贝叶斯网络, 条件概率、全概率公式
1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
且等于它们的总和： 出最终结果. 义： n
P (B )
P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则 且
1
第 n1 次 取 出 黑 球 ； A n
A n 表 示 第 n 次 取 出 红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表 示 第 n 1 1 次 取 出 红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc
P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1
b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)
0 .4 0 .8
1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。
在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。
则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。
由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。
根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。
全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。
二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。
该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。
设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。
则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节 全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章 条件概率与事件的独立性
一、条件概率 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、事件的独立性 五、伯努利实验和二项概率
第一节 条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但 实际中可能会经常遇到许多有条件的概率 问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱 滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等 奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经 活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分） 定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间 的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一 个划分。
定理 设试验Ｅ的样本空间为Ω， 设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一 个划分， 且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)． 则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10
条件概率全概率公式与贝叶斯公式
(1) p 4 2 34 2 .
2 2
27
（2）
342
p
2
2
2
34
5 ? 10片中有5片安慰剂；
(1)从中任取5片，求A:? 其中至少有2片安慰剂”的概率；
解：P(A) 1 P(A) =1
(2)每次取1片，不放回地取，
[
C50C55 C150
C15C54 C150
]
求B:? 前三次都取到安慰剂”的概率；
作业 1、证明：B A AB AB
证明： AB AB ( AB)( AB) ( A U B)( AB) ( AAB) U(BAB) AB B A
2、证明： ( AB) U ( A B ) ( A B)U(B-A ) 证明： ( AB) ( AB ) AB AB
( A U B)( A U B) ( A U B) A U( A U B)B
20 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
若 P(B) 0，同样可称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。
时间上：先后； 逻辑上：主从关系
一、条件概率
10 引入
对于古典概型问题，设试验 E 的样本空间为
S={e1,e2 , ,en }，容量为 n
A容量为m，B容量为v, AB容量为k
由古典概率得
S'=A
P( A) m , P( AB) k , P(B) v ,
n
n
n
P(B | A) k ,
m
可以发现 P(B | A) P( AB) , P( A)
条件概率全概公式贝叶斯公式
条件概率全概公式贝叶斯公式1.条件概率条件概率指的是事件A在另一个事件B发生的条件下发生的概率，通常表示为P(A，B)。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)不为0。
条件概率可以看作是在已知发生了B的情况下，事件A发生的概率。
2.全概公式全概公式也称为全概率公式，用于计算一个事件发生的概率。
假设有一组互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn，全概公式表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概公式可以通过将事件A分解成一组互斥且完备的事件的条件概率的和来计算事件A的概率。
贝叶斯公式是一种根据先验概率和条件概率来计算后验概率的公式，对于两个事件A和B，贝叶斯公式表示为：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)贝叶斯公式可以通过先验概率P(A)和条件概率P(B，A)来计算后验概率P(A，B)。
在实际应用中，贝叶斯公式常用于基于已知结果来更新先前猜测或估计的概率。
在机器学习中，条件概率、全概公式和贝叶斯公式被用于分类问题。
通过计算不同类别的条件概率和先验概率，可以使用贝叶斯公式来计算后验概率，进而进行分类。
在数据挖掘中，贝叶斯网络是一种常用的建模工具，通过条件概率和全概公式来描述变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以用于概率推断、预测和填补缺失数据等任务。
在金融建模中，贝叶斯公式被用于计算风险概率和投资决策。
通过将已知的市场信息和先验概率结合起来，可以使用贝叶斯公式来更新投资决策的风险概率。
总结而言，条件概率、全概公式和贝叶斯公式是概率论中的基本概念和公式，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。
理解和掌握这些概念和公式对于数据分析和决策具有重要的意义。
条件概率全概率公式和贝叶斯公式.ppt
2020年10月7日星期三
6
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【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D
+
0.009
0.099
不 要
0.001
0.891
轻
由条件概率的定义可得易Fra bibliotekP( | D) P( D) 0.009 0.9, P(D) 0.009 0.001
5
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关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P(AB), P(A) ， 再 按 公 式 P(B | A) P(AB) 计算；②由于事件 A 已经出现，它可以
P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P(B | A) ．
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事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包
含的样本点的个数为 m(m 0) ，AB 所包含的样本点的个
数为 k ，则有
k
P(B
|
A)
k m
n m
P(AB) ． P( A)
n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
2020年10月7日星期三
3
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一、 条件概率
11
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a (m 1)c P( Am | A1A2 Am1) a b (m 1)c ,
b P( Am1 | A1A2 Am ) a b mc ,
概率基础和贝叶斯公式
全概率公式
A AS A ( B1 B2 Bn ) AB1 AB2 ABn . 由 Bi B j ( ABi )( AB j )
证明
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( ABn )
P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
P ( ABi ) P ( A Bi ) P ( Bi )
每一原因Bi都可能导致A发生，故 A发生的概率是各原因引起A发生概率 的总和，即全概率公式.
