AB 无关，与是否移动电荷也没有关系D.W AB 与q 、U AB 无关，与电荷移动的路径无关 答案 BC3.(静电力做功的计算)如图1所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9C 的正点电荷从A 经B 、C 到达D 点，则从A 至D ，电场力对电荷做的功为( )图1A.4.8×10－8J B.－4.8×10－8J C.8.0×10－8J D.－8.0×10－8J答案 B解析 U AD ＝φA －φD ＝－40V －(－10) V ＝－30V. 所以W AD ＝qU AD ＝1.6×10－9×(－30) J ＝－4.8×10－8J.4.(电势差的计算)将一电荷量为－3×10－6C 的点电荷从电场中的A 点移动到B 点，克服电场力做了3×10－5J 的功，再将该电荷从B 点移动到C 点，电场力做了1.2×10－5J 的功，求： (1)AB 间、BC 间、AC 间电势差各为多少？(2)从A 点移到B 点，再移到C 点，电势能变化了多少？ 答案 (1)10V －4V 6V (2)增加了1.8×10－5J 解析 (1)A 、B 间的电势差：U AB ＝W AB q ＝－3×10－5－3×10－6V ＝10VB 、C 间的电势差：U BC ＝W BC q ＝1.2×10－5－3×10－6V ＝－4VU AC ＝U AB ＋U BC ＝10V ＋(－4V)＝6V ；(2)电荷从A 点移动到B 点再从B 点移动到C 点的过程中，电场力做的功：W AC ＝W AB ＋W BC ＝－3×10－5J ＋1.2×10－5J ＝－1.8×10－5J电场力做负功，电荷的电势能增加了1.8×10－5J.一、选择题考点一 对电势差的理解A 、B 两点，下列说法中正确的是( )U AB ＝W ABq，说明两点间的电势差U AB 与电场力做功W AB 成正比，与移动电荷的电荷量q 成反比B.A 、B 两点间的电势差U AB 与移动电荷的电荷量q 无关A 点移到B 点电场力做正功，则有U AB ＞0A 、B 两点间的电势差U AB 等于把正电荷q 从A 点移动到B 点时静电力做的功答案 B解析 根据电势差的定义，电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点时静电力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，故B 正确.2.(多选)下列关于电场的描述，正确的是( ) A.电场中某点电势的大小、正负与零电势点的选取有关C.某点的电场强度大，则电势一定高D.同一点电荷在电场中任意两点间移动时，只要静电力做的功相同，那么两点间的电势差一定相同 答案 AD考点二 电势差与电场力做功的计算3.图1中的平行直线表示一簇垂直于纸面的等势面.一个电荷量为－5.0×10－8C 的点电荷，沿图中曲线从A 点移到B 点，电场力做的功为( )图1A.－5.0×10－7J B.5.0×10－7J C.－3.5×10－6J D.3.5×10－6J答案 B解析 U AB ＝φA －φB ＝－10V ，W AB ＝qU AB ＝5.0×10－7J ，B 正确.q ＝－1×10－9C 的负电荷从B 点移至A 点时，克服电场力做功2×10－6J ，将该电荷从A 点移至C 点，则需克服电场力做功3×10－6J ，则BC 间的电势差大小为( ) 答案 A解析 电荷由B 移到C ，电场力做功为W BC ＝W BA ＋W AC ＝－2×10－6J －3×10－6J ＝－5×10－6J 由U ＝W q 得：U BC ＝W BC q ＝－5×10－6－1×10－9V ＝5000V所以BC 间的电势差大小为5000V.5.(2018·厦门一中高二月考)电场中有A 、B 两点，一个点电荷在A 点的电势能为1.2×10－8J ，在B 点的电势能为8.0×10－9A 、B 两点在同一条电场线上，如图2所示，该点电荷的电荷量大小为1.0×10－9C ，那么( )图2C.A 、B 两点间的电势差U ABA 点移到B 点，电场力做功为W AB答案 A解析 点电荷在A 点的电势能大于在B 点的电势能，从A 点移到B 点电场力做正功，所以该点电荷一定为负电荷，且W AB ＝E p A －E p B ＝4.0×10－9J ，故选项A 正确，B 、D 错误；U AB ＝W ABq＝－4.0V ，故选项C 错误.6.(多选)如图3所示，在a 点由静止释放一个质量为m 、电荷量大小为q 的带电粒子，粒子到达b 点时速度恰好为零，设a 、b 所在的电场线竖直向下，a 、b 间的高度差为h ，则( )图3B.a 、b 两点间的电势差U ab ＝mgh qC.b 点场强大于a 点场强D.a 点场强大于b 点场强 答案 ABC考点三 等势面、电势差与电场力的功7.(2018·清华附中高二检测)在如图4所示的负点电荷产生的电场中，一检验电荷从A 点分别移到B 、C 、D 、E 点(此四点在以场源电荷为圆心的圆周上)，则下列情况正确的是( )图4A 到B 电场力做功最多 A 到E 电场力做功最多D.A 点比D 点电势高 答案 C解析 B 、C 、D 、E 在同一等势面上，所以U AB ＝U AC ＝U AD ＝U AE ，由W ＝qU 知做功一样多，A 、B 错误，C 正确；在－Q 的电场中，D 点比A 点离场源电荷远，所以D 点的电势比A 点高，D 错误.8.(多选)如图5所示，在－Q 形成的电场中，有a 、b 、c 三点，它们到点电荷的距离分别为r a 、r b 、r c 且r a <r b <r c ，且U ab ＝U bc ，则( )图5A.a点电势高于c点电势B.a点场强比c点场强大c点比放在a点的电势能大a点移到b点与由b点移到c点静电力做功相同答案BD解析由负电荷电场线和等势面的分布知A错误，B正确；因φc>φa，同一负电荷在电势低处电势能大，C错误；因U ab＝U bc，所以W ab＝W bc，D正确.9.(2017·泰州中学期中)如图6所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a与c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上，以下判断正确的是( )图6A.b点场强大于d点场强B.b点电势高于d点电势C.试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能D.a、b两点的电势差等于b、c两点间的电势差答案 D解析在两等量异种电荷的连线上，中间点电场强度最小；在两等量异种电荷连线的中垂线上，中间点电场强度最大，所以b点场强小于d点场强，A错误；等量异种电荷连线的中垂线是一条等势线，与在两等量异种电荷连线上的点相比较，d点的电势要高，所以d点电势高于b点电势，B错误；因a点的电势高于c点的电势，故试探电荷＋q在a点的电势能大于在c点的电势能，C错误；由对称性可知，a、b两点的电势差等于b、c两点间的电势差，D 正确.10.(2018·张家口市期末)如图7所示，A、B、C是点电荷Q形成的电场中的点，BC是以O 为圆心的一段圆弧.U AB＝＋5V，正电荷q沿A→B→C移动，则( )图7Q带正电BC运动时电场力做正功C.B点的电场强度与C点的相同D.q在A点时具有的电势能比在C点时的大答案 D解析根据A、B两点的电势差为＋5V，可知电场方向沿AB方向，可知Q为负电荷，故A错误；BC为等势面，故沿BC运动时电场力不做功，故B错误；根据点电荷的电场强度公式E＝kQr2，可知B、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，故C错误；根据A、B两点的电势差为＋5V，且q为正电荷，故在A点时具有的电势能比在B点时的大，而B、C电势相等，则在A点时具有的电势能比在C点时的大，故D正确.11.(2018·昆明市校级联考)如图8所示，虚线表示等势面，相邻两等势面间的电势差相等，有一电子在该电场中运动，实线表示该电子的运动轨迹，电子在a点的动能等于28eV，运动到b点时的动能等于4eV，若取c点为零电势点，当这个电子的电势能等于－6eV时，它的动能等于( )图8答案 B解析电子自a点运动到b时，电场力做负功：W ab＝－eU ab＝4eV－28eV＝－24eV，得U ab＝24V 由于相邻两等势面的电势差相等，故电势差的大小关系有：U ab＝－3U bc，U bc＝－8V从b到c电场力做正功，W bc＝－eU bc根据动能定理有：W bc＝E k c－E k b联立得E k c＝12eV.由于只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变，故在c点：E＝E p c＋E k c＝12eV即电势能和动能之和为12eV，因此当电势能等于－6eV时动能为18eV，故A、C、D错误，B 正确.二、非选择题12.如图9所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC ＝0，φA ＝φB ＝10V ，φD ＝－30V ，将电荷量为q ＝1.2×10－6C 的正电荷在该电场中移动.图9(1)把这个电荷从C 移到D ，静电力做功多少？(2)把这个电荷从D 移到B 再移到A ，电势能变化多少？答案 (1)3.6×10－5J (2)增加了4.8×10－5J解析 (1)U CD ＝φC －φD ＝30V W CD ＝qU CD ＝1.2×10－6×30J＝3.6×10－5J.(2)U DA ＝φD －φA ＝－30V －10V ＝－40VW DA ＝qU DA ＝1.2×10－6×(－40) J ＝－4.8×10－5J所以电势能增加了4.8×10－5J.13.如图10所示，匀强电场中A 、B 、C 三点构成一个直角三角形，把电荷量q ＝－2×10－10C 的点电荷由A 点移到B 点，静电力做功4.8×10－8J ，再由B 点移到C 点，电荷克服静电力做功4.8×10－8J ，取B 点的电势为零，求：图10(1)A 、C 两点的电势；(2)作出过B 点的一条电场线.答案 (1)φA ＝－240V φC ＝－240V (2)见解析图解析 (1)把电荷从A 点移到B 点，U AB ＝W AB q ＝4.8×10－8－2×10－10V ＝－240V 即φA －φB ＝φA ＝－240V.把电荷从B 点移到C 点，U BC ＝W BC q ＝－4.8×10－8－2×10－10V ＝240V ， 即φB －φC ＝－φC ＝240V.所以φC ＝－240V.(2)因φA ＝φC ，所以直线AC 为匀强电场中的一条等势线，由电场线与等势线垂直且由较高等势线指向较低等势线，电场线过B 垂直于AC 指向左上.。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
