5-真空中的静电场
《大学物理》课后解答题 第五章静电场
第五章 真空中的静电场一、思考讨论题1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明： （1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？ （3）电势相等处，场强是否一定相等？（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：（1）不一定。
比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。
（2）不一定。
匀强电场，场强处处相等，而电势不等。
（3）不一定。
点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。
（4）都不可以求。
2、已知某一高斯面所包围的空间内0=∑q ，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？解：由高斯定理∑⎰=⋅=q S d E S1εψ ，0=∑q 仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。
3、已知某高斯面上处处E =0，可否肯定高斯面内0=∑q ，可否肯定高斯面处处无电荷？解：可以肯定。
高斯面上处处E =0，0=⋅⎰S d E S，由高斯定理必有0=∑q 。
4、如图1.1所示，真空中有A 、B 两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d （d 很小），面积均为S ，带电分别为+Q 和－Q 。
关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：2024dQ f πε=； 又有人说，根据f QE =，应有：SQ f 02ε=。
他们说得对吗？你认为f 应等于多少？解：（1）2024dQ f πε=是错误的，因为库仑定律只适用于点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。
（2）SQ f 02ε=也错误。
因为用sqE 0ε=计算的场强是两带电平板产生的合场强，而Eq F =中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。
电荷与图1.1自身产生的场强作用力恒为零。
正确答案是：Sq q S qEdq F 02022εε=⋅==⎰ 5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？解：不能。
大学物理学 第五章 真空中的静电场
q
l 2
O
l 2
q
E
r
E
r
q
l 2
1
O
l 2
q
E
r
P
E
r
q E 2 4 0 ( r l / 2)
E E E
q E 2 4 0 ( r l / 2)
1
E E E
r l
q 2rl 4 0 ( r 2 l 2 / 4)2 1 2ql 1 2p E E 3 3 4 0 r 4 0 r
与 r2 成反比，r , E 0
思考： r 0
E ?
二、点电荷系的电场
E Ei
i i
1 qi e 2 ri 4 π 0 ri
dE
er q0
三、连续带电体的电场
E dE 1 dq e 2 r q 4 π 0 r
电荷密度
二.恒定电流与稳恒磁场的基本性质及规律
（第七章）
三.电磁感应现象及规律（第八章）
第五章
主要内容
§ 1 库仑定律 § 2 静电场 § 3 高斯定律 § 4 电势 电场强度
教学基本要求
一 了解电荷及性质；掌握库仑定律. 二 理解电场的概念；明确电场的矢量性和可 叠加性；会利用电场叠加原理求解简单带电体的电 场分布. 三 理解高斯定理的物理意义；能够利用高斯 定理求解特殊场分布.
q1q2 F12 k 2 e12 F21 r12
1 令 k （ 0 为真空电容率） 4 π0 1 0 8.8542 1012 C2 N 1 m 2 4πk 12 1 8.8542 10 F m
大学物理第六章《真空中的静电场》
第六章 真空中的静电场一、 基本要求1．掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度的叠加原理和电势的叠加原理。
掌握电势与电场强度的积分关系。
能计算一些简单问题中的电场强度和电势。
2．理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。
理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。
3．了解电偶极矩的概念。
能计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩。
二、 基本内容1．点电荷当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷。
对点电荷模型应注意：（1）点电荷概念和大小具有相对意义，即它本身不一定是很小的带电体。
只要两个带电体的线度与它们之间距离相比可忽略，就可把它们简化为点电荷，另外，当场点到带电体的距离比带电体的线度大得多时也可以把带电体简化为点电荷。
（2）点电荷是由具体带电体（其形状没有限制）抽象出来的理想化模型，所以不能把点电荷当作带电小球。
（3）点电荷不同于微小带电体。
因带电体再小也有一定的形状和电荷分布，还可以绕通过自身的任意轴转动，点电荷则不同。
（4）一个带电体在一些问题中可简化为点电荷，在另一些问题中则不可以。
如讨论带电体表面附近的电性质时就不能把带电体简化为点电荷。
2．库仑定律02qq kr 0F r 其中，0r 由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。
适用条件：真空中点电荷之间（相对观察者静止的电荷）的相互作用。
当空间有两个以上的点电荷同时存在时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时对该电荷所施静电力的矢量和——电场力的叠加原理。
3．电场强度矢量0q =E F ，电场中某点的电场强度等于单位电荷在该点所受的电场力。
0q 为正时，E 和电场力F 同方向，0q 为负时，E 的方向和F 方向相反。
（1）E 反映电场的客观性质，E 与试验电荷0q 的大小，电荷正负无关，也与0q 的存在与否无关。
（2）E 是一个矢量，一般地说，电场空间不同点处的场强不同，即()r =E E 。
真空中的静电场
9
2 2 1 大小 E E ( 51 .6) ( 21 .0) N C 55 .71N C
方向
1
F 1 E (51.6i 21.0 j ) N C q
y
o E
arctan
22.1
Ey Ex
q F
x
电偶极子：两个相隔一定距离、等量异号点电荷 构成的系统（物理模型）。 P
q
O
l q E E
r
1 q q E E E ( r l / 2) 2 ( r l / 2 ) 2 4 0 2 pe 2qrl 2 2 4 0 (r l / 2) (r l / 2) 4 0 r 3
F
q1q2 er 2 4 0 r 1
例 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.3 10 11 m .
求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.
