缓和曲线上各种迭代算法及比较
缓和曲线超高计算
公路缓和曲线知识与计算公式未知2010-04-04 17:34:42 本站一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形 , 是道路平面线形要素之一。
1 ．缓和曲线的作用1 ）便于驾驶员操纵方向盘2 ）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3 ）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4 ）与圆曲线配合得当，增加线形美观2 ．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的 0 °均匀地增加到圆曲线上。
S=A2/ρ（ A ：与汽车有关的参数）ρ=C/s C=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3 ．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R ， l h=s 则 l h=A2/R4 ．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1 ）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a1=0,a2=v2/ ρ ,a s= Δ a/t ≤ 0.62 ）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度 (t=3s)3 ）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
4 ）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在 3°—— 29°之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5 ．直角坐标及要素计算1 ）回旋线切线角（ 1 ）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
公路缓和曲线知识与计算公式
公路缓和曲线知识与计算公式一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形 , 是道路平面线形要素之一。
1 ．缓和曲线的作用1 ）便于驾驶员操纵方向盘2 ）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3 ）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4 ）与圆曲线配合得当，增加线形美观2 ．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0 °均匀地增加到圆曲线上。
S=A2/ρ（ A ：与汽车有关的参数）ρ=C/s C=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3 ．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R ， l h=s 则 l h=A2/R4 ．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1 ）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a1=0,a2=v2/ ρ ,a s= Δ a/t ≤ 0.62 ）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度 (t=3s)3 ）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
4 ）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3° ——29° 之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5 ．直角坐标及要素计算1 ）回旋线切线角（ 1 ）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
缓和曲线的计算方法三种课件
b0
20
ls 3R
此外还有极坐标法、弦线支距法、长弦偏角 法。
缓和曲线的计算方法三种
要注意：点是位于缓和曲线上，还是位于圆曲线上。
位于缓和曲线
位于圆曲线
缓和曲线的计算方法三种
（1）当点位于缓和曲线上，有：
x y
l l5
40
R
2
l
2 s
l3 l7 6 Rl s 336 R
3l
3 s
（2）当点位于圆曲线上，有：
xRsinq yR(1c os)p
缓和曲线的计算方法三种
2、偏角法（整桩距、短弦偏角法） 要注意：点是位于缓和曲线，还是位于圆曲线。
位于圆曲线 位于缓和曲线
缓和曲线的计算方法三种
2、偏角法（整桩距、短弦偏角法）