P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi )
i 1 n
再看引例１ 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐， 再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解 记 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; A ={ 取得红球 } 1 2
3. 全概率公式与贝叶斯公式
(1) 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
贝叶斯公式 P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( Bi A) n , i 1, 2,, n P( A B j )P(B j )
j 1
( 2) 条件概率 P ( A B) 与积事件概率 P ( AB) 的区别.
P ( AB ) 表示在样本空间S 中, AB 发生的 概率, 而 P ( A B ) 表示在缩小的样本空间 S B B 中 , AB 发生的概率. 用古典概率公式 ,则 N ( AB ) P ( B A) , N ( SB ) N ( AB ) P ( AB ) , N (S) 一般来说, P ( B A) 比 P ( AB ) 大 .
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中常用的工具，用来计算事件的概率。
下面将分别介绍这两个公式。
全概率公式是概率论中的一个重要定理，用来计算条件概率。
它指出，如果有一组互斥且完备的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两互斥且它们的并集等于全样本空间，那么对于任意一个事件B，可以通过以下公式计算其条件概率P(B)：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+…+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式的应用非常广泛，特别在贝叶斯定理的推导中非常有用。
贝叶斯公式是概率论与数理统计中一种常用的计算概率的方法，它使用了全概率公式的思想。
贝叶斯公式可以用来计算在已知其中一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
贝叶斯公式通常用于处理具有不完备信息的问题，根据已知的信息更新先验概率得到后验概率，并基于后验概率进行进一步的推断和决策。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中两个重要且相互关联的公式。
全概率公式通过将一个事件分解为多个互斥且完备的小事件，计算条件概率；而贝叶斯公式则通过已知信息计算先验概率，并根据新的信息更新概率。
这两个公式在实际问题的求解中经常起到至关重要的作用。
通过灵活应用全概率公式和贝叶斯公式，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并进行统计数据的分析与预测。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
§14_条件概率与概率的三个基本公式
§14_条件概率与概率的三个基本公式条件概率和概率的三个基本公式是概率论中非常重要的概念和公式。
条件概率指的是在一些条件下事件发生的概率，而概率则是指事件发生的可能性。
三个基本公式分别是全概率公式、贝叶斯公式和乘法规则。
下面将详细介绍这三个公式。
一、全概率公式：全概率公式是概率论中最基本也是最重要的公式之一、它用于计算一个事件在多个互斥且完备的情况下发生的概率。
它的数学表示如下：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A)表示事件A发生的概率，B1,B2,...Bn是一组互斥且完备的事件，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
这个公式的直观理解是将事件A分解成多个情况下事件A发生的概率之和。
二、贝叶斯公式：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯提出的。
它是用于更新事件发生概率的一种方法。
贝叶斯公式的数学表示如下：P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
贝叶斯公式的直观理解是根据已知的信息来更新我们对事件发生概率的估计。
三、乘法规则：乘法规则是概率论中计算一个复合事件发生概率的一个基本公式。
它是由条件概率推导而来的。
乘法规则的数学表示如下：P(A∩B)=P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
乘法规则的直观理解是用事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下事件A发生的概率来计算事件A与事件B同时发生的概率。
全概率公式与贝叶斯公式PPT课件
Born: 1702 in London, England
Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent,
England
20
例 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得 良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某 种故障时,其合格率为55%. 每天早上机器开动 时, 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日 早上第一件产品是合格品时 , 机器调整得良好的 概率是多少?
