余弦型函数y=cosx-与-y=Acos(ωx+φ)的图象及应用

教师授课教案

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2

，k ＝

M ＋m 2

，ω由周期T 确定，

即由

2π

ω

＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别

由y ＝cos x 的图象变换到y ＝A cos (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是

|φ|

ω

(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 五．习题讲解

1.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．

A ．T ＝6π，φ＝π

6

B ．T ＝6π，φ＝π

3

C ．T ＝6，φ＝π

6

D ．T ＝6，φ＝π

3

解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3×1＋φ＝1，又|φ|

＜π2，得φ＝π

6. 答案 C

2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为

解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x . 答案 A

3．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

( )．

A.23

B.43

C.3

2

D ．3 解析 y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π

3

ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－3

2

k .又ω＞0，k ∈Z ，

∴当k ＝－1时，ω取最小值为3

2，故选C.

答案 C

4．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝3

2.

答案 3

2

5.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；

(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

解 (1)周期T ＝

2π

ω

＝π，∴ω＝2， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋φ＝－sin φ＝32，

∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π

3

.

(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3，列表如下：

2x －π

3

－π3 0 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )

12

1

－1

12

图象如图：

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．

(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2x －π4，x ∈R .

(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：

x

π

3π 5

π 7π 9π

12x －π4

0 π

2 π 32π 2π f (x )

3

－3

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π

4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有

点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．

考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式

【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．

[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.

解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π

3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函

数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π

3＝62.

答案 62

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω

的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．