3-4图乘法及其应用

图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FPl
4
M
4
请对计算结果
C y0 lM E M PIds0 aF N E F N P A ds C 进y行4F 适PE 8l当3 (讨I1论1l！3a A 2)I
2[1 (lF Pl)2l]11F PaF Pl3F Pa
EI22 4 34 EA 2 2 4E 8 I4EA
EI k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l 2
B A ql 2 2
1
M图
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
C
CyE 1(I2 lq82l2 l1 21 32 l3q 82l4 32 l)
1(q4l3q4l)5q4l ()
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FP
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
谢谢！
解法二、
ql 2 2
ql 2
ql 2
2
8
A
l
Cy
1 EI
[(1 2
l ql 2 22
l) 3
2
(1 l ql2 l )
A
22 8 6
( 2 l ql 2 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 32 4 384EI
ql 2 32 ql 2 8
1
M图
例 6. 已知 CD、BD杆的E1A1和AC杆的 E2I2
这部分主要内容：
1.
图乘法；
MMP EI
ds
MEMIPdsEycI
C MP
yC M
2. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；
3. 注意事项；
4. 应用举例。
一、图乘法
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MMP EI
ds
E1IMMPds
E 1IxtanM Pdx
tE anIxM Pdx
tE an IxcE 1Iyc
必须注意 适用条件
移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 EI
FP
FPl/4 MP 图
FPl/4
2EI M图
在 M 图求面积，在 MP图取竖标，有：
A y E yc IE 1 I2 llF 2 Pl2E 1 Il3 2lF 4 Pl
F Pl3() 1E 6 I
四、应用举例
例 1. 设 EI 为常数，求Cy 和 B 。
l
l
2
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q
对吗？
FP=1
A
BA
C
B
1 ql 2
MP 图 8
l
应分段！ M 图 4
CyE1I[(322l 18ql2)(854l)]2
5 q4l () 384EI
q A
1 ql 2
MP 图 8
1
2
1
B
A
讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何
计算？
A C FP
l
l
2
2
B
A
k
FBP
FP 2
C FP=1
l
l
2
2
B k
FB
1 2
MP
FPl
4
M
l 4
显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为
FP 2k
。因此，弹簧对位移的贡献为
FB
FP 2k
FP 。
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
M M Pd s F kF P k
为常数，求 Dy 。
C
a
E1A1
解：作荷载和单位荷载的内力图
FP D
+ FP FP
+1
1
a
E1A1
2FP
2
B
FP a
a
a E2I2
A
D yF E N F 1A N 1 PlE 2 yIc21F Pa( E 12 A )1 ( 2F P) 2a
E2 1I2(F P 2a22 3 aF Pa2a)(12 E 1A 21 )F Pa4 3F E P 2a I2 3()
C
B
M图
B
1 [(2l EI 3
1ql2)1] 82
1 ql3 24EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc h
CDEycIE1I32q8l2 lh
qh3l() 12EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
EI64 12812E8I
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 [( l ql2 EI 2 8
l) 4
A
(1 l ql2 l )
22 4 3
A
q
FQ
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
8
8
4
ql 2
8
(1 l ql2 3 l )] 17ql4 ( ) 3 2 8 4 2 384EI
(2 (c
cd 3 2d 3
) )
(3) 梯-梯异侧组合
A
a 1
C
2
y2 y1 c
B b MK 图 D
d M图
M iM K d x 1 y 1 2 y 2 yy12
(2 (c
cd 3 2d 3
) )
b
c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
M E iM K d I x E 1 1 I y 1 1 E 2 2 I y 2 2 E 3 3 I y 3 3 E jjI y jj
（3） y c 应取自直线图中。
2. 若 与 y c 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
M i M K d x 1 y 1 2 y 2 3 y 3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
M iM K d x 1 y 1 2 y 2 yy12