2019届高考数学命题比赛模拟试题3

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2019年高考数学模拟试题含答案(3)

2019 年高考数学模拟试题含答案(3)(word 版可编辑修改)
2019 年高考数学模拟试题含答案(3)(word 版可编辑修改)
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如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回.
一．选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的
1．已知集合 A {x x2 2x 3 0}, B {2,3,4} ,则 (CR A) B =
数学科答案（理科）
一、选择题 1—5 ACADD 6—10 ABCBC 11—12 BA
高三数学（理）科试题（第 7 页共 6 页）
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二、填空题 13。45 14。3
15.65
16.
3或 4
3 6
三、解答题
17. 解：（1）因为{an}是等差数列且公差为 d,所以 an an1 d（n 2）.。.。..。。。。。1

2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)Word版含答案

仅有四个不同的点 C ，使得 △ ABC 的面积为 5，则实数 a 的取值范围是 ____ ．
三、解答题：本大题共
6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（ 12 分） [2019 ·江南十校 ] 已知数列 an 与 bn 满足： a1 a2 a3
an 2bn n N * ，且 an
3 ，则 cos2
（
）
2
3
1 A．
2
1 B．
3
1 C．
3
6． [2019 ·临川一中 ]函数 f x
1 2x 1 2x
sin x 的图象大致为（
1 D．
2 ）
A．
B．
C．
D．
7． [2019 ·南昌一模 ]如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（
）
A．3
B． 4
C．5
D． 6
8．[2019 ·宜宾二诊 ] 已知 △ ABC 中， A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 b 3 ， c 3 3 ， B 30 ，
D． 16 8 2 4 5
10． [2019 ·汕尾质检 ] 已知 A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上四个不同的点，若
AB AC DB DC BC 2 ，且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（
）
A ． 20π 3
B． 15π 2
C． 6π
x2 y2 11． [2019 ·临川一中 ]如图所示， A1 ， A2 是椭圆 C :
2
4
15．[2019 ·赣州期末 ]若曲线 y x ln x 在 x 1 处的切线 l 与直线 l : ax y 1 0 垂直，则切线 l 、直线 l 与 y 轴围成的三角形的面积为 _______． 16． [2019 南·通期末 ] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 0, a ， B 3, a 4 ，若圆 x 2 y2 9 上有且

2019年高考理科数学模拟卷3含答案

2019年高考模拟卷理科数学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合()(){}140A x x x =+->，{}03B x =<，则A B 等于（）A ．()0,4B ．()4,9C ．()1,4-D ．()1,9-2．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则2i z zz+=（） A ．1i +B ．2i +C ．1i -D ．2i -3．已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4．为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 5．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-6．已知()13ln2a =，()13ln3b=，2log 0.7c=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A ．7B ．14C ．30D ．418．在ABC △中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +-=，2bc =，则角C 的大小是（） A ．π6或2π3B ．π3C ．2π3D ．π69．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A ．23B ．3+CD ．10．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为的等边三角形，PA PB =A ．65π4B ．16πC ．65π16D ．49π411．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222c b a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭12．若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos 22x xg x x -的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2,⎡-∞+∞⎣B ．⎡-⎢⎣⎦C ．21,⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x ，y 满足约束条件02346x y x y x y -≤+≤-≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为______．14．已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．15．已知()f x 为奇函数，当0x ≤时，()23f x x x =-，则曲线()y f x =在点()1,4-处的切线方程为_______________．16．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，11213n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()231log nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．18．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）19．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，2PA AD AB CD ====，4BC =，PA ⊥底面ABCD ．（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角A PE B --的余弦值．20．（12分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1．（1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）函数()()sin 21f x k x x k =++∈R ，（1）讨论函数()f x 在区间()0,2π上的极值点的个数；（2）已知对任意的0x >，()e x f x >恒成立，求实数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线1C 的方程为221106x y +=，曲线2C的参数方程为128x t y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩（t 为参数）．（1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．理科数学答案（三）一、选择题． 1．【答案】A【解析】A 中不等式变形得()()140x x +-<，解得14x -<<，所以()1,4A =-，由B 中不等式解得09x <<，所以()0,9B =，则()0,4A B =，故选A ．2．【答案】B 【解析】()()()22i i 1i 2i 1i 1i z zz +=+-=+-+，故选B ． 3．【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 4．【答案】C【解析】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0812096⨯=.人，女性人数为068048⨯=.人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ． 5．【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ． 6．【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，模拟程序的运行，可得0S =，1i =，不满足条件4i >，执行循环体，2i =，满足条件i 能被2整除，0413S =+-=；不满足条件4i >，执行循环体，3i =，满足条件i 能被2整除，2327S =+=；不满足条件4i >，执行循环体，4i =，满足条件i 能被2整除，724114S =+⨯-=；不满足条件4i >，执行循环体，5i =，满足条件i 能被2整除，414230S =+=，此时，满足4i >，推出循环，输出S 的值为30，故选C ． 8．【答案】A【解析】∵222b c a +=，∴222cos 2b c a A bc +-===，由0πA <<，可得π6A =，∵2bc =，∴2sin sin B C A =，∴5πsin sin 6C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭)1sin cos 1cos22C C C -，解得tan 2C =又5π06C <<，∴2π3C =或4π3，即π6C =或2π3，故选A ． 9．【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1所以其表面积为22161232⨯⨯+=+，故选B ．10．【答案】A【解析】由题意，如图所示，因为ABC △是边长为所以ABC △2，且3CE =，所以1ED =，又由平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB = 在等腰PAB △中，可得PE ⊥平面ABC ，且2PE =，在直角PCE △中，PCsin PE PCE PC ∠==在直角PED △中，PD ===，在PCD △中，由正弦定理得2sin PD R PCD ==∠，即球的半径为R =所以球的表面积为265π4π4π4R =⨯=⎝⎭，故选A ．11．【答案】C【解析】由题意得()1,0F c -，()2,0F c ，设点2,a P m c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由中点公式可得线段1PF 的中点221,22a c K m c ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即222100212m m a a c c cc c--⋅=--+-，22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21e ≤-（舍去），e ∴≥又椭圆的离心率01e <<1e ≤<，故选C ． 12．【答案】A【解析】函数()()2ln 1f x x x =++，∴()121f x x x '=++，（其中1x >-），函数()sin cos sin 222x x g x x x x =-=-，∴()cos 12g x x '=-，要使过曲线()f x 上任意一点的切线为1l ，在函数()sin cos 22x xg x x -的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则12112cos 111x x x ⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭2111cos 1121x x x --=++，∵()1111112212211x x x x +=++-≥++，∴111121x x ⎫-∈⎪⎪⎝⎭++，∵1x ∀，2x ∃使得等式成立，∴1,1⎫⎡⎤⊆---+⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，解得a ≥，即a 的取值范围为a 或a ≤A ．二、填空题． 13．【答案】5-【解析】画出x ，y 满足的可行域，由2346x y x y +=-=-⎧⎨⎩，解得()1,2A -，当目标函数2z x y =-经过点()1,2A -时，z 取得最小值为5-．14．【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 15．【答案】510x y +-=【解析】由题意，设0x >，则0x -<，则()()()2233f x x x x x -=---=+．又由函数()f x 是奇函数，所以()23f x x x -=+，即()()230f x x x x =-->，则()23f x x =--'，所以()1235f =--=-'，且()14f =-，由直线的点斜式方程可知()45155y x x +=--=-+，所以510x y +-=．16．【答案】)+∞【解析】∵x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称， ∴()()()2g x h x f x +=，∵()()h x g x ≥恒成立，∴()()()()()()22f x g x h x g x g x g x =+≥+=，即()()f x g x ≥恒成立，作出()g x 和()f x 的图象，则()g x 在直线()f x 的下方或重合，则直线()f x 的截距0b >，且原点到直线2y x b =+的距离1d ≥，1d b ==≥⇒≥b ≤，即实数b 的取值范围是)+∞，故答案为)+∞．三、解答题．17．【答案】（1）13n n a -=；（2）222n T n n =-．【解析】（1）根据题意，数列{}n a 满足11213n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，① 则有111213n n n S a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2n ≥，②①﹣②可得()1111303n n n a a +-⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2n ≥，变形可得13n n a a +=，2n ≥，又由11a =，11212213a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，解得23a =，所以213a a =，则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n a -=．（2）由（1）的结论，13n n a -=，则()()()()()()2221331log 1log 311n nn n n n b a n --⎡⎤=⋅=⋅=⎣---⎦，则()()22212222143n n b b n n n -+--=+--=，数列{}n b 的前2n 项和()()221431594322n n n T n n n +-++++-===-．18．【答案】（1）1636人；（2）见解析．【解析】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤< ()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为所以数学期望()26355E X =⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）47．【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD ，AD BC ∥，2AD AB CD ===，易得60ABC ∠=︒，在ABC △中，2222cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=，则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，即AC AB AC AC PA ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PAB ，故平面PAC ⊥平面PAB ．（2）在梯形ABCD 中，设BE a =，P ABE P AECD V V --∴=三棱锥四棱锥，ABE AECD S S ∴=△梯形，()1sin 22CE AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=，而h ==即()4212222a a -+⨯⨯⨯=，3a ∴=．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图的空间坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,0,0B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAE 的法向量为()1,,x y z =n，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2AP =，由11AEAP ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩n n，得10220x y z ==⎧⎪⎨⎪⎩，取1x =，得y =，0z =，11,⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭n ，同理可求得平面PBE的法向量为2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，设二面角A PE B --的平面角为θ，则121212,4cos cos 7θ⋅====n n n n n n ，所以二面角A PE B --的余弦值为47． 20．【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=，所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+，直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=，解得00y =或04y k=（不是定点，舍去），则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）1-．【解析】（1）()cos 2f x k x '=+， ①当22k -≤≤时，cos 1x ≤，cos 2k x ∴≤，()cos 20f x k x '∴=+≥，()f x ∴单调递增，在()0,2π上无极值点；②当2k >时，()cos 2f x k x '=+在()0,π上单调递减，()020f k +'=>，()20πf k '=-+<，∴存在()10,πx ∈，使得()10f x '=，则1x 为()f x 的极大值点，()cos 2f x k x '=+在()π,2π上单调递增，()20πf k '=-+<，()2π20f k +'=>，∴存在()2π,2πx ∈使得()20f x '=，则2x 为()f x 的极小值点， ()f x ∴在()0,2π上存在两个极值点；③当2k <-时，()cos 2f x k x '=+在()0,π上单调递增，()020f k +'=<，()20πf k '=-+>，∴存在()30,πx ∈使得()30f x '=，则3x 为()f x 的极小值点，()cos 2f x k x '=+在()π,2π上单调递减，()20πf k '=-+>，()2π20f k +'=<，∴存在()4π,2πx ∈使得()40f x '=，则4x 为()f x 的极大值点， ()f x ∴在()0,2π上存在两个极值点，综上所述：当22k -≤≤时，()f x 在()0,2π上无极值点；当2k <-或2k >时，()f x 在()0,2π上有两个极值点．（2）设()()e sin 210x g x k x x x =--->， ①先证明1k =-时成立，证明过程如下：()e sin 21x g x x x =+--，()e cos 2x g x x =+-'，()e sin x g x x ''=-，0x >，e 1x∴>，sin 1x ≤，()e sin 0x g x x ''∴=->，()e cos 2x g x x ∴=+-'在()0,+∞上单调递增，()()01120g x g ∴≥=+-'='， ()e sin 21x g x x x ∴=+--在()0,+∞上单调递增，()()0110g x g ∴≥=-=，即对任意的0x >，()e x f x >恒成立， ②下证对1k ≥-，总存在00x >，()e x f x ≤，()e sin 21x g x k x x =---，()e cos 2x g x k x '=--，()e sin x g x k x ''=+，当2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，e 0x >，（i ）当0k ≥时，()e sin 0x g x k x ''=+>，（ii ）当10k -<<时，0sin 1k x >>-，()e sin 110x g x k x ''∴=+>-=，综（i ）（ii ）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()e cos 2x g x k x ∴=--'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()010g k =--'<，π2πe 202g ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=；()10,x x ∴∈时，()0g x '<，()e sin 21x g x k x x ∴=---在()10,x 上单调递减，()10,x x ∴∈时，()()00g x g <=，即存在()010,x x ∈，()e x f x ≤，综上所述，k 的最大值为1-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1C 的参数方程为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数），2C 80y ++=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数），曲线2C 80y ++=．（2）设)Pθθ，点P 到直线2C 的距离为d ，则PQ 的最小值即为d 的最小值，因为()6sin 82d θϕ++==，其中tan ϕ=当()sin 1θϕ+=-时，d 的最小值为1，此时min 1PQ =．23．【答案】（1）{}01x x ≤≤；（2）15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()()323121g x x m x m ≥---=-，当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)

