利用导数判断函数的单调性49671
高三数学利用导数判断函数的单调性PPT教学课件
• 注意：(1)用曲线的切线的斜率来理解法则， 当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°， 函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负 时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数 曲线呈向下减少状态．
• (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在 这个区间上等于常数．
• (3)对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)<0 是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要 条件，例如：f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0) ＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)>0.
• [答案] C
• 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1. 由 f′(x)>0， 即3x2x－1>0，得 x> 33， ∴函数 f(x)的增区间为( 33，＋∞)，
•判断或证明函数的单调性
函数．
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增
•构造函数证明不等式
已知 0<x<π2，求证 tanx>x. [解题提示] 设 f(x)＝tanx－x，x∈[0，π2)，注意到 f(0)＝tan0 －0＝0，要证的不等式变为：当 0<x<π2时，f(x)>f(0)．这只需证 明 f(x)在[0，π2)上单调递增．
当 x>0 时，证明不等式 ln(x＋1)>x－12x2. [解析] 令 f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞)， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0，
利用导数判断函数单调性
利用导数判断函数的单调性函数)(x f y =在某个开区间内可导，如果总有 0)('>x f ，则 )(x f 在这个区间上是增函数；如果总有 0)('<x f ，则 )(x f 在这个区间上是减函数；如果恒有0)('=x f ，则)(x f 为常函数。
注意：在某一区间内0)('>x f （或0)('<x f ）是函数)(x f 在该区间上为增函数（或减函数）的充分条件，但不是必要条件。
1、已知2212)(x x x f -=，)10(log )(≠>=a a x x g a 且，)()()(x g x f x h -=在定义域上为减函数，且其导函数)('x h 存在零点。
（I ）求实数a 的值；(II)函数)(x p y =的图象与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，且)('x P y =为函数)(x p y =的导函数，))(,(),,(212211x x y x B y x A <是函数)(x p y =图象上两点，若21210')(x x y y x P --=，判断210x x x 、、的大小，并证明你的结论 解：ax x g x x f ln 1)(',2)('=-= ………………………………………………（1分） ()()()h x f x g x =- 在()+∞,0上递减 0)('≤∴x h 对一切()+∞∈,0x 恒成立 即x x a 2ln 12+-≥对一切()+∞∈,0x 恒成立),0()2(ln 1m ax 2+∞∈+-≥⇔x x x a令1ln 1,11)1(2)(22≥∴≤+--=+-=ax x x x u ………………………………（3分） 1ln 10ln 11400ln 12)('2≤⇒≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆∴∞+=+-∴a a a x x x h ）上有根，在（存在零点，e a a =⇒=∴1ln …………（6分） 120121210212(()ln (),(8), x x x x x x x x g x x p x e x x x e e e e e e e x x =∴=<<-<<<<- Ⅱ)猜测…………………………………分只需证即令)()()(222x x e e x x e x F x x x <+--= ……………………………………（9分） ()1121121222121212'()()0(),,()0(),(11)x x x x x x x x x x x F x e e x x e e x x e F x x F x F x e e e x x e e e x x =+--=-<∴-∞>=-∴->-<-在上递减则（）即……………………………………分同理22121x x x e x x e e <-- …………………………………………………………（12分）利用导数判断函数的单调性例题分析复习回忆：利用导数判断单调性的充分条件——）上单调递减。
《利用导数判断函数的单调性》
作业:
6．已知函数 f(x)＝2ax－x12. (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)的单调增区间是(0,1)，求 a 的值．
解：(1)f′(x)＝2a＋x23，且 f(x)在(0,1]上是增函数， 故 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥－x13恒成立， 又 y＝－x13在(0,1]上的最大值是－1，故 a≥－1. a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)， ∴f′(x)＝2a＋x23>0 的解集是(0,1)．即ax3x＋3 1>0 的解集是(0,1)． ∴ 3 －1a＝1，解得 a＝－1.
