命题

定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题， 则称该命题标识符为命题变元。如果一个命 题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元 类似常量，但两者有着本质的区别。命题变 元或常元代表的是命题元素，而变量和常量 代表的是一个数值。
四、命题联结词
1.1.2 命题联结词
4 条件： p q表示如果p则q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
pq
1 1 0 1
p q为假当且仅当 为真q为假 p
在真值表中，除了前件为真，后件为假时为 假，其余都为真。
前件为假不是我们考虑的对象，所以不管后件是真 还是假，都有为真。这种情况逻辑学上称为“善意推定”。
正是因为这个“善意推定”，阿基米德才会说：“给 我一个支点，我能把地球撬起来。”，这句话永远是对的， 因为没有谁能给他这样一个支点，前件总为假，不管他能 否把地球撬起来，他都是对的。
例：设P：自然对数的底 e 是无理数。 Q：上海是中国的首都。 R：指南针是中国四大发明之一。 S： 111 是素数。 求下列复合命题的真值： (1) ( P Q ) (R S); 1 ( 2) ( P Q R S) (S P); 1 ( 3) ( P Q R) (P S). 0
1.2 命题公式 不包含联结词的命题叫做原子命题,至 少包含一个联结词的命题称为复合命题。 若命题表达式中包含具体命题，或者命题 变元，则称之为命题公式。命题变元称为 命题公式的分量。 并非由命题常元、变元、联结词和括 号组成的字符串都是命题公式。在此给出 一个严谨的定义，在给出定义之前先介绍 递归定义（Inductive definition）的方法。
1．2．1 命题公式 命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。 定义1-6 命题公式的递归定义如下： (1)单个的命题常元或命题变元是命题公式； (2)如果A是一个命题公式，则 (┐A)也是命题公式； (3)如果A和B都是命题公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)、(A↔B)也是命题公式； (4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
例1 将下列命题符号化 (1)如果明天是晴天，那么明天举行学校运动会。 (2)如果明天举行学校运动会，明天必定是晴天。 (3)如果明天不是晴天，明天不举行学校运动会。 (4)如果明天不举行学校运动会，则明天不是晴天。 解 设P ：明天是晴天。 Q ：明天举行学校运动会。 （1） 原命题 （2） P Q 逆命题 （3） Q P 反命题 （4） P Q 逆反命题
例2:将下列命题符号化 （1）8能被2整除，但不能被6整除。 （2）林强学过英语或法语。 （3）方梅出生于1956年或1957年。 （4）凡进机房者必须换拖鞋、穿工作服，否则 罚款10元。 解（1）设p ：8能被2整除， q ：8能被6整除； p 则该命题符号化为： q （2）设p ：林强学过英语， q ：林强学过法语。 由于林强既可能学过其中一种语言，也可同 时学这两种语言，所以这是可兼或。 则该命题符号化为：p q
1. 将下列命题符号化： (1) 3不是偶数。 (2) 小强虽聪明，但不用功。 (3) 派小王或小李出差。 (4) 他钓了20或30条鱼。 (5) 如果天下雨，他就乘公共汽车上班。 (6) 只有天下雨，他才乘公共汽车上班。 (7) 我既不看电视也不外出，我睡觉。 (8) 我们不能既走路又划船。 (9) 小王现在在宿舍或在图书馆。
虽然交通堵塞，老王还 是准时到达车站。
设 p : 交通堵塞，q : 老王准时到达车站。
该命题可符号化为 p q :
猩猩不是人。
设 p : 猩猩是人。
该命题可符号化为: p
除非你陪我或给我叫车 子，否则我不去。
设 p : 你陪我，q : 你给我叫车子， r : 我出去。
该命题可符号化为: r p q
例1-3将下列命题符号化： （1）小李在看书或听音乐。 （2）小李正在教室看书或正在图书馆上网。 解（1）设p ：小李在看书， Q ：小李在听音乐； 则该命题符号化为：P ∨Q 。 （2）设R ：小李正在教室看书， S ：小李正在图书馆上网；此 命题必须使用多个联结词，命题符号化为：
( R S ) (R S )
1 否定：
P 0 ¬P 1
1
0
2 合取： p q表示p且q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
pq
0 0 0 1
p q为真当且仅当 和q同时为真 p
3 析取： p q表示p或q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
p q
0 1 1 1
p q为假当且仅当 和q同时为假 p
二、把符号命题翻译成自然语言命题 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保 持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。 B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
练习：设P: 天下雨。 Q：我将进城。 R：我有时间。 试将下列命题形式化或翻译成自然语言命题。 ①天没下雨，我也没有进城。 ②如果我有时间，我将进城。 ③如果天不下雨而且我又有时间，我将进城。 ④ ¬（R∨Q）