静电场的能量5
W球面 <W球体 e e
课堂讨论
13.5 静电场的能量 (electrostatic energy)
定义： 定义： 把系统从当前状态无限分裂到彼此相距无 限远的状态中静电场力作的功， 限远的状态中静电场力作的功，叫作系统 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 或： 把这些带电体从无限远离的状态聚合到当 前状态过程中，外力克服静电力作的功。 前状态过程中，外力克服静电力作的功。
r
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E = q 4 r2 πε0
R
R
r <R r >R
q
R
r q 4 ε R π0 3 E = q 4 ε0r2 π
∞
r <R r >R
1 1 2 2 2 2 W = ∫ ε0E ⋅ 4 r dr +∫ ε0E ⋅ 4 r dr π π e 2 2 0 R
3.电容器储存的能量 电容器储存的能量
K
a
b
开关倒向a，电容器充电。 开关倒向 ，电容器充电。 开关倒向b，电容器放电。 开关倒向 ，电容器放电。
灯泡发光
←电容器释放能量
←电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 计算电容器带有电量 ，相应电势差为 时所 具有的能量。 具有的能量。
电容器中的能量是在充电过 程中建立起来的。 程中建立起来的。 充电过程， 充电过程，使电容器的两极 板分别带上等量的正负电荷， 板分别带上等量的正负电荷，这 相当于将某一极板上的电荷拉到 另一极板上。 另一极板上。这是电荷在两极板 间的搬迁过程。 间的搬迁过程。 搬迁过程中， 搬迁过程中，随着极板上电 荷的累积，要做的功越来越大， 荷的累积，要做的功越来越大， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 粮越来越高，再往上倒， 粮越来越高，再往上倒，就越来 越困难。 越困难。
大连理工大学大学物理作业5(静电场五)及答案详解
2．一平行板电容器中充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。
已知介质表面极化电荷面密度为σ'±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。
.A0σε' .B 02σε' .C 0r σεε' .D rσε' 答案：【A 】解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。
在产生静电场方面，它们的性质是一样的。
在电容器中，正是极化电荷的存在，产生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。
或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。
正负极化电荷产生的电场强度的大小都是0/2εσ，方向相同，所以，极化电荷产生的电场的电场强度为0/εσ。
3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q 所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。
.A 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 .B 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 .C 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 .D 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立答案：【B 】解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。
无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。
但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。
图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
4．半径为1R 和2R 的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r ε的均匀介质。
设两圆筒上单位长度带电量分别为λ+和λ-，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。
静电场5-电势梯度和电势能
a
q
17
Aab W
取wb为电势能零点, 即: Wb=0, 则： W
势能零点 a
b
q
a
E
E dl q
a
一般取 ∞ 处为势能零点 试探电荷q在电场中a点时系统的电势能 物理意义： 大小等于: 将q从a点移至电势能零点电 场力所做的功
q距离场源点电荷Q为r时
系统的电势能:
1 Qq W 4 0 r
U1 U2 + U3
U4
E
证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图）， 以点电荷为例，其电势为 1 q U (r ) 4 0 r
典型等势面
6
电偶极势场
7
电容器势场
8
三、电场强度与电势梯度
• 场有分布, 沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 E – 如 速度梯度 温度梯度等 U P n l • 沿l 的方向微商可以表示为 U+U
n
Δn很小,场强E变化不大
U
Q
P
E d l En
U U E lim n 0 n n
考虑方向，则有： E U
矢量微分算符
在直角坐标系中： i j k x y z
dU U U U ˆ U n i j k dn x y z
电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时电势的叠加内壳单独存在外壳单独存在iii3511如图所示半径为r的半球面a的球心o位于oz轴上距o点r处半球面横截面与oxy面平行坐标原点o处有一电36一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形沿其上半部分均匀分布有电量q沿其下半部分均匀分布有电量q
第三章静电场5—分离变量法
第三章静电场（5）分离变量法陈德智2011年3月分离变量法之要点•求解区域边界与坐标面平行。
（矩形，圆形，球形等，共11种坐标系可解）•微分方程和部分边界条件皆为齐次。
（便于叠加）•将方程分解为若干只与某个坐标相关的函数的乘积，求解本征值问题。
•利用边界条件和本征函数的正交性确定系数。
分离变量法举例1：栅极的静电场设栅网与极板均为无限大，栅网只有平行的格线组成，栅格宽度为a。
栅网平面上的电位呈周期性分布，可用Fourier级数表示。
2nπ分离变量法举例1：栅极的静电场电位分布212(1)cos()nxannx n y U U ed aππϕ∞−==−+∑分离变量法举例2：尖角/凹陷处的静电场接地的两平面导体形成一定夹角α ，在远处有一些电荷或带电体，分析夹角附近的场分布。
构建模型：设远处有一同心圆弧形导体，电位为U。
（这样假设是为了解题方便；远处的场不是关心的所在）0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ<0πααρ−→如果0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ=1πααρ−→如果010004(sin cos )4y U U ρφφφρπρπ=−+=−E e e e01004(sin cos )U πααρφρπφπφραραα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当πααρ−→∞απ>如果尖劈局部电场分布（右图电力线按反方向绘制）尖劈电场分布的ANSYS有限元计算结果采用ANSYS计算尖劈电场分布的两种有限元网格分离变量法学过数学物理方程的人会有这样的经验，使用分离变量法求解边值问题是相当麻烦的。
可是，当你看到那么复杂的电磁场问题，通过一步步的推导，得出了美妙的结果，会产生一种发自内心的愉悦。
要知道，这些问题的解决，曾经想破了无数最聪明的脑袋，是数学物理史上了不起的成就，——而现在，它属于你了。
其次，虽然过程有些繁琐，但是不难，因为解题的步骤都大同小异。
Lec19 静电场5- 机械
E内
E外
外部：改变场
2 3 0
i
联立 求解
导体内任意一点P的场强 E= 0
2 0 Q 1 2 2S 即：
1
2
2 0
3
可得
3
按电场叠加原理可求得
E A Q 2 0 S
EB
2 0 2 0 Q Q 4 2S 2S
4
0
Q 2 0 S
EC
Q 2 0 S
位移极化 有极分子电介质的极化
E'
面束缚电荷
E0
F
取向极化 束缚电荷也称为极化电荷
可见：E外强， p 排列越整齐 端面上束缚电荷 越多,电极化程度 就越高 极化电场
静电平衡时电介质与导体的区别：
电介质
E
E内 0
E0
导体
E 内 0
E0
撤去外电场场后
束缚电荷产生场 E 影响原来的场 E0 ' E E E0 E '
导体内表面上分布有电荷 q 内 q 根据电荷守恒: q 外 Q q
S- - - - q
Q +q
---
导体壳感应带电：
+
+
q 内表面电荷与腔内电荷等值异号 + -- q （用高斯定理可证明） q 外表面电荷与腔内电荷等值同号(Q=0) + + （若导体壳带电Q 则外表面上电荷为 Q+q ）
S
1 E dS
q
i
=0
假设导体内表面上的a点处 有电荷q(>0).