解
me 9.110
31
kg
e 1.6 10
19
C
mp 1.67 10 27 kg
G 6.67 1011 N m2 kg 2
**具体计算时应采用分量 式，步骤如下：
（）取合适的坐标系，再 1 取微元dq， 写出dE表达式，并画出 E方向。 d
（ ）写出分量： x，dE y，dEz 2 dE
(3)对称性分析可简化计算，可立即判断电场 强度的某些分量为零
(4)积分求出： x dEx，E y dEy，E z dEz E
2 pe E (r l ) 3 40 r
q
dE
dq e 2 r 4 0 r 1
大学物理讲稿(第5章真空中的静电场)第三节
§5.4 高斯定理一、电力线（电场线）为了对电场有一个比较直观的了解,可用图示的方法形象地描绘电场中的电场强度分布状况.为此在电场中作一系列有向曲线,使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,这些有向曲线称为电力线（又称电场线）,简称E 线.为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向,而且还能表示出场强的大小,我们规定：电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的电力线数,即)(电场线密度E dSdN= (5.17) 按此规定,电场强度的大小E 就等于电力线密度,电力线的疏密描述了电场强度的大小分布,电力线稠密处电场强,电力线稀疏处电场弱.匀强电场的电力线是一些方向一致,距离相等的平行线.静电场的电力线具有以下特点：（1）电力线起自正电荷（或来自无穷远）,终止负电荷（或伸向无穷远）,但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线.（2）因为静电场中的任一点,只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线都不可能相交.二、电通量通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量。
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=θ=Φ⎰⎰)()()(cos c b a S d E S E ES ES e 图ϖϖϖϖ (5.18)若对封闭曲面,并规定面元法向n 的正向为从面内指向面外,则上式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<>⋅=Φ⎰⎰小于穿入闭面的电场线从闭面穿出的电场线数大于穿入闭面的电场线从闭面穿出的电场线数00S e S d E ϖϖ (5.19) 三、高斯定理高斯（K.F.Gauss ,1777-1855年）是德国物理学家和数学家,他在实验物理和理论物理以及数学方面都做出了很多贡献,他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律.定理反映了静电场中任一闭面电通量和这闭面所包围的电荷之间的确定数量关系.下面在电通量概念的基础上,利用场的叠加原理推导高斯定理.1、包围点电荷 q 的球面的电通量以点电荷 q 所在点为中心,取任意长度r 为半径,作一球面S 包围这个点电荷 q ,如图5.6（a ）所示,据点电荷电场的球对称性知,球面上任一点的电场强度E 的大小为204r qπε,方向都是以q 为原点的径向,则电场通过这球面的电通量为：⎪⎩⎪⎨⎧<>ε=πε=πε=⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰004402020qdS r qdS r q S d E SSSe ϖϖ 此结果与球面的半径r 无关,只与它包围的电荷有关.即通过以 q 为中心的任意球面的电通量都一样,均为q/0ε ,用电力线的图象来说,即当 q >0 时, e Φ> 0 ,点电荷的电力线从点电荷发出不间断的延伸到无限远处；q<0 时, e Φ< 0 ,电力线从无限远不间断地终止到点电荷.2、包围点电荷的任意封闭曲面S'的电通量S'和球面S 包围同一个点电荷q ,如图5.6（a ）所示,由于电力线的连续性,可以得出通过任意封闭曲面S' 的电力线条数就等于通过球面S 的电力线条数.所以通过任意形状的包围点电荷q 的封闭曲面的电通量都等于q/0ε．3、如果闭面S' 不包围点电荷q如图5.6(b)所示.则由电力线的连续性可得,由一侧穿入S' 的电力线数就等于从另一端穿出S' 的电力线数,所以净穿出S' 的电力线数为零.即：0=⋅=Φ⎰⎰'S e S d E ϖϖ4、任意带电系统的电通量以上只讨论了单个点电荷的电场中,通过任一封闭曲面的电通量.我们把上结果推广到任意带电系统的电场中,把其看成是点电荷的集合.通过任一闭面S 的电通量为：⎰⎰∑∑⎰⎰⋅+=⋅=Φ+==Ssn i i n i i S e S d E E S d E ϖϖϖϖϖ)('11∑∑⎰⎰⎰⎰∑===ε=⋅=⋅=ni i n i S i S ni i q S d E S d E 10111ϖϖϖϖ5、高斯定理综上可得如下结论：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷电量的代数和除以 .这便是高斯定理 .其数学表达式为0101ε−−→−ε=⋅∑⎰⎰=q q S d E n i i S 写成'ϖϖ (5.20) 应当注意,高斯定理说明了通过封闭面的电通量,只与该封闭面所包围的电荷有关,并没有说封闭曲面上任一点的电场强度只与所包围的电荷有关.封闭面上任一点的电场强度应该由激发该电场的所有场源电荷（包括封闭面内、外所有的电荷）共同决定.四、高斯定理的应用高斯定理是反映静电场性质的一条普遍定律,它对后面要讨论的变化电场也是成立的.另外,在电荷分布具有某种对称性时,也可用高斯定理求该种电荷系统的电场分布,而且利用这种方法求电场要比库仑定律简便得多.下面通过例子来说明.例题 5.4 内、外半径分别为21R R 和的均匀带电球壳,总电荷为Q .求空间各点的电场强度。
第5章 真空中的静电场作业题