递减区间是:
(2k23,2k43 )k(Z).
3
3
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范
围,并求其单调区间.
解: f(x)3a2x1.
若a>0, f(x)0对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f(x)1此时0,f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
G=(a,b)
y
y
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
oa
bx
G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
01ห้องสมุดไป่ตู้(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。
02 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的 大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
人教版高二数学选修B 利用导数判断函数的单调性(1)课件牛老师
通过前面的研究，我们可以看到，对可导函数来说， 由单调性可以得到导函数的符号，反过来，已知导函数在 某区间上的符号也可以得到函数的单调性.
f x x2 2x 4
令 2x 2 0 ，解此不等式，得 x 1 .
所以f(x)的递增区间为 1, ；
令 2x 2 0 ，解此不等式，得 x 1 .
所以f(x)的递减区间为 ,1 .
f x x3 3x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 x 1 或 x 1 .
因此，f x在区间 , 1 和 1，+ 内是增函数.
单调递增;
对 x a，b，有 f x 0 f x在 a，b 上
单调递减.
以 f x 在 a，b上单调递增为例，由单调性的定义，
其中 x1 x2 和 f x1 f x2 这个条件，可以用一个代 数式表达：f x1 f x2 0 .
x1 x2
几何意义：平均变化率，割线的斜率.
f x x3 3x 解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 1 x 1 .
因此，f x在区间 1,1 内是减函数.
y f x
1 x 4 f x 0 x 4 x 1 f x 0 x 1 x 4 f x 0
y f x
y f x
1 x 4 f x 0
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山 。宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵 。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树 ，转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱 是靠追的，不是等来的！
公开课利用导数判断函数的单调性
问题
如何判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性?
解: 任意 x1, x2 (0,), 且 x1 x2 ;
都有 f (x1) f (x2)
(ex1 x1) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) (x2 x1)
如何运用已有 知识解决？
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ；
导数
即：y 0
x
（瞬时变化率）
（函数的平均变化率）
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
问题分析
作图
判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f (x) ex x
x
f (x) ex 1
一种方法 四部曲
思想方法
特殊到一般 数形结合
教材P27 练习A 2、3 、4题;
探究：对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)， “f′(x)>0”是“函数y＝f(x)为增函数”
的什么条件？ 思考：函数增减快慢由什么刻画？
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b) 内是增函数.
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ；
即证：
f (x2 ) f (x1) x2 x1
0
即：
y 0 x
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b)内是 减函数.
f '( x) 0
f (x) 0 在R上单增
f '( x) 0 在（-，0）内单减 f '( x) 0 在（0，+）内单减
利用导数判断函数的单调性(不含参)
做对了吗
【例3解析】[答案] D [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为 增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D. [点评] 本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系，
即：函数看增减，导数看正负．
变式训练
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
变式训练
[答案] D
[解析] 由题意可知，当 0≤x<π 时， f(x)＝2(12x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π 时，f(x)＝212x＋S△AOB ＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
小试牛刀
[例 1] 求下列函数的单调区间： f(x)＝x3－3x＋1
做对了吗
【例1解析】(1)函数f(x)的定义域为R 导数f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和
(0,1)，故应选A.
随堂演练
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
利用导数求函数的单调性
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
1 例2：讨论函数 y x 的单调性。 y x
2
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
-2
1
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2). 说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“和”连接。
2018年12月22日星期六
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如 果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即 . f (x ) f (x ) y
第三章3.3.1利用导数判断函数的单调性
(tan
x
x)(tan
x
x)
因为x∈(0，π[]2)， 所以tanx＞x＞0. 所以f′(x)＞0，即f(x)在(0，π/2)内递增. 又因为f(0)=0， 所以当x∈(0，π/2)时，f(x)＞0，即tanx＞x+x3/3.