5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组

x

2
y

0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列

2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析

2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。

{2,4}B。

{2,4,6}C。

{2,6}D。

{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。

42种B。

48种C。

54种D。

60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。

32π/3B。

64π/3C。

32πD。

64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。

2x+y-3=0B。

2x-y+3=0C。

x-2y-3=0D。

x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。

2019年高考数学三模试题理(含解析)

2019高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．62．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数==+i是纯虚数，可得=0，≠0，解出即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，则=0，≠0，解得a=﹣2．故选：A．2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据[x]的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：根据题意，集合A={x|[x]=1}={x|1≤x＜2}=[1，2），集合B={1，2}，所以A∪B=[1，2]．故选：D．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．【解答】解：设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为﹣，即有切线的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=﹣，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为﹣=0．故选：A．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤，求出满足0≤y≤的区域面积，计算所求的概率值．【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω={（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy∈[0，4]转化为0≤y≤，如图所示；且满足0≤y≤的区域面积是：16﹣（4﹣）dx=16﹣（4x﹣4lnx）=4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P==．故选：C．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，∴y=g（|x﹣1|）的图象关于直线x=1对称．即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y．即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴，解得x=3，y=﹣2．则==．故答案为：14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 5 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值．【解答】解：展开式中通项公式为T r+1=••=•（﹣1）r•，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，…，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5．故答案为：5．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=，∵=2sin（A+C），∴2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，∴△ABC面积的S=．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB=22+12﹣2×2×1×cos60°=3．∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥CB．建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B′（0，1，2），M（0，0，1），∴，，设平面AB′M的一个法向量为．由，取x=1，得．∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量．∴cos＜＞=∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；根据列联表，计算K2==≈5.227＞5.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×==．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，从而可得△=4ln2a﹣4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+log a x，∴f′（x）=x﹣2+=，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f′（x）存在零点，∴△=4ln2a﹣4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f′（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣2+，f′（x0）=x0﹣2+=（x2+x1）﹣2+，又==（x2+x1）﹣2+，故（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，则g（t）＞g（1）=0，故不存在x0，使得f'（x0）=成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。

2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ，又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ，在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ，连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =，所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可．作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（），所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-，即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°．所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

2019年高考数学模拟试卷(三)

2019年高考数学模拟试卷（三）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A ．16B ．8+6C ．16D ．16+610．（5分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F （﹣3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M （﹣1，3）满足PF+PM 的最大值为17，则椭圆的离心率为（） A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣kx 恒有一个零点，则k的取值范围为（）A ．k ≤0B ．k ≤0或k ≥1C ．k ≤0或k ≥eD ．k ≤0或k ≥12．（5分）已知数列{a n }的通项公式为a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣4，设c n =，若在数列{c n }中c 6＜c n （n ∈N *，n ≠6），则p 的取值范围（）A ．（11，25）B ．（12，22）C ．（12，17）D ．（14，20）二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=，则=N M ▲ ．14．已知复数z 满足z3＋2i＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．15．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．16. 在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ．17．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 19．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．20．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 23＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．21．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1c m A B B C C D ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .22. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲ .23．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．（第5题）5060 70 80 90 100成绩(第3题)24．正五边形ABCDE的边长为⋅的值为 ▲ ．25．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．26．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥18，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 27．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+．（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状．28．（本小题满分12分）某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：20()P K k ≥0．40．250．150.100.050.0250.0100.0050.0010k0．7081．3232．0722.7063.8415.0246.6357.87910.82829．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．30．（本小题满分14分）已知函数． Ks5u (Ⅰ) 若曲线在和处的切线互相平行，求的值； (Ⅱ) 求的单调区间；21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ()y f x =1x =3x =a ()f x A BCDEF(Ⅲ) 设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．31．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并2()2g x x x =-1(0,2]x ∈2(0,2]x ∈12()()f x g x <a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>e =20x y -+=,A B P C P ,A B PA PB 12,k k 12k k M P x OP OMλ=M说明轨迹是什么曲线．32．（本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k 的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x ≥0时，函数f （x ）=ln （x+1）的导数f′（x ）=，则f′（0）=1，当x ＜0时，函数f （x ）=e x﹣1的导数f′（x ）=e x，则f′（0）=e 0=1，即当k=1时，y=x 是函数f （x ）的切线，则当0＜k ＜1时，函数f （x ）和y=kx 有3个交点，不满足条件．当k ≥1时，函数f （x ）和y=kx 有1个交点，满足条件．综上k 的取值范围为k ≤0或k ≥1，故选：B ．12．（5分）已知数列{a n }的通项公式为a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣4，设c n =，若在数列{c n }中c 6＜c n （n ∈N *，n ≠6），则p 的取值范围（）A ．（11，25）B ．（12，22）C ．（12，17）D ．（14，20）【解答】解：∵a n ﹣b n =﹣2n+p ﹣2n ﹣4， ∴a n ﹣b n 随着n 变大而变小，又∵a n =﹣2n+p 随着n 变大而变小，b n =2n ﹣4随着n 变大而变大， ∴，（1）当（2）当，综上p ∈（14，20），故选D ．二、填空题答案13. {0} 14. 3 15. 120 16.21 17. 2118. －5 19. （0，1） 20. y 2＝2x 21. 3π 22.3π 23. 258解：因为直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，=又因为圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>，所以25a b +=，52a b =+≥ 所以ab 的最大值为258．24. 6解：利用在上的投影得，221AE AE AC =⋅=6．25． ()[]6,40, ∞- 解：①0<a0≤x 时，01e )(<-=x a x 'f ，所以)(x f 在)0(,-∞单调递减，且0)0(<=a f ，所以)(x f 在)0(,-∞有一个小于0的零点．0>x 时，)(x f 在)0(+∞,单调递增，因为1)1(=f ，所以)(x f 在)0(+∞,有一个小于1的零点．因此满足条件． ②0>a（1）1≤0a <时，)(x f 在)0(,-∞单调递减，0)0(>=a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（2）41<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛01ln ,a 上单调递增，0ln 11ln >+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（3）4=a 时，⎩⎨⎧>+--=04404)(2x x x x x e x f x ,≤ ,，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）4>a 时，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，在)0(+∞,上有两个不相等的零点，且和为a ，故满足题意的范围是64≤a <．综上所述，a 的取值范围为()[]6,40, ∞-．26. a ≤6或a ≥72解：因为222()2a b a b -+≥对任意a 、b 都成立，所以，(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥12 (2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2，(2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2≥14，即对任意θ∈[0，π2]，都有132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，因为132sin cos 512sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθ++=++⋅++,当θ∈[0，π2]时，1sin cos θθ≤+所以72a ≥，同理a ≤6. 因此，实数a 的取值范围是a ≤6或a ≥72．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 27．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分（Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分 ∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，∴1cos 122B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分28．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分（2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =，所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分30．（本小题满分14分）解：（Ⅰ），，解得． ……………3分（Ⅱ）． ……………………5分①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是． ……………………6分2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >(1)(3)f f ''=23a =(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >0a ≤0x >10ax -<(0,2)()0f x '>(2,)+∞()0f x '<()f x (0,2)(2,)+∞②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是． …………………7分Ks5u③当时，，故的单调递增区间是． ……………………8分④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．……………………9分（Ⅲ）由已知，在上有．……………………10分由已知，，由（Ⅱ）可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故．……………………11分②当时，在上单调递增，在上单调递减， 102a <<12a >(0,2)1(,)a +∞()0f x '>1(2,)a()0f x '<()f x (0,2)1(,)a +∞1(2,)a12a =2(2)()2x f x x-'=()f x (0,)+∞12a >102a <<1(0,)a (2,)+∞()0f x '>1(,2)a()0f x '<()f x 1(0,)a (2,)+∞1(,2)a(0,2]max max ()()f x g x <max ()0g x =12a ≤()f x (0,2]max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+222ln 20a --+<ln 21a >-1ln 212a -<≤12a >()f x 1(0,]a 1[,2]a故．由可知，，，所以，，， ……………………13分综上所述，． ……………………14分 31．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即，又，即，，解得，所以椭圆方程为． ……………………3分（Ⅱ）设，，，则，即，则，Ks5u即， ∴为定值． ……………………6分（Ⅲ）设，其中．max 11()()22ln 2f x f a a a==---12a >11ln ln ln 12ea >>=-2ln 2a >-2ln 2a -<22ln 0a--<max ()0f x <ln 21a >-222x y b +=20x y -+=d b ==b =3c e a ==a =222a b c =+a =1c =22132x y +=000(,)(0)P x y y ≠(A B 2200132x y +=2200223y x =-1k =2k =22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----12k k 23-(,)M x y [x ∈由已知及点在椭圆上可得，整理得，其中．……………………8分①当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；②当时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．……………………14分 32．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+，所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+，所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-． ……………………4分222OP OMλ=P C 2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++2222(31)36x y λλ-+=[x ∈3λ=26y =M y x =≤≤x λ≠2222166313x y λλ+=-[x ∈0λ<<M y x ≤≤1λ<<M x x ≤≤1λ≥M x21 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++，解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列；当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅．因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>；所以11122311111111111()()()n i i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。

