电路的S域分析
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出 代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型1. 电阻元件的S 域模型电阻元件的伏安特性为V R (t) Ri R (t)(4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得V R (S ) RI R (S )(4-5-2)由上式可得电阻元件的 S 域模型如图4-5-1(b)所示2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为(4-5-3)对上式两边取拉氏变换，得V L (t)LdL(t)dtI R (S ) IV R (S )D R(b)电阻元件的S 域模型(c)图4-5-2电感元件的S 域模型所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为1 tv c (t) © i c ( )d对上式两边取拉氏变换，得由上式可得电感元件的由式(4-5-4)可以导出I L (S )的表达式为 I L (S )V L (S ) S L1-i L (0 )S(4-5-5)(4-5-6)V C (S )I C (S ) (1)i c (0 )(1)l c (s) 1 i c (0 )sC C S式中肖/1"。
)C 0i C ()dV c (0),所以11V C (S )I C (S ) — y(0)S CS(4-5-7)由上式可得电容元件的 S 域模型如图4-5-3(b)所示i c (t).V c (t)丰 CS 域模型如图4-5-2(b)I C (S )1 sC解:先按前述解题步骤求v c (t)(1)起始状态：t < 0时，电路已进入稳定状态，所以⑵ 画出电路的S 域模型图如图4-5-4(b)所示。
(3)由S 域模型图，列出S 域方程如下:(C)图4-5-3电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出l c (s)的表达式为l c (s) sCV c (s) Cv c (0 )(4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示利用S 域模型求电路的响应利用S 域模型求解电路响应的一般步骤如下：(1)求起始状态(0-状态)；(2)画s 域模型图；(3)列s 域方程(代数方程)；(4)解s 域方程， 求出响应的拉氏变换V(s)或I (s) ； (5)利用拉氏逆变换求v(t)或i(t)例4-5-1在图4-5-4所示电路中，t 0时，幵关S 位于“ 1”端，且电路已进入稳定状态，t 0时，幵关转至“图 4-5-4 例 4-5-1的电路及其S 域模型V c (0 ) EV c (t)21 E E l c(s) Rsc s s(4)解s 域方程，求得⑸对V c (s)取拉氏逆变换，得现在求v R (t)。
4.5 电路的S域模型
4.5 电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
4.5.1电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为RRL)0(-LLi sL)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i Ct v ττd )(1)( (4-5-6) 对上式两边取拉氏变换，得s i C sC s I s i s s I C s V C C C C C )0(1)()0()(1)()1()1(----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中 )0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i Ci C ττ, 所以 )0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a)(b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
四、电路的s域模型：
Y s
Y s
uc 0
s
0
R sL
R
1
sc
Y s iL 0 s 3uc 0 us s
s2 4s 4
s2 4s 4
y s y s.
x
f
Y xs
6s 20
s2 2
8
6
s2 2 s 2
+
复频域：U(s)=RI(s) I(s)
<2>电感：L.
时域：u(t)=Ldi(t)/dt i(t)
+
s域：U(s)=sLI(s)-LiL(0_)
RR
UL(t) 串联 I(s)
U(s) Ls Li(t)
• 2.元件模型：
<3>电容：c
I(s)= U(s)/sL+ iL(0_) /s 并联 I(s)
时域：u(t)=
1 c
t
0
i
x
d
x
uc
0
i(t)
c
u(t)
s域： U(s)=
1 I s uc 0
sc
s
I(s)
U(s)
U(s) 串
1/sc I(s)=scU(c)-cUc(Ω) I(s) 注：可以利用s域的电路定理和元件模型，对电路求解。 cUc(0_)
例9：如图电路，us t 12伏，i 1H , c 1F, R1 3, R2 2, R3 1,若原电路处于稳定态，当s闭合后， 求 Rs 两端电压的零输入响应yx t和 y f t。
四、电路的s域模型：
• 在时域时研究电路，要利用基氏电流、电压定律列方程处理，可推出s域的定律形式， • 并引出s域的元件模型列方程处理，一般电域方程为微分方程，而s域一般为代数方程。