或者问:
1红4白
该球取自哪号箱的可能性
最大?
12 3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
14
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式
15
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
10
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
贝叶斯公式
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
29
思考题 口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。 现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中 任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原 来的那只球是白球的可能性多大？
概率论 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
点的，而缩减为只包含40个样本点的 B=B. 35 P (C ) = P ( A B ) = = 0.875. 40
注 1 P ( A) = 0.85 P ( A B ).
B
A
2 P ( AB) = 0.35 P ( A B ).
P ( AB) : 以Ω为样本空间.
P ( A B ) : 以 B = B 为样本空间.
35 35 100 P ( AB ) 3 P( A B) = = = . 40 40 100 P ( B )
这是巧合吗？不是.
2. 定义1.8 (条件概率的定义)
设A，B是两个事件，且P(B) > 0, 则称 P ( AB) P( A B) = P( B) 为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率. 注 1 计算 P ( A B)的两种方法 :
且等于它们的总和： 出最终结果 . 义： n
i =1
P ( B ) = P ( Ai B ).
A2
B
An1
A1
An
A3
例3 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A2 = , A1 A2 = , 且
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
经济数学课件 6.3 条件概率 全概率公式和贝叶斯公式
互斥A1 n,
A2 An
则对任一事件
B， P(B) P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) P(An ) P(B | An )
❖
n
P( Ai ) P( B | Ai )
❖
i 1
, （3）
❖ 称此式为全概率公式.
❖
由全概率公式可知，在计算复杂事件B
的概率时，只要能找到一组适当的、互斥简
单事件 A1, A2 ,, An 使它们的和事件是必然
事件
❖ 并且P( Ai ) 和P(B | Ai ) 易于计算，那么，P(B)
i（ 1, 2,, n,
）
的计算就可简化.
四、贝叶斯公式
❖
在公式（1）、（2）和（3）的条件
下，若，则立即有
❖
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
第三节 条件概率 全概率公式和贝叶 斯公式
❖ 一、条件概率
❖
简单地说，条件概率就是在一定附加
条件之下的事件概率.
❖
从广义上看，任何概率都是条件概率，
因为任何事件都产生于一定条件下的试验或
观察，但我们这里所说的“附加条件”是指
除试验条件之外的附加信息，这种附加信息
通常表现为“已知某某事件发生了”
第21节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
第二章条件概率与统计独立性•条件概率，全概率，贝叶斯公式•事件独立性•贝努利试验与直线上的随机游动•二项分布与泊松分布2.1 条件概率全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式一、条件概率☐问题1 一个家庭有两个孩子，问两个都是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题2 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题3 一个家庭有两个孩子，已知老大是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)(,,),,()0,,()(|)()(|).P B P B A P AB P A B P B P A B B A Ω∈>∈= 设是一个概率空间且则对任意的记称为在事件发生的条件下事2件发义生的条 定 2.1.件概率1ΩA B AB 说明若事件B 已发生,则为使A 也发生,试验结果必须是既在B 中又在A 中的样本点,即此点必属于AB .由于我们已经知道B 发生,故B 变成了新的样本空间.从概率的直观意义出发：若B已经发生,则要使A发生试验的结果既属于A又属于B,即属于AB。
因此，条件概率应理解为P(AB)在P(B)中的“比重”。
从几何概型的角度出发：如果在单位正方形内等可能的投点，若已知B 发生，这时A 发生的概率为:BAB S S P =BAABΩΩΩ=S S S S B AB //)()(B P AB P =“条件概率”是“概率”吗？容易验证，条件概率具有概率的公理化定义中的三个条件);()()()( )3(212121B A A P B A P B A P B A A P -+= ).(1)( )4(B A P B A P -=则有件是两两不相容的事设可加可列性, , , ,: )5(21 B B 11().i i i i P A B P A B ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 性质(1) :()0;P A B ≥负非性 (|)1,(|)0P B P B Ω=∅=规同时；(2)范性2)从加入条件后改变了的情况去算4. 