2016年安徽省淮南一中自主招生试题数学

2016年淮南一中自主招生试题

数 学

一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）

1.已知，且，，，00><∈b a R c b a 则下列不等式中一定成立的是( )

A.22b a <

B.22bc ac >

C. b a 11>

D. a b a 11>- 2.抛物线2ax y =与直线，

，，，2131====y y x x 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围（ ）

A.

191≤≤a B.291≤≤a C.131≤≤a D. 231≤≤a

3.若1>b 且a 是正有理数，，32=+-a a b

b 则a a b b --的值是（ ） A ．22

B ．3

C ．10

D ．32 4.若，⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=2222201611...411311211S 则S 的值为（ ） A ． 20162013 B ．20162015 C ．40322015 D ． 40322017 二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）

5.若关于x 的方程0342

=-+x ax 有唯一实数解，则a 的值为________.

6.已知，1223=++c b a 且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23_________.

7.已知函数，322--=x x y 则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为________

8.如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin ________.

三、解答题（共4题，满分48分）

9.（10分）已知ABC ∆的两边AC AB 、的长是关于x 的一元二次方程

()0655222=++++-k k x k x 两个实数根，第三边长为5。

（1）当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；

（2）当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出此时△ABC 的周长．

10.（12分）如图，在梯形ABCD 中，DC AB //，︒=∠90BCD ，且AB=2，BC=3，

3tan =∠ADC .

（1）求证：DC=BC ；

（2）E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且，，BF DE FBC EDC =∠=∠试判断ECF ∆的形状，并证明你的结论。

11.（12分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学活动，青春旅行社现有42座和48座两种客车供选择租用，若只租用42座客车若干辆，则正好坐满；若租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过36人；已知42座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金440元。

（1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？

（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案。

12.(14分)如图，抛物线()02

≠++=a c bx ax y 经过x 轴上的两点()()0021，、，x B x A 和y 轴上的点()P C Θ，，

80的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若62==AB a b ，. 求：（1）抛物线的解析式；

（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由.

（3）设直线BD 交P Θ于另一点E ，求点E 坐标.