静电场(全课件)
静电场(全课件)
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CONTENTS
目录
静电场的 简介
电场的基 本概念
静电场的 计算方法
静电场的 实际应用
静电场的 未来发展
PA R T. 0 2
静电场的简介
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静电场的定义
静电场是保守场，即电场力做功与路径无关，只与 初末位置的电势差有关。 静电场是由静止电荷产生的电场，其电场线从正电 荷出发，终止于负电荷或无穷远处。
定义
电场强度是描述电场中电场力性质的物理量， 用矢量表示，单位为牛/库或伏/米。
计算公式
在点电荷产生的电场中，电场强度的大小等 于点电荷的电量与距离的平方的比值，方向 由点电荷指向其周围的电场线。
电场强度的叠加原理
在空间中某一点的电场强度等于各个点电荷 在该点产生的电场强度的矢量和。
电势
电势是描述电场中电势能性质的物 理量，用标量表示，单位为伏特。
电场的基本概念
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电场线
电场线是用来描述电场分布的假想线，其 密度表示电场强度的大小。 描述电场分布 电场线的方向 电场线的切线 电场线的方向与电场强度矢量方向一致， 从正电荷或无穷远指向负电荷或无穷远。 电场线的切线方向表示电场强度的方向， 切线的长度表示电场强度的大小。
电场强度
离子交换 离子交换是一种常用的水处理技术，通过电场的 作用，使带电离子在电场中发生定向迁移，从而 实现离子的交换和去除。
电场在生物医学中的应用
医学成像
01
医学成像技术如X光、CT等利用电场的作用，使不同物质在电
场中的吸收和散射程度不同，从而实现医学成像。
电刺激细胞
大连理工大学大学物理作业5(静电场五)及答案详解
作业5 静电场五2．一平行板电容器中充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。
已知介质表面极化电荷面密度为σ'±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。
.A0σε' .B 02σε' .C 0r σεε' .D rσε' 答案：【A 】解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。
在产生静电场方面，它们的性质是一样的。
在电容器中，正是极化电荷的存在，产生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。
或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。
正负极化电荷产生的电场强度的大小都是0/2εσ，方向相同，所以，极化电荷产生的电场的电场强度为0/εσ。
3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q 所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。
.A 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 .B 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 .C 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 .D 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立答案：【B 】解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。
无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。
但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。
图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
4．半径为1R 和2R 的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r ε的均匀介质。
设两圆筒上单位长度带电量分别为λ+和λ-，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。
大学物理课件——第五章 静电场
作业： 5.2
3.电场强度
3.1 电场的概念 电场间相互作用的场的观点:
电荷
电场
电荷
电场：电荷周围空间存在的一种场，叫电场。静 止电荷产生的电场，叫静电场。
电场的基本性质：对电荷产生作用力
3.2.电场强度
Q
E F q0
q0
F
E
为矢量：
大 方
小 向
: :
E F / q0 沿F 方向
德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困， 聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795~1789年在哥廷根大学学习， 1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直 到逝世。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联 系全世界的地磁台站网。1855年2月23日在哥廷根逝世。
谢水奋 副教授 厦门大学物理系 sfxie@
1-16周 星期一 第3-4节 1号楼（学武楼）C206 1-16周 星期四 第5-6节 1号楼（学武楼）A206
教学内容：
电磁学篇（课本上册第5-8章） 振动与波动（课本上册第4章） 波动光学篇(课本下册第12章)
考核方式：
玻璃棒与丝绸摩擦后所带 的电荷为正电荷。
摩擦起电
物体所带电荷量，符号Q （q），单位库伦 C。
1.2 电荷的基本性质 a. 电荷间有力的相互作用，同性相斥，异性相吸。
b.电的中和；
1.3 物质的电结构 物体因得失电子而带电荷。得到电子带负电；
失去电子带正电。电荷是物质的一种基本属性， 就象质量是物质一种基本属性一样。
32
4
E
P
E－ r
什么是静电场有何特点
什么是静电场有何特点关键信息项：1、静电场的定义2、静电场的基本物理量3、静电场的产生方式4、静电场的特点5、静电场中的电荷受力情况6、静电场对物质的作用7、静电场的能量特性1、静电场的定义静电场是由静止电荷产生的一种特殊的物质形态。
它是存在于电荷周围的空间区域，能够对置于其中的其他电荷施加力的作用。
11 静电场与电荷的关系电荷是产生静电场的源，静电场的性质和分布取决于电荷的数量、分布和运动状态。
2、静电场的基本物理量21 电场强度电场强度是描述静电场强弱和方向的物理量，它是一个矢量。
电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受到的电场力。
22 电势电势是描述静电场中位置势能的物理量，它是一个标量。
在静电场中，电荷在不同位置具有不同的电势，电势差决定了电荷在电场中移动时电场力做功的大小。
23 电通量电通量是通过某一面积的电场线条数，它反映了电场在某一区域的分布情况。
3、静电场的产生方式31 单个点电荷产生的静电场单个点电荷产生的静电场强度与距离电荷的距离的平方成反比，方向沿径向向外或向内。
32 多个点电荷产生的静电场多个点电荷产生的静电场是各个点电荷单独产生的电场的矢量叠加。
33 连续分布电荷产生的静电场通过积分方法可以计算连续分布电荷产生的静电场。
4、静电场的特点41 有源无旋性静电场是有源场，电荷是电场的源。
静电场的电场线不闭合，不存在漩涡状的电场线，即静电场是无旋场。
42 保守性静电场力做功与路径无关，只与电荷的始末位置有关，静电场具有保守性。
43 叠加性多个静电场可以在同一空间叠加，叠加后的电场强度等于各个电场强度的矢量和。
5、静电场中的电荷受力情况51 正电荷受力方向与电场强度方向相同，负电荷受力方向与电场强度方向相反。
52 电荷在静电场中受到的电场力大小与电荷量和电场强度的乘积成正比。
6、静电场对物质的作用61 静电场对导体的作用导体在静电场中会发生静电感应，导体内的自由电荷重新分布，直至导体内部电场强度为零。
第一章 静电场 第5、6节
