二维图形几何变换三维图形几何变换参数图形几何变换
08 图形变换
=
x1’ y1’ 1 x2’ y2’ 1 . ..
. ..
Tx Ty 1
. ..
. ..
. .. xn yn 1
. .. xn + Tx yn + Ty 1
. .. xn’ yn ’ 1
如果点P(x,y)经T1变换后平移了（Tx1，Ty1），然后再经T2
变换后又平移了（Tx2，Ty2），那么将产生什么结果呢？从
xi ’= Sx . xi
yi ’= Sy . yi
（式8-2-3）
当Sx = Sy <1时，图形缩小；
当Sx = Sy =1时，图形不变；
当Sx = Sy >1时，图形放大；
当这S种x情≠况S。y 时， 图形发生畸变；不考虑
如图8-2-2所示。注意图形放大或缩小时， 图形位置都发生了变化。
2．比例变换
在 示点变P换(x矩,y阵)沿TX中和，Y取方a向=S相x，对d原=S点y，的它比们例分变别换表系 数，比例变换矩阵T为：
T=
Sx 0 0 0 Sy 0 001
（式8-2-6）
则比例变换可表示为：
P’=P•T =[x y 1] Sx 0 0 0 Sy 0 = [x Sx y Sy 1 ] 001
y
Ty
Tx x
图8-2-1 平移变换
y
Sx = Sy >1 Sx = Sy =1 Sx = Sy <1
x
图8-2-2 比例变换
3）对于旋转变换，先讨论平面上点绕坐标原 点的旋转变换。
一个平面图形绕坐标原点逆时针旋转θ角
度，图形的形状保持不变，但图形各顶点的位
置坐标相应地发生了改变。如图8-2-3所示，可
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
各种变换的原理
各种变换的原理各种变换的原理是指不同类型的变换所依据的基本原理和数学方法。
在数学中，变换是指将一个对象映射到另一个对象的过程。
不同类型的变换可以应用于不同的领域，如几何变换、信号处理、图像处理等。
以下是常见的几种变换的原理的详细解释。
1. 几何变换几何变换是指在二维平面或三维空间中对图形进行的变换。
常见的几何变换有平移、旋转、缩放和剪切。
- 平移：平移是指将图形沿着指定方向和指定距离移动。
平移变换的原理是将图形上的每一个点的坐标都增加相同的平移量。
- 旋转：旋转是指围绕某一点或轴心旋转图形。
旋转变换的原理是通过将图形上的每一个点的坐标绕着旋转中心按照一定的角度进行计算。
- 缩放：缩放是指将图形的尺寸按照一定比例进行放大或缩小。
缩放变换的原理是通过对图形上的每一个点的坐标进行相应比例的计算。
- 剪切：剪切是指将图形沿着指定方向进行裁剪或延伸。
剪切变换的原理是通过对图形上的每一个点的坐标按照一定的规则进行计算。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它基于傅里叶级数的思想，将一个非周期信号转化为一系列正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶变换的原理是将一个函数表示为频率的函数，表明了信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶变换，可以将时域上的信号转化为频域上的信号，从而更好地分析信号的频谱特征和频率成分。
3. 小波变换小波变换是一种能够分析信号的时域和频域特征的数学工具。
它通过将信号与一系列小波函数进行卷积，得到信号在不同尺度和不同位置的时频信息。
小波变换的原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数进行缩放和平移得到信号的不同尺度和不同位置的表示。
通过小波变换，可以在时域和频域上同时分析信号的特征，从而更全面地理解信号的性质。
4. 离散余弦变换（DCT）离散余弦变换是一种将一个离散信号转化为一组离散余弦函数的线性组合的数学工具。
它主要应用于图像和音频的压缩编码中。
离散余弦变换的原理是将信号表示为一系列余弦函数的线性组合，通过对信号的频谱进行变换，将信号在不同频率上的成分进行分离。
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
几何变换知识点总结
几何变换知识点总结几何变换是数学中一个重要的研究领域，它涉及到几何图形在平面上的移动、旋转、缩放和翻转等操作。
在这篇文章中，我将对几何变换相关的知识点进行总结和介绍。
一、平移变换平移是指将一个几何图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，保持图形的形状和大小不变。
平移变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行平移变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = x + ay' = y + b其中a和b分别为平移的位移量。
二、旋转变换旋转是指将一个几何图形围绕某个点或者某条轴线进行旋转。
旋转变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，绕原点进行逆时针旋转θ度，则旋转后的坐标为P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这是一个二维的旋转变换，需要注意的是，参数θ的单位为弧度。
三、缩放变换缩放是指改变几何图形的大小，使其变大或者变小。