（1）当点位于缓和曲线上，有：
总偏(常 角量 )0 6lR s
偏角
l2 ls2
0
距离：用曲线长l来代替弦长。放样出第1点后， 放样第2点时，用偏角和距离l交会得到。
缓和曲线的计算方法三种
（2）当点位于圆曲线上
方法：架仪HY (或YH)，后视ZH(或HZ)，拨角b0，即找 到了切线方向，再按单圆曲线偏角法进行。
缓和曲线的计算方法三种
（2）测设方法。(见例题)
例题：如图，设某公路的交点桩号为K0+518.66，右 转角αy=180018'36"，圆曲线半径R=100m，缓和曲 线长ls=10m，试测设主点桩。（作为实习课内容）
解：（一）计算测设元素
p=0.04m；q=5.00m；
02lR s 1800205153
缓和曲线的计算方法三种
2、回旋缓和曲线(spiral curve)基本公式
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式程序使用说明Fx9750、9860系列程序包含内容介绍:程序共有24个，分别是：1、0XZJSCX2、1QXJSFY3、2GCJSFY4、3ZDJSFY5、4ZDGCJS6、5SPJSFY7、5ZDSPFY8、5ZXSPFY9、6ZPJSFY 10、7ZBZFS 11、8JLHFJH 12、9DBXMJJS13、9DXPCJS 14、9SZPCJS 15、GC-PQX 16、GC-SQX17、PQX-FS 18、PQX-ZS 19、ZD-FS 20、ZD-PQX21、ZD-SQX 22、ZD-ZS 23、ZDSP-SJK 24、ZXSP-SJK其中，程序2-14为主程序，程序15-24为子程序。
每个主程序都可以单独运算并得到结果，子程序不能单独运行，它是配合主程序运行所必需的程序。
刷坡数据库未采用串列，因为知道了窍门，数据库看起很多，其实很少。
程序1为调度2-8程序；程序2为交点法主线路(含不对称曲线)中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序；程序3为主线路中边桩高程计算及路基抄平程序；程序4为线元法匝道中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序；程序5为匝道线路中边桩高程计算及路基抄平程序；程序6为任意线型开口线及填筑边线计算放样程序；程序7专为主线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量；程序8专为匝道线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量；程序9为桥台锥坡计算放样程序；程序10为计算两点间的坐标正反算程序；程序11为距离后方交会计算测站坐标程序；程序12为任意多边形面积周长计算程序；程序13为导线近似平差计算程序；程序14为水准近似平差计算程序；程序2-8所用数据库采用的串列，匝道用的File 1；主线用的 File 2。
缓和曲线 (1)讲解
考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的作用，应按超高控制。
《标准》规定：当公路的平曲线半径小于不设超高的最小半径 时，应设缓和曲线。 四级公路可不设缓和曲线。
（三）、缓和曲线的形式
思考一下：
满足 l C这一性质的曲线有哪些呢？它
是不是都可以作为缓和曲线呢？
缓和曲线的形式
行车轨迹特点：由直线驶入圆曲线转弯时，其 轨迹上的任一点的曲率半径与其行程l（自转弯 开始点算起）成反比。
缓和曲线的形式
2）回旋曲线、三次抛物线和双纽线线形比较：
① 回旋曲线、三次抛物线和双纽线 在极角较小（5°～6°）时，几乎 没有差别。
（一） 缓和曲线的最小长度
缓和曲线的作用要通过一定的长度来保证， 且缓和曲线越长，其缓和效果就越好，但太长的 缓和曲线是没有必要的，这会给测设和施工带来 不便。因此，缓和曲线的最小长度按发挥其作用 的要求来确定。
1·旅客感觉舒适:即离心加速度从直线上的零增
加到进入圆曲线时的最大值。离心加速度变化率 限制在一定的范围内。
若P过大，则会使汽车 左右剧烈摇摆，故应该加以 限制。
Ls B i P
超高在缓和曲线上完成过渡：
ls小，过渡快，线形扭曲；
ls大，过渡慢，排水不利－why？ 《规范》给出适中的超高渐变率，最小长度的公式：
Ls min
Bi p
式中：B——旋转轴至行车道外侧边缘的宽度；
Δi——超高坡度与路拱坡度代数差（%）；
课前提问
什么叫做超高和反超高？ 横向力系数的含义。为什么说横向力系数可以衡量
不同汽车在圆曲线上的横向稳定性？ 假定某弯道的最大横向力系数为0.10，则 （1）当 R 500m,ih 5%时，允许最大车速为多少？ （2）当 V 80km/ h,ih 2%（反超高）时，平曲线半径至
不同类型缓和曲线的正算与反算的通用算法（经典实用）
不同类型缓和曲线的正算与反算的通用算法（经典实用）摘要：随着高速公路和高速铁路的发展对线形提出的新要求，一些专家认为，缓和曲线除了单一的回旋线外必然需要补充高次曲线或其他类型的曲率渐变曲线，因此需要找到一种适合于多种类型曲率渐变曲线敷设的缓和曲线的坐标的正、反算方法。