《s域和z域分析》课件
02
S域分析
S域的变换方法
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过积分运算实现。
Байду номын сангаас
收敛域
拉普拉斯变换的收敛域是实数轴上 的一个区间，决定了变换的准确性 和适用范围。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性 、微分性等基本性质，这些性质在 分析电路和控制系统时非常有用。
S域的分析方法
传递函数
描述线性时不变系统动态特性的数学模型，由 系统的输入和输出关系式得到。
详细描述
在电力系统和控制工程中，S域的应用更为广泛，主要用于分析线性时不变系统 的暂态和稳态行为。而在数字信号处理和通信工程中，Z域的应用更为常见，主 要用于分析数字信号处理算法、滤波器设计以及系统稳定性分析等。
05
总结与展望
S域和Z域分析的总结
S域和Z域的定义与特性
01
S域和Z域分析的方法与技巧
总结词
S域和Z域的变换方法在数学原理和应用 上存在显著差异。
VS
详细描述
S域变换主要基于拉普拉斯变换，适用于 处理具有指数特性的信号，如正弦波和指 数函数。而Z域变换则基于离散傅里叶级 数和离散时间系统的概念，适用于处理数 字信号和离散时间系统。
分析方法的比较
总结词
S域和Z域的分析方法在系统特性和分析手 段上有所不同。
特点
Z域变换具有将时域信号转换为频域信号，便于分析信号的 频率特性的优点。
Z域的分析方法
01
02
03
定义
Z域分析是指对Z域信号进 行分析和处理的方法。
实现
Z域分析通常包括对Z域信 号进行滤波、调制、解调 等操作，以实现对信号的 处理和控制。
第五章S域分析,极点与零点
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
§4.05用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型
第四种情况 α ω R 较大，低 Q ，不能振 0
路 0 ， 无损 LC 回 耗 的 第一种情况：α p ω p ω 2 j 0 1 j 0 E 1 j ω t j ω t C 0 0 i t e e E sin 0t L2 j ω L 0 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 ω 0 ω 即 R 较小 Q 的 LC ， 回 高 路 Q ， 第二种情况： α 0 2 α 2 ω ω α 引入符号 α2 ω ω d 0 0 j d
(1) 起 始 i 状 0 0 态 A, v 0 为 0 V ０ L C (2) t 0的 s域等效模型 (3) 列方程
1 E LsI s RI s I s Cs s
1 E LsI s RI s I s Cs s E E 1 I s 1 L 2 R 1 s Ls R s s sC L LC 极点 p1, p2：
第三种情况：α ω0
R 2L 1 LC
p p α 1 2
E 1 Is 这时有重根的情况， I s 表示式为 2 L s α R t E E t L i t eα te 2 L L R 越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况
2 2 2 2 α ω E 1 0 α ω t αt t 0 i t e e e 2 2 L 2 α ω
Is ( ) c [ s U ( s ) u ( 0 ) ] c c c
I ( s ) scU ( s ) cu ( 0 ) c c c
u 0 ) 1 c( U s ) I s ) c( c( sc s
S域分析极点与零点
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
h(t)00Fra bibliotektp2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
第四章拉氏变换S域分析(共52张PPT)
0
n!
考虑到 LT[u(t)] 1 , 应用时域积分性质,得 s
LT[ 1 t nu(t)] LT[( t )n u(x)dx]
n!
0
1 sn
LT[u(t)]
1 s n1
LT[t nu(t)]
n! s n1
第二十五页，共五十二页。
(四) 延时(时域平移(pínɡ ) yí)
若 f (t) LT F (s), 则 f (t t0 )u(t t0 ) LT est0 F (s) 此式的应用条件为： 若t0 0，则在区间[t0 ,0]内应有f (t) 0； 若t0 0，则在区间[0,t0 ]内应有f (t) 0。
若 f (t) LT F (s),
则 t f ( )d LT F (s)
0
s
t f ( )d LT F (s) f (1) (0 )
-
s
s
对比时域微分结论.
第二十三页，共五十二页。
例:已知LT [u(t)] 1 ,求t nu(t)的LT . s
解 :由于
t
u( x)dx tu(t)
2
LT
s2
2
cosh(t)
1 (et 2
et )
LT s
s2 2
0 0
第十九页，共五十二页。
(二) 原函数微分(wēi fēn)
若 f (t) LT F (s),
则 f (t) LT sF (s) f (0 ),
一般公式 :
展开寻找规律
n1
f (n) (t) LT sn F (s) snr1 f (r) (0 ), r 0
4.4 拉普拉斯逆变换(ILT)
实际应用中常常遇到的象函数F (s)是s的有理分式,
信号与系统第五章连续系统的s域分析V4.