2019年杭州市高考数学命题比赛模拟卷三及答案解析

2019年杭州市高考数学命题比赛模拟卷三双向细目表2019年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ， V =Sh那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.k 次的概率球的表面积公式P n (k )= S =4πR 2台体的体积公式球的体积公式V = (S 1S 2) hV =πR 3其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，其中R 表示球的半径h 表示棱台的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --=13431.(原创题)已知集合，，则A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查集合的交、并、补的运算，检测对基础知识的了解程度. 2.(原创题)抛物线的焦点坐标 A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查抛物线的基本概念.3.(原创题)复数满足（为虚数单位），则的虚部是 A. B.C.D.【命题意图】本题主要考查复数的概念及代数运算.4.(原创题)已知是公比不为的等比数列且公比为，前项和为，则“”是“” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充要条件的相关知识以及逻辑推理、判断的思维能力.5.(原创题)函数的图像可能是{}3P x x =-＞104x Q xx ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭()R C P Q =(]3,1-(],4-∞-(]1-∞，[)1+∞，24y x =()1,0()0,11016⎛⎫⎪⎝⎭，1016⎛⎫⎪⎝⎭，z ()122i z +=i z 45-45i -4343i {}n a 1q n n S 10a ＞4652S S S +＞sin ln 2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭A BCD【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，图像的平移变换等.6.(原创题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.【命题意图】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“三视图的几何体”的相互转化和空间想象能力.7.(改编自2017年清华大学自主招生暨领军计划第30题)已知为随机变量，则下列说法错误的是A. B.C. D.【命题意图】本题主要考查概率、随机变量的分布列、数学期望和方差的概念.8.(原创题)若，当时，恒有，且以为坐标点所形成的平面区域的面积为，则A. B.C.D.ξ21122P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()221D D ξξ=-()()1D D ξξ=-()()()22E E ξξ≤0,0a b ≥≥11x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩1ax by +≤,a b (),P a b 16m =13613336113高三数学试题卷第2页，共6页【命题意图】本题主要考查数形结合的思想，以及综合运用函数思想解题的能力. 9.(原创题)已知为空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则的最小值为【命题意图】本题考查向量的基本运算、向量的几何意义，以及基本的数学方法.10.(原创题)三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为且底面面积为，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.【命题意图】本题考查学生的空间想象能力、抽象概括能力.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.(原创题)计算：， .【命题意图】本题考查指数和对数的基本运算.12.(原创题)已知，则， .【命题意图】本题考查三角函数的基本运算和变形能力.13.(原创题)已知多项式，则，.【命题意图】本题考查二项式定理的基础概念及运算能力.14.(原创题)在中，角所对的边分别为，若，，，则， .123,,e e e 1223311===2e e e e e e ⋅⋅⋅a 1233==a e a e ⋅⋅,x y R ∈()124a xe ye -+≥3a e λ-P ABC -12,16,2024P ABC -193π793π763π3163π3log =93log4log 43+=()()()sin sin cos sin 0x x x A wx b A ϕ⋅+=++＞A ==b ()()32234567012345671+12x x x a a x a x a x a x a x a x a x ++=+++++++3a =7a =ABC ∆,,A B C ,,a b c 4,3b c ==3CD BD =3cos 8A ==a =AD 高三数学试题卷第3页，共6页【命题意图】本题考查解三角形思想及平面向量的几何意义.15.(原创题)若为实数，且关于的方程有实数解，则的取值范围是.【命题意图】本题考查函数与方程的相关知识，及利用导数知识来解方程的能力.16.(原创题)某校共开设了六门选修课：物理、化学、生物、政治、历史、地理，要求每名学生选三门课，其中物理、化学、生物中至少要选两门.现有A 、B 、C 三人选课，则任意一名学生与其他两名学生均至少有两门选修课相同的概率为 .【命题意图】本题考查概率、排列、组合知识的综合应用，同时考查学生分类讨论思想和解决问题的能力. 17.(2018年浙江省新名校第一次联考第17题改编)设函数，当时，记的最大值为，则的值为 .【命题意图】本题考查含有绝对值不等式的解法，以及数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想和能力.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(原创题)（本题满分14分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边上有一点的坐标是，其中. （1）求的值；（2）若，求的值.【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.19.(原创题)（本题满分15分）如图，已知多面体，均垂直于平面ax x =a ()2()=,f x x a x b a b R +++∈[]2,2x ∈-()f x 258a αO x P ()3,a a 0a ≠cos α()tan 21αβ+=tan β1111ABCD A B C D -1111,,,AA BB CC DD 高三数学试题卷第4页，共6页，，，，.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【命题意图】本题考查空间、点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.20.(原创题)（本题满分15分）已知数列满足（），数列满足，，，为数列的前项和.（1）求数列的前项和；（2）求. 【命题意图】本题考查数列的概念及通项公式的求解，前n 项求和问题，同时考查转化与化归、整体思想的能力.21.(原创题)（本题满分15分）已知抛物线：的焦点为，过作直线与抛物线交于两点，分别过作抛物线的切线，交轴于两点，且两切线相交于点.（1）证明：点在定直线上，并求该直线方程. （2）求四边形面积的最小值.【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.ABCD AD BC ∥11=2AB BC CD AA CC ====1=1BB 14AD DD ==11AC ⊥11CDD C 1BC 111A B C {}n a 2112331++3+332nn n a a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭n N *∈{}n b 1=1b ()+1=n n n b a b n N *-∈n n n a b c =n S {}n c n {}n b 201932nn nb S -⋅C 28y x =F F l C ,A B ,A B C y ,M N E E AMNB1A22.(原创题)（本题满分15分）已知函数. （1）求在点处的切线方程；（2）若，证明：在上恒成立. （3）若方程有两个实数根，且，证明：. 【命题意图】本题考查导数在单调性与最值、极值、切线问题中的应用，及不等式性质、恒成立等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论及分析问题和解决问题的能力.2019年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学答案解析选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题()()()=11x f x x e +-()f x ()1,(1)f --1a e ≤-()ln 22f x a x ex ≥+-[)1,x ∈+∞()f x b =12,x x 12x x ＜2111311b e ebx x e e ++-≤++--目要求的. 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】A 10.【答案】D非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．【答案】，12.， 13．【答案】， 14．【答案】15．【答案】 16．【答案】12-812192434a ≥79250高三数学答案解析第2页，共7页17．【答案】三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，点在第一象限，；当时，点在第三象限，（2）由题意点在一三象限，，所以. 所以. 19.（本题满分15分）【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接，由于且，所以四边形为平行四边形，即.又底面为等腰梯形，且有. 侧棱平面,平面，所以. 又，所以平面，故平面.（2）由题意延长、、、交于点,取中点，连. 由,平面，平面，所以平面.238a =-170a ＞P cos α==0a ＜P cos α==P 1tan 3α=22tan 3tan 241tan ααα==-()()()tan 2tan 21tan =tan 22=1tan 2tan 27a αβαβαβαβα+-+-=⎡⎤⎣⎦++⋅14AC 11AA CC ∥11AC AC ∥11ACC A 1AC AC ∥ABCD AC CD ⊥1C C ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1C C AC ⊥1CD CC C =AC ⊥11CDD C 11AC ⊥11CDD C 1BC =DC 11D C AB 11A B G CG M BM AC 、11BM AC AC ∥∥BM ⊄111A B C 11AC ⊂111A B C BM ∥111A B C 1DA因此点到平面的距离和点到平面的距离相等.由（1）知平面，又平面，所以平面面. 过点作，则平面，即点到平面的距离为所以直线与平面所成角为，则有. 解法二：建系法以为原点如图建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为由，解得.取法向量. 设直线与平面所成角为，则. 20.（本题满分15分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，；当时，，，两式相减得.又也符合表达式，所以.B 111A BC M 111A B C 11AC ⊥11CDD C 11AC ⊂111A B C 111A B C ⊥11CDD C M 1MH GD ⊥MH ⊥111A B C M 111A B C MH =1BC 111A B C θ11sin 4MH BC θ===O ()()()()11,4,0,2,,B A B C ()12,0,2BC =-()()11113,3,0,2,0,1AC B C =-=-111AB C (,,n x y z =11113020AC n x B C n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,2y z x ==()1,3,2n =1BC 111A B C θ11sin cos ,4BC n θ===101041134⎛⎫- ⎪⎝⎭14194n n --⋅1n =11=2a 2n ≥2112331++3+332nn n a a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭122123131++3+332n n n a a a a ---⎛⎫++= ⎪⎝⎭()1113132222n n n n n a a n --⎛⎫=⋅⇒=≥ ⎪⎝⎭11=2a 12n na =()()()12201912345201820191242018b b b b b b b b b b b a a a +++=+++++++=++++1高三数学答案解析第4页，共7页（2）由题意，则 .21.（本题满分15分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）不妨设点，则切点弦：.又切点弦过点，有，因此点在定直线上上.（2）设.直线：与抛物线：联立得.过点的切线方程为.令得，同理可得.过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则. 当且仅当时取等号.210091010111411143444⎛⎫=++++=- ⎪⎝⎭2nn nb c =()()()12212111223121111=+++3223222221111 32221114141 =113494494n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b S b b b b b b b b -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎛⎫+++=-=⎪⎢⎥⋅⎣⎦⎝⎭2x =12()00,E x y AB ()004+x x y y =AB ()2,0F ()004+2=02x x ⇒=-E 2x =()22121212,,,0,088y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞＜AB 2x my =+C 28y x =212128160+=8,16y my y y m y y --=⇒=-A ()114y y x x =+0x =2111114842M yx y y y y ==⨯=22N yy =,A B y 11,A B ()()111112*********=S 22222AMNB AA B B AMA BNB y yS S S x x y y x x ∆∆⎛⎫--=+--+ ⎪⎝⎭()()()()()()2233121211221212121112432x x y y x y x y y y y y y y ⎡⎤=+---==+---⎣⎦()(2212121148836448=12323232y y y y m ⨯⎡=+-+⎣0m =高三数学答案解析第5页，共7页22.（本题满分15分）【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由知，，，所以在点处的切线方程为. （2）当时，，所以. 下先证：. 即证：.，又在上单调递增，且知在上单调递增，故.因此，得证.（3）由（1）知在点处的切线方程为. 构造，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.设方程的根.又，由在上单调递减，所以. 另一方面，在点处的切线方程为. 构造.()11ey x e-=+()()'21x f x x e =+-()'111f e-=-()1=0f -()1,(1)f --()11ey x e-=+[)1,x ∈+∞ln 0x ≥()ln 221ln 22a x ex e x ex +-≤-+-()()()()1ln 22=11x e x ex f x x e -+-≤+-()()()()=111ln 22x g x x e e x ex +----+()()'1212x e g x x e e x-=+---()'g x [)1,x ∈+∞()'10g =()g x [)1,x ∈+∞()()1=0g x g ≥()()()111ln +22ln +22x x e e x ex a x ex +-≥--≥-()f x ()1,(1)f --()()11es x x e-=+()()()()1111xe F xf x x x e e e -⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭()()'12x F x x e e =+-()()''3x F x x e =+()'F x (),3-∞-()3,-+∞()'31130F ee -=--＜()'1lim x F x e →-∞=-()'10F -=()F x (),1-∞-()1,-+∞()()()()()1101e F x F f x s x x e-≥-=⇒≥=+()()11=e s x x b e -=+'111ebx e=--()()()'111b s x f x s x ==≥()s x R '11x x ≤()f x ()1,22e -()()311t x e x e =---()()()()()()()11311=13x x G x f x t x x e e x e x e ex e =-=+---+++-+高三数学答案解析第6页，共7页，.所以在在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以.设方程的根.又，由在上单调递增，所以. 所以，得证.()()'23x G x x e e =+-()()''3x G x x e =+()'G x (),3-∞-()3,-+∞()'31330G e e-=--＜()'lim 3x G x e →-∞=-()'10G =()F x (),1-∞()1,+∞()()()()()10311G x G f x t x e x e ≥=⇒≥=---()()311=t x e x e b =---'2131e b x e ++=-()()()'222b t x f x t x ==≥()t x R '22x x ≤''212111311b e ebx x x x e e ++-≤-=++--。