提出各种类型缓和曲线的任意点坐标计算的通用方法和适合于各种类型缓和曲线坐标反算里程的方法，并对其精度和特殊情况进行分析，通过实际应用，证明其实用性和可靠性。
关键词：缓和曲线；曲线计算；Simpson公式；切线迭代法在高等级公路、铁路上，当车辆从直线驶入圆曲线时，为了满足车辆行驶轨迹的变化规律，在直线和圆曲线，圆曲线与圆曲线间均设置了缓和曲线。
传统的缓和曲线设置方式主要采用回旋线敷设，除在假定汽车作等速行驶的情况下回旋线与汽车南直线驶人圆曲线的轨迹基本相同外，主要还因为习惯和计算的方便，因为其他一些曲线敷设缓和曲线的计算工作量相对较大，计算过程也比较繁琐和复杂，容易发生错误。
但是现在一些研究认为回旋线不仅不能符合汽车的行驶规律，而且车辆在曲线上不能变速行驶，在起点和终点产生曲率突变点，影响行车质量和线形的美观。
近年来，一些学者提出使用凡次抛物线叠加敷设缓和曲线，不仅方便了测设工作，也使线形变得连续、顺滑。
用高次抛物线作缓和曲线，法国工程师夏克和诺化早在1865年和1867年就曾提到，C·詹姆逊和E·w·克林于1889年加以详细论述旧J。
日本东海道新干线采用半波正弦型缓和曲线，英国和法国高速铁路采用三次抛物线改进型缓和曲线。
我国铁科院铁建所经过大量实验研究，建议最高速度为160—250 km／h的客运专线宜采用半波正弦型缓和曲线，等等。
除了主线外，在匝道、渐变段边线以及服务区进出口等部位，需要使用不同类型的曲率渐变曲线。
在城市道路中曲线运用种类也在增多。
因此，根据前路线线形的使用要求和计算机技术的发展趋势，缓和曲线除了单一的回旋线外必然需要补充高次曲线或其他类型的曲率渐变曲线。
公路工程测量放线圆曲线、缓和曲线(完整缓和曲线、非完整缓和曲线)计算解析
公路工程测量放线圆曲线、缓和曲线（包括完整缓和曲线、非完整缓和曲线）计算解析例：某道路桥梁中，A匝道线路。
已知交点桩号及坐标：SP，K9+000（2957714.490，485768.924）；JD1，K9+154.745（2957811.298，485889.647）；EP，K9+408.993（2957786.391，486158.713）。
SP—JD1方位角：51°16′25″；转角：右44°00′54.06″；JD1—EP方位角：95°17′20″。
由上面“A匝道直线、曲线及转角表”得知：K9+000—K9+116.282处于第一段圆曲线上，半径为385.75m；K9+116.282—K9+151.282处于第一段缓和曲线上，K9+151.282的半径为300m，缓和曲线要素A1=217.335，Ls1=35m；K9+151.282—K9+216.134处于第二段圆曲线上，半径为300m；K9+216.134—K9+251.134处于第二段缓和曲线上，K9+251.134的半径为1979.5，缓和曲线要素A2=111.245，Ls2=35m；1 / 11K9+251.134—K9+408.933处于第三段圆曲线上，半径为1979.5m。
求：K9+130、K9+200、K9+230、K9+300的中桩坐标，切线方位角，左5米边桩的坐标，右10米边桩的坐标。
解：首先，我们知道要求一个未知点的坐标，必须知道起算点坐标，起算点至未知点的方位角，起算点至未知点的直线距离，然后利用坐标正算的计算公式，就可以直接求出未知点的坐标。
那么，关于圆曲线和缓和曲线（包括完整缓和曲线和非完整缓和曲线）的计算，我们需要知道如何求出起算点至圆曲线或缓和曲线上某点的方位角和直线距离。
下面，先列出关于圆曲线和缓和曲线中角度和距离计算的相关公式。
2 / 113 / 11y 轴。
过圆曲线上任意点P 的切线与ZY —JD 相交，夹角（切线角）为β，ZY —P 与ZY —JD 的夹角（弦切角）为α，ZY —P 的弧长为L ，ZY —P 的直线距离为d ，圆曲线的半径为R 。
缓和曲线要素及计算公式
缓和曲线要素及计算公式缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。
缓和曲线的主要曲线元素缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。
由此可得：q P R q T Th ++=+=2tan )(αR P R E h -+=2sec )(αs h L RL 2180)2(0+-=πβα180)2(0RL y πβα-=式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度缓和曲线与圆曲线区别：1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生）2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q;3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。