缩放变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行缩放变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = kxy' = ky其中k为缩放的比例因子，当k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。
四、翻转变换翻转是指将几何图形以某条轴线或者某个点进行对称镜像。
翻转变换分为水平翻转和垂直翻转两种类型。
1. 水平翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行水平翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = -xy' = y即原来的x坐标变为相反数，而y坐标保持不变。
2. 垂直翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行垂直翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = xy' = -y即原来的y坐标变为相反数，而x坐标保持不变。
图形变换（转）
图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。
计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。
计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。
随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。
计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。
虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。
2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。
图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。
图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。
图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。
2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。
如果点的位置变了，图形也就随之改变。
因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。
由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。
2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。
第四章 图形变换
复合变换Байду номын сангаас
我们需要对一个图形对象进行复杂的变换时。 并不直接去计算这个变换，而是将其分解成多 个基本变换，再依次用它们作用于图形。 变换合成时，矩阵相乘的顺序是：先作用的变 换放在连乘式的右端，后作用的变换放在连乘 式的左端，由于矩阵乘法不满足交换率，只有 在特殊情况下，矩阵的顺序才可交换。
19
复合变换
记其变换矩阵为R(xr, yr;)，则：
R(x r , yr ; ) T(x r , yr ) R() T(x r ,yr ) 1 0 x r cos sin 0 1 0 x r sin cos 0 0 1 y 0 1 y r r 0 1 0 0 1 0 0 0 1 cos sin x r (1 cos) y r sin sin cos y ( 1 cos ) x sin r r 0 1 0
20
复合变换
关于任意参照点Pr(xr, yr)的放缩变换
◦ 关于Pr点放缩(sx, sy)通过下面三个基本变换来实现 ：
平移使Pr点落于坐标原点，变换矩阵T(-xr, -yr) 。 放缩(sx, sy)，变换矩阵为S(sx, sy). 平移使位于原点的Pr点返回原位臵，变换矩阵为T(xr,yr)。
3
变换的数学基础
矢量
◦ n元组，对应n维空间中的一个点，代表物 体在空间中的位臵或者运动的状态。 ◦ 三维矢量。 ◦ 矢量运算
矢量和 矢量的数乘 矢量的点积 矢量的长度（模） 矢量的叉积
4
变换的数学基础
矢量运算
u x v x u x v x k u x , V v ;U V u v ; k U k u U u y y y y y u z v z u z v z k u z
图形的所有知识点
图形的所有知识点图形是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，从简单的几何图形到复杂的三维模型，每一种图形都有自己的特点和应用场景。
本文将介绍图形的所有知识点，包括图形的定义、分类、性质、参数方程、平移、旋转、缩放等内容。
一、图形的定义和分类图形是指在平面或者空间内的有形物体，具有形状和大小的概念。
根据图形的维度可以分为二维图形和三维图形两类。
二维图形包括点、线、面等基本图形，三维图形则包括基本立体如球体、立方体、圆锥体、棱锥体、圆柱体、棱柱体等以及复杂的多面体。
在二维图形中，点是最基本的图形，没有大小，仅仅表示一个位置坐标，用于作为其他图形的基础。
线是由点连接而成，可以表示一条直线或者曲线，根据其长度和形状可分为直线、折线、曲线等。
面是由线或曲线围成的区域，可以分为平面图形和曲面图形两类。
