北师大版 公式法
公式法PPT课件(北师大版)
2
2 92 − 4 2
4 −4 +16
3. 已知 + 2 = 3， 2 -4 2 =-15,求 − 2，，的值.
同学们，再见！
课题：公式法——平方差公式
复习引入
问题：什么叫因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这样的变
形叫做因式分解.
问题：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
复习引入
问题：整式乘法中的平方差公式是什么？
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
(a+b)(a－b) =a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
－ =( + )( − )
公式左边：1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
公式右边： 两个数的和与两个数的差的乘积的情势。
练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解？
(1)
m 81
2
(2) 1 16b 2
√
=2 − 92
√
=12 − (4)2
×
不能转化为平方差情势
3.两项是平方差.
注：公式中的字母a，b可以代表数、字母，也可以代
表一个式子；分解因式时要把式子看作一个整体.
（整体思想）
归纳总结
۞2.利用平方差公式分解因式的步骤：
（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式；
（2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，
则用平方差公式继续分解因式；
۞3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分
=( + 1)( − 1)
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计一. 教材分析《公式法》是北师大版数学九年级上册第2.3节的内容，本节主要让学生掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
公式法是数学中的一种重要方法，通过运用已知的公式来求解未知数。
本节内容为后续学习其他数学知识奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了代数、几何等基本知识。
但学生在运用公式法解决问题方面可能存在一定的困难，因此需要通过本节课的教学，让学生熟练掌握公式法，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
2.难点：如何引导学生灵活运用公式法解决问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的概念和运用方法。
2.案例分析法：分析具体例子，让学生学会运用公式法解决问题。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论问题，共同解决问题。
4.练习法：让学生通过做练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示公式法的概念和运用方法。
2.练习题：准备一些有关公式法的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入公式法，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一道应用题，让学生观察如何运用公式来解决问题。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的概念，让学生了解公式法的基本原理。
通过PPT展示公式法的运用方法，让学生直观地感受公式法的步骤。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些有关公式法的练习题，检验学生对公式法的掌握程度。
教师在这个过程中给予个别辅导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生在小组内讨论如何运用公式法解决问题。
公式法--北师大版
下列多项式中,哪几个是完全平方式? (1) x2+4x+4 (2)9a2b2-3ab+1 (3) 4m2-12mn+9n2 (4)x6-10x3-25 1 2 (5)y +y+ 4 (6)a2b2-4ab+4
把下列各式分解因式 (1)x2 - 12xy + 36y2
(2)4 - 12(x-y) + 9(x-y)2
(4x)
运用公式法(2)
完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的 式子称为完全平方式.
学一学
例1:把下列完全平方式分解因式 (1) x2+14x+49 ; (2) (m+n)2-6(m+n)+9 .
解: (1) x2+14x+49=x2+2•x•7+72 =(x+7)2. (2) (m+n)2-6(m+n)+9 =(m+n)2-2•(m+n)•3+32
=[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2.
欢迎指导
砀山五中数学组：周景杰
八年级（下） 第二章 分解因式
2.3 运用公式法
教学目标：
1：经历探索用公式法分解因式的过 程,发展思维和推理能力。 2：会用公式法分解因式。
在分解因式中，平方差公式的字母表达式是：
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对公式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式、平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与公式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示完全平方公式的应用和基本原理。
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章第三节《公式法》。教学内容主要包括以下方面：
1.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²、a² - 2ab + b² = (a - b)²；
2.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)；
2.教学难点
-理解并记忆各种公式的结构，尤其是立方和与立方差公式的应用。
2022年北师大版数学3 用公式法求解一元二次方程
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.b2-4ac≥0.
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
x b
b2 4ac 2a
例 2 解方程： x232 3x 解：化简为一般式：x22 3x30
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x22 310223 3,
即：x1= x2= 3
有
意，义mn2n时 mn
.
类比分数的基本性质，
你能获得分式的基本性质吗？
【分式的根本性质 】 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等 于零的整式，分式的值不变。
用式子表示，即 gf gfhh, gf gfhh (h 0)
为什么所乘的整式不能为零呢? (做分母的数(式)不能为 0)
例题解析 看懂分式的“变形〞
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去).
A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒 ,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解： 原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2.会用平方差公式进行因式分解
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再
考虑用平方差公式分解
教学重难点
1.重点：会用平方差公式进行因式分解
2.难点：发展学生的逆向思维，渗透数学的
“互逆”、换元整体的思想
学习目标
1.经历通过整式乘法公式的逆向变形得出公式
法因式分解的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用平方差公式进行因式分解.