缓和曲线角0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)=RL Sπ90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242=切线增长值q 的计算： )(240223m RL L q S S -=P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。
S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。
R －缓和曲线中的主圆曲线半径α－偏转角缓和曲线主点桩号：ZH 桩号=JD 桩号-h THY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+2y LHZ 桩号=ZH 桩号+h L另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导：QZ 桩号=ZH 桩号+2hL YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式：22540S Pp L R L L -=X sP RL L Y 63=进入净圆曲线段内坐标计算如式： ⎥⎦⎤•⎪⎪⎭⎫-⎝⎛⎢⎣⎡+=R L L R q X sp π1802sin ⎭⎬⎫⎥⎦⎤•⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛⎢⎣⎡-⎩⎨⎧+=R L L R P Y s p π1802cos 1上述公式还可以简化为：αsin R q X +=()αcos 1-+=R P Y+-=RL L s p πα)180（0βR L S 2/0=β(弧度)=RL Sπ90 (度)。
线路工程测量-缓和曲线
元月19（二）上午 元月19（二）下午
实习十九：偏角法详细测设圆曲线 实习十六：全站仪（坐标法）复测曲线
36
第三组
ZD2
第二组
ZD2
第一组
ZD2
JD3
ZD1 JD2
ZD1
JD1 约150°
＞150m ZD1
37
曲线实习安排
元月17（一）上午 实习十二：圆曲线主点测设
主要工作内容：
1、根据地形、交点设置二直线上 的转点ZD1、ZD2
4
二、缓和曲线公式
（二）切线角公式 回旋线任一点的切线与起点 切线的交角β
当l＝ls时，则缓和曲线 全长ls所对应中心角即为缓 和曲线的切线角，称为缓和 曲线角βo为：
ls---缓和线长度
5
二、缓和曲线公式
（三）缓和曲线方程
设以缓和曲线的起点为坐标原点， 过该点的切线为X轴，半径为Y轴， 缓和曲线上任一点P的坐标为x、y
2、全测回法测转向角α
3、测第一条边的磁方位角
4、现场计算圆曲线要素
5、测设曲线主点ZY、QZ、YZ （要求钢尺测距）
JD 约150°
元月17（一）下午
QZ ZY
实习十三：切线支距法详细测
设圆曲线
ZD2
主要工作内容：
1、计算圆曲线支距x、y
2、按切线支距法测设圆曲线
（每20m一点）
JD
＞150m YZ ZD1
2、中线点坐标
1）缓和曲线：
2）圆曲线：以HY点切线为 x轴
12
四、缓和曲线详细测设
（一）切线支距法 3、测设步骤
1）缓和曲线段各点：可按圆曲 线切线支距法的测设方法进 行测设。
2）圆曲线段各点：可以缓圆点 HY或圆缓点YH为坐标原点 用切线支距法进行测设。 HY点切线方向：
缓和曲线坐标计算三种典型方法的解算及比较
缓和曲线坐标计算三种典型方法的解算及比较
准确解算椭圆曲线常见的特征值是椭圆曲线的研究的基础，也是数字货币等技术的重要实现手段。
目前求解椭圆曲线中的特征值有三种常见的方法。
其一是缓和曲线（Cordic）方法，又称为Volder旋转算法，它基于使用极坐标旋转作为基本操作，通过迭代循环求解椭圆曲线上特征点的坐标。
当椭圆参数大于零时，其优点是快速稳定，性能优于前两种方法。
第二种方法是比特定旋转算法，也称为基托克米尔算法，它的基本思想是将椭圆的特征值分解为实部和虚部，主要和虚部的计算，然后计算特征点的极坐标值，最后求解该特征值的直角坐标值。
这种方法的优点是计算简单，非常适合在单精度浮点数上实现。
最后是重复延拓算法，也称为耶斯塔·瑞厄算法求解椭圆曲线特征值。
这种方法应用双精度浮点数和多项式优化来提高计算精度，降低了收敛点的搜索和测试，从而提高了计算速度。
它的浮点误差较小，但计算量较大，部分情况下比前两种方法速度更快。
总而言之，缓和曲线（Cordic）方法、比特定旋转算法以及重复延拓算法都是用于求解椭圆曲线特征值的有效方法，根据实际应用需求选择合适的方法，以达到最优求解效果。
缓和曲线坐标计算三种典型方法的解算及比较
缓和曲线坐标计算三种典型方法的解算及比较作者：聂宝磊张青艳周新丰来源：《科技视界》2014年第16期【摘要】道路中桩、边桩的计算方法有多种，本文主要讲解中桩的计算。
全文通过缓和曲线坐标计算三种典型方法的解算，结合工程实例，从曲线要素计算到里程桩号计算，到坐标结果的最终解算，全面、具体、详实地体现了工程中常用的计算过程。
并对着三种典型方法进行了比较分析。
【关键词】缓和曲线；坐标计算；典型计算方法；中桩坐标0 绪论随着全站仪的普及以及RTK测量的不断发展，无论是设计单位还是施工单位，道路中线放样都采用坐标放样法。
坐标放样法以其高精度、高效率，取代了教科书里讲解的偏角法、支距法等传统的放样方法。
