周期信号的傅里叶变换

3.9 周期信号的傅里叶 变换
正弦/余弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换
正弦/余弦信号的傅里叶变换
1 2() cos(1t) [ ( 1) ( 1)]
sin( 1t) j[ ( 1) ( 1)]
一般周期信号的傅里叶变换
F(ω) 抽样前
Fs(ω)
抽样后
1/Ts
- ωm ωm
ω
- ωs
ωs ω
*频域抽样
f (t) F () F1() F () ()

其中 () ( n1) n 1 f1(t) 1 n f (t nT1)
f1(t)

1
1
| n | 8
周期信号f (t)的FS与取其一个周期f (t) GT1 (t) 形成的非周期信号的FT之间的关系:

f (t) Fne jn1t n
Fn

1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
令f0 (t) f (t) GT1 (t)
T1
F0 ()
2 T1
n
p147 例3 10
3.10 抽样信号的傅里 叶变换
时域抽样 频域抽样
连续 信号
f(t)
抽样
抽样
信号 fs(t)
数字 量化编码 信号
抽样脉冲p(t)
问题：
1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未 被抽样的连续信号的频谱有什么关系？
2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所 有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号 无失真的还原原始信号？
Fn

1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
周期信号的FS与其单周期信号的FT之间的关系
Fn

1 T1
F0 ( )
n1
时域抽样信号的FT

Fs ( ) Pn F ( ns ) n
自然抽样 :
Fs ()

E
Ts
Sa n
ns
2
F (

ns )
理想抽样 : Fs ()

1 Ts

F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
1
f1 (t )

1
f
n
(t

nT1 )
时域抽样定理
| | m

fs
2 fm或Ts

1 2 fm
频域抽样定理
|t
| tm
Ts

2tm或f s
尺度变换 : f (at) 1 F ( )
|a| a
时移 : f (t t0 ) F ( )e jt0 频移 : f (t)e j0t F ( 0 )
时域微分 : f (n) (t) ( j)n F () 频域微分 : ( jt)n f (t) F (n) ()
时域积分 : t f ( )d F () F (0) ()

j
频域积分 : f (t) f (0) (t)

F ()d
jt

时域卷积: f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
频域卷积 :
f1(t)
f2 (t)
1
2
f1(t)
f2 (t)
1
1
0
T
t
0
1 T
t
解 :由函数对称性可知 f (t) f1(t) f2 (t)
f (t)
2
1 T t
例题2 : 试求信号eatu(t)的能量,并确定
频率0 (弧度 / 秒),使得在0以下所有频谱
分量的能量贡献为信号总能量的95%.
解 :由定义,从时域中计算
n
f
(t

nT1)
上式表明： 若f(t)的频谱F(ω)被间隔为ω1的
冲激序列在频域中抽样，则在时域 中等效于f(t)以抽样间隔为周期而 平移。从而也就说明了“周期信号 的频谱是离散的”这一规律。
3.11 抽样定理
时域抽样定理 频域抽样定理
时域抽样定理
一个带限信号f(t),如果频谱|ω|≤ωm,则信 号f(t)可以唯一地由其均匀时间间隔 Ts≤1/(2fm)上的抽样值f(nTs)确定. 且抽样频率fs≥2fm(ωs≥2ωm). 而fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率; Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔.
已知f (t) F ()
对称性: F(t) 2f ()
奇偶虚实性 :| F () | 偶函数,()奇函数 实函数 : R()偶函数, X ()奇函数 虚函数 : R()奇函数, X ()偶函数
n
n
线性 : ai fi (t) ai Fi ( )
i 1
i 1
G
(t )

Sa(
2
)
e a|t|

2a
a2 2

T1 (t) 1 ( n1) n
sgn( t) 2 cos0t [ ( 0) ( 0)] j sin 0t j[ ( 0) ( 0)]
非周期信号的FT的性质
fs(t)
Ts h(t)
Ts f(t)
Ts
Fs(ω)
t
H(ω) ωm ωs 1
卷积
F(ω)
ωc
相 乘
ωm
频域抽样定理
一个时限信号f(t),如果集中于 |t|≤tm,则其频谱F(ω)可以唯一由其 均匀频率间隔fs (fs≤1/(2tm))上的 抽样值F(nωs)确定.
时域抽样与频域抽样的对称性
f(t) Ts F(ω) 以ωs为周期重复 F(ω) ωs f(t) 以Ts为周期重复
下次课包括4.1-4.5节的内容， 请预先做好听课准备。
第三章总结 及习题课
知识点回顾:
周期信号傅里叶级数分析 非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
典型周期信号的FS
典型非周期信号的FT 傅里叶变换基本性质 抽样信号的FT 抽样定理
傅里叶级数(FS)
三角形式 :
f
(t )

a0 2
傅里叶变换的定义
正变换 : F ( ) f (t)e jt dt
反变换 : f (t) 1 F ( )e jt d
2
典型信号的FT
(t) 1
eatu(t )
1
a j
1 2 ( )
u(t) () 1 j
当0 ~ 0 ,包含95%的能量
有
0.95 1 arctg(0 )
2a a
a
则0 12.706(rad / s)
例题3 :一连续时间理想低通滤波器S,
其频率响应是
:
H
(
)