2019届山东省潍坊市高三高考模拟（5月三模）考试数学（理）试题

2019届山东省潍坊市高三高考模拟（5月三模）考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|23}A x x =-≤≤，2{|30}B x x x =-≤，则A B =（）A ．[2,3]-B ．[2,0]-C ．[0,3]D ．[3,3]-【答案】A【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】{}2{|30}|03B x x x x x =-≤=≤≤,{|23}A x x =-≤≤,{}[]|232,3A B x x ∴=-≤≤=-,故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2．设复数z 满足2ii z+=，则z =（）A ．1BC ．3D ．5【答案】B 【解析】由2i i z +=可得212iz i i+==-，再利用复数模的公式可得结果. 【详解】2i i z +=, 221i z i i+∴==+ 22112ii i=+=-,z ∴== B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由基本不等式可得，“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤，再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】0x ∀>时，12x x +≥， ∴“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤，而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =，所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图，以下结论中一定正确的是（）A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大【答案】D【解析】根据华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图，分析出每个季度华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比，再对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，D 正确，故选D. 【点睛】本题主要考查百分比堆积图的应用，考查了数形结合思想，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.5．设抛物线28y x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P 到y 轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y 2=8x 的准线为x=﹣2，∵点P 到y 轴的距离是4， ∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线焦点的距离是6 故选B【考点】抛物线的定义．6．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【答案】B【解析】试题分析：根据图像得到：22,=243124T A T ππππππωω==-∴=∴=∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+，将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入得到2sin 2,62ππϕϕ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．【考点】()sin y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式 7．下列说法错误的是（） A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】根据线面垂直的性质定理判断A ；根据面面垂直的性质定理判断B ；根据面面平行的判定定理判断C ；根据特例法判断D . 【详解】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A 正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B 正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C 正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D 错误，故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的判定、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则1324a a aa （） A ．13B ．23C ．53D ．2【答案】B【解析】用1a d ,表示2a ，4a ，8a ，利用它们成等比数列可得1d a =，从而可得1324a a a a ++的值. 【详解】设等差数列的公差为d ，则21a a d =+，413a a d =+，817a a d =+，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，故()()()211137a d a d a d +=++，整理得到21d a d =，因0d ≠，故1d a =，故1n a na =，故13244263a a a a ，选B. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 9．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有（）A ．10种B ．15种C ．4种D ．5种【答案】D【解析】依据图形可以得到2类元素相生的选取方案总数. 【详解】从5类元素中任选2类元素，它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种，故选D. 【点睛】本题考查组合的计算，属于基础题.10．已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()1119a b c a b c ⎛⎫∴++++≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的零点个数至少为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据函数()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数可得()00f =，可判断函数的零点个数为奇数，结合()1119a b c a b c ⎛⎫∴++++≥ ⎪⎝⎭求得()()()()4,8,4,8f f f f --的值为零，从而可得结果. 【详解】()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，()00f ∴=，且零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除选项,B D ，又()(4)f x f x =-()()040f f ∴==， ()()440f f -=-=，()()()44480f f f ∴-=+==， ()()880f f -=-=，()f x ∴的零点至少有0,4,8,5±±个，故选C.【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．如图，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“12,[0,1]x x ，且(0,1)λ∈，[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-恒成立”的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，根据[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-恒成立可得()()()()()12121,1M x x f x f x λλλλ+-+-与点()[]()1122(1)1,x x f x x λλλλ+-+-的位置关系，从而可得正确的选项.【详解】设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，则()()()()()12121,1Mx x f x f x λλλλ+-+-，(0,1)λ∈表示线段PQ 上的点（除端点外），因为[]()()1212(1)(1)fx x f x f x λλλλ+-<+-恒成立，所以点()[]()1122(1)1,x x f x x λλλλ+-+-始终在M 的下方，所以函数的图像是下凸的，故选A. 【点睛】在坐标平面中，对于R 上的可导函数()f x ，若12x x <，(0,1)λ∈时，总有[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-成立，则函数的图像是向下凸的（即函数的导数是增函数）.12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的左支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为（）A B C ．43D ．53【答案】C【解析】利用双曲线的对称性和线段AM 的垂直平分线经过点N 可得AMN ∆为等边三角形，从而可用,a c 表示M 的坐标，代入双曲线方程化简后可得离心率. 【详解】FM FA a c ==+，FN FA a c ==+，因为线段AM 的垂直平分线经过点N ，故MN NA =，因双曲线关于x 轴对称，故MA NA =，所以AMN ∆为等边三角形，故3,22a c M ⎛⎫++±± ⎪ ⎪⎝⎭，故()()222233144a c a c a b ++-=，整理得到2340e e --=，故43e =，选C. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．二、填空题13．若函数()ln f x x a x =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a =_________.【答案】-1【解析】利用导数的几何意义求出曲线在点()1,1处的切线斜率为12a -=,从而可得结果. 【详解】因为函数()ln f x x a x =-的导数为()1a f x x'=-, 所以在点()1,1处的切线斜率为()'11f a =-, 又因为在点()1,1处的切线方程为21y x =-, 所以12a -=,解得1a =-，故答案为1-. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求参数或切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.14．执行如图所示的程序框图，输出的S 为_________.【答案】1【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】执行程序框图，输入0,1==S n ，第一次循环1,2S n ==；第二次循环1,3S n ==；第三次循环0,4S n ==；第四次循环0,5S n ==；第五次循环1,6S n ==；第六次循环1,7S n ==；第七次循环0,8S n ==；第八次循环0,9S n ==；第九次循环1,10S n ==；第十次循环1,11S n ==；退出循环输出1S =，故答案为1. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 15．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设*(,)()i j a i j N ∈、是位于这个三角形数表中的从上往下数第i 行，从左往右数第j 列的数，如(5,2)12a =，则(10,3)a =____.【答案】48【解析】计算出前9行中元素的个数可得(10,3)a . 【详解】第9行的最后一个数为45，所以(10,3)45348a =+=.故填48. 【点睛】本题考查归纳推理、数列的项的求法，找到项数的计算方法是关键.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC ∆内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为_____. 【答案】43[,2)3【解析】【详解】考虑过1A 且垂直于1BC 的平面与平面1BDC 的交线，如图，由正方体1111ABCD A B C D -可以得到11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，因1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B CD ，而平面11A B CD 平面11BDC D E =，故考虑1A 到线段DE的距离的取值范围.在图（2）的矩形11A DCB 中，122A D =，2DC =，建立如图所示的平面直角坐标系，则(10,22A ，()0,0D ，(2E ，()2,0A ，所以2sin(2)3x π=+，:20DE x -=，1A 到直线DE 4333=，因P 是1BDC ∆内，故1A P 的取值范围为43[22)3. 【点睛】空间中动态条件下的最值问题，可转化为确定的点、线、面的位置关系来讨论，必要时应将空间问题平面化，利用解三角形或平面向量等工具求最值.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos 2sin 22A b b aB =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b . 【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】（1）利用降幂公式和正弦定理可把题设条件转化为4sin cos 3sin sin B A A B =，从而得到tan A ，再根据同角的三角函数的基本关系式可求cos A .（2）利用余弦定理渴求b . 【详解】解：（1）由题意知234cos2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)313【解析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 可得要求证的线面垂直. （2）建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ，因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH⊂平面FBC ，所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且1323OH AB ==. 又//EF AB ，33EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形，所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，3(0,3B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ，所以(1,0,1)Q ，所以23(2,,0)3BC =--，(3,0,1)CQ =，设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，取1x =，可得(1,3,3)m =--，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，设二面角Q BC A --的平面角为θ，则313cos 131139m nm n θ⋅-===⨯++，因为二面角Q BC A --的平面角为锐角，所以二面角Q BC A --的余弦值为31313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，若2PQ AM =，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】（13OAB ∆的面积为1.，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）由2PQ AM =，可得线段PQ 为APQ ∆外接圆的直径，即0AP AQ ⋅=，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用平面向量数量积公式、结合韦达定理可得12k m =-或56k m =-，直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，从而可得结论.【详解】（1）由已知，3c a =22221c b a a =-，可得224a b =，又因为1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知(2,0)A ，因为2PQ AM =，所以AM PM QM ==，所以线段PQ 为APQ ∆外接圆的直径，即0AP AQ ⋅=，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ①又因为0AP AQ ⋅=，即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去），综上所述直线l 过定点6(,0)5. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式()0,y k x x =-直线过定点(),0x 0.20．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85C ︒的水泡制，再等到茶水温度降至60C ︒时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员每隔1min 测量一次茶水温度，得到下表的一组数据。