平方差公式
公式法
完全平方公式
问题引入
模块一
1.计算下列各式
观察这些式子，等式两边
分别有什么共同特征？
9x 2 y 2
9m2 4n2
2
2
a
b
a
b
=
a
b
两数或式的和与差的乘积
结果都是二项式，其中每一项都
是某数或式的平方，且两项符号
相反（一正一负）
模块二
例题讲解
例1.把下列各式因式分解.
1 2
2 9a b
4
1 25 16x
2
解：1 25 16x =52 - (4x)2 =(5 + 4x) (5 - 4x)
北师大版数学八年级下册：4.3《公式法》
八年级数学4.3公式法（2）班别： 姓名： 学号：一、课前练习1、下列等式从左边到右边的变形属于分解因式的是（ ）A. 2a (a −1)=2a 2−2aB. a 2−2a +1=a (a −2)+1C. (a +1)(a −1)=a 2−1D. −a 2+b 2=(b +a )(b −a )2、多项式−6x 3−3x 2各项的公因式是（ ）A.−xB. −3xC.−x 2D.−3x 23、下列多项式中,不能用平方差公式分解因式的是（ ）A. a 2−36B. −4a 2+b 2C. a 2b 2−1D. −a 2−b 2二、学习任务（课本P101）知识点（一）:完全平方式的定义形如a 2±2ab +b 2的式子称为完全平方式。
巩固练习一1、下列是完全平方式，请在横线上填上适当的项。
（1）a 2+14a +__________; （2）a 2+_______+9; （3）4a 2+________+9b 2.2、下列是完全平方式，请在横线上填上适当的项。
（1）16a 4+24a 2b 2+_______; （2）(a +b)2−6(a +b)+_______; （3）a 2−2a(b +c)+_______. 知识点（二）:逆用乘法公式（完全平方式）因式分解完全平方公式：（a ±b)2=a 2±2ab +b 2，反过来，就得到a 2±2ab +b 2=例1、把下列各式因式分解：（1）x 2+14x +49; （2）x 2−xy +14y 2解：（1）原式＝x 2+2×_____×_____+72=(__________)2（2）原式＝x 2−2×_____×_____+_____=(__________)2a 2 +2 × a ×b + b 2=( a + b )2 a 2−2 × a × b + b 2 =( a − b )23、把下列各式因式分解：（1）x 2−10x +25; （2）9x 2+6xy +y 2（3）9x 2+3x +14; （4）9x 2y 2−12xy +4例2、把下列各式因式分解：（1）(x +y)2−6(x +y)+9; （2）x 2−2x(y +z)+(y +z)2解：（1）原式＝(x +y)2+2×________×_____+32=(______________)2（2）原式＝x 2−2×_____×________+(________)2=[__________________]2＝(__________________)2巩固练习三4、把下列各式因式分解：（1） (x −y)2+2(x −y)+1; （2）(x +y)2−4(x +y )+4a 2 + 2 × a ×b + b 2 =( a + b )2 a 2− 2 × a × b + b 2 = ( a − b )2※（3）9−6(x+y)+(x+y)2;※（4）9(x+y)2−12(x+y)+4例3、把下列各式因式分解：（1）3ax2−6axy+3ay2;（2）−x2−4y2+4xy解：（1）原式＝3a∙______−3a∙______+3a∙______第一步：提公因式=3a(__________________________)第二步：写成公式的形式=________________第三步：写出因式分解结果（2）原式＝−(__________________________)第一步：添上“一（）”=−[__________________________]第二步：写成公式的形式=___________________第三步：写出因式分解结果5、把下列各式因式分解：（1）−x+2x2−x3（2）4xy2−4x2y−y3※（3）2x2−2x+12※（4）(x+1)(x+2)+14四、过关练习6、把下列各式因式分解：（1）x2+12x+36;（2）4x2−20xy+25y2（3）2x3+12x2+18x（4）2x3−2x2+12x（5）(x+y)2−2(x+y)+1（6）(x+y)2+8(x+y)+16（7）−4x2−y2+4xy（8）(x2+4)2−16x2五、提升练习7、多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方（完全平方式），添项方法有两种：（1）添中间项： x2±2∙x∙1+12，即可添±2x；（2）添首项： (12x2)2+2∙12x2∙1+12，即可添14x4。
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。
通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。
2.运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。
公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。
让学生举例说明，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。
4.3 公式法(完全平方公式)-2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
北师大版八年级下册 第四章 因式分解
4.3 公式法
学习目标：
1.能够理解并掌握完全平方式的结构特征
2.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式
3.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因 式．
复习回顾
思考：你学过哪些因式分解的方法？ 你能把下列式子分解因式吗？
探究新知 （1） （2） （3） （4）
（1） （2） （3） （4）
探究新知
你有什么发现呢？
我们将形如
或
的式
子称为完全平方式．你能谈谈一个完
全平方式的结构具有什么样的特征吗？
做一做
下列多项式中，哪几个是完全平方式？若不是，请说明理 由；
(1)
(2)
(3)
(4)
例1：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
解：原式 2x2 2 2x 3y 3y2
拓展研究
1.