第5节 电势差1．电场中两点间电势的差值叫电势差，U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，因而U AB ＝－U BA .2．电势差是标量．电势差有正负，电势差的正负表示电场中两点电势的高低，若U AB >0，则φA >φB .如U AB ＝－5 V ，说明A 点的电势比B 点的电势低5 V .3．公式W AB ＝qU AB ，适用于任何电场，应用时要注意各物理量的正负，若q 为负，U AB 为负，则静电力做的功为正功；若q 为负，U AB 为正，则静电力做的功为负功．4．某电场中，点电荷从a 点移到b 点，电场力做功为零，则( )A ．a 、b 两点的场强一定相等B ．a 、b 两点间的电势差一定为零C ．a 、b 两点的电势一定相等D ．电荷所受到的电场力总是垂直于其移动方向答案 BC解析 电荷在电场中移动过程中，电场力做功为零，则其电势能不变，电荷在初末两位置的电势能相等，因此电荷所在的初末两位置电势相等，但初末两位置间场强不一定相等．虽然电场力做功为零，但不一定在移动时电荷运动方向总是与电场力方向垂直，因为电场力做功为零可以由多种可能的运动路径造成．5．对于电场中A 、B 两点，下列说法正确的是( )A ．电势差的定义式U AB ＝W AB /q ，说明两点间的电势差U AB 与电场力做功W AB 成正比，与移动电荷的电荷量q 成反比B ．A 、B 两点间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点电场力所做的功C ．将1 C 电荷从A 点移到B 点，电场力做1 J 的功，这两点间的电势差为1 VD ．电荷由A 点移到B 点的过程中，除受电场力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于电场力所做的功答案 C解析 根据电势差的定义，电场中两点间的电势差在数值上等于将单位正电荷从一点移到另一点电场力所做的功，仅由电场及两点位置决定，与移动的电荷量及做功的多少无关，即U ＝W q是比值定义式，所以A 错， B 错，C 对．电势能的变化唯一决定于电场力做的功，与其他力是否做功，做多少功无关，D 错．6．关于电势差和电场力做功的说法中，正确的是( )A ．电势差是矢量，电场力做的功是标量B ．在两点间移动电荷，电场力不做功，则两点间的电势差为零C ．在两点间被移动的电荷的电荷量越少，则两点间的电势差越大D ．在两点间移动电荷时，电场力做正功，则两点间的电势差大于零答案 B解析 电势差是标量，其正负号不表示方向，故A 错．两点间的电势差与被移动的电荷的电荷量无关，故C 错．若在两点间移动负电荷时，电场力做正功，则这两点间电势差为负值，故D 错，只有B 对．图17．如图1所示为一个点电荷电场的电场线(实线)和等势线(虚线)，两相邻等势线间的电势差为4 V ，有一个带电荷量为q ＝1.0×10－8 C 的负电荷从A 点沿不规则曲线移到B 点，电场力做功为________ J.答案 －4.0×10－8解析 W AB ＝qU AB ＝－1.0×10－8×4 J ＝－4.0×10－8 J.8．在电场中把一个电荷量为－6×10－8 C 的点电荷从A 点移到B 点，电场力做功为－3×10－5 J ，将此电荷从B 点移到C 点，电场力做功为4.5×10－5 J ，求：A 与C 两点间的电势差．答案 －250 V解析 把电荷从A 移到C 电场力做功W AC ＝W AB ＋W BC ＝－3×10－5 J ＋4.5×10－5 J ＝1.5×10－5 J.则A 、C 间的电势差U AC ＝W AC q ＝1.5×10－5－6×10－8V ＝－250 V.【概念规律练】知识点一 电势差1．下列说法正确的是( )A ．电势差与电势一样，是相对量，与零点的选取有关B ．电势差是一个标量，但是有正值和负值之分C ．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关D ．A 、B 两点的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以U AB ＝U BA 答案 BC解析 电势差的大小与零电势点的选取无关，故A 错．从电势差的特性可知电势差是标量，有正负之分，B 项正确．从电场力做功的特点及电势差的定义可知两点间的电势差只与两点间的位置有关，C 项正确．最易错的是把电势差与电压相混淆，电势差可以反映出两点电势的高低，U AB ＝－U BA ，而电压只是电势差的大小，故D 项错误．点评 电势差仅由电场及两点在电场中的位置决定，与零电势点的选取无关．2．将一个电荷量为10－6 C 的负电荷从电场中的A 点移到B 点，克服电场力做功2×10－6 J ．从C 点移到D 点，电场力做功7×10－6 J ，若已知B 点比C 点电势高3 V ，则U DA ＝______.答案 2 V解析 由负电荷从电场中A 点移到B 点克服电场力做功，从C 点移到D 点电场力做正功知：A 点电势高于B 点，C 点电势低于D 点．有：U AB ＝W q ＝－2×10－6－10－6 V ＝2 V ，U CD ＝W q ＝7×10－6－10－6V ＝－7 V ，即U AB ＝φA －φB ＝2 V ，U CD ＝φC －φD ＝－7 V ，U BC ＝φB －φC ＝3 V ，则U DA ＝φD －φA ＝－(U AB ＋U BC ＋U CD )＝2 V .点评 (1)电势差是表示电场能的性质的物理量，只由电场本身的性质决定，与W AB 和q 无关．(2)电势差和静电力做功密切相关，由公式U AB ＝W AB q看出，电势差在数值上等于移动单位正电荷时静电力所做的功．(3)利用公式U AB ＝W AB q和W AB ＝qU AB 时，各量的正负号有两种处理办法： ①带正负号进行运算，根据计算结果的正负判断电势高低或功的正负．②只将绝对值代入公式运算，例如计算W AB ，无论q 、U AB 正负，只将它们的绝对值代入公式，若要知道W AB 的正负，可根据静电力方向和位移方向的夹角来判定．知识点二 电势差与电场力做功的关系3．关于电势差与电场力做功的说法中，正确的是( )A ．电势差的大小由在两点间移动电荷时电场力做的功和电荷的电荷量决定B ．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定C ．电势差是矢量，电场力做的功是标量D ．电场中两点间的电势差等于电场力做的功，电荷的电势能减小答案 B解析 本题主要考查电势差的概念及电场力做功与电势差的关系．电势差的大小由电场本身的因素决定，与移动电荷的电荷量及移动电荷所做的功无关，A 项错．由W AB ＝qU AB 知，B 项对．电势差、电场力做的功都是标量，C 项错．电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点电场力所做的功，D 项错，因此正确选项为B.4．如图2所示，把电荷量为－5×10－9 C 的电荷，从电场中的A 点移到B 点，其电势能________(选填“增大”、“减小”或“不变”)；若A 点的电势U A ＝15 V ，B 点的电势U B ＝10 V ，则此过程中电场力做的功为________ J.图2答案 增大 －2.5×10－8解析 负电荷顺着电场线移动，电场力做负功，电势能增加．W AB ＝qU AB ＝q(U A －U B )＝－5×10－9×(15－10) J ＝－2.5×10－8 J.点评 由U AB ＝W AB q得：W AB ＝qU AB .因此只要知道电荷的电荷量和两点的电势差，便可求电场力做的功．计算中需注意正负号的处理．若把q 和U AB 的正负号代入，则得出的W 的正负即表示正、负功．5．如图3所示，a 、b 、c 、d 为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离为2 cm ，已知U AC ＝60 V ，求：图3(1)设B 点电势为零，求A 、C 、D 、P 点的电势；(2)将q ＝－1.0×10－10 C 的点电荷由A 移到D 电场力所做的功W AD ；(3)将q ＝1.0×10－10 C 的点电荷由B 移到C ，再经过D 最后回到P ，电场力所做的功W BCDP .答案 (1)φA ＝30 V ，φC ＝－30 V ，φD ＝－60 V ，φP ＝0(2)W AD ＝－9.0×10－9 J(3)W BCDP ＝0解析 (1)由题意可知φP ＝φB ＝0U AC ＝60 V ，U AB ＝U BC ，所以U AB ＝φA －0＝30 V则φA ＝30 V ，同理φC ＝－30 V ，φD ＝－60 V(2)由做功的公式：W AD ＝qU AD ＝q(φA －φD )＝－9.0×10－9 J(3)由于电场力做功与路径无关，只与初末位置有关，所以做功为W BCDP ＝qU BP ＝0. 点评 利用W AB ＝qU AB 计算时，公式中W AB 、q 、U AB 均可以有正、负，注意各物理量用正、负值代入．电场力对电荷所做的功只与初末位置有关，与路径无关．6．如图4所示，在a 点由静止释放一个质量为m ，电荷量为q 的带电粒子，粒子到达b 点时速度恰好为零，设ab 所在的电场线竖直向下，a 、b 间的高度差为h ，则( )图4A ．带电粒子带负电B ．a 、b 两点间的电势差U ab ＝mgh qC ．b 点场强大于a 点场强D ．a 点场强大于b 点场强答案 ABC解析 带电粒子由a 到b 的过程中，重力做正功，而粒子运动到b 点时动能没有增大，说明电场力做负功．根据动能定理有：mgh －qU ab ＝0，解得a 、b 两点间电势差为U ab ＝mgh q.因为a 点电势高于b 点电势，U ab >0，所以粒子带负电，选项A 、B 皆正确．带电粒子由a 运动到b 过程中，在重力和电场力的共同作用下，先加速运动后减速运动．因为重力为恒力，所以电场力为变力，且电场力越来越大，由此可见b 点场强大于a 点场强．选项C 正确，D 错误．7．如图5所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以点电荷＋Q 为圆心的某一个圆周交于B 、C 两点，质量为m ，带电荷量为－q 的小环从A 点由静止下滑，已知q ≪Q ，AB ＝h ，小环到达B 点时，速度为3gh ，求：图5(1)小环由A 到B 过程中，电场力对小环做的功；(2)A 、C 两点间的电势差U AC 等于多少？