第５章 真空中的静电场作业题（注：带“*”号的适用多学时）一、选择题1. 图中所示为一沿 x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ（x >0）和 -λ（x < 0），则 oxy 坐标平面上点（0，a ）处的场强E 的方向为（ ）( A )x 正方向 （B ） x 负方向（C ）y 正方向 （D ）y 负方向2.如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于正立方体的中心上，则通过其中一侧面的电场强度通量等于：（ ）（A ）06εq (B)08εq (C) 024εq (D) 027εq 3．关于高斯定理0ε∑⎰⎰=⋅=Φi s e q s d E ，下列说法中正确的是（ ）（A ）如果高斯面内的电荷为零，则高斯面上的电场强度处处为零（B ）如果高斯面上的电场强度处处为零，则高斯面内电量的代数和为零（C ）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面上的电场强度处处为零（D ）以上都正确4．关于电场和电势，下列说法中正确的是（ ）（A ）电场强度为0的点，电势也一定为0（B ）等势面上电场强度大小一定相等（C ）电势为0的点，则电场强度也一定为0（D ）电场强度的方向总是指向电势下降的方向。
5.一导体放在静电场中，当达到静电平衡时（ ）（A ）整个导体都是等势体、导体表面是等势面（B ）导体内部场强处处为零（C ）导体内部无电荷，电荷只能分布在导体表面上（D ）以上均正确6、均匀带电圆环一半带正电，一半带负电，则中心处的场强和电势分别有（ ）(A) 场强为零，电势为零。
（B ）场强为零，电势不为零。
(C) 场强不为零，电势不为零。
（D ）场强不为零，电势为零。
*7.关于平板电容器的电容，正确的是（）（A）电容的大小与极板上带的电量成正比（B）电容的大小与极板上所加的电压成反比（C）电容的大小与极板的面积成反比（D）电容的大小与极板之间的距离成反比二填空题*1.如图所示均匀带电量为Q的细棒，长为L，求其延长线上距杆端点为L的位置A的场强__________，若在A处放一点电荷q,则电荷收到的电场力为_____________*2.一半径为R的均匀带电圆环，带电量为q，圆心处的电场强度大小为______________ ，方向为____________，电势为____________。
高中物理真空中的静电场
真空中的静电场一、基本要求1、掌握库仑定律，确切理解电场强度概念，明确电场强度的矢量性，迭加性；2、确切理解电势和电势差的概念，明确电势是标量及它的迭加性、相对性；3、在已知电荷分布的情况下，掌握计算电场强度和电势的各种方法；4、确切理解电通量概念，掌握表征静电场性质的两条基本定理--高斯定理和环路定理。
必须明确：两条定理各自反映了静电场的一个侧面，只有两者结合起来，才能全面地反映静电场的性质。
5、掌握导体静电平衡条件和在静电平衡时导体的电特性，并能熟练地求出几何形状比较规则的导体内外的场强和电势；6、掌握电容器的储能公式，了解电场能量和能量密度概念。
二、基本概念和规律1、库仑定律在真空中，两点电荷之间的作用力满足：12312021124→→=r r q q F πε式中12→r 是从q 1看出，点电荷q 1的位置矢量，12→F 表示q 1作用于q 2的力。
同理21321012214→→=r r q q F πε应该指出：1）库仑定律只有在真空中，对于两个点电荷成立。
亦即只有q 1、q 2的本身线度与它们之间的距离相比很小时，库仑定律成立。
2）注意库仑定律的矢量性。
当q 1、q 2为同号电荷，即q 1 q 2 >0时，表示12→F 与12→r ，21→F 与21→r 同向，即同号电荷相斥；当q 1 q 2 <0时，表示12→F 与12→r ，21→F 与21→r 反向，即异号电荷相吸。
3）静电力的迭加原理如果有q 0、q 1、q 2 ……q n 个电荷组成的点电荷系，从q 0看，各点电荷的矢径分别等于n r r r →→→K 21,，则点电荷q 0受到的静电力为i ni r q q r F i i→=→∑=14300πε上式称为静电力的迭加原理，即在点电荷系中，任意一点电荷所受的静电力应等于每个点电荷单独存在时对该点电荷所作用静电力的矢量和。
带电体（体积为V ）作用于点电荷q 0的静电力→→⎰=r F r dq q V3004πε4）库仑定律仅适用于求相对于观察者静止的两点电荷之间的相互作用力，或者放宽一点，亦适用于求相对于观察者静止的点电荷作用于运动的点电荷力的情形。
大学物理讲稿(第5章真空中的静电场)第四节
§5.5 静电场的功 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理将试探电荷0q 引入点电荷q 的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q 由a 点沿任意路径 L 移至b 点,电场力所做的功.路径上任一点c 到q 的距离为r ,此处的电场强度为r r q E 304 如果将试探电荷0q 在点c 附近沿L 移动了位移元dl ,那么电场力所做的元功为cos Edl q l d E q dA 00dr rq q Edr q 20004 式中θ是电场强度E 与位移元dl 间的夹角,dr 是位移元dl 沿电场强度E 方向的分量.试探电荷由a 点沿L 移到b 点电场力所做的功为)(ba r r r r q q dr r q q dA Ab a 114400200 (5.22) 其中b a r r 和分别表示电荷q 到点a 和点b 的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q 从点a 沿L 移到点b 电场力所做的总功为ii A A上式中的的每一项都表示试探电荷0q 在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L 移到点b 电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E 等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力场.若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L 绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即 00000Lq L l d E l d E q (5.23) 静电场的这一特性称为静电场的环路定理,它连同高斯定理是描述静电场的两个基本定理.二、电势能和电势1 电势能在力学中已经知道,对于保守力场,总可以引入一个与位置有关的势能函数,当物体从一个位置移到另一个位置时,保守力所做的功等于这个势能函数增量的负值.静电场是保守力场,所以在静电场中也可以引入势能的概念,称为电势能 .