百度文库
⑤ Q↔（R∧¬P）
⑥（Q→R）∧（R→Q）
课后作业
P33: 1.5(3)(5)(6)(7)
1．2．2 命题公式的翻译 一、把自然语言描述的命题抽象为形式命题(即 形式化) 形式化时应注意联结词的选择，确定联结词时 除根据自然语言的联结词外，还要考虑语句的实 际含义。 例如：大家只有努力学习 , 才能取得好成绩。 其中“只有”说明除此之外没有其它条件。因 此努力学习是取得好成绩的必要条件。 设 P：大家要取得好成绩； Q：大家要努力学习。 则命题形式化为： P Q
pq
1 0 0
1
1
1
p q为真当且仅当 和q真值相同 p
逻辑联结词的优先级
为了使命题的符号化变得清晰而简洁，需要给命 题联结词规定优先级次序，5种联结词也称为逻辑运 算符，其优先级次序规定为：“ ¬ ”、“∧”、 “∨”、“→ ”、“↔ ”。 如果有括号，括号最优先。 例如：p∨┐q→r的含义与(p∨ (┐q)) →r 相同 而与p∨((┐q) →r)或p∨ (┐ (q→r))的含义不同
第一章 命题逻辑
第二讲
回
一、命题
顾
定义1-1 在数理逻辑中，把能惟一判断真假的陈述句 称为命题(proposition)，以命题作为研究对象的逻辑 称为命题逻辑(proposition logic)。 要判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为 陈述句，再判断它是否有惟一的真值；若它是具有 惟一真值的陈述句，则为命题。
例如下列不是命题公式: pq、p ¬ q、(p∨q)) →r、∧B 、（A↔∧B）。 (( 而 (( A B) C ) 、 P Q) (Q R)) 、P (Q R)) 是 ( 命题公式。 根据逻辑联结词的优先级别可省略一些圆括 号，如上述命题公式可写 成：A B C 、 Q Q R、 (Q R)。 P P 【说明】在命题公式的定义中，引进了A、B等符 号，它们代表任意的公式，本书以后出现的A、B 等符号除特别说明外，均表示公式。
命题联结词与日常语言中的联结词类似，例如： “如果…,那么…”、“不但…而且…”、“不”、“并 且”、“或者”等等。但这些联结词没有经过严格定义， 有的在意义上模棱两可，使用起来不很确切。
在数理逻辑中，联结词必须经过严格定义，它们 的含义有时并不完全与日常语言的联结词一致，为了区 别，我们把命题演算中的联结词称为命题联结词或逻辑 联结词。
Q P
从上述例子可以看出，原命题与逆 反命题意思相同——即等价：
P Q Q P
逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有 时按原命题进行推导比较困难，而用 逆反命题却可收到事半功倍的效果。
5 双条件： p q表示p等价于q（p当且仅当q）
p 0 0 1 q 0 1 0
例题1 : 将下列命题形式化
1 只有a能被 2整除，a才能被 4整除。
2 虽然交通堵塞，老王还 是准时到达车站。
3 猩猩不是人。
4 除非你陪我或给我叫车子，否则我不去。
只有a能被 2整除，a才能被4整除。
设 p : a能被 2整除， q : a能被 4整除。
该命题可符号化为 : q p
【说明】析取又称为逻辑“或”。它可分为 可兼或（inclusive or）和不可兼或 （exclusive or）。联结词 “∨”代表 的是可兼或，还有不可兼或。 例如：命题“小李在看书或听音乐”， 这里的“或”显然是“可兼或”；而命题 “小李正在教室看书或正在图书馆上网” 的“或”是“不可兼或”，因为同一个人 不可能同时出现在两个不同的地方。不可 兼或指的是二者不能同时存在。因此，析 取联结词“∨”只表示“可兼或”。
例3 设 P: 明天下雨。 Q: 明天下雪。 R: 我去学校。 试把下列命题符号化: 1) 如果明天不是雨夹雪, 我就去学校。 2) 如果明天既不下雨又不下雪, 我就去学校。 3) 明天下雨或者下雪, 我就不去学校。 解： 1) ┐(P∧Q)→R 2) (┐P∧┐Q)→R 3) (P∨Q)→┐R
堂上练习
（3）设p ：方梅出生于1956年， q ：方梅出生于1957年。 由于方梅可能出生于1956年，也可能出生于 1957年，还可能出生于其它年份，但不可能既出 生于1956年又出生于1957年。所以这是不可兼 或。 ( 该命题应符号化为： p q) (P q) （4）设p:进机房者换拖鞋, q:进机房者穿工作服， r:进机房者被罚款10元。 ( 则该命题应符号化为： p q) r
递归定义一般用于定义集合的元素，整个过程 分为三步： （1）基础：确定某个对象在集合中。 （2）递归：确定构造集合元素的方法。 （3）界限：确定集合元素的范围。 例如：定义一个非负偶数集合E。 解：（1）基础：0 E （2）递归：如果n E ,则(n 2) E。 （3）界限：除非有限次地应用基础和递归步 造成的数是偶数外，其余均不是偶数。
又如：除非你努力，你才不会失败。 意思是你不失败，说明你努力了。 设 P：你失败； Q：你努力。 则命题形式化为： P Q
小结 形式化为 p q 的各种不同的叙述形式：
" 如果p，那么q " " 只要p，就q " " p仅当q "
" 只有q，才p " " 没有q，就没有p " " 除非q，才p " " 除非q，否则非p "
二、命题的分类 定义1-2 凡不能再分解的命题称为原子命题 (atomic proposition)。由原子命题和联结词 联结而成的命题称为复合命题(compound pr oposition)。 原子命题是命题逻辑的基本单位，是一个不可 再分的个体，其真假性独立于其他命题。
P 32
三、命题常元与命题变元