如何提高施工放样的精度和速度，精确、快速计算公路任意桩号的中桩坐标是关键。
直线段的中桩坐标计算方法比较简单，它可以根据中桩里程在相邻交点之间内插，或采用坐标正算的方法根据直线距离和直线方位角直接算出。
曲线段的中桩坐标计算相当复杂。
本文以工程实际的线型为例，详细解算三种坐标计算的方法，中间有些推导过程在此就省略掉了。
1 工程已知缓和曲线元素图纸里给的曲线元素有：交点里程为K5+739.142，交点坐标为JD（186897.158，254312.524），ZH点前直线上已知一点坐标ZD1（187364.258，254789.376），转向角α右=35°55′13″，圆曲线半径R=1400m，缓和曲线长度l0=150m。
在此我们用三种方法来计算曲线要素，主点里程桩号，并计算出QZ、ZH、HY点坐标，及K5+270、K5+490两点中桩坐标。
2 曲线要素计算3 缓和曲线三种典型计算方法3.1 坐标正算法（3）同理可求得K5+270里程中桩坐标计算：l=5270-5210.114 =59.886m（5）K5+490点坐标计算：3.2 相对坐标法（1）ZH点坐标：计算同①式，得ZH点坐标。
（2）HY点坐标：根据②式得：（5）K5+490点坐标计算（1）ZH点坐标：计算同①式，得ZH点坐标。
缓和曲线
第三节 缓和段一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。
1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。
S=A 2/ρ（A ：与汽车有关的参数）ρ=C/s C=A 2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R ，l h =s 则 l h =A 2/R4．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a 1=0,a 2=v 2/ρ,a s =Δa/t ≤0.6RV l h 3035.0≥2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s) 2.16.3Vt V vt l h ===3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
ph l ch ≥4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5．直角坐标及要素计算 1）回旋线切线角（1）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
2种类型缓和曲线计算对比分析
2种类型缓和曲线计算对比分析摘要：根据三次抛物线和回旋线数学方程，推导了缓和曲线主要参数的计算过程，通过对不同半径、缓和曲线长度情况下切线长T和圆曲线长度Lc的计算，得出（1）采用相同的曲线半径和缓和曲线长时，曲线半径与缓和曲线比值越大，回旋线参数A2与三次抛物线参数C越接近；（2）相同长度的缓和曲线和相同的圆曲线半径，三次抛物线的切线、圆曲线长度较回旋曲线短。
关键词：缓和曲线；三次抛物线；回旋线；曲线长度；坐标1 引言车辆在曲线路段上行驶会产生离心力，通常在曲线上采用设置超高的办法来克服离心力。
曲线半径半径愈小离心力愈大，要求设置的超高也愈大。
在曲线和直线之间设置一段过渡的曲线，随着距离的增加，半径逐渐减小，使相应的超高逐渐增大，起到了过渡的作用，这种曲线称缓和曲线。
缓和曲线的类型有很多种，目前广泛采用的缓和曲线有回旋线型、三次抛物线型、七次四项式型、半波正弦型、一波正弦型等。
由于回旋线和三次抛物线理论简单、计算方便、现场轨道铺设和养护容易的特点，广泛应用于公路、铁路建设中。
本文主要介绍三次抛物线型与回旋线型缓和曲线的计算和主要参数对比分析。
2 回旋线型缓和曲线方程从回旋线的数学定义可知，其曲率半径与曲线上某一点至该曲线起点之距离成反比。
即：（1）A为常数，表征回旋线曲率变化的缓急程度。
图1 直线与圆曲线间插入缓和曲线根据回旋线的特点，曲线上任意点的曲率m可表示为：（1）在直角坐标系下转角和任意点坐标可表示为：为缓和曲线上任意点至ZH点的转角；x，y 为直角坐标系下任意点P的坐标。
根据幂级展开式可以得到：舍去不影响精度的项后：切线长为：（9）圆曲线长为：（10）其中，分别为缓圆点的坐标、缓和曲线长度和圆曲线长度。
通过以上公式在已知曲线半径、缓和曲线长度情况下，可以快捷计算出缓和曲线上某个里程的坐标。
3 三次抛物线型缓和曲线方程在直线和半径为R的圆曲线间插入长度为三次抛物线，如图1所示建立以抛物线起点（半径无穷大处）ZH点为坐标原点的切线坐标系，三次抛物线的方程为：（11）式中：为三次抛物线参数，与抛物线的长度，圆曲线的半径R有关。
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。
1．缓和曲线的作用1）便于驾驶员操纵方向盘2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4）与圆曲线配合得当，增加线形美观2．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。