设b a W W 、分别表示试探电荷0q 在起点a 、终点b 的电势能,当0q 由a 点移至b 点时,据功能原理便可得电场力所做的功为)(a b b aab W W l d E q A 0 (5.25) 当电场力做正功时,电荷与静电场间的电势能减小；做负功时,电势能增加.可见,电场力的功是电势能改变的量度.电势能与其它势能一样,是空间坐标的函数,其量值具有相对性,但电荷在静电场中两点的电势能差却有确定的值.为确定电荷在静电场中某点的电势能,应事先选择某一点作为电势能的零点.电势能的零点选择是任意的,一般以方便合理为前提.若选c 点为电势能零点,即0 c W ,则场中任一点a 的电势能为c aa l d E q W 0 (5.26) 2 电势与电势差电势能（差）是电荷与电场间的相互作用能,是电荷与电场所组成的系统共有的,与试探电荷的电量有关.因此,电势能（差）不能用来描述电场的性质.但比值0q W a /却与0q 无关,仅由电场的性质及a 点的位置来确定,为此我们定义此比值为电场中a 点的电势,用a V 表示,即c a a a ld E q W V 0(5.27) 这表明,电场中任一点a 的电势 ,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或等于单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中,电场力所做的功.式(5.27)就是电势的定义式,它是电势与电场强度的积分关系式.静电场中任意两点a 、b 的电势之差,称为这两点间的电势差,也称为电压,用V 或U 表示,则有b ac b c a b a ld E l d E l d E V V U (5.28) 该式反映了电势差与场强的关系.它表明,静电场中任意两点的电势差,其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,静电场力所做的功.若将电量为0q 的试探电荷由a 点移至b 点,静电场力做的功用电势差可表示为)(b a b a ab V V q W W A 0 (5.29)由于电势能是相对的,电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关,定义式(5.27)中是选c 点为电势零点的.但静电场中任意两点的电势差与电势的零点选择无关.在国际单位制中,电势和电势差的单位都是伏特（V ）.等势面 在电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.不同电场的等势面的形状不同.电场的强弱也可以通过等势面的疏密来形象的描述,等势面密集处的场强数值大,等势面稀疏处场强数值小.电力线与等势面处处正交并指向电势降低的方向.电荷沿着等势面运动,电场力不做功.等势面概念的用处在于实际遇到的很多问题中等势面的分布容易通过实验条件描绘出来,并由此可以分析电场的分布.三、电势的计算1 点电荷的电势在点电荷q 的电场中,若选无限远处为电势零点,由电势的定义式（5.27）可得在与点电荷q 相距为 r 的任一场点P 上的电势为rq l d E V r P 04 (5.30) 上式是点电荷电势的计算公式,它表示,在点电荷的电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q 成正比,与该点到点电荷的距离成反比.2 多个点电荷的电势在真空中有N 个点电荷,由场强叠加原理及电势的定义式得场中任一点P 的电势为ii i r i r i i r P V l d E l d E l d E V (5.31) 上式表示,在多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和.电势的这一性质,称为电势的叠加原理.设第i 个点电荷到点P 的距离为i r ,P 点的电势可表示为N i i i i i P r q V V 1041 (5.32) 3 任意带电体的电势对电荷连续分布的带电体,可看成为由许多电荷元组成,而每一个电荷元都可按点电荷对待.所以,整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和.所以将式（5.32）中的求和用积分代替就得到带电体产生的电势,即线分布面分布体分布L S V P rdl rdS r dV r dq V 00004444 （5.33） 讨论：1）在上述所给的电势表式中，都选无限远作为电势参考零点；2）在计算电势时,如果已知电荷的分布而尚不知电场强度的分布时,总可以利用（5.33）直接计算电势.对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式（5.27）来计算电势.例题5.6 求电偶极子电场中的电势分布,已知电偶极子的电偶极矩P = q l ． 解：如图5.11所示,P 点的电势为电偶极子正负电荷分别在该点产生电势的叠加（求代数和）,即r q r q V P 004141 因而有因此由于,cos ,, l r r r r r l r 230204141r r p r ql V P cos由此可见,在轴线上的电势为2041r p V P ；在中垂面上一点的电势为0 P V 。
真空中的静电场
dq
1 dq ˆ E dE r 2 4 0 r
r
以下的问题是如何选出合适的坐标， 给出具体的表达式和实施计算。
球坐标和柱坐标
e lim
V 0
q dq V dV
电荷的体密度 电荷的面密度 电荷的线密度
q dq e lim dS V 0 S q dq e lim dl V 0 l
p E 3 4 0 r
E
从
1 4
0
r
3
pr 的推导 p 3r
r q 出发 r
P
E
由 图
l r r 2
4 0 r2 4 0 r2 q r r E 3 3 4 0 r r r q
体电荷分布的带电体的场强
面电荷分布的带电体的场强
线电荷分布的带电体的场强
e dS ˆ E r 2 4 E
e dl ˆ r 2 4 0 r l
例题1：求电偶极子的场强 等量异号电荷 q 、 q ，相距为 l ，它相对 于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。
电磁相互作用和电磁场
Electromagnetic field
四种基本相互作用
电磁 引力 强 弱
电磁相互作用
重要 清楚
通过电磁场说明 场的 基本性质 基本特征 基本方法 场论
内容：
一.静电场及基本性质