题型四 利用函数的单调性解决恒成立问题
例4 已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间［0,1］上是 增函数，在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数，又 f′(1/2)=3/2. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间［0,m］(m＞0)上恒有f(x)≤x成立， 求m的取值范围. 【分析】根据函数增减性和导数的关系，可知 f(x)在x=0,1处的导数为0，第(2)问区间［0,m］ 应为f(x)≤x解集的子集.
例2 已知函数f(x)=x3-ax+3在［1,+∞)上单 调递增，求实数a的取值范围. 【分析】 f(x)源自区间［1,+∞)上单调递增
x∈[1,+∞)时f′(x)≥0恒成立
求出a的取值范围
【解】∵f′(x)=3x2-a 又f(x)在［1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)=3x2-a≥0,对x∈［1,+∞)恒成立 即a≤3x2对x∈［1,+∞)恒成立, 又3x2≥3, ∴a≤3.
上为增函数. ②当a＜0时，令3x2+a=0得，x 3a
3
y 0的解集是(-, 3a ) ( 3a ,+).
3
3
y 0的解集是(-, 3a ) ( 3a ,+).
3
3
y 0的解集是( 3a , 3a ). 33
高二数学利用导数判断函数的单调性
O
x
1
y
y x3
2 O
x
y
1 y
x
O
x
O
x
3
图1.3 2 4
y y fx
x1,fx1
O
x0,fx0
x
动 画 演 示.
图1.3 3
如图1.3 3,导数f ' x0 表示函数fx在点x0,fx0
处的切线的斜率.在 x x0 处,f ' x0 0,切线是"左 下右上"式的,这时,函数fx在 x0 附近单调递增;在
内单调递减 ;
当x 4,或x 1时,f ' x 0,这两点比较特殊,我们
称它们为"临界点".
综上,函数fx图象的大致形状如图1.3 4所示.
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
1 fx x3 3x; 2 fx x2 2x 3y;
3 fx sinx x,x 0,π;
4 fx 2x3 3x2 24x 1.
fx x3 3x
解 1因为fx x3 3x,所以
f ' x 3x2 3 3 x2 1 0.
o x
因此,函数 fx x3 3x 在 x
R 上单调递增,如图1.3 51
.
如图1.3 53所示.
4因为fx 2x3 3x2 24x 1,所以f ' x
.
当f ' x 0,即
时,函数f x
;
当f ' x 0,即
时,函数f x
.
fx 2x3 3x2 24x 1的图象如图1.3 54所示.
课件13：1.3.1 利用导数判断函数的单调性
单调__增__函__数___ 单调__减__函__数___
f′(x)＝0
常数函数
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单 调递增．( × ) (2)函数 f(x)在某区间内单调递增，则一定有 f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝 对值越大．( √ )
方法归纳 利用导数研究函数单调性的方法
第一步：求定义域，对函数求导； 第二步：解导数等于 0 时的方程； 第三步：导数大于 0 的区间与定义域求交集为增区间，小于 0 的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．
跟踪训练 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x
B．y＝xex
(2)函数 f(x)的定义域为{x|x>0}， 因为 f′(x)＝2x－1x＝2x2x－1，所以令 f′(x)>0，则 x> 22， 令 f′(x)<0，则 0<x< 22， 所以函数 f(x)＝x2－lnx 的递减区间为(0， 22)，递增区间为( 22，＋∞)．
方法归纳
求函数单调区间的步骤
[注意] ①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行． ②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“∪”连接．
跟踪训练 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋3； (2)f(x)＝x(ex－1)－12x2. 解：(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝3(x＋1)(x－1)．
令 3(x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－1.
因此，f(x)的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件(1)
再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
注：单调区间不以“并集”出现。
练习题
1．函数y=3x－x3的单调增区间是( ) (A) (0，+∞) (B) (－∞，－1) (C) (－1，1) (D) (1，+∞)
解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始 和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A 应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际不 符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也 与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间 的时段增速快，符合实际，应选D。
O
x
也就是说“f′(x)＞0”是“y＝f(x)在 某个区间上递增”的充分不必要条 件．
例题讲授
例1 确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个 区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时， f′(x)＞0，f(x)是增函数.g Nhomakorabeax
g x2
g x 0.