答案 (1)12mgh (2)－mgh 2q解析 (1)小环下落过程中受恒力G 和变力F 电作用，利用动能定理：⎭⎪⎬⎪⎫mgh ＋W AB ＝12m v 2B v B ＝3gh ⇒W AB ＝12mgh. (2)点电荷的等势面为同心球面，所以φB ＝φC ，U AC ＝U AB ＝W AB －q＝－mgh 2q . 方法总结 带电粒子在电场中的运动问题，可以用动能定理去分析处理，要注意动能定理中的总功应是包括电场力在内的所有力的功．可由动能定理计算电场力的功，进而计算电场中两点间的电势差．1．关于静电场，下列结论普遍成立的是( )A ．电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低B ．电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关C ．在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向D ．将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零答案 C解析 在静电场中，电势沿着电场线逐渐降低，场强方向是电势降低最快的方向，场强的大小与电场线分布疏密有关，与电势高低无关，故A 项错误，C 项正确．电场中两点间的电势差既与场强有关又与两点间距离有关，B 项错误．场强为零的一点到场强为零的另一点间的电势差不一定为零，故电场力做功不一定为零．比如，在两个等量同种点电荷形成的电场中，电场的中心点与边缘点之间，故D项错误．2．一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点电势能为4.8×10－17 J，动能为3.2×10－17 J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17 J，如果电子只受静电力作用，则()A．电子在B点时动能为4.8×10－17 JB．由A点到B点静电力做功为100 eVC．电子在B点时动能为1.6×10－17 JD．A、B两点间的电势差为100 V答案AB3．空间存在匀强电场，有一电荷量q(q>0)、质量m的粒子从O点以速率v0射入电场，运动到A点时速率为2v0.现有另一电荷为－q、质量为m的粒子以速率2v0仍从O点射入该电场，运动到B点时速率为3v0.若忽略重力的影响，则()A．在O、A、B三点中，B点电势最高B．在O、A、B三点中，A点电势最高C．OA间的电势差比BO间的电势差大D．OA间的电势差比BA间的电势差小答案AD解析根据电场力对正电荷做正功可得顺着电场线运动，电势降低，而对负电荷同样做正功，电势升高，A对；根据动能定理可以得O到A做的功小于O到B的，故C错，D正确．4．如图6中，a、b、c、d、e五点在一直线上，b、c两点间的距离等于d、e两点间的距离．在a点固定放置一个点电荷，带电荷量为＋Q，已知在＋Q的电场中b、c两点间的电势差为U.将另一个点电荷＋q从d点移动到e点的过程中()图6A．电场力做功qUB．克服电场力做功qUC．电场力做功大于qUD．电场力做功小于qU答案 D解析该电场为正点电荷产生的电场，从a→e场强减小，电势变化量不均匀，电场线密集的地方电势降落较快，所以所以U bc>U de，故点电荷＋q从d点移到e点电场力做功小于qU.故D项正确．5．如图7所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为E A、E B、E C，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为U AB、U BC，则下列关系中正确的是()图7A．φA>φB>φC B．E C>E B>E AC．U AB<U BC D．U AB＝U BC答案ABC解析A、B、C三点处在一根电场线上，沿着电场线的方向电势降落，故φA>φB>φC，A正确；由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为E C>E B>E A，B对；电场线密集的地方电势降落较快，故U BC>U AB，C对，D错．6．一个电子在电场中的A点具有80 eV的电势能，当它由A点运动到B点时克服静电力做功30 eV，则()A．电子在B点时的电势能是50 eVB．电子的电势能增加30 eVC．B点电势比A点高110 eVD．B点电势比A点低110 eV答案 B解析电子从A到B克服静电力做功30 eV，说明从A到B电势能增加了30 eV，因此电子在B点时的电势能应是110 eV，故A错，B对．从A到B移动电子克服静电力做功，说明φA>φB，两点间的电势差U AB＝φA－φB＝W ABq＝30 V，故B点电势比A点低30 V，所以C、D均错．7．如图8所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远以初速度v0射入点电荷O 的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心、R a、R b、R c为半径画出的三个圆，R c－R b＝R b－R a.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点．以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则()图8A．|W12|＝2|W34|B．|W12|＞2|W34|C．P、O两电荷可能同号，也可能异号D．P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零答案 B解析因为R b－R a＝R c－R b，且E c<E b<E a.由电场线密集的地方电势降落较快可知|U12|>2|U34|，故B项正确．从电荷P的弯曲运动轨道可知，P、O两电荷一定异号，故C项错．如果P的初速度方向的延长线与O之间的距离为零，则P电荷的轨迹为一直线，故D 错．8．图9中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV，它的动能应为()图9A．8 eV B．13 eVC．20 eV D．34 eV答案 C解析设相邻等势面之间的电势差大小为U，正电荷从a运动到b，动能减少，电势能增加，可知b点的电势高于a点，则φa＝－2U，φb＝U，设正电荷的电荷量为q，则正电荷在a点、b点的电势能E pa＝－2qU，E pb＝qU，据能量守恒定律E ka＋E pa＝E kb＋E pb，代入数据得qU＝7 eV.设点电荷运动到c点时，其动能、电势能分别为E kc、E pc，且E pc＝－8 eV；据能量守恒定律E ka＋E pa＝E kc＋E pc，26 eV＋(－14 eV)＝E kc＋(－8 eV)E kc＝20 eV.9．如图10所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一检验电荷从A 点分别图10移到B 、C 、D 各点时，电场力做功大小比较( )A ．W AB >W AC B ．W AD >W ABC ．W AC ＝W AD D ．W AB ＝W AC答案 CD解析 点电荷的等势面为同心球面，故B 、C 、D 三点位于同一等势面上，故U AB ＝U AC ＝U AD ，将同一检验电荷从A 点分别移到B 、C 、D 各点，由电功的计算公式W ＝qU 可得电场力做功相同．10．如图11所示是一匀强电场，已知场强E ＝2×102 N/C ，现让一个电荷量为q ＝－4×10－8 C 的电荷沿电场方向从M 点移到N 点，MN 间的距离l ＝30 cm.试求：(1)电荷从M 点移到N 点电势能的变化；(2)M 、N 两点间的电势差．图11答案 (1)电势能增加了2.4×10－6 J (2)60 V解析 (1)由图可知，负电荷在该电场中所受电场力F 为恒力，且方向向左．因此从M 点移到N 点，电荷克服电场力做功，电势能增加，增加的电势能ΔE 电等于电荷克服电场力做的功W.电荷克服电场力做功为W ＝qEl ＝4×10－8×2×102×0.3 J ＝2.4×10－6 J ，故电势能增加了2.4×10－6 J.(2)从M 点到N 点电场力对电荷做负功为W MN ＝－2.4×10－6 J ，则M 、N 两点间的电势差为U MN ＝W MN q ＝－2.4×10－6－4×10－8V ＝60 V ，即M 、N 两点间的电势差为60 V . 11．已知将电荷量为2.0×10－7 C 的正点电荷从电场中的M 点移到N 点时，静电力做功5.0×10－5 J ，将此点电荷从N 点移到无穷远处时，静电力做功为1.5×10－5 J ，则M 点的电势为多大？N 点的电势为多大？答案 325 V 75 V解析 U MN ＝W MN q ＝5.0×10－52.0×10－7V ＝250 V ， φN ＝W q ＝1.5×10－52.0×10－7V ＝75 V ， φM －φN ＝250 V 得φM ＝325 V.图1212．如图12所示的匀强电场中，有a 、b 、c 三点，ab ＝5 cm ，bc ＝12 cm ，其中ab 沿电场线方向，bc 和电场线方向成60°角，一个电荷量为q ＝4×10－8 C 的正电荷从a 点移到b点时静电力做功为W 1＝1.2×10－7 J ，求：(1)匀强电场的场强E ；(2)电荷从b 移到c ，静电力做功W 2；(3)a 、c 两点间的电势差U ac .