二.稳恒电流的电场、磁场及基本性质 三.电磁感应现象及规律 四.Maxwell 电磁场方程组 电磁场的统一性 物质性 电磁场量的相对论变换 五.引力场
1)如果关系式中除K以外，其它物理量的单位已 经确定
大学物理12真空中的静电场
03
电势与电势差
电势的概念
总结词
电势是描述电场中某点电荷所具有的势能，其值与零电势点的选 择有关。
详细描述
电势是描述电场中某点电荷所具有的势能，通常用符号"φ"表示。它 是一个标量，其值与零电势点的选择有关。在静电场中，零电势点 是任意选择的，通常选择大地或无穷远处作为零电势点。
电势的计算方法
计算电场能量
利用高斯定理可以计算电场的能量密度和总能量。
静电场的散度与源电荷的关系
02
01
03
静电场的散度等于该点源电荷的密度。
数学表达式：divE = ρ/ε0
其中，divE是电场强度的散度，ρ是电荷的密度，ε0是 真空中的电容率。
05
静电场的环路定理与电场线的引入
静电场的环路定理
总结词
静电场的环路定理描述了电场与磁场之 间的关系，是电磁学中的基本定理之一 。
大学物理12真空中的静电场
目
CONTENCT
录
• 引言 • 电场与电场强度 • 电势与电势差 • 高斯定理与静电场的散度 • 静电场的环路定理与电场线的引入 • 静电场的边界条件与导体表面的电
场线分布 • 静电场的能量与力
01
引言
主题简介
静电场是静止电荷产生的电场，是电 磁学的重要概念之一。
在真空环境中，静电场不受其他电磁 场的影响，因此具有独特的性质和规 律。
指导电路设计
在电路设计中，通过合理 布置导线和元件的位置， 利用电场线的分布来优化 电路性能。
07
静电场的能量与力
静电场的能量分布
静电场的能量分布由电场强度和电势的乘积积分得 到，表示电场中各点的能量密度。
在真空中的静电场，能量分布与电荷分布有关，电 荷密度越大，能量密度越高。
大学物理精第五章真空中的静电场ppt课件
三、高斯定理
1.表述：在真空中的任何静电场中,通过任一闭 合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所包 围电荷的代数和除以ε0。
ppt精选版
39
S
• Q
2.数学表达式：
Φ e E d S E c o sd S
n Q i
i 1 0
其中：E为高斯面内、外场源电荷的电场矢量和。
*高斯面为封闭曲面；
q1
Fi
1
4π 0
qiq0 ri3
ri
q2
q3
由力的叠加原理得 q 所0 受合力
F Fi
i
故 q 处0 E总F电 场强Fi度
q0
q i 0
i
Ei
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r1 r2
r3
q0
F3 F2 F1
17
1.电场强度的叠加原理：
点电荷系在某点产生的场强，等于各点电荷单 独存在时在该点分别产生的场强的矢量和。
过球面的电通量
Φe
Q 0
• Q
由图可知从曲面一侧穿入的
电场线必定从另一侧穿出，所
以通过曲面的电通量为0
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38
*如点电荷为负，则通过闭合曲面的电通量为负。
*点电荷发出的通过闭合球面的电通量与球面半径 无关，任意形状的闭合曲面也如此。
*如果闭合曲面没有包含点电荷则进入曲面和穿 出曲面的电场线相同，总电通量为零。
解：选择如图所示的高斯面（电场球对称）
E Φe E cosdS
r
EdSE4r2
R
由高斯定理
Φe
Q 0
E 4 r2 Q 0
1Q
pEpt精选版40 r2
43
例题10 两同心均匀带电球壳，内球球壳半径R1 、 带电量+Q，外球球壳半径R2 、带电量-Q ，不计 球壳厚度，试求电场强度的空间分布。
【精品】真空中静电场(高斯定理)
【精品】真空中静电场(高斯定理)
静电场是一种场，它由带电粒子所产生的电场所组成。
静电场不同于电流和动态电磁场，它是一个纯电场，不带有电磁波，也不会产生辐射。
在真空中，静电场遵循高斯定理，即：
静电场的通量等于场源的电荷量除以真空介电常数，即Φ=Q/ε0。
在空间中某一点产生的场的通量是指该点所在面的电通量，也就是场穿过这个面的总
电量。
如果这个点周围的电荷密度不均匀，那么由于叠加原理，这个点的总电场强度就等
于每个电荷在这个点产生的电场强度的矢量和。
高斯定理告诉我们，如果需要计算一个任意形状的静电场的通量，只需要将场源周围
的空间划分成非常小的面元，然后计算每个面元上的电通量之和。
这样，我们就可以计算
出场的通量，利用高斯定理进行计算。
高斯定理的公式可以解决许多实际问题，例如，它可以用来计算一个均匀带电球体的
电场强度。
我们可以将球体划分成一个由无数小的面元组成的网格，然后计算每个面元上
的电通量，并对所有的电通量进行求和。
由于球体对称，每个面元所产生的电场都是相同的，因此我们可以简化计算，并用高斯定理求出球体周围的电通量。
总的来说，高斯定理是解决静电场问题的一种非常重要的方法。
无论是在科研中，还
是在实际工程中，都有着广泛的应用。
真空中的静电场
2019/9/24
P.10/11
绪论
五.静电力叠加原理
设空间中有n个点电荷q1、q2 、q3 … qn
实验表明，qi受到的总静电力等于其
它各点电荷单独存在时作用于qi上静
电力的矢量和，即
Fi
n
j 1 ji
F ij
n
j1 ji
1
4 0
qi q j rij 2
rijo
1
40
ql
r3
1
4 0
pe r3
方向沿x负方向
即
EB
1
40
pe r3
与电矩的方向相反
2019/9/24
P.27/11
绪论
【例5-2】求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。
解 FqE FqE
q
F
相对于O点的力矩：
MF1 2lsinF1 2lsinF
q O q
P.25/11
绪论
在 y 方向上，E和 E的分量相互抵消
E BE cosE c os2Ecos
cos l/2
r2 (l/2)2
EB410
ql r2(l/2)2
3/2
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绪论
当 r>>l 时
EB
-----静电力叠加原理
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绪论
§5-2 电场 电场强度
一.电场
历史上的两种观点:
超距的观点:电荷 电场的观点: 电荷
电荷 场 电荷
近代物理的观点认为：凡是有电荷存 在的地方，其周围空间便存在电场
第五部分真空中的静电场,电势
