大学物理讲稿(第5章真空中的静电场)第四节

§5.5 静电场的功 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理将试探电荷0q 引入点电荷q 的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q 由a 点沿任意路径 L 移至b 点,电场力所做的功.路径上任一点c 到q 的距离为r ,此处的电场强度为r r q E 304 如果将试探电荷0q 在点c 附近沿L 移动了位移元dl ,那么电场力所做的元功为cos Edl q l d E q dA 00dr rq q Edr q 20004 式中θ是电场强度E 与位移元dl 间的夹角,dr 是位移元dl 沿电场强度E 方向的分量.试探电荷由a 点沿L 移到b 点电场力所做的功为)(ba r r r r q q dr r q q dA Ab a 114400200 (5.22) 其中b a r r 和分别表示电荷q 到点a 和点b 的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q 从点a 沿L 移到点b 电场力所做的总功为ii A A上式中的的每一项都表示试探电荷0q 在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L 移到点b 电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E 等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力场.若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L 绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即 00000Lq L l d E l d E q (5.23) 静电场的这一特性称为静电场的环路定理,它连同高斯定理是描述静电场的两个基本定理.二、电势能和电势1 电势能在力学中已经知道,对于保守力场,总可以引入一个与位置有关的势能函数,当物体从一个位置移到另一个位置时,保守力所做的功等于这个势能函数增量的负值.静电场是保守力场,所以在静电场中也可以引入势能的概念,称为电势能 .设b a W W 、分别表示试探电荷0q 在起点a 、终点b 的电势能,当0q 由a 点移至b 点时,据功能原理便可得电场力所做的功为)(a b b aab W W l d E q A 0 (5.25) 当电场力做正功时,电荷与静电场间的电势能减小；做负功时,电势能增加.可见,电场力的功是电势能改变的量度.电势能与其它势能一样,是空间坐标的函数,其量值具有相对性,但电荷在静电场中两点的电势能差却有确定的值.为确定电荷在静电场中某点的电势能,应事先选择某一点作为电势能的零点.电势能的零点选择是任意的,一般以方便合理为前提.若选c 点为电势能零点,即0 c W ,则场中任一点a 的电势能为c aa l d E q W 0 (5.26) 2 电势与电势差电势能（差）是电荷与电场间的相互作用能,是电荷与电场所组成的系统共有的,与试探电荷的电量有关.因此,电势能（差）不能用来描述电场的性质.但比值0q W a /却与0q 无关,仅由电场的性质及a 点的位置来确定,为此我们定义此比值为电场中a 点的电势,用a V 表示,即c a a a ld E q W V 0(5.27) 这表明,电场中任一点a 的电势 ,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或等于单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中,电场力所做的功.式(5.27)就是电势的定义式,它是电势与电场强度的积分关系式.静电场中任意两点a 、b 的电势之差,称为这两点间的电势差,也称为电压,用V 或U 表示,则有b ac b c a b a ld E l d E l d E V V U (5.28) 该式反映了电势差与场强的关系.它表明,静电场中任意两点的电势差,其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,静电场力所做的功.若将电量为0q 的试探电荷由a 点移至b 点,静电场力做的功用电势差可表示为)(b a b a ab V V q W W A 0 (5.29)由于电势能是相对的,电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关,定义式(5.27)中是选c 点为电势零点的.但静电场中任意两点的电势差与电势的零点选择无关.在国际单位制中,电势和电势差的单位都是伏特（V ）.等势面 在电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.不同电场的等势面的形状不同.电场的强弱也可以通过等势面的疏密来形象的描述,等势面密集处的场强数值大,等势面稀疏处场强数值小.电力线与等势面处处正交并指向电势降低的方向.电荷沿着等势面运动,电场力不做功.等势面概念的用处在于实际遇到的很多问题中等势面的分布容易通过实验条件描绘出来,并由此可以分析电场的分布.