初中、高中衔接课 第2课时

第2课时二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式学习目标理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.知识点一 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2. (1)当b 2－4ac >0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a；(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b2a ；(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac2a＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2＝4ac 4a 2＝c a .一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况：1.x 的取值范围为一切实数.2.y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ 当x ＝－b2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a .3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b2a 对称).5.(1)当x 1<x 2≤－b2a 时，则y 1>y 2.(2)当x 2>x 1≥－b2a时，则y 1<y 2.6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系列表如下：1.方程ax2＋bx＋c＝0如果有实数根，则Δ＝b2－4ac≥0.(×)2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－b2a时取得最值.(√)3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，则ax2＋bx＋c>0的范围为x>x2或x<x1.(×)突破一一元二次方程的相关知识的应用例1已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.解设x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4.∵x21＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简得，m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17.当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ>0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293<0，不合题意，舍去. 综上，m ＝－1.反思感悟 (1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可.(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根. 跟踪训练1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， (1)求|x 1－x 2|的值； (2)求1x 21＋1x 22的值；(3)x 31＋x 32.解 ∵x 1和x 2是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－32.(1)∵|x 1－x 2|2＝x 21＋x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－522－4×⎝⎛⎭⎫－32 ＝254＋6＝494， ∴|x 1－x 2|＝72.(2)1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21·x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(x 1x 2)2⎝⎛⎭⎫－522－2×⎝⎛⎭⎫－32⎝⎛⎭⎫－322＝254＋394＝379.(3)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫－52×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－522－3×⎝⎛⎭⎫－32＝－2158. 突破二 二次函数的图象与性质例2 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.解 (1)当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2,4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；(2)当－2<a <0时，由图①可知，当x ＝－2时，函数取最大值4；当x ＝a 时，函数取最小值a 2；(3)当0≤a <2时，由图②可知，当x ＝－2时，函数取最大值4；当x ＝0时，函数取最小值0； (4)当a ≥2时，由图③可知，当x ＝a 时，函数取最大值a 2；当x ＝0时，函数取最小值0.反思感悟 在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.跟踪训练2 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y >0时x 的取值范围. 解 ∵y ＝－3x 2－6x ＋1 ＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1,4)；当x ＝－1时，函数取最大值y ＝4，无最小值；当x <－1时，y 随着x 的增大而增大；当x >－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1,4)，与x 轴交于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－33，0和C ⎝⎛⎭⎪⎫－23－33，0，与y轴的交点为D (0,1)，过这四点画出图象(如图所示).由图象可知，y >0时x 的取值范围为－23－33<x <23－33.突破三 一元二次不等式的解法 例3 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解. 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解为x <12或x >12.反思感悟 (1)在求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.(2)当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式. 跟踪训练3 求不等式－3x 2＋6x >2的解. 解 不等式可化为3x 2－6x ＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴不等式－3x 2＋6x >2的解为 1－33<x <1＋33.1.不等式9x 2－6x ＋1≤0的解为( ) A.全体实数 B.无解 C.x ≠13D.x ＝13答案 D解析 原不等式可化为(3x －1)2≤0，所以3x －1＝0，所以x ＝13，故选D.2.不等式－4x 2＋4x <－15的解为( ) A.－32<x <52B.－52<x <32C.x >52或x <－32D.x >32或x <－52答案 C解析 原不等式可化为4x 2－4x －15>0，即(2x －5)(2x ＋3)>0，解得x >52或x <－32，故选C.3.函数y ＝x 2－2x ，当－1≤x ≤t 时，该函数的最大值为3，则t 的最大值为__________. 答案 3解析 令y ＝3，则x 2－2x ＝3，解得x ＝－1或3.由图可知，t 的最大值为3.4.方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，若|x 1－x 2|＝5.