2019高考模拟文科数学全国I卷A模拟试题(三)及答案

16. 设为数列{a.)的前n项和， " 1 = O, 名a,, . 1 = [ 1 - (- I)•] a.+ (- 2)• (nE N"), 则
5 /
A
B
c
D
= 5200
文数［三）第1页（共4页）
I衡水金卷先享题．调研卷|
文数（三）第2页（共4页）
1全国 1 卷 Al
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』
3
绝密＊启用前
罗朔磐
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知向拭a= (戎cos 75°,cos 75°),b = (O. 汕in 75°),则ia+2bl =
.
14.若圆O:.T乙 + y2 = I _L恰有两点到直线/: 幻+ y+c = O的距离为1, 则（．的取值范围
表所示，贝lj下列说法中，正确的个数是
4
6
8
一m
l -2
-1
I
:
I
t4
I
O当x = l2时，y的值必定为9;
芯茄
。洷括
＠变扭 X,y负相关；
＠由表格数据知，该回归自线必过点(5,12.5);
©m = l2.
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
4. 已知双曲线a气－斗b = l (a>O,b>O) 的左，右焦点分别为F, ,F,,P为双曲线上一点，IPF, I = 2a.若p,h.PF, 启为直角三角形；（／：双曲线的离心率为岛，则p是q的

