初中、高中衔接课 第2课时

第2课时二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式

学习目标

理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.

知识点一 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为

⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2

－4ac 4a 2

. (1)当

b 2－4a

c >0

时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac

2a

；

(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b

2a ；

(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.

由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，

所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac

2a

＝－b

a ，x 1x 2＝－

b ＋b 2－4a

c 2a ·－b －b 2－4ac 2a

＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2

＝4ac 4a 2＝c a .

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.

定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c

a .

知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况：

1.x 的取值范围为一切实数.

2.y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ 当x ＝－b

2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a .

3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .

4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b

2a 对称).

5.(1)当x 1

2a 时，则y 1>y 2.

(2)当x 2>x 1≥－b

2a

时，则y 1

6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系列表如下：

1.方程ax2＋bx＋c＝0如果有实数根，则Δ＝b2－4ac≥0.(×)

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－b

2a时取得最值.(√)

3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，则ax2＋bx＋c>0的范围为x>x2或x

突破一一元二次方程的相关知识的应用

例1已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.

解设x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系，

得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4.

∵x21＋x22－x1·x2＝21，

∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，

即[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简得，m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17.

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ>0，满足题意；

当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293<0，不合题意，舍去. 综上，m ＝－1.

反思感悟 (1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可.

(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根. 跟踪训练1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， (1)求|x 1－x 2|的值； (2)求1x 21＋1

x 22

的值；

(3)x 31＋x 3

2.

解 ∵x 1和x 2是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－32

.

(1)∵|x 1－x 2|2＝x 21＋x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－522－4×⎝⎛⎭

⎫－32 ＝254＋6＝49

4， ∴|x 1－x 2|＝72

.

(2)1x 21＋1x 22＝x 21＋x 2

2

x 21·x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(x 1x 2)2

⎝⎛⎭⎫－522－2×⎝⎛⎭⎫－32⎝⎛⎭

⎫－322

＝254＋394＝37

9.

(3)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 2

2)

＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]

＝⎝⎛⎭⎫－52×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－522－3×⎝⎛⎭⎫－32＝－2158. 突破二 二次函数的图象与性质

例2 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.