第五部分 真空中的静电场，电势，静电平衡班级 ____________ 班内学号 ___________ 姓名 ____________知识点：1. 场强(1) 电场强度的定义0F E q = (2) 场强叠加原理 i i E E =∑(矢量叠加)(3) 点电荷的场强公式0204q E r r πε= (4) 用叠加法求电荷系的电场强度 0204dq E r rπε=⎰2. 高斯定理真空中 01sE dS qε⋅=∑⎰ 内电介质中 sD dS q ⋅=∑⎰ 内，自由 0r DE E εεε==3. 电势(1) 电势的定义 ppV E dl =⋅⎰零势点对有限大小的带电体,取无穷远处为零势点,则 p pV E dl ∞=⋅⎰(2 电势差 bab aV V E dl -=⋅⎰(3) 电势叠加原理 i iV V =∑ (标量叠加)(4) 点电荷的电势 04q Vrπε=(取无穷远处为零势点)电荷连续分布的带电体的电势 04dq V rπε=⎰(取无穷远处为零势点)4. 电荷q 在外电场中的电势能 aa w aV =5. 移动电荷时电场力的功()ab a b A q V V =-6. 场强与电势的关系 E V =-∇7..导体的静电平衡条件(1)0E 内＝ (2) E表面垂直导体表面8. 静电平衡导体上的电荷分布导体内部处处静电荷为零.电荷只能分布在导体的表面上. 0E σε表面＝重点：1. 掌握电场强度和电势的概念以及相应的叠加原理。
掌握电与势电场强的积分关系，了解场强与电势的微分关系。
能用微积分计算一些简单问题中的场强和电势。
2. 确切理解高斯定理，掌握用高斯定理求场强的方法。
3. 理解导体的静电平衡条件。
掌握有导体存在时的电场和导体上电荷分布的计算。
难点：1． 用微积分计算电荷连续分布的带电体的场强和电势。
2．场强与电势的微分关系。
3．有导体存在时的电场和导体上电荷分布的计算。
解题要点：A 电场部分：(根据静止的场源电荷分布求静电场分布)1） 叠加法：基于点电荷的场强分布利用叠加原理求解。
工科物理大作业05-真空中的静电场
图5-1(a)d图5-1(b)图5-1(c)0505 真空中的静电场班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1．如图5-1(a)所示，一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为λ+（x <0处）和λ-（x >0处），则xOy 平面上P 点（0，a ）处的电场强度E 为：A ．i a 02πελ； B ．i a04πελ；C ．)(40j i +aπελ； D ．0。
（A ）[知识点] 半无限长均匀带电杆E 的计算，场强叠加原理。
[分析与解答] 如图5-1(b)所示，先计算一根长度为l 的均匀带电直线在过其一端的垂面上任一点P 的场强。
在均匀带电直线上任取一微元d x ，其电荷元x q d d λ=在过其一端的垂面上任一点P 的场强d E 的大小为()1/2220d π41d a x x E +=λε 方向如图5-1(b)所示则 ()3/22204cos d d a x xdxE E x +==πελθ()3/22204sin d d a x adxE E y +==πελθ分别积分可得 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=⎰a l a a xxdxE lx 11442203/222πελπελ()22003/22244a l la a xadxE ly +=+=⎰πελπελ当∞→l 时，可得半无限长均匀带电直线在其一端垂面上任一点场强为 a E x 04πελ=， aE y 04πελ=可见y x E E =，所以场强E 的方向与带电直线夹角o45=θ。
对于题目给出的“无限长”分段均匀的带电直线，可看作是两半无限长均匀带电直线电场的叠加，两段半无限长带电直线在P 点的场强方向如图5-1(c)所示，迭加后的场强为i i i i E E E aE E E x 0o o 22cos45cos45πελ==+=+=+-+-+2．真空中静电场的高斯定律告诉我们：A ．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点的E 的量值处处为零；B ．高斯面上各点的E 与面内自由电荷有关，与面外的电荷无关；C ．穿过高斯面的E 通量，仅与面内自由电荷有关；D ．穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零；E ．高斯定律仅适用于对称性电场，不适用于电偶极子的电场。
真空中的静电场
这是一条在一切已发现的宏观过程和微观过程中 都普遍遵守的规律。
库仑定律(coulomb law)
表述：实验表明，真空中两个静止点电荷间作用力的大小与 两电量的乘积成正比，与两电荷之间距离的平方成反比； 作用力的方向沿着两电荷的连线，同号相斥，异号相吸。
q1q2 r12 F12 F21 k 2 r r 12 12
E q 4 0 x 2
O x P E x
5、均匀带电无限大平面两侧的场强
E 2 0
电场线(electric field line )
• 形象地描述场强在空间的分布情形，使电场有 一个比较直观的图像。
1.画法：在电场中画出许多电场线： (1)为描述电场中场强的方向分布，使电场线上每一点的 切线方向表示该点场强的方向； (2)为描述电场中场强的大小分布，引入电场线数密度的 概念(通过垂直于E的单位面积的电场线的条数) ΔN/ΔS⊥，并使电场中任一点的电场线的数密度正比于 该点 E 的大小，这样，电场线的疏密分布就反映了电 场中场强大小的分布情况，电场线密处场强大，电场线 稀处场强小。
电场强度 (electric field intensity)
由
F E q0
q0 + F q0 E
_
F q0 E
E
q0
电场强度的计算
（1）点电荷的场强
欲求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电场，在p点
放一试探电荷q0，则由库仑定律和电场强度定义， 其受力为
1 qq0 r F 2 4 0 r r
的。电荷之间的相互作用，是通过其中一个电荷所激发的 电场对另一个电荷的作用来传递的。这种传递虽然很快 （约为3×108m/s），单仍需要时间。
同济大学 大学物理B 上 第5章 真空中的静电场答案
6
U12
850 0.134 10 2
3
ln
2 10
2
2
3
0.134 10
2
2.54 10 V m