条件概率的计算1) 用定义计算:,)()()|(B P AB P B A P P (B )>0掷骰子例：A ={掷出2点}，B ={掷出偶数点}P (A |B ）=31B 发生后的改变样本空间所含样本点总数在改变样本空间中A 所含样本点个数例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: )()()|(B P AB P B A P =解法2: 2163)|(==B A P 解: 设A ={掷出点数之和不小于10}B ={第一颗掷出6点}应用定义在B 发生后的改变样本空间中计算21366363==-=⨯12121312121()()()()().n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A 则有且,0)(121>-n A A A P ,2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广 则有且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ()()()().P ABC P A P B A P C AB =).()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有设5. 乘法定理条件概率与乘法公式1996年，中国围棋大师马晓春在与韩国大师李昌镐争夺围棋世界冠军的五番棋决赛前，马晓春说了这么一句话，他说，如果前面两盘棋能够下成平手，那么他夺冠的概率就有51%.由于马晓春前一年夺得的两个世界冠军都不是从公认为世界围棋第一人的李昌镐手中赢得的，因此那一年他们两个之间的决赛非常令人期待.果然，前面两盘下成了一比一.于是，媒体根据此前马晓春的那一句话，开始了乐观的预测.例一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A 为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P (B |A ).解.4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j 、i 、j i )},3,4(),2,4(),1,4(,,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{( =Ω)},4,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{(=A )},2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1{(=AB 由条件概率的公式得)()()(A P AB P A B P =129126=.32=例某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?设A 表示“能活20 岁以上”的事件; B 表示“能活25 岁以上”的事件,则有,8.0)(=A P 因为.)()()(A P AB P A B P =,4.0)(=B P ),()(B P AB P =.218.04.0==)()()(A P AB P A B P =所以解例五个阄, 其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字, 五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解.5,4,3,2,1=i 则有,52)(1=A P )()(22Ω=A P A P ))((112A A A P =抓阄是否与次序有关?,""的事件人抓到有字阄第表示设i A i333121212()()(())P A P A P A A A A A A A =Ω= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=42534152⨯+⨯=,52=)()()()(121121A A P A P A A P A P +=)(2121A A A A P =)()(2121A A P A A P +=)()()(213121A A A P A A P A P =)()()(213121A A A P A A P A P +)()()(213121A A A P A A P A P +324253314253314352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,52=依此类推.52)()(54==A P A P 故抓阄与次序无关.波利亚罐模型=121.,,,,-b r c n n n n n 罐中有只黑球只红球每次自袋中任取一只球观察其颜色然后放回并再放入只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续取球次试求前面次摸出黑球，后面次摸出红球的概率.例 解1(1,2,,)""i A i n i = 设为事件第次取到黑球11(1,2,,)""j A j n n n j =++ 为事件第次取到红球因此所求概率为11(1)22(1)b n c b b c b cb r b rc b r c b r n c+-++=⋅⋅⋅⋅+++++++- 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.121211211122()()()()().n n n n n P A A A P A P A A P A A A A P A A A A ---=⨯211(1)(1)(1)r n c r r cb r nc b r n c b r n c+-+⋅⋅⋅+++++++- 当c=0时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放回模型，此模型是一般摸球模型1. 样本空间的分割1A 2A 3A 1-n A nA 二、全概率公式121212,,,,,(1),,,1,2,,;(2),,,,.n i j n n E A A A E A A i j i j n A A A A A A ΩΩΩ=∅≠=⋃⋃⋃⋃= 定义设为试验的样本空间为的一组事件若，则称，为样本空间的一个分割2. 全概率公式全概率公式1211221,,),,,,,,()(|)()(|)()(|)()()(|)n n n i i i P B A A A P B P B A P A P B A P A P B A P A P A P B A ΩΩ∞=∈=++++=∑ 设(为一概率空间,为的一义个分割则定i j A A =∅由()()i j BA BA ⇒=∅12()()()()n P B P BA P BA P BA ⇒=++++ 证明12.n BA BA BA = 图示B1A 2A 3A 1-n A nA 化整为零各个击破12()n B B B A A A Ω== 1122()()(|)()(|)()(|)n n P B P A P B A P A P B A P A P B A ⇒=++++说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B1A 2A 3A 1n A nA例有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30% , 二厂生产的占50% , 