二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
证法二：(用导数方法证)
高二数学(人教B版)《选修 利用导数判断函数的单调性(2)》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程
解此不等式，得 x 1 或 x 1 .
因此，f x在区间 ,1 和 1，+ 内是减函数.
f x x3 3x 1
f x x3 x2 3x 1
f x
解：
f
x
3x2
2x
3
3
x
1 2 3
8 3
0
恒成立，
因此，f x在 ， 上单调递增.
f x x3 x2 3x 1
，
a
a
和
a a
，
，单调递减区间为
a a
，a a
.
f x ax3 3x 1
a0
a0
a a a a
a0
1，1
f x ax3 3x 1 a
解：函数 f x 的单调递减区间就是 f x 0 的解集，
由问题8可知：
(1) 当 a 0时， f x 在 ， 上单调递减.这与函 数 f x 的单调递减区间为 1，1 矛盾，不符合题意.
(1)当x 0 时，3 0 显然恒成立，所以 a R .
1，1
f x ax3 3x 1
a
1，1
f x ax3 3x 1 a
(2)
当a
0
时，
f
x
的单调递减区间为
a a
，a a
，
即为 1，1 ，所以 a =1 ，解得 a=1 ，经检验符合题意.
a
综合(1)、(2)知：a 的值为 a=1 .
1，1
f x ax3 3x 1
a
解：方法1：由问题8可知：
(1) 当 a 0时， f x 在 ， 上单调递减.显然满 足区间 1，1 上单调递减，所以 a 0符合题意.
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
原创1：3.3.1 利用导数判断函数的单调性
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调 减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π， 因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章 导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的 取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范 围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在 区间[a，b]上恒成立
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f x的定义域为x | x 0,令f x 1 ln x 0,解得x 1;
e
当x 0, 1 时，f x 0,所以f x单调递减；
e
当x 1 ,时，f x 0,所以f x单调递增；
e
所以f x的单调减区间为 0, 1 ,递增区间为 1，
e
e
答案：B
答案： D
作业：全品47，48页
y x3
令f x 0,即6x2 6x 12 0,解得x1 1, x2 2;
当x ,2时，f x 0,所以f x单调递增； 当x 2，1时，f x 0,所以f x单调递减； 当x1,时，f x 0,所以f x单调递增；
所以f x的单调增区间为,2,1,; 单调递递减区间为 2,1。
令f x 0,即3x2 6x 3 0,解得x 1;
利用导数判断函数的单 调性
以函数y x2 1的图像为例
y
O x
• 如果可导函数y=f(x)在x的某个开区间内， y
• f ’(x)>0 ⇒ f(x)在这个区间上是增函数；
• f ’(x)<0 ⇒ f(x)在这个区间上是减函x 数0； Ox
• f(x)在这个区间上是增函数 ⇒ f ’(x)≥0； • f(x)在这个区间上是减函数 ⇒ f ’(x)≤0；
好好学习，天天向上！
当x ,1时，f x 0,所以f x单调递增； 当x1,时，f x 0,所以f x单调递增；
因为f x在x 1处有定义 所以f x的单调增区间为 ,;
因为f x 3x2 3 0，所以f x在R上单调递减。
2．函数y=x2(x+3)的减区间是,0）;(－∞，－2)和(0，+∞)
f x的定义域为x | x 0,令f x 1 x2 0,解得x 1;
当x ,1时，f x 0,所以f x单调递增； 当x1,0时，f x 0,所以f x单调递减； 当x0,1时，f x 0,所以f x单调递减； 当x1,时，f x 0,所以f x单调递增；
所以f x的单调增区间为 ,1，1， , 递减区间为1,0，0,1