1
（2）圆筒内表面处
E2 R2 ln R2 R1 U 12 850 2 10 2
2
ln
2 10
2
1.7 10 V m
解：（3） 2 x 2 b 2 0
E1
x 2 2 b
x
dx b
E2
计算题3：一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度 ρ 分布为： qr （ ( r R ) q 为一正的常数） 4 R
0
(r R)
试求：（1）带电球体的总电量；（2）球内、外各 点的电场强度；（3）球内、外各点的电势。
r
q 40 r
2
dr
q 40 r
计算题4：盖革计数管由一内直径为2cm的金属长圆筒，以及
在其中央的一根直径为0.134mm的金属细丝构成。如果在金属 丝与圆筒之间加上850V的电压，试分别求金属丝表面处和金属 圆筒内表面处的电场强度的大小。 解：
E
20 r
U 12
R2
Edr
1 2 1 2
2 0
1
2
EII E2 E1 EIII E2 E1
2 0 3 2 0
2 0
2 0
2 0
填空题2：如图所示，真空中有一半径为 R 的均匀带 电球面，总带电量为 Q（ Q > 0 ）。今在球面上挖去 一小块的面积 △S（连同电荷），且假设挖去后不影 响原来的电荷分布，则挖去后球心处电场强度的大小 向右 E≈ ，其方向为 。
第八章 真空中的静电场-5
+
v0
x
1 qE x 2 y 2 2 m v0
2
例8-19 试从示波器内电子束受到横向电场的偏折， 计算荧光屏上光点的位移。 y l
E
d
υ1 υ0 υ0 O P y2 y1
解： t1 电子通过长为 l 的偏转板所需的时间为： 0 在t1时间内，电子在y 轴方向的位移分量为 : 相应的速度分量 由零增加到
两个物理量 两个基本方程
E V
L
S
E dS
q
i
i内
0
E dl 0
场 强 叠 加 法
场强的计算
高 斯 定 理 法
E
i
dE
1
S
E dS
0
q
i (内）
电 势 梯 度 法
dV E en dn
电 势 叠 加 法
V
VP
i
dV
电势的计算
场强积分法
eEl 1 m0
l d 2 t2
0
于是电子在荧光屏上产生的光点 y y y eld E 1 2 2 m0 P离入射方向的横向位移为
l d eE l 2 y2 1t2 m 0 0
真空中静电场小结
二、带电粒子在电场中的运动（低速运动）
1、如图
F qE
qE 所以： a m
F qE ma
v v 2as
2 2 0
+
y
v0
E
2、如图
1 2 1 2 qU mv mv0 2 2
F qE 方向：沿竖直方向
在水平方向做匀速直线运动 x v0t
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15
5、点电荷的物理模型
点电荷：理想模型，不是指带电体的电量很小 把带电体看做点电荷的条件：
（1）当研究的场中某点P到带电体几何中心的距离远大于带电体 自身时,带电体可以看成点电荷. （2）若已知一个点电荷,而研究场中某点P到点电荷距离充分小时, 此带电体不能视为点电荷.
电学中类似的概念：面电荷、线电荷、电偶极子
电 磁 学
电能是应用最广泛的能源； 电磁波的传播实现了信息传递； 电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系； 电磁学的研究在理论方面也很重要。
2014-5-7
1
电磁学是经典物理学的一部分。
（1）电磁学的研究内容：电磁现象的基本概念和基本规律 电荷、电流产生电场、磁场的规律
电场和磁场的相互联系 电磁场对电荷、电流的作用 电磁场对物质的各种效应 (2)处理电磁学问题的基本观点和方法。
2014-5-7
5
公元前600年 古希腊泰勒斯 第一次记载电现象
1820年 奥斯特发现 电流对磁针的作用
1831年 法拉第发现 电磁感应
1865年麦克斯韦提出 电磁场理论
1905年爱因斯坦建立 狭义相对论
2014-5-7 6
主要内容 1、点电荷的库仑定律 库仑力的叠加原理
2、 E定义和计算 E 的通量 高斯定理及其应用 3、 5、E 和电势梯度的关系
电荷
电荷
(b) 近距作用(电力和磁力是通过一种充满在空间的弹性媒质----“以太”来传递的。
2014-5-7 28
电荷
(c) 场
以太
电荷
电荷 电场 电荷
实验证明，超距作用是错误的（电力和磁力的传递虽然速度很快，但 并非不需要时间。
①在发射电磁波的天线中加速运动着的电子对远处接收天线中电子的
2014-5-7 14
4、电荷相对论不变性
一个电荷的电量与它的运动速度或加速度均无关。
这是电荷与质量的不同之处，如电子被加速时， 随着速度的变化，其质量变化比较明显，而电 量却没有任何变化。电荷的这一性质表明系统 所带电荷的电量与参考系无关，即具有相对论 不变性。
电荷为 Q
电荷为Q
+++
2014-5-7
2014-5-7
10
1、电荷的种类：正电荷、负电荷
性质：同号相吸、异号相斥 电量：电荷的多少 单位：库仑 符号：C
正电荷电量取正值，负电荷电量取负值。一个带电体所带 电量为其所带正负电量的代数和。
2014-5-7
11
2、电荷的量子化：
实验证明，在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍 出现。
q ne
dl dq ds dV
计算 q0 给予点电荷 dq 的静电力d F
q0dq r 40 r 3
利用静电力的叠加原理,计算q给予所有点电荷dq的静电力
F
2014-5-7
q0dq r 3 4 r 0
25
练习
Q,L
如图: 计算一个长度给定的均匀带电直线同 其延长线上一个点电荷之间的静电力
b
⊕ q0
2014-5-7
26
总结
本节课重点为
点电荷的物理模型 点电荷之间的库仑定律 带电体之间电场力的计算
2014-5-7
27
§7.2 电场
一、电场 问题的提出：
电场强度
库仑定律给出了真空中点电荷之间的相互作用的定量关系，然 而这作用是通过什么途径来传递的呢？ 历史上的三种观点 (a) 超距作用（电荷之间的相互作用不需要时间，不需要介质）
在这以后，电磁学的发展势如破竹。19世纪二、三十年代成 了电磁学大发展的时期。 首先对电磁作用力进行研究的是法国科学家安培，他在得知 奥斯特发现之后，重复了奥斯特的实验，提出了右手定则， 并用电流绕地球内部流动解释了地磁的起因。接着他研究了 载流导线之间的相互作用，建立了电流元之间的相互作用规 律－－安培定律。与此同时，毕奥－萨伐尔定律也得到发现。
2014-5-7
18
讨论:
r0
F
对吗?
