PQ变换与DQ变换的理解与推导

一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导

1. 120变换和空间向量

120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]：

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=0

22

10212

021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2

a 分别为定子绕组平面的120°和240°空间算子，︒

=120j e a ，

︒=2402j e a ，上式的逆变换为：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧++==++=++=*)(31)(31)(310122

21c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而

矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a 和2

a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。

用矩阵表示时，可写成

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0211120i i i C i i i c b a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 120021

（1-1）

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-11111

2

2

1

120

a a

a a C ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=111113

12

2120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。

所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。

由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。

① 如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？

虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。

所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。

对实线性空间，由于正交变换②保持积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的积，只要将组成变换矩阵的特征向量规化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。

令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a i i i i ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a u u u u ，变换矩阵为C 。 原三相系统中功率为：i u i u p T ==),(

变换后的功率为：i C C u Ci C u Ci Cu Ci Cu p T T T T T )()(),(====

当E C C T =，即1-=C C T ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C 即为正交矩

阵。

在120分量中，由于负序分量2i 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i 。为此定义定子电流的空间矢量ori i ，它等于1i 的2倍③

，即

ori i =)1(3

2

2c b a i a ai i ++

（1-2）

式中的1、a 和2

a 分别表示a 相、

b 相和

c 相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为0，ori i 在a 、b 、c 相轴线上的投影即为c b a i i i 、、，如图1-1所示。

从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量ori i 既表达了三相电流在时域的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。

b 相

c 相

图1-1 电流的空间向量

电压矢量同理可得。

② 正交变换：变换矩阵

C 为正交矩阵，满足1-=C C T

③ 考虑这里为什么空间矢量是正序分量的

2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。

2. Park 变换与Clarke 变换

（1）Clarke 变换

αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a 相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。

以电流为例，说明abc 与αβ0坐标系之间的坐标变换。把图中α和β轴线上的电流αi 和βi 分别投影到a 、b 、c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i ，可得a i 、b i 和

c i ：

c

0序

图1-2 αβ0变换

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

+--=++-=+=00023212321i i i i i i i i i i i c b a βα

βα

α ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i c b a βααβ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 00αββα

其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-123211232110110αβC ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡---=21212

123230212

11

320αβC 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0αβC 进行单位正交化，变为正交矩阵，使得T

C C 01

αβαβ=-，得到等功率变换矩阵为

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡---=

21212

123230212

11

320αβC