【精品高考数学试卷】房山区2019届高三二模数学(理)试题+答案

2019年房山区第二次高考模拟检测试题

高三数学 （理科）

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）复数2i z =+，其中i 是虚数单位，则=z

(A)

5 (B) 1 (C) 3

(D) 5

（2）下列函数中为偶函数的是

(A) 3y x x =+ (B) 24y x =- (C) y x =

(D) 1y x =+

（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为

(A) 4

(B) 5 (C) 8 (D)

9

开始

S =0， n =1

a =7-2n

n=n+1

S =S +a a >0 输出结束

（4）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角

形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为

（4）直线1,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆2cos ,

sin x y θθ=+⎧⎨=⎩

（θ为参数）的位置关系为

(A) 相离

(B) 相切

(C) 相交且直线过圆心

(D)相交但直线不过圆心

（5）五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”，

参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有 (A) 36种 (B) 48种 (C) 72种 (D)

120种

（7）不等式组1,24x y x y +⎧

⎨-⎩

≤≥表示的平面区域为D ，则

(A) (,),22x y D x y ∀∈+≥ (B) (,),22x y D x y ∀∈+≤ (C) (,),22x y D x y ∃∈+-≥

(D) (,),22x y D x y ∃∈+-≤

（8）在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，

O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积

(A)

4

(B) 3 (C) 2 (D) 1 (A) 与,x y 都有关 (B) 与,x y 都无关 (C) 与x 有关，与y 无关 (D) 与y 有关，与x 无关

正（主）视图

俯视图侧（左）视图

A C 1

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 .

（10）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = .

（11）在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，(3,1),(2,)AB AC k ==u u u r u u u r

，则实数k = .

（12）设,a b +∈R ，且1,1a b ≠≠，能说明“若log 3log 3a b >，则b a >”为假命题的一

组,a b 的值依次为 . （13）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移

6

π

个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x 的 解析式为()g x = ；对于满足12()()2f x g x -=的12,x x ，12x x -的最小值 等于 .

（14）已知函数2221,30,

()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--⎪=⎨-+-<⎪⎩≤≤≤

当0a =时，()f x 的最小值等于 ；

若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题13分）

已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．

（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求cos cos A C +的最大值． (16)（本小题13分）

为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m 都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：

根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；

（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X 为其中二级品的个数，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.

(17)（本小题14分）

已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在线段EF 上.

（Ⅰ）若M 为EF 的中点，求证：AM P 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角A BF D --的余弦值；

（Ⅲ）证明：存在点M ，使得AM ⊥平面BDF ，并求EM

EF

的值.

(18)（本小题13分）

已知抛物线)0(22

>=p py x 过点(2,1). （Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）过点(0,4)A -的直线l 与抛物线交于两点M N ,，点M 关于y 轴的对称点为T ， 试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.

A

B

C

D

E

F

M