3.3-4 典型周期信号的傅里叶级数
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3.3-4 典型周期信号的傅里叶级数
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
周期信号的傅里叶级数表
17
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
第四章周期信号傅里叶级数
2
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
3-4 连续时间周期信号傅里叶级数举例
k0
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举例3：周期性方波
几点讨论：
1) 周期性方波的频谱系数是包络 2sin(T1) / 的 等间隔样本，样本间隔随周期的增大而减小
2) 频谱含量与有效带宽：
k0T1
k T 2T1
时域和频 域之间的 相反关系
3) 随着k的增加，ak的绝对值减小，说明信号 的能量主要集中在零频附近——基带信号
周期信号的傅里叶级数表示
连续时间周期信号傅里叶级数举例
举例1：信号的合成与分解
3
x t ake jk2t
k 3
1
1
1
a0 1, a1 a1 4 , a2 a2 2 , a3 a3 3
举例2：正弦信号与冲激串
xt sin0t
x t 1 e j0t 1 e j0t
2j
a0
1 T
T1 dt
T1 e jk0tdt 2sin(k0T1) 2T1 sin(k0T1) , k 0
T1
k0T
T k0T1
举例3：周期性方波
x
t
1, 0,
| t | T1 T1 | t | T /2
ak
2 sin(k0T1 ) k0T
Tak
2 sin(T1 )
2j
1
1
a1 2 j , a1 2 j , ak 0, k 1
xt t kT k
ak
1 T
T /2
T / 2
t
e jk (2 /T )t dt 1 T
举例3：周期性方波
该周期性方波在一个周期内的定义如下：
x
t
1, 0,
| t | T1 T1 | t | T /2
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号傅里叶级数
07
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
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01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
典型信号的傅里叶级数
3.3 典型信号的傅里叶级数
主要内容 重点 周期矩形脉冲信号 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的 化规律
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号
一、周期矩形脉冲信号
(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解 周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。 解：
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
相位谱
幅度谱
幅度谱与相位谱合并
复数频谱：
实数频谱：
举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点： 是正负交替的信号，其直流分量a0等于零。 它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2
解：
相位谱
幅度谱
其傅里叶级数表达式为：
则，全波余弦信号其频谱的变化规律
思考题
周期半波余弦信号，是偶函数。
解：
它是偶函数
可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。
其傅里叶级数表达式为：
五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解
周期全波余弦信号，是偶函数。
解：令余弦信号为
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。
二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。
解：
它是偶函数
6
5
其傅里叶级数表达式为：
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。
可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。
信号与系统第三章
T
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
2
2
f (t) E[u(t ) u(t )]
2
2
把周期信号展成傅里叶级数
f t a0 ancosnω1t bnsinnω1t n1
其系数为
1
a0 T1
T1
2 -T1
2
F(t)dt
1 T1
2 - 2
Edt
Eτ T1
第3章 傅里叶变换
an
2 T1
T1
2 T1
f(t)cos(nω1t)dt
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
2
2 T1
τ
2 τ
2
Ecos
n
2π T1
t
dt
谐波的幅度 按1/n规律收 敛
e nπ
sin
2nπ
2T1
sin
2nπ
2T1
2E nπ
sin
nπ
T1
2Eτ sin
nπ
T1
nπ
T1
T1
2Eτ T1
Sa
nπ
T1
Eτ1
π
Sa
nω1τ 2
第3章 傅里叶变换
由于f (t)是偶函数，有（2 3）可知 bn 0
规律收敛。
3.3～4周期序列的DFS及 DFS的性质
N 1
N 1 j 2 ( k r ) n 1 ~ ~ X (k ) e N x ( n )e n 0 k 0 N n 0 1 N 1 j 2 ( k r ) n 1， k r pN 而 e N N n 0 0， 其它 j N 1
k=0 ReZ
6 7 (N-1)
2014-12-2
21
四、函数 WN
e
j
2 N
的性质
n (W n )* 对称性： WN N n W n iN 周期性： WN N
in W n ,W in W n , 可约性：WN Ni N N /i
1 N 1 nk mk )* 正交性： WN (WN N k 0
~ ~ 因x (nT )是离散的，所以 X (k0 )应是 周期的。
而且，其周期为 2 / T N0 s
2014-12-2
k
k
~ （N点） 因此，X (k0 )应是几点的周期序列。
12
又由于频率指数e
2 j ( k rN ) n e N
j
2 kn N 也是以N为周期，即
当
2k / 10(即2k / N )时，X (e j )
~ X (k )
~ 2k 也就是： X (k )是X (e j )在＝ N 上的抽样值。 ~ X (k )和X (e j )的幅度谱和相位谱见课 本图3 6 / 7。 仿真图见下页 25 2014-12-2
DFS
2014-12-2
19
对x(n)作z变换：
X ( z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n 0
N 1
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
典型周期信号的傅里叶级数
sin
ωτ
2
ωτ
2
sin
ωτ
2 =0
与横轴的交点由下式决定： 与横轴的交点由下式决定： 即：
ωτ
2
ωτ
2
= π ,2π ,3π L
2π 4π 6π
ω = ω0 =
τ τ τ
L
2mπ
τ
1 2 3 Q ω = 2π f ∴ f = f 0 = , , ...
τ τ τ
)
( f 0表示过零点的谐波频率
若这些频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波 为零。 ( f1表示基波频率)
Fn
1 25
8π
2
− 40π
40π
nω 0
周期信号的功率谱
三.
