高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析
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2．己知 是定义在 上的偶函数，在区间 为增函数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，因为f（x）是定义在 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，
则 且 ，则有 ，可得 ，
，故答案为0.
由 得 ，即 ，
因为 是偶函数，所以 也是偶函数，
则 ，等价为 ，
即 ，得 或 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
14．若函数 满足对定义域上任意 都有不等式 ，成立,则称此函数为“ 函数”，请你写出一个“ 函数”的解析式_______.
【答案】 开放性试题
【解析】因为满足不等式 的函数为凸函数，所以 皆满足.
高考数学函数专题训练抽象函数
一、选择题
1．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 和 都是偶函数，则 ， ，即 是偶函数，充分性成立；
当 , 时， 是偶函数，但是 和 都不是偶函数，必要性不成立， “ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.
【答案】A
【解析】由 ，令 ， ，则
时，
当 时，令 ，则 ，即
又 当 时，
令 ，则
，即
在 上单调递减
又
令 ， ；令 ， ；令 ，
数列 是以 为周期的周期数列
， ， ， ，
在 上单调递减
， ， ，
故选 .
10．已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 为 上奇函数，
所以 ，即 为 上奇函数
对 求导，得 ，
而当 时，有
故 时， ，即 单调递增，
所以 在 上单调递增
不等式
，
即
所以 ，解得 ，故选A.
11．已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 则
∵ ，∴ ．所以函数 是R上的减函数，
∵函数 是偶函数，∴函数 ，∴函数关于 对称，
∴ ，原不等式等价为 ，
∴不等式 等价 ，
．∵ 在R上单调递减，∴ ．故选B．
12．定义在 上的函数 满足，对任意 ，都有 ，非零实数 ， 满足 ，则下列关系式中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
，
，
, ，
又 在 内单调递减，
， ，故选A.
6．已知定义在实数集 上的函数 的图象经过点 ，且满足 ，当 时不等式 恒成立，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，
因为 时不等式 恒成立，
所以函数f(x)在（0，+ ）上是增函数，在（- 上是减函数，
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，
故 ，∴函数 是 上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 的周期为6，又 为偶函数，
解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）.故选B．
3．已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的值为（）
A．-1B．1C．0D．无法计算
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以有 ，
，因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以 ，因此
=0，故选C.
4．已知 为定义在 上的函数，若对任意两个不相等的正数 ，都有 ，记 ，则（）
15．已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，
①函数 的一个周期为4；
②直线 是函数 图象的一条对称轴；
③函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
④函数 在 内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②④
【解析】令 得 ，即 ，由于函数为偶函数，故 .所以 ，所以函数是周期为 的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故 ，所以 是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间 上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在 上单调递减，故③错误.根据图像可知， ，零点的周期为 ，共有 个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.
因为 ，
所以 .故选A.
7．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】 是定义在 上的奇函数， ，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项 ，又 ，
， ，
， 的零点至少有 个，故选C.
8．定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式 的解集为()
【解析】记 ，则
因为当 时， ，
所以 在 上单调递减
又因为 ，所以 为偶函数
因为
所以 ，即 ，故选D.
二、填空题
13.已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，对定义域内的任意 ，都有 成立，则使得 成立的 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由 是偶函数，所以当 时，由 得 ，
设 ，则 ，
即当 时，函数 为减函数，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据来自百度文库意，令 ， ，则其导数 ，
函数 在 为增函数，又由 （2） ，则 （2） ，
，则有 ，
解可得 ；即不等式 的解集为 .故选 ．
9．已知函数 的定义域为 ，当 时 ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
16．已知定义在 上的函数 ，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则 ＝_____.
【答案】0
【解析】根据题意, 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称,
则有 ，若函数 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称，
则有 ,则有 ,
设 ，则 变形可得 ，
则函数 是周期为4的周期函数，又由函数 的图象关于点 对称，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，因为f（x）是定义在 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，
则 且 ，则有 ，可得 ，
，故答案为0.
由 得 ，即 ，
因为 是偶函数，所以 也是偶函数，
则 ，等价为 ，
即 ，得 或 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
14．若函数 满足对定义域上任意 都有不等式 ，成立,则称此函数为“ 函数”，请你写出一个“ 函数”的解析式_______.
【答案】 开放性试题
【解析】因为满足不等式 的函数为凸函数，所以 皆满足.
高考数学函数专题训练抽象函数
一、选择题
1．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 和 都是偶函数，则 ， ，即 是偶函数，充分性成立；
当 , 时， 是偶函数，但是 和 都不是偶函数，必要性不成立， “ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.
【答案】A
【解析】由 ，令 ， ，则
时，
当 时，令 ，则 ，即
又 当 时，
令 ，则
，即
在 上单调递减
又
令 ， ；令 ， ；令 ，
数列 是以 为周期的周期数列
， ， ， ，
在 上单调递减
， ， ，
故选 .
10．已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 为 上奇函数，
所以 ，即 为 上奇函数
对 求导，得 ，
而当 时，有
故 时， ，即 单调递增，
所以 在 上单调递增
不等式
，
即
所以 ，解得 ，故选A.
11．已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 则
∵ ，∴ ．所以函数 是R上的减函数，
∵函数 是偶函数，∴函数 ，∴函数关于 对称，
∴ ，原不等式等价为 ，
∴不等式 等价 ，
．∵ 在R上单调递减，∴ ．故选B．
12．定义在 上的函数 满足，对任意 ，都有 ，非零实数 ， 满足 ，则下列关系式中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
，
，
, ，
又 在 内单调递减，
， ，故选A.
6．已知定义在实数集 上的函数 的图象经过点 ，且满足 ，当 时不等式 恒成立，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，
因为 时不等式 恒成立，
所以函数f(x)在（0，+ ）上是增函数，在（- 上是减函数，
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，
故 ，∴函数 是 上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 的周期为6，又 为偶函数，
解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）.故选B．
3．已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的值为（）
A．-1B．1C．0D．无法计算
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以有 ，
，因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以 ，因此
=0，故选C.
4．已知 为定义在 上的函数，若对任意两个不相等的正数 ，都有 ，记 ，则（）
15．已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，
①函数 的一个周期为4；
②直线 是函数 图象的一条对称轴；
③函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
④函数 在 内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②④
【解析】令 得 ，即 ，由于函数为偶函数，故 .所以 ，所以函数是周期为 的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故 ，所以 是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间 上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在 上单调递减，故③错误.根据图像可知， ，零点的周期为 ，共有 个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.
因为 ，
所以 .故选A.
7．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】 是定义在 上的奇函数， ，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项 ，又 ，
， ，
， 的零点至少有 个，故选C.
8．定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式 的解集为()
【解析】记 ，则
因为当 时， ，
所以 在 上单调递减
又因为 ，所以 为偶函数
因为
所以 ，即 ，故选D.
二、填空题
13.已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，对定义域内的任意 ，都有 成立，则使得 成立的 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由 是偶函数，所以当 时，由 得 ，
设 ，则 ，
即当 时，函数 为减函数，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据来自百度文库意，令 ， ，则其导数 ，
函数 在 为增函数，又由 （2） ，则 （2） ，
，则有 ，
解可得 ；即不等式 的解集为 .故选 ．
9．已知函数 的定义域为 ，当 时 ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
16．已知定义在 上的函数 ，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则 ＝_____.
【答案】0
【解析】根据题意, 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称,
则有 ，若函数 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称，
则有 ,则有 ,
设 ，则 变形可得 ，
则函数 是周期为4的周期函数，又由函数 的图象关于点 对称，