三角函数知识点总结及高考题库
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三角函数
知识要点:
定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等分为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|α|=r
l ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为(x ,y ),到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r
y ,余弦函数co s α=r
x ,正切函数tan α=x
y ,
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
三角函数知识框架图
2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则
称α为第几象限角.第一象限角的集合为
{}
360
36090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαπ⎧⎫
<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第
二象限角的集合为
{
}
36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαππ⎧⎫
+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =_________________ 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =___________ 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z =____________________ 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z =_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z =__________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z =__________________ 4、已知α是第几象限角,确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再
从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n
α终边所落在的区域.
5、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180
π
=
,180157.3π⎛⎫
=≈
⎪⎝⎭
.
6、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,
2C r l =+,211
22
S lr r α==.
7、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为
正,第四象限余弦为正.(口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦)
8、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .若⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈2,0πx ,则s inx 9、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;; () sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛ ⎫== ⎪⎝⎭ . 10、三角函数的诱导公式:(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫ += ⎪⎝⎭ ,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 11、两角和与差的三角函数公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+); ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-). 12、和差化积与积化和差公式: s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+2 βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in α-s in β=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+2 βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2βα, s in αco s β=21 [s in (α+β)+s in (α-β)],co s αs in β=2 1[s in (α+β)-s in (α-β)], co s αco s β=2 1[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-2 1[co s(α+β)-co s(α-β)]. 13、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin 22sin cos ααα=. ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(21cos 2cos 2 α α+= ,21cos 2sin 2αα-=). ⑶22tan tan 21tan α αα = -. 14 、 半角公式:s in ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2α= 2 ) cos 1(α-±2 cos 12 cos α α +± =; α α ααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-± = 15、辅助角公式 :()sin cos αααϕA +B =+,其中tan ϕB =A . 16、万能公式 2 tan 12tan 2sin 2 α α α+= ,2 tan 12tan 1cos 2 2α αα+-= ,2 tan 12tan 2tan 2 α α α-= 17、函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数() sin y x ϕ=+