则a ＝________. 答案 ±3解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，又|x 1－x 2|＝5，所以(x 1－x 2)2＝5，所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5，即a 2－4＝5，解得a ＝±3. 5.不等式ax 2＋bx ＋1>0的解为－12<x <13，则a ＋b ＝________.答案 －7解析 依题意－12，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，1a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得a ＝－6，b ＝－1 所以a ＋b ＝－7.一、选择题1.若关于x 的方程(a ＋1)x 2－3x －2＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A.a ≠0 B.a ≠－1 C.a ＞－1 D.a ＜－1答案 B解析 根据题意，得a ＋1≠0，解得a ≠－1.故选B.2.若一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＞0 C.a ＜34D.a ＞34答案 A解析 ∵一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(1－a )＜0，解得a ＜0，故选A.3.若m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则m ＋n －mn 的值是( ) A.－3 B.3 C.－1 D.1 答案 D解析 ∵m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，∴m ＋n ＝－1，mn ＝－2，则m ＋n －mn ＝－1－(－2)＝1，故选D. 4.不等式2x 2－x －1>0的解是( ) A.－12＜x ＜1B.x ＞1C.x ＜1或x ＞2D.x ＜－12或x ＞1答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x＜－12. 5.关于二次函数y ＝－2x 2＋1，下列说法中正确的是( )A.它的开口方向是向上B.当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2,1)D.当x ＝0时，y 有最大值是2答案 B解析 ∵二次函数y ＝－2x 2＋1，a ＝－2，∴该函数图象开口向下，故选项A 错误，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 正确，它的顶点坐标为(0,1)，故选项C 错误，当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误，故选B.6.若二次函数y ＝x 2－mx 的对称轴是x ＝－3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解是( )A.x 1＝0，x 2＝6B.x 1＝1，x 2＝7C.x 1＝1，x 2＝－7D.x 1＝－1，x 2＝7 答案 D解析 ∵二次函数y ＝x 2－mx 的对称轴是x ＝－3，∴－－m 2＝－3，解得m ＝－6， ∴关于x 的方程x 2＋mx ＝7可化为x 2－6x －7＝0，即(x ＋1)(x －7)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝7.故选D.7.y ＝ax 2＋ax －1对于任意实数x 都满足y ＜0，则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a ＜－4C.－4＜a ＜0D.－4＜a ≤0 答案 D解析 当a ＝0时，y ＝－1＜0成立.当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0， 综上可知－4＜a ≤0时，对任意实数x 都有y <0.二、填空题8.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解为1<x <2，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解为________________________________________________________________________.答案 x <12或x >1 解析 ∵x 2＋ax ＋b <0的解为1<x <2，∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0，得(2x －1)(x －1)>0，得x <12或x >1. 9.函数y ＝－x 2＋1，当－1≤x ≤2时，函数y 的最小值是________.答案 －3解析 y ＝－x 2＋1的图象开口向下，且对称轴为x ＝0.当x <∵－1＜0，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x <0时，y 随x 的增大而增大，∵当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0；当x ＝2时，y ＝－4＋1＝－3，∴函数y 的最小值为－3.10.不等式x 2－5x ＋6≤0的解为________________.答案 2≤x ≤3解析 ∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0.∴2≤x ≤3.11.x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，则代数式x 21＋3x 1＋x 2＝________.答案 1解析 ∵x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，∴x 21＋2x 1－3＝0，即x 21＋2x 1＝3，x 1＋x 2＝－2，则x 21＋3x 1＋x 2＝x 21＋2x 1＋x 1＋x 2＝3－2＝1. 三、解答题12.画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图.解 y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0).画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示.13.已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1＋x2|＝2x1x2，求k的值.解(1)Δ＝[－2(k－1)]2－4(k2－1)＝4k2－8k＋4－4k2＋4＝－8k＋8.∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k＋8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1.(2)由根与系数的关系，x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2－1，∵|x1＋x2|＝2x1x2，∴|2(k－1)|＝2k2－2，∵k＜1，∴2－2k＝2k2－2，化简得k2＋k－2＝0，∴k＝1(舍)或k＝－2，∴k＝－2.14.将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A.y＝(x－2)2＋1B.y＝x2＋1C.y＝(x＋1)2＋1D.y＝(x－1)2答案 B解析将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋1＝x2＋1，即y＝x2＋1.故选B.15.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.解原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.(1)若a>0，则－a<x<2a，此时不等式的解为－a<x<2a；(2)若a<0，则2a<x<－a，此时不等式的解为2a<x<－a；(3)若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时无解.。