S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数）ρ=C/sC=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R，l h=s 则 l h=A2/R4．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a1=0,a2=v2/ρ,a s2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s)3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5．直角坐标及要素计算1）回旋线切线角（1）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
βx=s2/2Rl h（2）缓和曲线的总切线角β=l h2）缓和曲线直角坐标任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为dβxdx=dscosβxdy=dssinβx3）缓和曲线常数（1）主曲线的内移值p及切线增长值q内移值：p=Y h-R(1-cosβh)=l h2/24R切线增长值：q=X h-Rsinβh=l h/2-lh3/240R2（2）缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βh=l h/2R总弦长：C h=l h-l h3/90R2O为圆曲线的圆心，圆曲线所对圆心角（等于公路偏角）。
迭代算法
高斯-勒让德迭代求积法
对定积分的积分变量x作变换
将原积分转化为区间[-1
1]上的积分
即
由差值求积公式有
其中
（k=0,1,2,......,n-1）,为区间[-1
1]上的n个求积结点
且
如果n个结点（k=0,1,2,......,n-1）取勒让德多项式
Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bcos (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+
Acos (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))
=30.16036838
ΔY= W(Asin (F+EKW(C+KWD))+Bsin(F+ELW(C+LWD))+
Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bsin (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+
W为迭代次数 While E>0.0001 大于给定的精度就进行迭代 0→P For 0→K To N-1 (K+0.5)×H→X:Prog "FX" P+X→P:W+1→W 在For循环中计算累计和
并计数 Next (T+H×P)÷2→U 计算T2n (4×U-T)÷3→V 计算结果 Abs(V-S)→E 修改迭代值 U→T:V→S 准备迭代参数 N+N→N:H÷2→H 准备迭代参数 WhileEnd Deg：V◢ 设回成角度模式
Asin (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))
缓和曲线表达式
缓和曲线表达式
缓和曲线是一种用于过渡平直线段与曲线段之间的一种曲线，常用于交通工程中的道路设计和铁路线路设计，以及其他工程中的平滑过渡。
缓和曲线通常具有以下几种类型：布尔曲线、克隆曲线、布鲁诺曲线等，不同类型的缓和曲线有不同的表达式。
1.布尔曲线（也称为布尔螺旋）表达式：
布尔曲线是一种缓和曲线的形式，其表达式为：
y = (R -√(R^2 - x^2)) / k
其中，y表示曲线的纵坐标，x表示曲线的横坐标，R为布尔曲线的半径，k为曲线的缓和率。
2.克隆曲线（也称为克隆螺旋）表达式：
克隆曲线是另一种缓和曲线的形式，其表达式为：
y = (x^2) / (2R)
其中，y表示曲线的纵坐标，x表示曲线的横坐标，R为克隆曲线的半径。
3.布鲁诺曲线表达式：
布鲁诺曲线是一种用于道路设计的缓和曲线，其表达式较为复杂，一般采用参数方程表示，形式如下：
x = A - B * cos(t)
y = C * sin(t)
其中，x和y分别表示曲线的横坐标和纵坐标，t为参数，A、B、C为常数，通过调整这些常数可以控制曲线的形状和缓和程度。
这里只列举了几种常见的缓和曲线表达式，实际上缓和曲线有很多种形式，具体的表达式会因应用领域和设计要求的不同而有所差异。
在实际工程中，工程师通常会根据具体情况选择合适的缓和曲线类型和表达式，以达到平滑过渡和良好的设计效果。
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缓和曲线各种迭代算法及比较半只烟（850570455）关于缓和曲线的直接计算式都是采用近似计算，因而其计算精度和参数有关，不同的参数得到的计算精度是不一样的，那么很自然的会想到，有没有一种计算方法使计算结果达到一给定的精度后才结束过程而和参数无关，答案是肯定的。