三厂生产的占20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A 为“任取一件为次品”,.3,2,1,""=i i B i 厂的产品任取一件为为事件123,B B B =Ω 解.3,2,1,,=∅=j i B B j i由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321===B P B P B P Ω30%20%50%2%1%1%112233()()()()()()().P A P B P A B P B P A B P B P A B =++.013.02.001.05.001.03.002.0=⨯+⨯+⨯=,01.0)(,01.0)(,02.0)(321===B A P B A P B A P 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++故（由因求果）1A 2AnA B11()()P A P B A 22()()P A P B A ()()n n P A P B A结果原因1()()()i i i P B P A P B A ∞=∑=={}A 第1次设取到黄球，()()()())(P A P B A P A P P B B A =+20193020+504950492=5=⨯⨯20(),50P A =由题意，30()50P A =19(),49P B A =20()49P B A =利用全概率公式={}B 第2次取到黄球解：例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？有放回抽奖和无放回抽奖一样公平！若采取有放回抽取，则第二次取得黄球的概率？2（）52（）5例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？抽签或者抓阄都和先后顺序无关！若采取不放回抽取，则第三次取得黄球的概率？2（）52（）5例送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？({},{}{},A AB ===解解法一）设灯管来自第一批灯管来自第二批，任取一支，抽的次品1911(|)01010910P B A =⨯+⨯=21822(|)10910910P B A =⨯+⨯=3()()(|)()(|)20P B P A P B A P A P B A =+=()918P A =()918P A =AAB考虑打碎的是次品还是正品两种情形：1234 ({},{}{}{}{},A A A AB =====解解法二）设两批打碎的都是次品两批打碎的分别是次品、正品，两批打碎的分别是正品、次品，两批打碎的都是正品，任取一支，抽的次品1234281872(),(),(),()100100100100P A P A P A P A ====123122(|),(|),(|),181818P B A P B A P B A ===413()()(|)20i i i P B P A P B A ===∑43(|),18P B A =1A 2A 3A 4A B说明由例可以看出，同一个题目，都用到了全概率公式，但方法各异。
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
这里,样本空间
.易知此属于古典概型问
题.已知事件 已发生,有了这一信息,知道 不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就
是 . 中共有3个元素,其中只有 属于 .于是,在 发生的条件下, 发生的概率为
对于例1,已知
容易验证在 发生的条件下, 发生的概率
对于例2,已知
容易验证 发生的条件下, 发生的概率
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2014年11月26日
仅有一个发生.
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
[例2] 设试验 为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间 是样本空间 的一个分割.而事件组 不是样本空间 的一个分割,因为
. 的一组事件
[例3] 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间 ={无人命中飞机,一人命中飞机,二人命 中飞机,全命中}. 的一组事件 ={三人以下命中飞机}, ={全命中飞机}是样本空间 的一个分 割.
由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有
成立.
其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的 一般定义.
二、条件概率
若
是一个概率空间, ,若
,则对于任意的 ,称
为已知事件 发生的条件下, 事件 发生的条件概率.
[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一 只,作不放回抽样,设事件 为“第二次取到的是一等品”,事件 为“第一次取到的是一等品”,试求 条件概率
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2014年11月26日
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次
取到白球的概率.
解:以 求概率为
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贝叶斯公式给出了‘结果’事件B
已发生的条件下，‘原因’事件的条 件概率.
从这个意义上讲，它是一个“执果索因”
为先验概率 （PriorProbability），而把称为后验概 率 （ Posterior Probability）， 这 是
在已有附加信息（即事件B已发生）之后
§1.5 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率
简单地说，条件概率就是在一定附加条件之 下的事件概率.
从广义上看，任何概率都是条件概率，因为 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条 件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 “已知某某事件发生了”
这一公式最早发表于1763年，当时贝 叶斯已经去世，其结果没有受到应有 的重视. 后来，人们才逐渐认识到了 这个著名概率公式的重要性. 现在， 贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发现等领域的重要工具.