2019年高考模拟河北省衡水市武邑中学高考(文科)数学三模试卷含解析

2019年高考模拟试卷高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．已知复数z满足z（2﹣i）＝1+i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得B．∃x0＞0，使得C．∃x0＞0，使得D．∀x≤0，总有4．阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A．数列{2n﹣1}的第4项B．数列{2n﹣1}的第5项C．数列{2n﹣1}的前4项的和D．数列{2n﹣1}的前5项的和5．已知f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的奇函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f （2x）的解集为（）A．[﹣1，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1]D．[]6．从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足：，若z＝kx﹣y取得最小值的最优解有无数个，则实数k的值是（）A．﹣1B．4C．﹣1或D．﹣1或48．若数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a2＝2，（S n+1）（S n+2+1）＝（S n+1+1）2，则S n＝（）A．B．2n+1C．2n﹣1D．2n+1+19．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知是函数•cosφ+cos3x•sinφ的一个极小值点，则f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．40B．C．D．12．已知点F是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且＝0，若，则C的离心率取值范围是（）A．（1，+1]B．[，+1]C．[，]D．[，]二、填空题13．已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2，离心率为，则椭圆E的方程为．14．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足＝3，则数列{a n}的公差为．15．边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于；将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于．16．已知实数a，b，c满足，其中e是自然对数的底数，那么（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为三、解答题17．如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝．（1）求∠ACB；（2）若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．18．某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析．将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O．（1）证明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，三棱锥C﹣ABE的体积为，求．20．已知焦点在y轴上的抛物线C1过点（2，1），椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|＝3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆．（1）求C2与C3的标准方程；（2）若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求△OMN的面积S的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）在x＝1处的切线与直线x﹣2y+1＝0平行．（Ⅰ）求实数a的值，并判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）＝m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M（x，y）是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣m|．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤4}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）+f（）对一切满足a+b＝2的正实数a，b恒成立，求x的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{1，2，4}，∴A∩B的元素个数是3．故选：D．2．已知复数z满足z（2﹣i）＝1+i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由z（2﹣i）＝1+i，得z＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），在第一象限．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得B．∃x0＞0，使得C．∃x0＞0，使得D．∀x≤0，总有解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则￢p 为∃x0＞0，使得．故选：C．4．阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A．数列{2n﹣1}的第4项B．数列{2n﹣1}的第5项C．数列{2n﹣1}的前4项的和D．数列{2n﹣1}的前5项的和解：模拟程序的运行，可得：A＝0，i＝1执行循环体，A＝1＝21﹣1，i＝2，不满足条件i＞5，执行循环体，A＝3＝22﹣1，i＝3不满足条件i＞5，执行循环体，A＝7＝23﹣1，i＝4不满足条件i＞5，执行循环体，A＝15＝24﹣1，i＝5不满足条件i＞5，执行循环体，A＝31＝25﹣1，i＝6满足条件i＞5，退出循环，输出A的值为31．观察规律可得该算法的功能是输出数列{2n﹣1}的第5项．故选：B．5．已知f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的奇函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f （2x）的解集为（）A．[﹣1，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1]D．[]解：根据题意，函数f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的奇函数，则2b+（1﹣b）＝0，解可得：b＝﹣1，则函数的定义域为[﹣2，2]，又由f（x）在[2b，0]即[﹣2，0]上为增函数，则f（x）在[﹣2，2]上为增函数，f（x﹣1）≤f（2x）⇒﹣2≤x﹣1≤2x≤2，解可得：﹣1≤x≤1，即不等式的解集为[﹣1，1]；故选：C．6．从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A．B．C．D．解：从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，基本事件总数n＝＝15，取出的2只鞋不成对包含的基本事件m＝﹣＝12，则取出的2只鞋不成对的概率为p＝＝＝．故选：B．7．已知实数x，y满足：，若z＝kx﹣y取得最小值的最优解有无数个，则实数k的值是（）A．﹣1B．4C．﹣1或D．﹣1或4【分析】作出不等式组表示的平面区域，令z＝kx﹣y，则y＝kx﹣z则﹣z表示直线y＝kx﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图象可求k的范围．解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：若使得kx﹣y取得最小值的可行解有无数个，结合图象可知，则z＝kx﹣y，与约束条件的直线x+y﹣2＝0或4x﹣y+2＝0平行，a＝﹣1或4．故选：D．8．若数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a2＝2，（S n+1）（S n+2+1）＝（S n+1+1）2，则S n＝（）A．B．2n+1C．2n﹣1D．2n+1+1【分析】本题依题意可先根据等比中项的知识判断出数列{S n+1}为等比数列，再得出数列{S n+1}的通项公式，即可得到S n的结果．解：由题意，可知：根据（S n+1）（S n+2+1）＝（S n+1+1）2，可知：数列{S n+1}为等比数列．又∵S1＝a1＝1，S2＝a1+a2＝1+2＝3．∴S1+1＝2，S2+1＝4．∴∴．故选：C．9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积的坐标运算，得到P的关系式，结合点在圆上得到所求范围．解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D（0，2），E（2，1），P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，＝（x，y），＝（2，﹣1），所以＝2x﹣y＝z，则y＝2x﹣z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以，解得z＝2，所以的取值范围是[2﹣，2+]；故选：D．10．已知是函数•cosφ+cos3x•sinφ的一个极小值点，则f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，由极值点可求得φ的值，再求2kπ﹣＜3x﹣φ＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．解：是函数•cosφ+cos3x•sinφ＝sin（3x+φ）的一个极小值点，∴sin[3×+φ]＝﹣1，∴φ＝2kπ+π，k∈Z，不妨取φ＝﹣π，此时f（x）＝sin（3x﹣π），令2kπ﹣＜3x﹣π＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k＝0时，函数的一个单调递减区间为：．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．40B．C．D．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体直三棱柱割去一个等高底面不等的三棱锥，由此求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱BCE﹣AGF割去一个三棱锥A﹣BCD所得的图形，如图所示；∴V几何体CDEFGA＝×4×4×4﹣××（×4×4）×4＝．故选：B．12．已知点F是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且＝0，若，则C的离心率取值范围是（）A．（1，+1]B．[，+1]C．[，]D．[，]【分析】画出图形，求出BO＝c，然后求解B的坐标，代入双曲线方程，求出e的表达式，即可得到离心率的范围．解：如图：点F是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且＝0，可得OB＝OA＝OF＝c，所以AF＝，BF＝，由双曲线的定义可得﹣＝2a，所以e＝＝＝，，可得，∈，∈，∈．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13．已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2，离心率为，则椭圆E的方程为＝1．【分析】由离心率，以及a﹣c＝2﹣2，列出方程组，由此能求出椭圆E的方程．解：椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2，离心率为，可得，a＝2，c＝2，从而b2＝4∴椭圆E的方程为＝1．故答案为：＝1．14．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足＝3，则数列{a n}的公差为2．【分析】＝3，由此能求出数列{a n}的公差．解：∵，∴，∴，又，∴d＝2．15．边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于a；将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于a．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．解：在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2+OE2，把数据代入得到OE＝a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a＝a，故答案为：a，a．16．已知实数a，b，c满足，其中e是自然对数的底数，那么（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为【分析】由，所以b＝a﹣2e a，d＝3﹣c，即点A（a，b）的轨迹方程为：y＝x﹣2e x，点B（c，d）的轨迹方程为：y＝3﹣x，由（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义为|AB|2，结合导数的应用可得：设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x﹣2e x相切且切点为C（x0，y0），由y′＝1﹣2e x，则1﹣2e＝﹣1，解得x0＝0，y0＝﹣2，由点到直线的距离公式得d＝＝，即|AB|2min＝＝，得解解：因为，所以b＝a﹣2e a，d＝3﹣c，即点A（a，b）的轨迹方程为：y＝x﹣2e x，点B（c，d）的轨迹方程为：y＝3﹣x，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义为|AB|2，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x﹣2e x相切且切点为C（x0，y0），由y′＝1﹣2e x，则1﹣2e＝﹣1，解得x0＝0，y0＝﹣2，由点到直线的距离公式得d＝＝，即|AB|2min＝＝，故答案为：三、解答题：大本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝．（1）求∠ACB；（2）若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）设BC＝a，AC＝a，由余弦定理可得：a2+2a﹣8＝0，解得a的值，利用勾股定理可求∠ACB的值．（2）由已知可求AD+CD＝4，利用余弦定理可求AD•DC＝4，利用三角形的面积公式可求S△ADC的值，进而得解四边形ABCD的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设BC＝a，AC＝a，由余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，…2分即：3a2＝42+a2﹣2×，可得：a2+2a﹣8＝0，可得：a＝2，或a＝﹣4（舍去），…4分可得：AB2＝AC2+BC2，可得：∠ACB＝．…6分（2）因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝，所以AD+CD＝4，…8分又AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC，即：12＝AD2+DC2+AD•DC＝（AD+CD）2﹣AD•DC，所以AD•DC＝4，…10分所以S△ADC＝AD•DC•sin＝，所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝2＝3．…12分18．某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析．将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由．【分析】（Ⅰ）第一段抽取的学生编号是006，间隔为20，即可写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）确定基本事件的个数，可得结论；（Ⅲ）根据折线图，可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定．解：（Ⅰ）第一段抽取的学生编号是006，间隔为20，第五段抽取的学生编号为086；（Ⅱ）这两科成绩差超过20分的学生，共5人，语文成绩高于英语成绩，有3人，从中随机抽取2人进行访谈，有＝10种，2人成绩均是语文成绩高于英语成绩，有3种，故2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率是；（Ⅲ）根据折线图，可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O．（1）证明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，三棱锥C﹣ABE的体积为，求．【分析】（1）取AB中点H，连结OH，DH，推导出四边形OHDC1是平行四边形，则OC1∥DH，由此能证明C1O∥平面ABD．（2）过C作CM⊥AB于M，连接DM，则DC⊥AB．AB⊥平面CDM，AB⊥DM．设BC＝x，则AC＝，CM＝，DM＝，由△ABD的面积为S＝＝，解得BC＝AC＝2，由此能求出．解：（1）证明：取AB中点H，连结OH，DH，由题意得，∴四边形OHDC1是平行四边形，∴OC1∥DH，∵C1O⊄平面ABD，DH⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD．（2）解：过C作CM⊥AB于M，连接DM，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．又CM∩CD＝C，∴AB⊥平面CDM，∴AB⊥DM．设BC＝x，则AC＝，CM＝，DM＝，∴△ABD的面积为S＝＝，解得x＝2．∴BC＝AC＝2，设E到平面ABC的距离为h，则V C﹣ABE＝V E﹣ABC＝＝，解得h＝1，∴E与O重合，＝．20．已知焦点在y轴上的抛物线C1过点（2，1），椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|＝3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆．（1）求C2与C3的标准方程；（2）若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求△OMN的面积S的取值范围．【分析】（1）由已知设抛物线C1的方程为x2＝2py，p＞0，根据C1过点（2，1），即可求出抛物线方程，可得F2（0，1），可得|AB|＝＝3，进而可求出椭圆方程；又曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆，可得圆的方程；（2）先由直线l与C3相切，可得圆心到直线l的距离为1，表示三角形的面积，分类讨论，结合韦达定理和弦长公式，分别求出S的范围即可．解：（1）由已知设抛物线C1的方程为x2＝2py，p＞0，则4＝2p，即p＝2，则C1的方程为x2＝4y，则F2（0，1），不妨设椭圆C2的方程为+＝1，a＞b＞0，由，可得x＝±，∴|AB|＝＝3，由a2＝b2+1，解得a＝2，b＝，故椭圆C2的方程为+＝1，易知|OF2|＝1，∴C3的标准方程为x2+y2＝1．（2）直线l与C3相切，可得圆心到直线l的距离为1，∴S＝×|MN|×1＝，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝±1，易知两种情况所得的三角形的面积相等，由，可得y＝±，不妨设M（1，），N（1，﹣），则|MN|＝此时S＝；当直线l的斜率存在时，不妨设直线方程为y＝kx+m，则﹣＝1 即m2＝k2+1，由，可得（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，由△＝36k2m2﹣4（3k2+4）（3m2﹣12）＝48（4+3k2﹣m2）＝48（2k2+3）＞0恒成立，设M（x3，y3），N（x4，y4），∴x3+x4＝﹣，x3x4＝，∴S＝＝•＝•＝•＝，令3k2+4＝t（t≥4），则k2＝，∴S＝•＝•，令＝n，则n∈（0，]，易知y＝﹣n2﹣n+2在区间（0，]上单调递减，故≤S＜，综上△OMN的面积S的取值范围为[，]．21．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）在x＝1处的切线与直线x﹣2y+1＝0平行．（Ⅰ）求实数a的值，并判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）＝m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出，，令t＝，则，构造函数，根据函数的单调性证明即可．（Ⅰ）函数f（x）的定义域：（0，+∞），…………………………………………………………解：（1分），……………………………………………………………………………∴，∴………………………………………………………令f'（x）＜0，解得，故；……………………………………令f'（x）＞0，解得，故．……………………………………（II）由x1，x2为函数f（x）＝m的两个零点，得，…………………两式相减，可得，……………………………………，，因此，……………………………………………令，则，…………………………构造函数，………………………………………则所以函数h（t）在（0，1）上单调递增，故h（t）＜h（1），………………………………即，可知，故x1+x2＞1．命题得证．…………………[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3，M（x，y）是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．【分析】（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程；由曲线C2的极坐标方程，能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）曲线C2：＝1经过伸缩变换得到曲线曲线C3的方程为：＝1，设M（4cosα，sinα），根据点到直线的距离公式能求出点M到曲线C1的距离的最大值．解：（1）∵曲线C1的参数方程为，（t是参数），∴曲线C1的普通方程为x﹣2y﹣5＝0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．∴ρ2+3ρ2sin2θ＝4，∴曲线C2的直角坐标方程为＝1．（2）曲线C2：＝1经过伸缩变换得到曲线C3，∴曲线C3的方程为：＝1，设M（4cosα，sinα），根据点到直线的距离公式得：d＝＝＝≤＝2+，（其中，tanγ＝2），∴点M到曲线C1的距离的最大值为2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣m|．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤4}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）+f（）对一切满足a+b＝2的正实数a，b恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）解不等式f（x）≤6的解集，与已知解集相等，列方程可得；（2）先根据基本不等式求得右边的最小值，再将恒成立转化为最值后解不等式可得．解：（1）由f（x）≤6得|2x﹣m|≤6得m﹣6≤2x≤m+6，得﹣3≤x≤+3，∴，∴m＝2．（2）m＝2时，f（x）+f（+3）＝|2x﹣2|+|x+4|＝，而（+）（a+b）＝（8+2++）≥（10+2）＝9，不等式f（x）+f（）对一切满足a+b＝2的正实数a，b恒成立等价于f（x）+f（）≤9，∴或或，解得﹣3≤x≤，所以x的取值范围为{x|﹣3≤x≤}。