是一个完全平方式，求 的值．
2.在横线上填上适当的单项式，使 是一个完全平方式．
梳理反思
反思 本节课学习的因式分
解公式是什么？
它有什么特征？
在运用时应如何把握？
利用完全平方公式进行因式分解
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍坐中央.
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
典例解析
例2 把下列完全平方式分解因式 ：
(1)
(2)
典例解析
例3 把下列各式分解因式：
(1)
(2)
课堂练习
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
北师大版八年级下《运用公式法》
1
运用公式法分解因式
2
运用公式法分解因式
• 平方差公式:
• 两个数的和与两个数的差的积等于这两 个的平方差：
(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，就得到：
a2-b2=(a+b)(a-b)
3
平方差公式：
什么样的多项式能用平方 差公式分解因式呢？
整式乘法
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
6
例题讲解
• 例１ 把下列各式分解因式：
•
（１) 25
—16x2
(2)
9a2—
1 2 b 4
• 解:（１）25 -16x2=52 -(4x)2=(5+4x)(5-4x) • (2)9a2-
1 2 1 2 1 1 2 b =(3a) -( b) =(3a+ b)(3a- b) 2 2 4 2
•
确定多项式中的a和b是利用平方差公式分 解因式的关键．
7
练习：把下列各式分解因式:
（1）16a² -1
解：1）16a² -1=(4a)² -1
=(4a+1)(4a-1)
( 2 ) 4x² - m² n²
解：2） 4x² - m² n²
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
8
(m n) 9 2 2 (m n) 3 (m n 3)(m n 3)
2
9(m n) 2 (m n)
2
2
注意：将分解进行到底！
10
合作学习：
如何把下式因式分解？
a a b
4
提示：
2 2
哪种方法好？
2.3.1 公式法九年级上册数学北师大版
2×1
即1 = 2 + 11, 2 = 2 − 11.
4.定根
2. 用公式法解方程：
(2)2 x 2 2 2 x 1 0;
解：(2) a＝2，b＝−2 2，c＝1．
Δ＝b2－4ac＝
2
−2 2 -4×2×1＝0．
故方程有两个相等的实数根，
即1 = 2 =
−
2
=
−2 2
−
解:(1)a=1,b=-4,
(2)a=2,b=3,c=5,
(3)化一般式得
Δ＝9-40=-31<0.
4x2-4x+1=0；
c=-5,
Δ＝16+20=36>0. 无实数根
a=4,b=-4,c=1,
有两个不相等的
Δ＝16-16=0.
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
很麻烦，有简单方法吗？
学习目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．
3.会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
新知探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×3×9= 13 > 0，
− −11 ± 13
11± 13
∴=
=
，
2×3
6
11+ 13
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
数学北师大版八年级下册公式法教学设计[5页]
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21.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（师生合作完成板书计算）用配方法解下列方程（1）x ²＋8x －9=0 （2）2x ²＋6=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a-+，x 2=2b a- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a =即x=2b a-∴x 1=2b a -+x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-± （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．三、巩固练习由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（师生合作完成）（3）2x ²＋5＝7x（4）4x(x －1)＋3＝0（5）4(y ²＋0.09)＝2.4y分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)422242--±±±==⨯∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13四、 加强练习1、用公式法解下列方程．(1) 2x ²－9x ＋8＝0（2）9x ²＋6x ＋1＝0（3）16x ²＋8x ＝33（4）x(x －3)＋5＝0（5）5x ²＋x ＝7（6）(x ＋1)(4x ＋1）＝2x教师巡视、指导例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯ x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-± B ．x=32±C ．D ．x=32±22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？五、总结1、b²﹣4ac的符号判别得知方程根个数2、直接用公式求出方程a acbbx24 2-±-=（b²﹣4ac ≧0）六、作业布置1、课本后练习2、课外延伸题七、教学反思本节课通过复习用配方法解一元二次方程的方法导出（b²﹣4ac ≧0）这公式法解一元二次方程及判别根的个数。