实验五白化滤波器的设计

实验五 白化滤波器的设计
⒈ 实验目的
了解白化滤波器的用途，掌握白化滤波器的设计方法。

⒉ 实验原理
在统计信号处理中，往往会遇到等待处理的随机信号是非白色的，这样会给问题的解决带来困难。

克服这一困难的措施之一是，对色噪声进行白化处理。

主要内容是设计一个稳定的线性滤波器，将输入的色噪声变成输出的白噪声。

在这里，我们就对一般的具有功率谱)(ωx G 的平稳随机过程X(t)白化处理问题进行讨论。

为了具体的进行分析和计算，假设)(ωx G 可以表达成有理数的形式，即
)
)......(())......(()(112m n x Z Z a G βωβωωωω++++= m n Z β≠ 其中分子、分母为多项式。

这个假设对于通常见到的功率谱是很近似的，而且有可行的方法用有理数去逼近任意的功率谱密度。

由于)(ωx G 是功率谱，它的平稳随机过程相关函数的傅里叶变换具有非负的实函数和偶函数的性质。

这些性质必然在其有理函数的表示式中体现出来，特别是，)(ωx G 的零、极点的分布和数量会具有若干个特点。

由于)(ωx G 是实函数，因此有：)()(*ωωx x G G =，2
a 是实数，)(ωx G 的零、极点是共扼成对的。

从而也可以把)(ωx G 的表示式写成如下形式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=))......(
())......(())......(())......(()(1111l k l k x j j j j a j j j j a G βωβωαωαωβωβωαωαωω 把ω开拓到复平面s 中去，另ωσj s +=。

用s 代替ωj 就可以把函数)(ωx G 扩大到整个复平面。

)(ωx G 的零、极点必将对称于σ轴，如下图所示：
由于)(ωx G 是偶函数，因此不难判断，)(ωx G 的零、极点是象限对成的，从而对于ωj 轴也是对称的。

由于0)(≥ωx G ，因此分子的虚根必然是偶数倍数个，否则)(ωx G 会出现负值。

这就是说ωj 轴上的零、极点必将成对的出现。

由于)(ωx G 是可积的，因此分子的阶数不能大于分母的阶数，这就是说零点总数不会大于极点总数，而且分母不可能有虚根，这意味着ωj 轴上没有极点。

综合上述情况，在s 平面的零、极点的可能为置如上图所示：
令：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=+))......(())......(()(11l k x j j j j a G βωβωαωαωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-+-=-))......(())......(()(11l k x
j j j j a G βωβωαωαωω 则有
[])()()()()(*
ωωωωω-+++==x x x x x G G G G G
其中)(ω+x G 代表零、极点均在s 左平面的部分，)(ω-x G 代表零、极点均在s 右平面的部
分。

若在ωj 轴上有零点的话，必是成对的。

则将一个放在)(ω+x G 内，将另一个放在)
(ω-x G 内。

实质上，)(ω+x G 对应的时域函数在负时间域为零，而)(ω-x G 对应的时域函数在正时间域为零。

根据上述的讨论，可以求得白化滤波器)(1ωH 的解析式为：
)
(1|)(|21ωωx G H =
由于 )()()()(|)(|11*
1121ωωωωω-==H H H H H
)()()()()(ωωωωω-==++-+x x x x x G G G G G 故得：
)
(1)(1ωω+=x G H 若运用傅里叶变换进行分析计算，以s 代替ωj ，可得白化滤波器公式： )
(1)(1s G s H x += 其中ωσj s += 我们知道，)(1ωH 的傅里叶反变换是白化律波器在时域的单位冲击响应)(1t h ，
)(ω+x G 零、极点在s 左半平面，因此)
(1ω+x G 的零、极点也是在s 左半平面。

故它对应的时域函数)(1t h 在负时域时为零，也就是说，上述白化滤波器是物理可实现的。

白化滤波器的设计方法是：
首先计算色噪声自相关函数，根据色噪声的自相关函数，计算出色噪声的功率谱（色噪声的自相关函数和功率谱构成一对傅里叶变换对），然后将色噪声的功率谱分解成在s 的左半平面和右半平面。

取功率谱在s 的左半平面的那些值，然后找出它们的零、极点。

则根据公式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=+))......(())......(()(11l k x j j j j a G βωβωαωαωω和)(1)(1s G s H x +=计算出白化滤波器的频谱。

α为零点，β为极点。

⒊ 实验任务与要求
⑴ 编写白化滤波程序
用C 语言编写白化滤波器程序，设计的白化滤波器能够将有色噪声转变为白噪声。

白化滤波器的设计步骤：① 产生色噪声 ②计算色噪声的功率谱（先求自相关，在求功率谱） ③ 计算白化滤波器的传输函数（取色噪声功率谱在S 平面的左半部分，求倒数） ④ 色噪声通过白滤波器（使用快速卷积的实现方法） ⑤计算白化滤波器的统计特性。

并在C++环境中或实验板的DSP 上将程序调试成功。

⑵ 用软件方法产生一有色噪声信号，色噪声的数学表达式为：2*exp(l)*rand()，使该信号通过白化滤波器。

⑶ 引用实验一编制的测试均值、方差、相关函数（包括自相关函数）、频谱及功率谱密度的C 程序计算有色噪声的这些参数，并将计算结果存入文件中。

⑷ 引用实验一编制的随机信号统计特性子程序计算有色噪声通过白化滤波器后的这些参数，并将计算结果存入文件中。

⑸ 将存储的色噪声文件数据送到虚拟示波器上去显示波形，观察色噪声信号的相关特性，并做记录。

⑹将存储的色噪声经白化滤波器文件数据送到虚拟示波器上去显示波形，观察色噪声信号经白化滤波器后的相关特性，并做记录观察并分析色噪声经白化滤波器后是否改变了特性。

⒋实验报告要求
⑴简述实验目的及实验原理。

⑵按实验的记录数据画出色噪声信号和色噪声经白化滤波器后的均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度图形。

⑶按实验步骤纪录观察到的均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度，并对所得结果进行分析和解释。

⑷总结实验中的主要结论。

⑸简要回答思考题。