1 0
| | 100 | | 100
当基波周期为T ,其傅里叶级数系数
6
为an的信号f (t)输入到滤波器时,滤波器 的输出为y(t),且y(t) f (t).

(2) f (t)为奇函数 : f (t) bn sin( n1t) n 1
bn

4 T1
T1 2
0
f (t) sin( n1t)dt

(3) f (t)为奇谐函数 : f (t) (an cos n1t bn sin n1t) n1
an和bn公式同上,且n为所有的奇数
F1() F2 ()
Parseval定理 : f 2 (t)dt | F ( f ) |2 df


1 | F () |2 d
2
一般周期信号的FT

FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n

2 Fn ( n1) n
f (t)e jt dt
2
则Fn与F0 ()之间关系为:
Fn

1 T1
F0 ()
n1
1 [
T1
T1
2 T1
2
f (t)e jt dt]
n1
周期单位序列的傅里叶变换：


T1 (t) (t nT1) 1 ( n1)
n
*时域抽样
fs (t) f (t) p(t)
1
Pn Ts
Ts
2 Ts
p(t)e jnst dt
2

P() 2 Pn ( ns )
n
Fs ()

1
2
F()* P()

Fs () PnF ( ns ) n
矩形脉冲抽样-自然抽样
Pn

1 Ts
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnst dt

E
Ts
Sa ns
2

Fs ()

E
Ts
n
Sa
ns
2
F (


ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
2.位于信号的谐频处.
3.大小不是有限值,而是无穷小频带内 有无穷大的频谱值.
周期信号的傅立叶变换存在条件
1.周期信号不满足绝对可积条件. 2.引入冲激信号后,冲激的积分是有意义
的. 3.在以上意义下,周期信号的傅立叶变换
是存在的. 4.周期信号的频谱是离散的,其频谱密度,
即傅立叶变换是一系列冲激.
令周期信号周期为T1,
角频率为1.其傅里叶级数为

f (t) Fne jn1t n

FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n

2 Fn ( n1) n
小 1.由结一F:n些冲T1激1 组T2T121成f (离t)散e频jn谱1t d.t
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
作业: 3-41
改 f2 (t) Sa(1000 t)
问: 对于什么样的n值,才保证an 0?
解:
f (t)的基波频率 : 1

2
Τ
12
f (t)通过理想低通滤波器后,输出的
是其本身,这意味着f (t)所有频率分量都
在低通滤波器的通带内.
f (t)是周期信号,其高次谐波可表示为
12n.因此有 | | 100 |12n | 100
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(an
n 1
cos n1t
bn
sin
n1t )
余弦分量幅度 : an

2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt(n 0,1,...)
正弦分量幅度 : bn

2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt(n 1,2,...)

指数形式 : f (t)
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
-ωm ωm
ω
ωm
ωs
ω
冲激抽样-理想抽样
1
Pn Ts
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnst dt
1
Ts
Fs ()

1 Ts

F (
n
ns )
上式表明:
Fs ()

1 Ts

F (
n
ns )
由于冲激序列的傅里叶系数Pn为 常数,所以F(ω)是以ωs为周期等 幅地重复,如下图所示：
F (n1 )e jn1t
n
F (n1)

Fn

1 T1
t0 T1 t0
f (t )e jn1t dt
其中n为所有的整数
函数f(t)的对称性与FS系数关系
(1)
f
(t )为偶函数
:
f
(t )

a0 2


an
n1
cos n1t
an

4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
E f 2 (t)dt e2atdt 1

0
2a
从频域计算,因为该信号有
F ( ) 1 j a
根据Parseval定理
E 1

|F ( ) |2 d 1
0

0

2
1
a2
d
1
1
arctg( )
a
a 0 2a

1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且

f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin( n1t)] n1

f2 (t) c0 [cn cos(n1t) dn sin( n1t)] n1

画出f (t) a0 c0 [an cos(n1t) dn sin( n1t)]的波形. n1