三、电势的计算1 点电荷的电势在点电荷q 的电场中,若选无限远处为电势零点,由电势的定义式（5.27）可得在与点电荷q 相距为 r 的任一场点P 上的电势为rq l d E V r P 04 (5.30) 上式是点电荷电势的计算公式,它表示,在点电荷的电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q 成正比,与该点到点电荷的距离成反比.2 多个点电荷的电势在真空中有N 个点电荷,由场强叠加原理及电势的定义式得场中任一点P 的电势为ii i r i r i i r P V l d E l d E l d E V (5.31) 上式表示,在多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和.电势的这一性质,称为电势的叠加原理.设第i 个点电荷到点P 的距离为i r ,P 点的电势可表示为N i i i i i P r q V V 1041 (5.32) 3 任意带电体的电势对电荷连续分布的带电体,可看成为由许多电荷元组成,而每一个电荷元都可按点电荷对待.所以,整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和.所以将式（5.32）中的求和用积分代替就得到带电体产生的电势,即线分布面分布体分布L S V P rdl rdS r dV r dq V 00004444 （5.33） 讨论：1）在上述所给的电势表式中，都选无限远作为电势参考零点；2）在计算电势时,如果已知电荷的分布而尚不知电场强度的分布时,总可以利用（5.33）直接计算电势.对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式（5.27）来计算电势.例题5.6 求电偶极子电场中的电势分布,已知电偶极子的电偶极矩P = q l ． 解：如图5.11所示,P 点的电势为电偶极子正负电荷分别在该点产生电势的叠加（求代数和）,即r q r q V P 004141 因而有因此由于,cos ,, l r r r r r l r 230204141r r p r ql V P cos由此可见,在轴线上的电势为2041r p V P ；在中垂面上一点的电势为0 P V 。

例题 5.7 电量为 q 的电荷任意的分布在半径R 的圆环上,求圆环轴线上任一点P 的电势.解：取坐标轴如图5.12 所示,X 轴沿着圆环的轴线,原点o 位于环中心处.设P 点距环心的距离为x ,它到环上任一点的距离为r ；在环上任取一电荷元dq ,它在P 点的电势rdq dV 04 于是整个带电圆环在P 点的电势220044xR q r dq V 在x =0处,即圆环中心处的电势Rq V 04 例题5.8半径为R 的球面均匀带电,所带总电量为q .求电势在空间的分布. 解：先由高斯定理求得电场强度在空间的分布 )()(R r R r r r q E 0430 方向沿球的径向向外.对于球外任一点,若距球心为r (r>R ),则电势为rq dr r q l d E V r r 020244对于球内的任一点,若距球心为r (r<R ),则电势为R q dr r q l d E V Rr 020144结果表明,在球面外部的电势,如同把电荷集中在球心的点电荷的电势,在球内部,电势为一恒量.电势随离开球心的距离 r 的变化情形如图5.13所示.作业(P121)：5.15、5.16*§5.6 电场强度与电势的微分关系电场强度和电势都是描述电场的物理量,即它们是同一事物的两个不同的侧面,它们之间存在着一定的关系.上节中的式（5.27）就是电势与电场强度的积分关系式.本节说明电场强度与电势的微分关系.将试探电荷0q 在静电场中移动元位移d l ,因静电场力是保守力,它对0q 所做的元功等于电势能的减小量,即dV q l d E q 00 ,于是得到电势V 与电场强度E的一个重要关系dl E Edl l d E dV l cos (5.34)即方向的方向导数沿l dldV E l , (5.35) 上式表明,电场中某点的电场强度在任一方向上的投影等于电势沿该方向的方向导数的负值.据此,在直角坐标系中E 的三个分量应为zV E y V E x V E z y x ,, (5.36) 电场强度矢量可表示为gradV V zV k y V j x V i E )( (5.37) grad V 称为电势V 的梯度,它在直角坐标系即为zV k y V j x V i gradV 而zk y j x i 代表一种运算,称为微分算符,它具有矢量微分双重性.式（5.37）表明,电场中某点的电场强度等于该点电势梯度的负值.进一步可以说明,电势梯度的大小等于电势沿等势面法线方向的方向导数,其方向是沿着等势面的法线并使电势增大的方向.式(5.35)、(5.36)、(5.37)是电场强度与电势的微分关系的等价形式 ,它们在实际中有着重要的应用.这是因为求电势是标量运算 ,当电荷分布给定时,便可通过上述关系求出电场强度,这一方法比直接利用矢量运算求电场强度要简便得多. 例题5.9求均匀带电圆环轴线上的场强分布.解：由题5.7已得均匀带电圆环轴线上的电势分布为2204xR qV利用电场强度与电势的微分关系便得轴线上的场强分布为232202322024//)()(R x Rx R x qxx VE x由对称性知00 z y E E ,即轴线上任一点的场强为x E E ,方向沿着轴线. 作业(P121)：20。