其中平面图形包括三角形、矩形、正方形、梯形、菱形、圆等基本图形，曲面图形则包括弧、扇形、椭圆等。
在三维图形中，球体是最基本的图形，具有无限接近于圆形的表面。
立方体是具有6个相等的正方形面的立体，是最简单的几何体。
棱锥体则是由一个多边形底面和一个顶点连接而成的立体，其中根据底面不同又可以分为三角形棱锥、正四边形棱锥、正五边形等。
圆柱体是由圆形的底面和端面连接而成的立体，同样可以分为任意圆柱、圆柱台等。
多面体则是由平面图形所组成的三维立体，其中最为著名的是五种正多面体，分别是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
二、图形的性质和参数方程每一种图形都有自己的特点和性质，根据图形的性质我们可以对其进行分类和判断。
这里介绍几种最为基本的图形性质。
1. 几何属性几何属性是指各种基本图形具有的标准的属性，包括长度、面积、体积等。
其中长度通常使用直线或曲线的长度表示，面积通常使用平面内形状所覆盖的区域表示，体积则是三维图形内所占据的空间。
2. 对称性对称性是指图形的一部分在沿对称轴将其翻折后可以与另一部分重合。
其中对称轴可以是直线、点、面等。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
二维与三维几何关系形的变换与投影
二维与三维几何关系形的变换与投影几何关系形的变换与投影是数学中的重要内容，它们在二维和三维几何中起着至关重要的作用。
本文将探讨二维和三维几何关系形的变换与投影，并分析它们在实际应用中的意义。
一、二维几何关系形的变换与投影在二维几何中，形的变换是指通过平移、旋转、镜像等操作，改变二维图形的位置、方向和形状。
投影则是指将三维物体在一个平面上的投影结果。
这些变换和投影在计算机图形学、工程绘图等领域中扮演着重要的角色。
首先，平移变换是指将图形沿着指定的方向平行移动一定的距离，而不改变其形状和方向。
平移变换可以用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过平移变换(Tx, Ty)后的坐标可以表示为：Tx = x + aTy = y + b其中a和b分别代表平移的距离。
通过平移变换，我们可以改变二维图形的位置，使其适应不同的要求。
其次，旋转变换是指将图形按照一定中心点旋转一定的角度，使其方向和形状发生变化。
旋转变换同样可以使用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过旋转变换后的坐标可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中θ代表旋转的角度。
通过旋转变换，我们可以改变二维图形的方向，使其具有更灵活的表现形式。
此外，镜像变换是指将图形按照指定的轴线进行对称，使其形状和方向发生反转。
镜像变换同样可以使用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过镜像变换后的坐标可以表示为：x' = xy' = -y通过镜像变换，我们可以在二维图形中实现左右翻转、上下翻转等操作，使其具有更多样的展示效果。
最后，在投影中，我们常用的有平行投影和透视投影两种方式。
平行投影是指将三维物体投影到一个平面上，形成二维图像。
透视投影则是指根据透视原理，将远近物体产生大小不同的投影效果。
这两种投影方式在艺术绘画、建筑设计等领域中被广泛应用。
第4章 二维图形变换_几何变换
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y 1 1 0 0 y x 1 0 0 1
2.错切变换（shear） （1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的
（4-1）
a b x ' y ' x y T x, y c d x ' ax cy a S x c 0 ' b 0 d S y y bx dy
矩阵形式
x
y x
Sx S y
y
2.旋转变换（rotation）
P
点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
P
x
旋转变换
几何关系
x r cos y r sin
（4-3）
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
1 2 1 2 1 2 1 2
1
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3.1.2 三维图形几何变换 ⒈ 旋转
1) 绕z轴旋转的公式为 x = xcos ysin y = xsin +ycos z = z
(x’, y’, z’)
(x, y, z)
x
矩阵运算的表达式为
cos sin x y z 1 x y z 1 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒊ 变比(Scaling)
当比例因子Sx或Sy小于0时，对象不仅变化大小，而且分别按x轴或 y轴被反射
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 二、变换矩阵
⒉ 平的矩阵运算表示为
1 x y 1 x y 1 0 Tx
f
x
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒉ 旋转(Rotation) 将以某个参考点(xr, yr)为圆心， 将对象上的各点(x, y)围绕圆心转 动一个逆时针角度 .