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
s 1
f
(1) (0 )
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
F(s)
n m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
例: t2(t) ←→?
t
0 (x) d x t (t)
t 0
2
(x) d x
t x (x) d x t 2 (t)
0
2
t 2 (t) 2
s3
教材第225页例5.2-8。
8 e 2 s 2s 2
(1 e2s 2s e2s )
2 e2s s2
(1 e2s
2s e2s )
三 时移性质（Time Shifting）:
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
则f(t-t0)(t-t0) ←→ e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合：则：
1 1
s2 s 1
,
ROC : 1
X 2 (s)
1 , s 1
ROC : 1
而 x1(t) x2(t) t 1 ROC为整个S平面
注：当 R与1 无R2交集时，表明 不X (存s)在。
二 尺度变换（Time Scaling）
电路的s域模型及s域分析_电路与信号基础_[共3页]
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电路与信号基础– 190 – 8.3 电路的复频域分析法电路的复频域分析法也称为拉普拉斯变换分析法，其分析电路的一般方法是：若给定了描述电路的微分方程和初始条件，则可利用拉氏变换将时域的微分方程转换为复频域的代数方程（该方程自动包含了电路的初始条件），然后通过求解该代数方程得到零输入响应、零状态响应和全响应的象函数，最后再对这些象函数进行拉氏反变换，从而求得电路的零输入响应、零状态响应和全响应；若给定了描述电路的时域电路图，则将其转换为s 域电路图，然后列出其所对应的s 域代数方程并求出所需响应的象函数，最后再通过拉氏反变换求得电路的各类响应。
8.3.1 微分方程的拉氏变换解法下面通过一道例题来说明微分方程的拉氏变换解法。
例 8.8 已知描述某电路的微分方程为''()3'()2()()y t y t y t f t ++=，外加激励信号3()e ()t f t t ε-=，且(0)1y -=，'(0)2y -=，求电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
解 对上述微分方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，可得2()(0)'(0)3[()(0)]2()()s Y s sy y sY s y Y s F s -----+-+=21(32)()(5)3s s Y s s s ++-+=+ 221816(32)()533s s s s Y s s s s ++++=++=++ 则25543()(1)(2)1232zi s s Y s s s s s s s ++===-++++++2110.510.5()(1)(2)(3)123(32)(3)zs Y s s s s s s s s s s ===-++++++++++ 222816816 4.540.5()(1)(2)(3)123(3)(32)s s s s Y s s s s s s s s s s ++++===-++++++++++所以12()[()](4e 3e )()t t zi zi y t L Y s t ε---==-123()[()](0.5e e 0.5e )()t t t zs zs y t L Y s t ε----==-+ 123()[()](4.5e 4e 0.5e )()t t t y t L Y s t ε----==-+8.3.2 电路的s 域模型及s 域分析1．常用电路元件的s 域模型（1）电阻元件。
s域和z域分析
1.熟练掌握单边Laplace变换及其基本性质和Laplace 反变换。 2.掌握用单边Laplace求解连续系统响应的零输入响应 和零状态响应。 3.重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性 （频响特性、因果性、稳定性）的关系。
(一)单边拉普拉斯变换的定义：
sa 2 s a 2 1 2 s a
(三)拉氏变换与傅氏变换的关系
F ( j ) F ( s) s j K n ( n )
n 1
N
(四)、拉普拉斯变换的性质
1.线性（叠加）特性 2.时域微分特性 3.时域积分特性 4.s域微分特性 5.s域积分特性 6.延时(时域平移) 7.s域平移 8.尺度变换 9.初值定理 10.终值定理 11.时域卷积定理 12.s域卷积定理(时域相乘定理)
1．熟练掌握单边z变换及其z变换的性质和z反变换。 2．掌握用单边z变换求解离散系统的零输入响应和零状 态响应。 3．重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性 （频响特性、因果性、稳定性）的关系。
(一) z变换定义、典型序列的z变换
单 : X ( z ) x ( n) z n
n 0
sin(t )et u(t )
1 ( s 1 j)( s 1 j)
sin(t )et u(t )
(九)零极点与系统的频响特性
频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响 应随信号频率的变化情况。
rss (t ) Em H 0 sin(0t 0 )
在频率为 0的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应 仍为同频率的正弦信号，但幅度乘以系数H 0，相位移动 0 , H 0和 0由系统函数在j 0处的取值决定。
用LT法分析电路S域模型教学课件
25 3
e 3t u (t )
*方法二：s域模型
R, L, C元件的时域关系：