答案 (1)60 V/m (2)1.44×10－7 J (3)6.6 V解析 (1)设a 、b 间距离为d ，由题设条件有W 1＝qEd.E ＝W 1qd ＝ 1.2×10－74×10－8×5×10－2V/m ＝60 V/m. (2)设b 、c 间距离为d ′，b 、c 两点沿场强方向距离为d 1.W 2＝qEd 1＝qEd ′cos 60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J ＝1.44×10－7 J.(3)正电荷从a 移到c 静电力做功W ＝W 1＋W 2，又W ＝qU ac ，则U ac ＝W 1＋W 2q ＝1.2×10－7＋1.44×10－74×10－8V ＝6.6 V .第6节 电势差与电场强度的关系1．匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与两点沿电场线方向的距离的乘积，即U ＝Ed.公式也可写成E ＝U d. 注意：公式U ＝Ed 或E ＝U d中d 必须是沿电场线方向的距离，且公式只适用匀强电场，对于非匀强电场可作定性分析．2．由公式E ＝U d 可以看出场强在数值上等于沿场强方向上每单位距离上的电势降落． 3．对公式E ＝U ab d的理解，下列说法正确的是( ) A ．此公式适用于计算任何电场中a 、b 两点间的电势差B ．a 点和b 点间距离越大，则这两点的电势差越大C ．公式中的d 是指a 点和b 点之间的距离D ．公式中的d 是a 、b 两个等势面间的垂直距离答案 D解析 公式E ＝U ab d，仅适用于匀强电场，所以A 错；公式中的d 是指a 、b 两点沿电场线方向的距离，即a 、b 两等势面之间的垂直距离．所以B 、C 均错，D 对．4. 如图1所示，沿x 轴正向的匀强电场E 中，有一动点A 以O 为圆心，r ＝OA 为半径做逆时针转动一周，O 与圆周上的A 点的连线OA 与x 轴正向(E 方向)成θ角，则此圆周上各点与A 点间最大的电势差为( )图1A ．U ＝ErB ．U ＝Er(sin θ＋1)C ．U ＝Er(cos θ＋1)D ．U ＝2Er答案 C解析 由U ＝Ed 知，与A 点间电势差最大的点应是沿场强方向与A 点相距最远的点， d max ＝r ＋rcos θ，所以U max ＝Er(cos θ＋1)，C 对．5. 如图2所示，在匀强电场中取一点O ，过O 点作射线OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝10 cm ，已知O 、A 、B 、C 和D 各点电势分别为0、7 V 、8 V 、7 V 、5 V ，则匀强电场场强的大小和方向最接近于( )图2 A ．70 V/m ，沿AO 方向B ．70 V/m ，沿CO 方向C ．80 V/m ，沿BO 方向D ．80 V/m ，沿CO 方向答案 C解析 据题意A 、C 两点电势相等，所以AC 为等势线，因为电场线与等势线垂直，故场强方向与AC 垂直，比较接近OB 方向，由E ＝U BO d得场强大小E ＝80 V/m ，方向由B 指向O.【概念规律练】知识点一 对公式U ＝Ed 的理解1．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( )A ．任意两点之间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积B ．在任何方向上，若两点间距离相等，则它们之间电势差就相等C ．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等D ．电势降落的方向必定是电场强度的方向答案 C解析 匀强电场中电势差与场强的关系U ＝Ed 中的d 是两点沿电场线方向的距离，并不是两点间的距离，A 错．两点距离相等，两点沿电场线方向的距离不一定相等，B 错．由U ＝Ed ＝ELcos α，可知C 正确．点评 公式U ＝Ed 中d 可理解为电场中两点等势面之间的垂直距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．2. 如图3实线为某电场的电场线，虚线为等势线，已知c 为线段ab 的中点，过a 、b 的等势线的电势分别为30 V 和10 V ．则c 点的电势( )图3 A ．φc ＝20 VB ．φc >20 VC ．φc <20 VD ．φc 的范围无法确定答案 C解析 若该电场为匀强电场，则C 点电势应为20 V ，但该电场ac 段的场强大，所以相同距离上的电势差也大，即ac 段电势降落的多，所以φc <20 V ，C 正确．点评 对于非匀强电场，用公式E ＝U d可以定性分析某些问题．例如等差等势面E 越大时，d 越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．知识点二 利用U ＝Ed 计算电势差3. 如图4所示，A 、B 两点相距10 cm ，E ＝100 V/m ，AB 与电场线方向的夹角θ＝120°，求A 、B 两点间的电势差．图4 答案 －5 V解析 A 、B 两点在场强方向上的距离d ＝A B ·cos (180°－120°)＝10×12cm ＝5 cm. 由于φΑ<φB ，则根据U ＝Ed 得U AB ＝－Ed ＝－100×5×10－2 V ＝－5 V.4. 如图5所示为一个匀强电场的三个等势面A 、B 、C ，相邻两等势面之间距离为10 cm ，此电场的场强为3×103 V/m ，若B 为零电势，求A 、C 的电势．图5答案 φA ＝300 V ，φC ＝－300 V 或φA ＝－300 V ，φC ＝300 V解析 由U ＝Ed 可知，相邻两等势面间的电势差的大小：|U AB |＝|U BC |＝E·d ＝3×103×10×10－2 V ＝300 V那么有两种可能：(1)φA ＝300 V ，φC ＝－300 V ；(2)φA ＝－300 V ，φC ＝300 V .点评 求电场中某点电势，可用该点与零电势的电势差来确定．知识点三 利用E ＝U d计算场强 5. 如图6所示，匀强电场中有A 、B 、C 三点构成等边三角形，边长均为4 cm ，将一带电荷量q ＝1.0×10－10 C 的正电荷(不计重力)，从A 点移到C 点，电场力做功为－3×10－9 J ，若把同一电荷从A 点移到B 点，电场力做功也为－3×10－9 J ，那么该电场的场强是多大？图6 答案 5×102 V/m解析 如题图所示，把正电荷从电场中的A 点分别移到C 点或B 点，电场力做的功相同，根据W ＝qU 可知，B 、C 两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A 点与BC 等势面在场强方向的距离 d ＝AB sin 60°＝4×10－2×32m ＝23×10－2 m. A 、B 两点的电势差U AB ＝W q ＝－3×10－91.0×10－10V ＝－10 3 V. 该电场的电场强度E ＝U BA d ＝10323×10－2V/m ＝ 5×102 V/m.6．平行的带电金属板A 、B 间是匀强电场，如图7所示，两板间距离是5 cm ，两板间的电压是60 V .图7(1)两板间的场强是多大？(2)电场中有P 1和P 2两点，P 1点离A 板0.5 cm ，P 2点离B 板也是0.5 cm ，P 1和P 2两点间的电势差多大？(3)若B 板接地，P 1和P 2两点的电势各是多少伏？ 答案 (1)1.2×103 V/m (2)48 V (3)54 V 6 V解析 (1)两板间是匀强电场，由U ＝Ed 可得两板间的场强E ＝U d ＝60 V5×10－2m＝1.2×103 V/m.(2)P 1、P 2两点间沿场强方向的距离：d ′＝4 cm所以UP 1P 2＝Ed ′＝1.2×103×4×10－2 V ＝48 V .(3)B 板接地，即B 板电势为零，电场中某点的电势就等于这点与B 板的电势差，即φP 1＝Ed 1＝1.2×103×4.5×10－2 V ＝54 V.φP 2＝Ed 2＝1.2×103×0.5×10－2 V ＝6 V.点评 匀强电场中利用E ＝Ud可以计算电场的电场强度，再用U ＝Ed 计算其他两点的电势差，解题中要注意电场中两点沿电场线方向的距离d 与两点的距离对应关系．【方法技巧练】一、用作图法确定电场方向7．下列图中，a 、b 、c 是匀强电场中的三个点，各点电势φa ＝10 V ，φb ＝2 V ，φc ＝6 V ，a 、b 、c 三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是( )答案 D解析 由题意可知：直线ab 的中点的电势为6 V ，与c 点等势，故应按D 图进行求解，电场的方向则由电势高处指向电势低处，D 图表示正确．8. 如图8所示，A 、B 、C 为匀强电场中的三个点，已知φA ＝12 V ，φB ＝6 V ，φC ＝－6 V ．试画出该电场的电场线，并保留作图时所用的辅助线(用虚线表示)．图8答案 见解析解析 连接A 、C ，将线AC 三等分，等分点为D 、E ，则φD ＝6 V ，连接BD 即为电场中的一个等势面，过A 、E 、C 三点分别作BD 的平行线得到另外三个等势面，过A 、B 、C 三点分别作和等势面垂直的垂线，即为三条电场线，方向由高电势指向低电势，如图所示．