2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. （5分）若复数z满足iz = 2+4i，则z在复平面内对应的点的坐标是（）A . (4, 2)B . (2,- 4) C. (2, 4) D. (4,- 2)22. ( 5 分)已知集合M = {x|2x-x >0}, N = { - 2, - 1, 0, 1, 2｝，则等于M n N =( )A . ?B. {1} C . {0 , 1} D . { - 1, 0, 1}八- 0.4 , ,3. ( 5 分)已知a = 1.9 , b= log o.41.9,1 9c= 0.4 则( )A . a> b>cB . b> c> aC . a > c> bD . c> a> b4. （5分）某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）2 11 11 2A• 「J B •「C. 「 D •■■- I'3 6 3 35. （5 分）已知函数f （x）= Asin （®x+0）（A> 0, w> 0, W|v n）的图象与直线y= b （0V b V A）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8，则f （x）的单调递增区间为（）A . [4k, 4k+3] （k 題）B. [6k, 6k+3] （k€Z）C. [4k, 4k+5] （k 包）D. [6k, 6k+5] （k€Z）6. （5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（）A . 60 里B . 48 里C. 36 里 D . 24 里7. （5分）a为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简cos （a n- 0）的结果是（）& （ 5分）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是（则x 2的系数为（3164C . 2C . sin 0D . - sin 0OA 、OB 为直径的圆，在1 7T9. （ 5分）在（1+亍）(n €N +, n > 2) 的展开式中,X的系数为；C .35 128 10. （5分）已知实数x , y 满足］若 z =( x - 1)2+y 2,则z 的最小值为（11. （5分）设F 1, F 2是双曲线：，a2■' -：的左、右两个焦点，若双曲线右b2支上存在一点P,使二+ 「I■「二I (0为坐标原点)，且则双曲线的离心率为( )A •丄B. 一-】C.^ D.2 2212. ( 5分)已知函数. 与g (x)= 2elnx+mx的图象有4个不同的交点，贝U2x-2elnx实数m的取值范围是( )A . (- 4, 0)B .:宁门C. .「. =] D. (0, 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ( 5分)设二，二，为向量，若| +】占I的夹角为——,-1+与b的夹角为——，则一丄3 4 Ib|2 214. (5分)过点M (1 , 2)的直线l与圆C: (x- 3) + ( y-4) = 25交于A, B两点，C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程是_________ .15. ( 5分)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1, 2，…，9的9个小正方形(如下表)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”___________ 种.sin^T 16 [0, 2j,16. (5分)对于函数_Lf(x_2)垃€(2 +oo)，有下列4个结论：①任X1 , x2 q o , +m),都有|f ( X1)- f ( x2) |< 2 恒成立；② f ( x)= 2kf (x+2k) (k€N*),对于一切x€[0, +^)恒成立；③函数y= f (x)- ln (x- 1)有3个零点；④对任意x> 0,不等式•」.1儿恒成立，则实数是的取值范围是. ■ '■：.则其中所有正确结论的序号是________ .三、解答题：本大题共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 *17. (12 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为Si, a1 = , 2S n= S n-1+1 (n》2, n€N ).(1)求数列｛a n ｝的通项公式;ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O , G 、H 分别是 AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，且 DC 丄平面ABC .(I)证明：GH //平面ACD ;(H)若 AC = BC = BE = 2，求二面角 O -CE - B 的余弦值.2 219.(12分)已知椭圆C : ' = 1 (a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2，若椭圆经J b Z过点P (航，-1)，且△ PF 1F 2的面积为2(1) 求椭圆C 的标准方程(H)设斜率为1的直线I 与以原点为圆心，半径为「的圆交于A , B 两点，与椭圆C 交于C , D 两点，且|CD|= A|AB| (入R ),当入取得最小值时，求直线 I 的方程 20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p (0v p v 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1 )记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f ( p ),求f ( p )的最大值点P 0. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1 )中确定的p o 作为p 的值•已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求(2 )记:屮 |，求7的前n 项和T n .18. (12分)如图，一简单几何体 EBEX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?21. (12 分)已知函数 f (x )=丄ax 2-( a - 1) x - lnx ( a€R 且0).2(I )求函数f ( x )的单调递增区间；(n)记函数y = F (x )的图象为曲线 C .设点A (X 1, y i ), B (X 2, y 2)是曲线C 上的x +垃不同两点.如果在曲线 C 上存在点M ( x o , y o ),使得：①X 0= _ ;②曲线C 在点2M 处的切线平行于直线 AB ,则称函数F (x )存在“中值和谐切线” •当a = 2时，函数f (x )是否存在“中值和谐切线”，请说明理由.选考题：共10分•请考生在22, 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］ p 2= 4pcos 0+6 psin 0- 12，以极点为原点，极轴为 x(I )写出直线I 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系; (II )将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ,设曲线D经过伸缩变换:得到曲线E ,设曲线E 上任一点为M (x , y ),求占汁寺y 的取值范围.［选修4-5:不等式选讲］23.已知函数 f (x )= |x - 2|+|2x+a|, a€R .(I)当a = 1时，解不等式f (x )> 5;(n)若存在 x 0满足f (x 0) +|x 0- 2|v 3，求a 的取值范围.2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由iz = 2+4i , 得.i-i*i•••则z 在复平面内对应的点的坐标是：（4,- 2）. 故选：D .22. (10分)已知曲线C 的极坐标方程是轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线(t 为参数).【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2. 【分析】可求出集合M，然后进行交集的运算即可.【解答】解：M = {x|0v x v 2};•M n N = {1}.故选：B.【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.3. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【解答】解：a= 1.9°.4> 1.9°= 1,b= log o.41.9 v log o.41 = 0,1.9 c J d0v c= 0.4 v 0.4 = 1,• a > c> b.故选：C.【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.4. 【分析】由三视图知几何体是左边为一半圆锥，右边为半圆柱的组合体，根据三视图的数据判断圆锥与圆柱的底面圆直径为2,圆柱的高为3，圆锥的高为2,利用体积公式计算可得答案.【解答】解：由三视图知几何体是左边为一半圆锥，右边为半圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面圆直径为2，圆柱的高为3,圆锥的高为2,几何体的体积V = V 半圆柱+V半圆锥= -nX 12X 3+ • X ■ X nX 12X 2 =」n2 23 6故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量.5. 【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数3、$的值, 进而利用三角函数的单调性求区间.【解答】解：与直线y= b (O v b v A)的三个相邻交点的横坐标分别是2, 4, 8知函数的周期为T =竺=2 (空-丝)，得3 =卫_,0) 2 2 3再由五点法作图可得？’ — $= ，求得$= - ^ ,3 2 2 2兀7T.函数 f (x)= Asin ( x—).3 2A JT Jl JI n令2k n— < x— < 2k n+ , k 氐，2 3 2 2求得x€[6k, 6k+3] ( k®),故选：B .【点评】本题主要考查正弦函数的图象性质，充分体现了转化、数形结合思想，属于基础题.6. 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以丄为公比的等比数列，由S6= 378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为｛a n｝，可知｛a n｝是公比q = 2-的等比数列，2a l(1 寺由S6= 378,得S6= _：；「，解得：a i = 192,‘- 1 - - 1 > 此人第4天和第5天共走了24+12=36里.故选：C.【点评】本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题.7. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a值，即可求得cos ( a n- 0).【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i是否继续循环循环前a= 2 i = 1第一圈a =- 1, i = 2是循环第二圈a = —, i2=3是循环第三圈a= 2, i = 4是循环第四圈a=- 1, 5是循环第3n +1圈，a =- 1 i = 3n+2 是循环第3n+2圈a = —i = 3n+3 是循环2第3n+3圈a= 2 i = 3n+4 是循环第2012圈a = , i= 2013 是循环2第2013圈a = 2 i = 2014 否，退出循环故最后输出的a值为2.故有：cos (2 n- 0) = cos 0.故选：A.【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型,X其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）孑② 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 ③解模.CMO = 90°,这样就可以求出弧 0C 与弦0C 围成的弓形型的概率公式解之即可.| 2 |S 扇形 OAB = n , S 半圆 OAC = n4 2丄…2S^OmC = X X =r,2 2 2 8【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题.在（1+ -）（1+ ；）…（1+：）（丽+ ,心2）的展开式中，X 的系数=丁=+…&【分析】OA 的中点是M ，则/的面积，从而可求出两个圆的弧0C 围成的阴影部分的面积，用扇形OAB 的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧0C 围成的面积就是无信号部分的面积, 最后根据几何概【解答】解：0A 的中点是M , 则/ CM0 = 90°，半径为 0A = r2 2S 弧 oc = S 半圆 OAC - S ^0DC =n - r ,2 16 8I 2 I 2n - r ,84 (-，r 2- - r 2)84两个圆的弧0C 围成的阴影部分的面积为图中无信号部分的面积为 •••无信号部分的概率是:〕2 ] 2—n - — r4 21 19.【分析】故选：B .可得1-x 的)(1的展开X=G4【点评】本题考查了二项式定理的应用、多项式的乘法运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则z 的几何意义为区域内的点到点(1, 0)距离的平方，则由图象可知，当点(1, 0)到直点A 的距离最小，由卩+厂3=0,解得x = 2, y = 1 ,x-2y=0即 A (2, 1),••• z =( 2- 1) 2+12= 2, 故选：C .+ | x 」一_ 亠―，即可得出. 2 2 2 上 22-)(n €N +, n 》2)的展开式中，x 的系数=丄十丄+…2n 2 2’ 222I 解答】解：在(1+： )(1+・)••(1 +22.••1 ——=—^,解得 n = 4.利用向量的加减法可得］-」〕・：I ：--故有OP = OF 2= C = OF 1,可得PF 1丄PF 2，由条件可得/ PF 1F 2= 30°，由sin30 °=一=求出离心率.2【解答】解：T',：' I 」I專 2 丄j•••〔三—11「= 0, OP = OF 2= C = OF 1,「. PF 」PF 2,: 一二：丨「：\.，•••/ PF 1F 2= 30°.故选：D .【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△ PF 1F 2是直角三角形是解题的关键. 12.【分析】由题意可得m=' . - ' ( x > 0且X M e )有4个不等实根，设h( x )2K-2elnM x='-—1!"，求得导数和极值点、最值，考虑 XT + g,……T 0,可得h (x )2x-2elnx KKz 的几何意义，结合数形结合是解决本题11.【分析】 Rt △ PF 1F 2 中，I由双曲线的定义得PF1—心2a ,•PF2=,sin30。

2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟考试(三)数学试卷及答案

1 绝密★考试结束前
2019届杭州市高考命题比赛模拟考试（三）
数学试卷
考生须知：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和
答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在
本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式
()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 1
3V Sh = 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式
台体的体积公式
24S R =π
1
21()3V S S h =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 34
3V R =π h 表示为台体的高其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）。