(1)vR (t) RiR (t)
(2)vL (t)
L
ห้องสมุดไป่ตู้
diL (t) dt
(3)vC
(t )
1 C
t
iC
(
)d
s域模型一：
(1)VR (s) RIR (s)
(2)VL (s) L[sI L (s) iL (0 )]
(s
j ) R(s)
s j0
Em H 0e j0 2j
k j0
(s
j ) R(s)
s j0
Em H 0e j0 2j
稳态响应rss
(s)
Em H 0 2j
e e j(0t0 )
j (0t 0 )
EmH0 sin(0t 0 )
对比e(t) Em sin 0t 幅度改变 相位偏移
H (0 ) H0e j0
H(s)的极点
暂态响应
j轴或右半平面--自由响应
属于稳态响应 左半平面----强迫响应属于
E(s)的极点
暂态响应
j轴或右半平面--强迫响应
属于稳态响应
4.8 由系统函数零极点分布决 定频响特性
什么是系统频响特性？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态 响应.一般为复数，可表示为：
H () H () e j()
转移导纳 转移电压比
电流
电流
转移电流比
*冲激响应与系统函数：
H (s) h(t )est dt
0
h(t )
1
j
H (s)est ds
2j j
h(t ) H (s)
电路的S域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型RRL)0(-LLi sL由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i Ct v ττd )(1)( (4-5-6) 对上式两边取拉氏变换，得s i C sC s I s i s s I C s V C C C C C )0(1)()0()(1)()1()1(----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中)0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i C i C ττ, 所以 )0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a)(b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
5第5章-s域分析
例1: 求如图信号的单边拉氏变换。 0 解：f1(t) = (t) – (t-1)，f2(t) = (t+1) – (t-1) 1 F1(s)= (1 e s ) s F2(s)= F1(s) -1 0
第5-18页
■
1
t
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信号与系统 电子教案
5.1
fT (t)
拉普拉斯变换
信号与系统 电子教案
第五章 连续系统的s域分析
第五章 连续系统的s域分析
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析
一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型
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s )/2 ↔ 2 2 s 0
信号与系统 电子教案
5.1
拉普拉斯变换
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) f (t )e st d t
0
Re[s] > 0
F (j )
f (t )e j t d t
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：
1
(t nT )
n 0
1 (s ) n 1 1 e sT
s
n
0
12.
第5-15页
n 0
f 0 (t nT )
■
F0 ( s) 1 e sT
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信号与系统 电子教案
5.2
拉普拉斯变换性质
互感耦合电路s域分析
互感耦合电路s域分析
互感耦合电路是指电路中存在互感器，而互感器则是由两个或更多线圈组成，其中一个线圈的磁场可穿透另一个线圈，从而形成耦合。
在s域中对互感耦合电路进行分析，可以采用两种方法：本征阻抗法和双向Laplace变换法。
本征阻抗法是通过将互感耦合电路视为多个独立电路单元构成的网络，然后使用矩阵方法求解该网络的本征阻抗。
最终，可以得到网络的传输函数和稳定性条件。
双向Laplace变换法则是通过将电路中的元件都转化为s域的等效电路，然后利用Kirchhoff 电流和电压定律对电路进行建模，并采用Laplace变换求解。
该方法适用于复杂的互感耦合电路分析。
两种方法的具体步骤可以参考相关的电路分析教材和资料。
需要注意的是，在进行s域分析时需要保证电路中不存在非因果性的元件，并且要遵循电路平衡的原则。
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
课件
22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
课件
23
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
课件
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
2019/11/15
课件
34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
2019/11/15
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30Ω + uL -
+ 200V
-
iL 0.1H
10Ω
-
uC 1000μF
+ t0
(2) 画运算电路
sL 0.1s
1
1
1000
sC s 1000106 s
30Ω + UL(s) -
+
IL(s) 0.1s