方法总结 确定电场方向最关键的是抓住电场线与等势面相互垂直的特点，因此，确定等势点，画出等势面至关重要．二、用等分法确定匀强电场的电势9．图9中，A 、B 、C 、D 是匀强电场中一正方形的四个顶点．已知A 、B 、C 三点的电势分别为φA ＝15 V ，φB ＝3 V ，φC ＝－3 V ，求D 点的电势φD .图9答案 9 V解析 由题意知A 、C 间电势差为18 V ，连接A 、C ，并将AC 线段等分为三等份，如下图，则有φE ＝9 V ，φF ＝3 V ，显然B 、F 两点等电势，D 、E 两点等电势，电势为9 V.方法总结 在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的两端点的电势差相等，因此同一直线上相等长度的线段的电势差亦相等．10. 如图10所示，匀强电场中有一平行四边形abcd ，且平行四边形所在平面与场强方向平行．其中φa ＝10 V ，φb ＝6 V ，φd ＝8 V ，则c 点电势为( )图10A ．10 VB ．4 VC ．7 VD ．8 V 答案 B1．下列静电学公式中，F 、q 、E 、U 、r 和d 分别表示电场力、电荷量、场强、电势差及距离，①F ＝k q 1q 2r 2，②E ＝k Q r 2，③E ＝Fq，④U ＝Ed ，有关四个公式的说法中正确的是( )A ．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立B ．①②③只对点电荷或点电荷电场成立，④对任何电场都成立C ．①②只对点电荷成立，③对任何电场成立，④只对匀强电场成立D ．①②只对点电荷成立，③④对任何电场成立 答案 C2．在一个匀强电场中有a 、b 两点，相距为d ，电场强度为E ，把一个电荷量为q 的负电荷由a 移到b 点时，电场力对电荷做正功W ，以下说法正确的是( )A ．a 点电势比b 点电势低B ．a 、b 两点电势差大小为U ＝EdC ．a 、b 两点电势差大小为U ＝WqD ．该电荷在b 点电势能较a 点大 答案 AC3. 如图11所示，在电场中任意取一条电场线，电场线上的a 、b 两点相距为d ，则( )图11A ．a 点场强一定大于b 点的场强B．a点的电势一定高于b点的电势C．a、b两点间的电势差一定等于E·d(E为a点的场强)D．a、b两点间的电势差等于单位正电荷由a点沿任意路径移动到b点的过程中电场力所做的功答案BD解析沿场强方向电势降低，B项对；场强方向不能表示场强大小，A项错；C项错是因为此电场不一定是匀强电场；D项是电势差的定义，正确．4. 如图12所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直．下列说法正确的是()图12A．AD两点间电势差U AD与AA′两点间电势差U AA′相等B.带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功C.带负电的粒了从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场势能减少D.同一带电粒子从A点移到C′点，沿对角线A→C′与沿A→B→B′→C′电场力做功相同答案BD5. 如图13所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m 的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为()图13A．U OP＝－10sin θ V B．U OP＝10sin θ VC．U OP＝－10cos θ V D．U OP＝10cos θ V答案 A解析在匀强电场中，U OP＝－E·Rsin θ＝－10sin θ V，故A对．6. a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在的平面平行．已知a点的电势是20 V，b点的电势是24 V，d点的电势是4 V，如图14所示．由此可知，c点的电势为()图14A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V答案 B解析沿匀强电场中的直线，电势应均匀变化，如右图所示，连接b、d两点，并将连线五等分，则每一等份的两端点电势差为4 V，各点电势如图所示，连接a点与bd上20 V的点，连线为一条等势线，根据匀强电场的等势线相互平行的规律，过c点作等势线的平行线，线。
基础物理学第五章(静电场)课后习题答案
第五章 静电场 思考题5-1 根据点电荷的场强公式2041rqE ⋅=πε，当所考察的点与点电荷的距离0→r 时，则场强∞→E ，这是没有物理意义的。
对这个问题该如何解释？ 答:当时,对于所考察点来说,q 已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用.5-2 0FE q =与02014q E r r πε=⋅两公式有什么区别和联系？ 答：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电场分布。
静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。
5-3 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，是否能肯定面S 上每一点的场强都等于零？答：不能。
通过闭合面S 的电通量e Φ为零，即0=⋅⎰SS d E，只是说明穿入、穿出闭合面S的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。
只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S 上每一点的场强都等于零。
5-4 如果在闭合面S 上，E 处处为零，能否肯定此闭合面一定没有包围净电荷？ 答：能肯定。
由高斯定理∑⎰=⋅内qS d E S1ε，E 处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和0=∑内q，即此封闭面一定没有包围净电荷。
但不能保证面内各局部空间无净电荷。
例如，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E 处处为零0=∑内q，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。
5-5 电场强度的环流lE dl ⋅⎰表示什么物理意义？0lE dl⋅=⎰表示静电场具有怎样的性质？答：电场强度的环流lE dl ⋅⎰说明静电力是保守力，静电场是保守力场。
0lE dl⋅=⎰表示静电场的电场线不能闭合。
如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路，由于回路上各点沿环路切向，得⎰≠⋅Ll d E 0，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。
第八章 真空中的静电场-5
+
v0
x
1 qE x 2 y 2 2 m v0
2
例8-19 试从示波器内电子束受到横向电场的偏折， 计算荧光屏上光点的位移。 y l
E
d
υ1 υ0 υ0 O P y2 y1
解： t1 电子通过长为 l 的偏转板所需的时间为： 0 在t1时间内，电子在y 轴方向的位移分量为 : 相应的速度分量 由零增加到
两个物理量 两个基本方程
E V
L
S
E dS
q
i
i内
0
E dl 0
场 强 叠 加 法
场强的计算
高 斯 定 理 法
E
i
dE
1
S
E dS
0
q
i (内）
电 势 梯 度 法
dV E en dn
电 势 叠 加 法
V
VP
i
dV
电势的计算
场强积分法
eEl 1 m0
l d 2 t2
0
于是电子在荧光屏上产生的光点 y y y eld E 1 2 2 m0 P离入射方向的横向位移为
l d eE l 2 y2 1t2 m 0 0
真空中静电场小结
二、带电粒子在电场中的运动（低速运动）
1、如图
F qE
qE 所以： a m
F qE ma
v v 2as
2 2 0
+
y
v0
E
2、如图
1 2 1 2 qU mv mv0 2 2
F qE 方向：沿竖直方向
在水平方向做匀速直线运动 x v0t
大连理工大学大学物理作业5(静电场五)及答案详解
作业5 静电场五2．一平行板电容器中充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。
已知介质表面极化电荷面密度为σ'±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。
.A0σε' .B 02σε' .C 0r σεε' .D rσε' 答案：【A 】解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。
在产生静电场方面，它们的性质是一样的。
在电容器中，正是极化电荷的存在，产生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。
或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。