通常利用程序使用数值计算的迭代方法。
下面给出常用的使用迭代原理进行计算的变步长辛普森积分法和高斯-勒让德求积法，至于别的方法，此处不再详述，有兴趣的可参阅数值计算方法方面的资料。
变步长辛普森迭代求积法变步长辛普森积分法是计算定积分∫)(ba dx x f S =的经典方法，其计算步骤如下：（1） 用梯形公式计算[]2/)()(b f a f h T n +=，其中n=1,h=b-a,且令S n =T n 。
（2） 用变步长梯形法则计算∑12)2/(221n k k n n h x f h T T =++=用辛普森求积公式计算3422nn n T T S =若ε≥2n nS S ，则令h h n n ⇒2,⇒2转到步骤（2）继续计算；否则结束，S 2n 即为所求的积分近似值。
其中 为事先给定的求积精度。
由于需要对被积函数求值，先给出求解回旋线的函数值的子程序FX ，用于求解回旋线上距起点x 处的X 坐标，求解Y 坐标只需把cos(余弦函数)改成Sin(正弦函数),此处不在给出。
高斯-勒让德迭代求积法对定积分∫)(ba dx x f S =的积分变量x 作变换22ab t ab x ++=，将原积分转化为区间[-1，1]上的积分，即dt t ab dt a b t a b f a b dx x f S ba )(2)22(2)(∫∫∫1111=++==由差值求积公式有∑∫111)(λ)(n k k kt dt t ==其中，k t （k=0,1,2,……,n-1）,为区间[-1，1]上的n 个求积结点，且，dt t A k k )(λ∫11=∏1≠,0)(n k j j jkj k t t t tt A ==如果n 个结点k t （k=0,1,2,……,n-1）取勒让德多项式[]nnn n tdt d n )1(212！在区间[-1，1]上的n 个零点，则上述差值求值公式称为高斯-勒让德求积公式，其代数精度为2n+1。
下表给出了n 从2高斯-勒让德迭代求积法，程序中选直接使用积分功能9860中提供了内置的定积分计算功能，可在程序中直接调用该功能，语法如下：∫),,xfa(b(),参数f(x)被积函数，指令固定使用X作为自变量，其它的变量写在函数中，以当前值作为常数。
a，b,积分下限和上限。
功能：实现定积分∫)(badx x f 的近似值。
如（38）用内置积分式计算为：+++=+++=),0)),2/()ρρ(ρα((),0)),2/()ρρ(ρα((∫∫22l L X X Sin Y Y l L X X Cos X X A B A A A P A B A A A P使用X 作为自变量进行积分，但是X 的值不会被改变，积分计算的结果可以赋给变量。
计算精度被系统设为10-5，并且不可更改。
曲线元实例计算比较某实际工程中，有一不完整缓和曲线段，A 点桩号K0+271.881，半径R=75，B 点桩号K0+223.715，半径50。
曲线间长48.166。
A 点切线方位如图。
1）1.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：ΔX= 48.166÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”) +2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”) =30.15953726ΔY= 48.166÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”) +2sin50°42’26.37”+ sins25°24’35.99”) =35.890542251.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式 为简便计算，对参数进行先赋值： 71°24’18.5”->F ,起点方位-75->R ，起点半径（左偏为-，右偏为+）-50->M ，.终点半径48.166->H ,曲线全长48.166->W ,计算点距起点长以下是节点系数赋值0.1184634425->A0.2393143352->B1/R->C(R-M)/(2*RMH)->D180/π->E0.2844444444->G0.046910077->K0.2307653449->LΔX= W(Acos (F+EKW(C+KWD))+Bcos (F+ELW(C+LWD))+Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bcos (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+Acos (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))=30.16036838ΔY= W(Asin (F+EKW(C+KWD))+Bsin(F+ELW(C+LWD))+Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD))+Bsin (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD))+Asin (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)))=35.889595981.3) 变步长辛普森迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=71°24’18.5”QiDianBanJin=-75ZhongDianBanJin=-50HHQX Chang=48.166JiSuanChang=48.166计算结果：ΔX=30.16036819，迭代次数31次ΔY=35.88959622，迭代次数31次1.4）高斯-勒让德迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=71°24’18.5”QiDianBanJin=-75ZhongDianBanJin=-50HHQX Chang=48.166JiSuanChang=48.166计算结果：ΔX=30.16036839，迭代次数15次ΔY=35.88959599，迭代次数15次1.5）利用内置的积分计算内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：ΔX=∫(cos (71°24’18.5”+(1÷(-75)X+(-1÷50+1÷75)X2/48.166÷2×180/π),0,48.166)=30.16036839ΔX=∫(sin (71°24’18.5”+(1÷(-75)X+(-1÷50+1÷75)X2/48.166÷2×180/π),0,48.166)=35.889595992，有一完整回旋线，起点切线方位为0，终点半径200，缓和曲经长20000。
计算终点相对起点的坐标增量。
其形状如下2.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：距起点5000处方位角：1/20000*50002/（2*20000）*180/π=1°47’25.78”距起点10000处方位角：1/20000*100002/（2*20000）*180/π=7°09’43.1”距起点15000处方位角：1/20000*150002/（2*20000）*180/π=16°06’51.98”距起点20000处方位角：1/20000*200002/（2*20000）*180/π=28°38’52.4”ΔX= 20000÷2÷6×(cos0+4(cos7°09’43.1”+cos28°38’52.4”)+2cos16°06’51.98”+ cos28°38’52.4”)=18796.86999ΔY= 20000÷2÷6×(sin0+4(sin7°09’43.1”+sin28°38’52.4”)+2sin16°06’51.98”+ sin28°38’52.4”)=5751.5667982.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式为简便计算，对参数进行先赋值：0->F ,起点方位1E45->R ,以1045代替无究大计算200->M ，终点半径20000->H ,曲线全长20000->W ,计算点距起点长节点系数和公式不变，计算结果为：ΔX=2878.253465ΔY=-175.47248711.3) 变步长辛普森迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=0QiDianBanJin=0ZhongDianBanJin=200HHQX Chang=20000JiSuanChang=20000计算结果：ΔX=1718.067513，迭代次数4095次ΔY=1580.04231，迭代次数4095次2.4）高斯-勒让德迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=0QiDianBanJin=0ZhongDianBanJin=200HHQX Chang=20000JiSuanChang=20000计算结果：ΔX=1717.99522，迭代次数600次ΔY=1580.042596，迭代次数765次2.5）利用内置的积分计算内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：ΔX=∫(cos (0+（1÷200)X2÷（20000×2）×180/π),0,20000)=1718.067513ΔY=∫(sin (0+（1÷200)X2÷（20000×2）×180/π),0,20000)=1580.04231该示例精确值为：ΔX=1718.067512949ΔY=1580.042309965例1)中：几种计算方法都可以较好的处理回旋线的计算。
复化辛普森（2节点）的精度最低，一般计算时要适当的增加节点个数。
高斯-勒让德迭代求积法的迭代次数明显的少于变步长辛普森迭代求积法。