-+
0.5 V
200/s V
10Ω
-
IC(s) -
备注： 1、原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t)、u(t)。 2、象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)、U(s)。
2、典型函数的拉氏变换 P.350 表14-1
3、拉氏变换的性质 线性性质、微分性质、积分性质、延迟性质、 卷积定理、初值定理与终值定理
初值定理 终值定理
lim f (t) f (0 ) lim sF (s)
学习目标
1、熟练掌握拉氏变换（反变换）的方法与性质；
2、熟练掌握基尔霍夫定律的S域形式。 3、熟练掌握电阻、电容、电感元件的S域形式
(运算电路)，会画运算电路。 4、熟练掌握应用运算法分析线性动态电路。
拉氏变换法求解电路过渡过程的步骤：
电路微分方程
拉氏变换
像函数的代数方程
解微分方程
代数运算
时域全响应
i1
M
i2
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
**
+
u1
L1
L2 u2
–
–
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
取拉氏变换
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2(s) Mi2(0 ) U2(s) sL2I2(s) L2i2(0 ) sMI1(s) Mi1(0 )
耦合电感的运算电路：P.358 图14-5(b)
拉普拉斯反变换 响应的像函数
时域分析
频域分析
14.1~14.3 拉氏变换与性质
1、拉氏变换与反变换
F (s) ￡ f (t)
f (t )e stdt
0
f (t ) ￡1 F (s)
1
c j F (s)e stds
2 j c j
正变换 反变换
拉氏反变换方法：（1）定义法；（2）部分分式法。
运算形式：
I(s) 0 U(s) 0
二、电路元件的运算模型 电阻的运算电路
1、电阻的运算模型
i(t) R
I(s) R
电阻的运算阻抗和 运算导纳：
u(t) u(t) Ri(t)
U(s) U(s) RI(s) ZR(s)I(s)
ZR(s) R YR (s) G
2、电感L的运算模型
I1
(s)
(10
1000 s )I2
(s)
100 s
5(s2 700s 40000)
IL(s) I1(s)
s(s 200)2
5(s2 700s 40000)
IL(s) I1(s)
s(s 200)2
(4)反变换求原函数
D(s) 0有3个根 : p1 0，p2 p3 200
u(t) L di(t) dt
U(s) LsI(s) i(0 ) sLI(s) Li(0 )
I(s) U(s) i(0 ) sL s
ZL (s) sL YL (s) 1 sL
i(t) L u(t)
I(s) sL Li(0 )
U(s)
sL
I (s)
i(0 ) s U(s)
3、电容C的运算模型
i(t) C
i(t) C du(t) dt
u(t) 1
sC
I(s) sCU(s) Cu(0 )
Cu(0 )
I (s)
ZC (s) 1 sC
U(s)
YL (s) sC
U(s) 1 I(s) u(0 )
sC
s
1 I(s) sC u(0 ) s
U(s)
4、耦合电感的运算形式
t 0
s
lim f (t) f () lim sF (s)
t
s0
例 已知
3s2 4s 5 F (S) s(s2 2s 3)
解：用初值定理
求 f (0 )
3s2 4s 5
f
(0
)
limsF (s)
s
lim
s
(s2
2s
3)
3
14.4 运算电路
一、基尔霍夫定律的运算形式
时域形式：
i(t) 0 u(t) 0
14.5 用运算法分析线性电路 运算法步骤：
1、由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ； 2、画出换路后的运算电路； 3、应用电路分析方法求响应的象函数； 4、用拉氏反变换求响应的原函数。
例1 uC(0 ) 100V , 计算iL(t)和uL(t)。
解 (1) 计算初值
uc (0 ) 100V
IL(s) s (s 200) (s 200)2
iL(t) i1(t) (5 1500te200t )A t 0
注意
UL(s) IL(s)sL
30Ω + UL(s) -
+
IL(s) 0.1s
-+
0.5 V
200/s V
10Ω
-
IC(s) -
UC(s) +
1000/s
-
100/s V
I1(s)
K1 s
s
K 21 200
(s
K 22 200)2
5(S2 700S 40000) K1 F (s)s s0 S 2 400S 2002 S0 5 K22 F (s)(s 200)2 s200 1500
K 21
d (s ds
200)2 F (s)
0 s200
50
1500
UC(s) +
1000/s
-
100/s V
+
30Ω + UL(s) -
+
IL(s) 0.1s
-+
0.5 V
200/s V
10Ω
- I1(s)
IC(s) -
UC(s)
+
I2(s)
1000/s
-
100/s V
+
(3) 分析电路：用网孔法
I1
(s)(40
0.1s)
10I2(s)
200 s
0.5
10
IC (s)
UC (s) 1 sC
s s1/
RC
1
1 / RC s 1 / RC
IC (s) +
R
Uc(s)
1/sC
uC
(t)
1 C
et / RC
(t
0)
iC
(t)
(t)
1 RC
et / RC
(t
0)
例2续 is (t), uc (0 ) 0 求冲激响应uC(t)和iC(t) 。
+
150 30000
UL(s)
I1(s)sL
0.5
s
200
(s
200)2
uL(t ) 150e200t 30000te200t V
t0
例2 is (t), uc (0 ) 0 求冲激响应uC(t)和iC(t) 。
is
iC +
Is(s) 1
R C uc
解:
R(1 / sC )
1
UC (s) R 1 / sC Is (s) C(s 1 / RC )