正负极化电荷产生的电场强度的大小都是0/εσ，方向相同，所以，极化电荷产生的电场的电场强度为0/εσ。
3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q 所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。
.A 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 .B 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 .C 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 .D 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立答案：【B 】解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。
无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。
但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。
图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
4．半径为1R 和2R 的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r ε的均匀介质。
设两圆筒上单位长度带电量分别为λ+和λ-，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。
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b, D3 2 rh
hrl1
hrl2 , D3
rl1 rl2 2 r
, E3
rl1 rl2 2 0 r
er ,
例2_2：已知源求场
两个无限长的半径为a和b的柱壳，同轴放置，圆柱内外表面分布
电荷面密度分别为rs1，rs2 ， 求：电场。
s D dS Q
r a, D1 0, E1 0
(1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D;
(2) 导体表面上单位长度的带电量ρl； （3）求同轴线单位长度的电容
部分填充介质的同轴电缆
［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电 场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交 界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D 的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E 的表示式相同。
同轴线
［解］ 设内外导体单位长度的带电量分别为+ρl和-ρl (C/m)。 用高斯定理可求得内外导体间的电场强度
E
rl 2r
er (V
/
m)
则两导体间的电位差
a b
U
b
Uab a
rl dr rl 1n b 2r 2 a
(V )
故同轴线单位长度电容
C1
rl
U ab
2
U
计算地球的电容 a 6370km,C 700F
Ⅰ
C12
C13 C23
C11
Ⅲ
C33
Ⅱ C22
地
多导体系统的电容
§2.7 静电场能量
能量体密度：
e
1 E 2
2
在各向同性物质中，
静电场的能量：
We
edV
1
We 2
ED
d
1 2
E2
d
解：
E1 E2 Eer
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
21r2E1 22r 2E2 2 (1 2 )r 2E q
E
2
(1
q
2 )r 2
,
内外导体间的电压：
U
b a
Edr
b
a
q
2 (1 2 )r2
dr
q
2 (1 2 )
位移为
D
er
rl 2 r
各区域的电场强度为
E1
er
rl 21r
(a r r0 )
E2
er
rl 2 2 r
(r0 r b)
内、外导体间的电压为
U
b
E dr
a
r0 a
E1
dr
b
r0 E2 dr
rl 2
1
2
1n
b r0
1 1n
r a3
2
4r2dr
a
1 r4
4r2dr
3q2
20 0a
例 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之 间填充介电常数为ε的介质，当内、外导体间的电压为U，求单位 长度的电场能量。
解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为
ρl， 则导体间的电场强度为
(1) 图(a)结构: 当ρ=c时,
D1n D2n
D1r D2r
令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、- ρl(C/m), 根 据高斯定理可得
a＜ρ＜c时, c＜ρ＜b时,
D1
rl 2r
(C
/
m2
)
E1
D1
rl 2r
(V
/
m)
D2
rl 2r
(C
/
m2 )
E2
D2
0
(2
1 ) 0U
1n b
a
q E
2 (1 2 )r2
D1
er
1q 2 (1 2 )r2
D2
er
2q 2 (1 2 )r2
2.6 导体的电容 Capacitance
• 电容的定义
1. 传统的定义：两个导体, 分别带电q和－q, 电 位差U，则C=q/U; （双导体）
2. 自电容：孤立导体, 带电q, 电位y, 则C= q/y;
（单导体） 3. 互电容：多个导体, 较复杂的带电情况, 两两
导体之间的相对电容参数. （多导体）
＋＋ ＋＋＋ ＋ ＋ ＋＋
＋
＋＋
＋
＋
导 ＋
体a ＋
＋
＋
＋
＋ ＋
E
U－
－－ － －－－－ －－－－
－－
－
－－
导 －
体b －
－
－
－ －－
双导体构成的电容
一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电 位之比定义为电容(Ｃapacitance)， 其表达式为
1 2
E2
d
例 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
qr
E
4 0 a 3
(r<a)
q
E 40r3
(r<a)
所以
We
1 2
V 0E2dV
1 2
0
q
4
0
2
a 0
E rl 2 r
(a r b)
两导体间的电压为
U rl 1n b 2 a
即
rl
2 U
1n b
a
E U (a r b) r1n b a
单位长度的电场能量为
We
1 2
E2dV
b U 2 2 rdr U 2
a 2r 21n2 b
1. 法向： 2. 切向：
D1n D2n rS
E1t E2t
•导体边界条件(1为介质；2为导体)：
Dn rS
Et 0
•无电荷的介质边界条件：
D1n D2n
E1t E2t
法向边界条件:
D1 nS D2 nS q rSS n (D1 D2 ) rS
2
U 1 1n c 1 1n b
a 0 c
(2) 图(b)结构:
D ds QE1r E2r
s
Er1 0Er(2 1) rl
(r1为单位高度的侧面积，侧面积= rd） 0
注：导体表面rs D, rl 2 rD（360度一圈）
E
rl
a
r
b,
D2
2
rh
2
ahrs1,
D2
ars1
r
,
E2
ars1 0r
er ,
r
b,
D3
2
rh
2
ahrs1
2 bhrs2,
D3
ars1
r
brs2
,
E3
ars1 brs2 0r
er
,
例3，填充介质后已知源求场，
半径a,介电常数 的介质球，球体内均匀分布着密度为ρ的电荷，
的同心介质球壳， 壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D、 E、
P。
(r≥a)
介质内(a<r<b)：
1
Q
E D 4 r2 er
P
D
0E
r 1 r
Q
4 r2
er
介质外(b<r)：
E
1
0
D
Q
40r 2
er
P0
☆ 介质的边界条件
其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电 常数为ε2，如图所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部 分的电位移矢量和电场强度。
解：
E1 E2 Eer
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
21r2E1 22r2E2 2 (1 2 )r 2E q
E1
D1
rl1 1r
D2
(2
rl 2 1)r
E2
D2
0
(2
rl 2 1)0r
b
b
U a E1 dl a E2 dl
所以
b
U
rl1 dr ,
a 1r
rl1
1U
1n b
a
b
U
rl2
dr ,
a (2 1)0 r
rl2
两金属球体之间的电压为：
U
b
E dr
q
(1 1)
a
40 a b
所以球形电容器的电容为 C q 40
U 11 ab
外半径 b ,C 40a
很多情况下， 电荷分布在导体上或导体系统 中， 因此导体是储存电荷的容器。储存电 荷的容器称为电容器(Capacitor)。