2019年高考数学三模试卷(文科)-学生用卷

2019年高考数学三模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i 是虚数单位，复数2i1−i 等于( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2. 已知集合A ={x|y =√4−x}，B ={x|x −1>0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x ≤4}B. RC. {x|x ≤4，且x ≠1}D. {x|x >4}3. 已知双曲线C 的方程为x 24−y 29=1，则下列说法正确的是( )A. 焦点在y 轴上B. 实轴长为2C. 渐近线方程为2x ±3y =0D. 离心率为√1324. 在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程y ^=b ^x +a ^，并且由观测数据算得x −=5，y −=56，b ̂=10.5，则当x =10时，预测数值y ̂=( )A. 108.5B. 210C. 140D. 210.55. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在等差数列{a n }中，若2a 8=6+a 11，则a 4+a 6=( )A. 6B. 9C. 12D. 18 7. 运行如图所示的程序框图，则输出的s 值为( )A. −10B. −9C. −8D. −68. 已知实数x ，y 满足{x ≥0x −y ≥0y ≥2x −2，则z =ax +y(a >0)的最小值为( )A. 0B. aC. 2a +2D. −29.函数f(x)=sin(2x+π3)−1的图象关于()A. 直线x=π6对称 B. 点(2π3,0)对称 C. 直线x=π3对称 D. 点(π3,−1)对称10.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且tanθ=2，若在大正方形内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为()A. 14B. 15C. 25D. 3511.某三棱锥是由一个正方体被四个平面截去四部分得到的，其三视图都是边长为2的正方形，如图，则该三棱锥的表面积为()A. 8B. 8√3C. 16√3D. 1612.定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)=2−x.若函数g(x)=f(x)−log a x(a>0且a≠1)恰有3个零点，则a的取值范围是()A. [0,14) B. (1,2] C. (2,3] D. (3,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：lg25+2lg2+823=______．14.平面向量a⃗，b⃗ 的夹角为60∘，若|a⃗|=2，|b⃗ |=1，则|a⃗−2b⃗ |=______．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S6=−7S3，则a4+a3a3+a2=______．16.点A在抛物线C：y2=4x上，F为C的焦点，以AF为直径的圆与y轴只有一个公共点M，且点M的坐标为(0,2)，则|AF|=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，D是BC上的点，∠BAD=90∘，cos∠ADC=−√55．(Ⅰ)求sin(B−π4)的值；(Ⅱ)若BD=2DC=2，求AC的长．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(6 5.56 6.4 5.5 6.5元)(Ⅱ)在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的2×2列联表，并回答是否有99.5%的把握认为“带饮品和男女性别有关”？带饮品不带饮品总计男女总计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.82819.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点．(Ⅰ)证明：BD//平面AEC1；(Ⅱ)若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是正方形，求五面体AEB1C1A1的体积．20. 已知点F(1,0)，动点M 到直线l ：x =4的距离为d ，且|MF|d=12，设动点M 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)过点F 作互相垂直的两条直线，分别交曲线E 于点A ，B 和C ，D ，若四边形ACBD 面积为28849，求直线AB 的方程．21. 已知函数f(x)=xe x −a(x 2+2x)(a >0)．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x <0时，f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−√3ty =√3+t(t 为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线l 2的极坐标方程为θ=π6(ρ≥0)．(1)求直线l 1的倾斜角及极坐标方程；(2)若射线l 2与l 1交与点M ，与圆C 交于点N(异于原点)，求|OM|⋅|ON|．23. 已知a >0，b >0，a +b =1.设1a +ab 的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)解不等式|x +1|−|x −3|<m ．。

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浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题32019年高考模拟试卷数学卷双向细目表绝密★考试结束前2019年高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π121()3V S S h =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(原创) 1．已知U R =，集合{}|11A x x =-<<，则U C A = A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞【命题意图】考查集合的基本运算（★）(原创) 2．设i z +=11，i z -=12（i 是虚数单位），则2111z z +＝ A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【命题意图】考查复数的基本运算（★）(原创) 3．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥则2z x y =+的取值范围是A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞【命题意图】考查简单的二元一次线性规划（★★）(原创) 4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则 A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【命题意图】考查立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★） (原创) 5．观察下列各式： ,则A ．196B ．197C ．198D ．199【命题意图】考查斐波那契数列的简单推理（★★） (改编) 6．已知函数且,则A．B.C.D.【命题意图】考查函数的图像与性质（★★★） (原创) 7．已知是正整数，满足的正整数解有A ．54种B ．55种C ．56种D ．57种【命题意图】考查排列组合（★★★） (改编) 8．已知点为的外心，则的最小值为A ．1B ．2C ．D ．【命题意图】考查向量的应用（★★★★）(原创) 9．已知为双曲线C:上的一点，若的内切圆的直径为a,则双曲线C 的离心率的取值范围为A. B. C.D.【命题意图】考查求曲线的离心率（★★★★） 10．已知函数 ,函数,若函数恰有4个零点，则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【命题意图】用函数数形结合（★★★★）摘自《至精至简的数学思想方法》非选择题部分 (共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

(原创) 11．抛物线的焦点坐标是，离心率是．【命题意图】考查抛物线的标准方程（★） (原创)12．已知随机变量X 的分布列是：则，()E X = ．【命题意图】考查随机变量的期望和方差计算（★★）(原创)13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是，最长棱的长度（单位：cm ）是．【命题意图】考查三视图求表面积体积（★★）(原创) 14162，则n = ，展开式中的x 的系数为．【命题意图】考查二项式定理（★★★）(改编)15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则= .【命题意图】考查正弦定理以及切化弦的应用（★★★）(改编) 16. 已知函数(x)=则的取值范围为 .【命题意图】考查含参绝对值函数恒成立问题（★★★★）(改编) 17. 已知角A,B,C 为锐角三角形的三个内角，则的最小值为．改编自《导数压轴题与放缩应用》【命题意图】考查基本不等式与导数综合应用（★★★★★）三、解答题: 本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(原创) 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 知cos(B －C )＝1－cos A ，且b ，a ，c 成等比数列．【命题意图】考查三角恒等变形及正余弦定理的运用（★★★）(改编) 19．（本题满分15分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中，，，，P 为DF 的中点．)证：平面ABCD ；二面角的余弦值；G为线段AD上一点，，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【命题意图】考查立体几何线面平行的证明及线面角二面角的求解（★★★）(原创) 20．（本题满分15分）已知数列d的前(1)证明：是等比数列(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.()【命题意图】考查等比数列及数列求和（★★★）(改编)21．（本题满分15分）已知椭圆C与双曲线有共同焦点，且离心率为．椭圆C的标准方程；A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且，求的面积的最小值．【命题意图】考查直线与圆锥曲线的综合应用（★★★★★）22．（本题满分15分）已知函数不等式对任意恒成立，求的取值范围【命题意图】考查函数与导数综合应用（★★★★★）摘自《导数压轴题与放缩应用》2019年高考模拟试卷数学答卷一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）二、填空题（本题共有7小题，其中第12、13、14、17题每空3分，第11、15、16题每空4分，共36分）11． ___________， ___________ 12．___________， ___________ 13．___________， ___________ 14．___________ , ___________ 15．___________ 16. ___________ 17. ___________三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2019年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准一、选择题：（共8小题，每小题4分，共40分）二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11、 1 12、13、 14、215、 4 16、17、8：解：设,==,其中m,所以x+y=9：解：不妨设点P的内切圆I与三边分别切于M,N,T, 则有,由双曲线定义可知=2a所以=2a，=2a，所以T点在双曲线上，即T为双曲线的右顶点T,内切圆圆心为I,当焦点远离顶点T时，双曲线的离心率越来越大，当当焦点接近顶点T时，双曲线的离心率越来越小，其临界状态为当,因为,所以，，=因为，所以，所以4-4=，此时所以10：解：,又f所以,在同一坐标系中画出又的最小值为，所以15：解：答案：4,得得,即5所以16：解：根据题意有f(x)=对恒成立，则即，+ax+1,化简得即17：解：令代入化简得，14x+7y+4z=14x+7y+4=14x+7y+4=14x+7y+=令g当y,时，所以三、解答题：(本大题共5小题，共74分)．18. 本题主要考查三角恒等变换以及三角形正余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（1）因为A+B+C＝π，所以A＝π-(B+C)，由cos(B-C)＝1-cos A，得cos(B-C)＝1+cos(B+C)，整理得．分（2）因为b，a，c成等比数列，所以＝bc，由正弦定理，得sin2A＝sin B sin C，分由（1）可得．因为A∈(0，π)，所以．分又因为a边不是最大边，所以．分（3）因为，所以，分所以，分所以．分19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15 分。

Ⅰ取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，分所以，又平面ABCD，平面ABCD，则平面分Ⅱ取AB中点O，连接CO，则，因为平面平面ABEF，交线为AB，则平面分作，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则分于是，设平面DEF的法向量，则令，则分平面AEF的法向量分所以分又因为二面角为锐角，所以其余弦值为分Ⅲ，则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为，于是分于是，分20. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

力。

满分15分。

（Ⅰ）当时，所以,所以数列是等比数列分（Ⅱ）由（1）知分所以分由得,分21. 本题主要考查直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

满分15分。

由题意，椭圆的焦点坐标为，，设椭圆方程为，，，，椭圆C的标准方程为；分若MN的斜率不存在，设，则，而，故不成立，直线MN的斜率存在，分设直线MN的方程y，联立，得．，，，，分直线AM与直线AN斜率之积为．，整理得．分直线MN恒过．分由知，，，，当时，设OP所在直线方程为，则，，分当时，也符合上式，分，令，，，分，．当，即时，取最大值4，分当，即时，的面积最小，最小值为．分22. 本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，不等式及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能⑴分①当a=0时，=分②当所以分③当a=2时，函数的定义域为，,所以，分④当易得,其对称轴为直线且分所以，在上单调递增分⑵当时，分当分当上成立分当要证即证分构造函数,则=分则当时，分所以，分。

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