(2)单位的有理化 A、国际单位制(SI)：米—千克—秒—安培 制 B、有理化： q—库仑(C)；F—牛顿(N)； r—米(ｍ)
由实验定出：k = 8.9880109 Nm2/C2
1 = 8.8510-12 C2/Nm2 引入常数0 ，使 k = 4 0 0 —真空介电常数(真空电容率)
2014-5-7 19
（3）适用条件 A、真空，去除其他电荷的影响而提出的，可以去掉； B、电荷静止(或低速)：推广到静止源电荷对运动电荷的作 用，但不能推广到运动源电荷对静止或运动电荷的作用。 运动电荷的相互作用违反牛顿第三定律。牛顿第三定律适 用于相互接触的物体，对于不接触的运动物体之间的相互 作用，如果是瞬时无需媒质的超距作用，牛三适用，否则 失效。 C、库仑定律仅适用于点电荷。 D、库仑定律的适用范围：10-13---109cm
例题: 如图，在等腰直角三角形的顶点各有一个点 电荷 q, 求：顶点C处点电荷所受的库仑力
பைடு நூலகம்
F
q
2 2
⊕
4 0 a
(i j )
⊕ a
a ⊕C
24
2014-5-7
2. 点电荷q0与带电体Q之间静电力的计算
思路 利用定积分的思想,结合库仑定律和静电力的叠加原理分析. 步骤
将带电体Q无限细分,取点电荷
电容
8 电场能
要求： 1、掌握场强的计算 2、掌握用高斯定理计算三种典型对称分布的带电系统的 场强的方法 3、掌握用电势叠加原理计算电势的方法 4、掌握电场能量的计算方法
2014-5-7
9
7.1 点电荷 库仑定律 一、电荷：
物质的一种属性，用来描述物体因为带电而产生的相互作用
对电的最早认识：摩擦起电和雷电
2014-5-7 3
1750年米切尔提出了磁极之间的作用力服从平方反比定律， 1785年库仑公布了扭称实验得到了电力的平方反比定律，使电 学和磁学进入了定量研究的阶段。
1780年，伽伐尼发现了动物电。1800年伏打发明了电堆，使稳 恒电流的产生有了可能，电学由静电走向动电，导致了1820年 奥斯特发现了电流的磁效应。于是电学和磁学彼此隔绝的情况 有了突破，开始了电磁学的新阶段。
n 1,2,3,
1913年，密立根设计了有名的油滴试验， 直接测定了此基元电荷的量值。
e=1.60210-19C，为电子电量
2014-5-7 12
夸克模型：近代物理从理论上预言基本粒子由若干种夸克
1 2 e 或反夸克组成，每一种夸克或反夸克可能带有 e或 3 3
的电量，尽管这一模型对粒子物理中许多现象的解释获得 很大的成功，但至今在实验中仍未观测到自由夸克。 当物体带电量较多时，如宏观带电物体，电量可按连续 量处理。
2014-5-7 2
电磁学的发展
历史概述 静磁和静电现象很早就受到人们注意。公元前6、7世纪发现了 磁石吸铁、磁石指南以及摩擦生电现象。系统地对这些现象进 行研究始于16世纪。 1600年，英国医生吉尔伯特发表了《论磁、磁体和地球作为一 个巨大的磁体》。他总结了前人对磁的研究，周密地讨论了地 磁的性质，记载了大量的实验，使磁学从经验转变为科学。 静电现象的研究要困难的多，因为一直没有找到恰当的方式来 产生稳定的静电和对静电进行测量。只有等到发明了摩擦起电 机，才有可能对电现象进行系统的研究，这时人类才开始对电 有初步的认识。
①电场与实物的异点：
实物是由原子、分子组成，看得见，摸得着，场物则不同； 场物有空间可入性，且互不发生影响,实物则没有； 实物的密度很大，而场物的密度很小；
实物的运动速度不能达到光速，而场物一般以光速运动。
2014-5-7
30
②电场与实物的相似点
场跟实物一样，也有质量能量、动量和角动量 场物也遵从质量守恒，动量守恒，角动量守恒 场物跟实物一样，在存在形式上也具有多样性 电磁场的场量子是光子，电磁场是通过交换光子来实现带电粒子间 动量和能量的传递。
q1 所受作用力如图:
f 1 f 1i
i
f 12
q1
q2
叠加原理
2014-5-7
f1
f 13
q3
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四、带电体之间静电力的计算 1. 点电荷之间静电力的计算 点电荷q0 受到其他N个点电荷的静电力:
q 0 qi ri F 3 i 1 4 0 ri
N
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3、电荷守恒定律：
在一个和外界没有电荷交换的系统中，正负电荷的代数和 在任何物理过程中保持不变。 宏观物体的带电、电中和以及物体内的电流等现象实质上 是由于微观带电粒子在物体内运动的结果。
238 92
U Th He
234 90 4 2
e e
电荷守恒定律是物理学中普遍的基本规律。
作用是通过其间的电磁场以有限的速率传递的。
波的形式继续存在和传播。
②在电容器火花放电时，即使电荷和电流已经消失，仍然有电磁场以
近距作用的观点也是错误的，“弹性以太并不存在”。
场的观点：（1832年 法拉第）弥漫在电荷周围并对处于其中的另一
电荷有作用力。
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1、电场的性质：
A、场是一种特殊物质。
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例题
试求氢原子中原子核与电子之间的万有引力与库仑力的比
M 1840 me
e2 4 0 r 2
me 9.111031 kg
解：氢原子核与电子之间的库仑力和万有引力为:
F
Mme f G 2 r
f 4 0 GMm e e 2 4.4 10 40 F