高二数学周测卷--导数及其应用(含答案)

2019—2020学年第二学期高二数学周测试卷 2020.3.1

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒/f ′(x )>0.

答案A

2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )

A ．f ′(x 0)>0

B ．f ′(x 0)<0

C ．f ′(x 0)＝0

D ．f ′(x 0)不存在

解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案B

3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－5

3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案B

4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )

A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)

解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，

∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.

∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．

答案B

5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝sin2x B．y＝x3－x

C．y＝x e x D．y＝－x＋ln(1＋x)

解析对于C，有y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0.

答案C

6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( ) A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11 C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9

＝3(x＋1)(x－3)．

当x<－1时，f′(x)>0，

当－1

∴x＝－1是f(x)的极大值点．

且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．

答案C

7．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是( )

A ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)

B ．(－1

6，＋∞) C ．(－∞，－13)和(0，＋∞) D ．(－∞，－1

6) 解析y ′＝6x 2＋2x ＝2x (3x ＋1)， 令y ′>0，得x <－1

3，或x >0. ∴函数y ＝2x 3＋x 2的单调增区间为 (－∞，－1

3)和(0，＋∞)． 答案C

8．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断：

①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；

③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①②③④

解析由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：

(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．

答案 B

9．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 解析f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.

答案B

10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝

⎛

⎭⎪⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内

C ．三个零点，分别在⎝

⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13，⎝

⎛⎭

⎪⎫－13，0，(1，＋∞)内

D ．三个零点，分别在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内

解析 利用导数法易得函数f (x )在(－∞，－1

3)内单调递减，在

⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝－59

27<0，

f (1)＝－1<0，故函数f (x )的图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13内 答案A

11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)<2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 解析当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)；

而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)， 从而f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案C

12．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f ′(x )>f (x )，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( )

A ．f (a )

B ．f (a )>e a f (0)

C ．f (a )

D ．f (a )>f (0)

e a 解析 构造函数g (x )＝

f (x )

e x ，则g ′(x )＝

f ′(x )－f (x )e x >0，故函数

g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递增，所以g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e a

f (0)． 答案B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．若函数f (x )＝13x 3

－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________.

解析 ∵f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x )＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2.