y
(x’, y’)
( xr , yr ) ( x, y)
x = x cos y sin y = y cos + x sin
⒉ 旋转的矩阵运算表示为
cos sin 0 sin cos 0 x y 1 x y 1 0 1 0
(3.2)
简记为p=pR()，其中R()表示旋转矩阵。
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 二、变换矩阵
⒊ 变比的矩阵运算表示为
基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、 旋转和变比的规律。
主要介绍 二维图形几何变换 三维图形几何变换 参数图形几何变换
3.1.1 二维图形几何变换 一、基本变换 ⒈ 平移(Translation) 将图形对象从一个位置(x, y)移 到另一个位置(x′，y′)的变换。 (x’, y’) x (Tx,Ty)
xr yr
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒊ 变比(Scaling)
使对象按比例因子(Sx, Sy)放大或缩 小的变换
y (x’, y’)
x = x · Sx y = y · Sy
(3.1)
( x, y) x
固定点变比(scaling relative to a fixed point)。以a为固定点 1((1)作平移Tx=xa，Ty=ya； 2((2)按式(3.1)作变比； 3((3)作1)的逆变换，即作平移Tx=xa，Ty=ya。
对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才能实 现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘法运算不 适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换结果也不相同。
例如：对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C = 0）
y
o
x
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation) y y
newx = xxr newy = yyr
newx = newx cos newy sin newy = newy cos + newx sin x = newx + y = newy +
f
x
x = xr+(xxr)cos (yyr)sin y = yr+(yyr)cos +(xxr)sin
［x y 1］= ［x y 1］T
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 四、二维几何变换的指令
⒈ 建立变换矩阵的指令为 creat_transformation_matrix(xf, yf, Sx, Sy, xr, yr, , Tx, Ty, matrix)；
⒉ 积累变换的指令为 accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); ⒊ 坐标变换的指令为 set_segment_transformation(Id, matrix);
x
0 0 1
o
T5=
x
1 0 0 0 1 0 －C/A 0 1
T4 =
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation) 组合变换矩阵为： cos2α T =T1×T2×T3×T4×T5= sin2α (cos2α -1)C/A sin2α －cos2α sin2α *C/A 0 0 1
z
3.1.2 三维图形几何变换 (续) ⒈ 旋转
Sx 0 0 0 S 0 x y 1 x y 1 y 0 0 1
简记为p=pS(Sx, Sy)，其中(Sx, Sy)表示变化矩阵。
(3.3)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation)
x
o
T1 = 1 0 0 0 1 0 C/A 0 1
x
o
T2= cosα －sinα sinα cosα 0 0
x
0 0 1
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation) y y y
o
T3 = 1 0 0 0 -1 0 0 0 1
x
o
cosα －sinα 0 sinα cosα 0
x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x + Ｔx y = y + Ｔy
( x, y)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒉ 旋转(Rotation) 点(x, y)围绕原点逆时针转 动一个角度，
y (x’, y’)
( x, y)
x = x cos y sin y = y cos + x sin
0 1 Ty
0 0 1
(3.2)
简记为p=p· T(Tx, Ty)。其中，p=［x y 1］，p=［x y 1］。
1 0 0 T (Tx , Ty ) 0 1 0 Tx Ty 1
表示平移矩阵。
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 二、变换矩阵