τ
T1
的比值改变时，对频谱结构的影响。 的比值改变时，对频谱结构的影响。
P105.图(3-11)和p106.图（3－12） 图 和 图 － ） 1.T不变， 变 不变， 不变 τ
aQ 1 . ↓ 则 n的 敛 度 慢 . , c 收 速 变 2τ . 不 ，变 变 T 时
b(ω ) Q = −ωT a (ω ) ω = ±∞ K ∴ a (ω ) = b(ω ) 2 [ ] +1 a (ω )
2 2
b(ω )
ω =0
1 K 2
a (ω )
1 2 2 K 2 a (ω ) + b (ω ) − Ka (ω ) = 0 [a(ω) − K] +b (ω) = ( ) 2 2
设
k f (t ) = e T
1 − t T
k − T1 t − 则 F ( jω ) = ∫ e e −∞T
k T 1 2 ( ) + ω T
傅里叶变换的证明
cn
2
1 3
2
1 5 2
n
w1 3w1 5w1 w
w1 2w1 3w1 4w1 5w1 w
2
三:画 f (t ) 1 sin(w1t ) 2 cos(w1t ) cos(2w1t 4 ) 的频谱
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n
F (nw )e
1
jnw1t
F (nw1 ) Fn 2: 计算傅里叶系数
F (nw1 ) Fn
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )e jnw1t dt n ~ 整数
证明:把(4)(5)代入(10)即可.
3 两种傅氏级数系数间的关系.
F0 a0 c0
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
t0 T1
t0
f (t ) dt
注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n 1
2 2 cn an bn a n c n cos n b n arctana 都是nw1的函数 bn c n sin n
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
周期信号的傅里叶变换
Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
信号与系统中典型周期信号的傅里叶级数
1 = ∑(−1) sin( nw t) 1 π n=1 n 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 1/n的规律收敛
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。 周期三角脉冲信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。 周期半波余弦信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
∴ bn = 0
−T 1
− T0 1 2 T 1 2
T 1
t
可求出傅里叶级数的系数a 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。 留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为： 其傅里叶级数表达式为： E E 4 4 f (t) = + cos(w t) + cos(2w t) − cos(4w t) +L 1 1 1 π 2 3π 15 E 2E ∞ 1 nπ 2π = − ∑(n2 −1) cos( 2 ) cos(nw1t) w1 = T π π n=1 1 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量， 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 的规律收敛。 以1/n2的规律收敛。
4π
τ
w
幅度谱与相位谱合并
Cn c0
2π 4π
实数频谱： 实数频谱：
τ
τ
0 w2w 1 1
w
Fn
Eτ T1
2π 2π 4π
复数频谱： 复数频谱：
−
τ
τ
τ
0 w 2w1 1
w
举例： （3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
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频谱包含直流分量及0的基波和各次谐波分量; 1 或者说直流分量及0的偶次谐波分量.谐波幅度以 2 n 规律收敛.
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
f (t )
A
T
2 2
T
t
解： ) f (t )是偶函数，故只含有常 数项和余弦项。 (1
bn 0
4 an T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
2 T1 2 E 2 2 a0 f (t )dt Edt T1 0 T1 0 T1
T1 2 0
4 f (t ) cos n1tdt T1
2 0
n1 2 E E cos n1tdt Sa( ) cn T1 2
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
1 1 E n1 Fn (an jbn ) an Sa ( ) 2 2 T1 2
则
2 2 1 2 1 ( ) T1 4 4 1 T1 n
2 E T1 E T1
cn
2
121
4
因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。
一般情况： 若
则
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
3、频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
E
三、周期三角脉冲信号
f (t )
E
t
T1
T1 2
0
T1 2
T1
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) 2 cos(31t ) 2 cos(51t ) ...] 2 3 5 E 4E 1 2 n 2 2 sin ( ) cos( n1t ) 2 n1 n 2
sin x 令 Sa( x) x
f (t )
n
称为抽样函数或取样函数
A T
F e
n
jn0t
n
n0 jn0t Sa( )e 2
3.4 傅里叶变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
加权和”——傅里叶的第一个主要论点
n )
f (1) cos n1tdtjn t t t T
T1
2 余弦分量幅度 : anjn t f (t ) Fn e 1 T1
n
t0
Fn
0
1
t0
f (t )e
1
dt
双边幅度频谱（Fn ~ n1 ) 双边频谱 单边幅度频谱（c ~ n ) 单边频谱 其中n 1,2,.... 双边相位频谱（ n ~ n1 ) 单边相位频谱（ ~ n )
Fs
2sin T1
X j | k0
2T1
of
k0
3.4 傅里叶变换
2 T , 0 0 T
1
x(t)
非周期信号
T1
T1
t
Fs
2sin T1
X ( j)
2T1
连续时间的
<一般规律>
周期信号
3.4 傅里叶变换
2 T
X ( j ) k0
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa ( 2 )e n
2、频谱
2 E T1 E T1 2 E T1 E T1
E c0 T1
2 E n1 2E n1 cn Sa ( ) sin ( ) Fn E Sa ( n1 ) T1 2 n 2 T1 2
E T1
cn
2
Fn
1 21
2 4
121
cn
4
E T1
Fn
2
121 2
n
4
4 2
1 21
n
4
2 4
2 4
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
3.4 傅里叶变换
周期信号
x(t )
此信号可以看成是由一 个非周期信号延拓而成
0
2T
2 T
T
T
非周期信号
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
复习
上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分 析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级 数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析, 再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作 为分析.最后介绍了吉布斯现象.
复习
2 f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t ), 1 T1 n 1
1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) d 0 d n sin( n 2、指数形式的傅立叶级数 1t
t0
直流分量 : a0
n 1 n 1
f (t ) c0 cn cos( n1t n ) 1 t T
T1
0
1
f (t )dt
t 0 T1
率分量，谐波以幅
度1/n2规律收敛
五、周期全波余弦信号
f (t ) E | cos(0t ) |
f (t ) 2E
T
E
f (t )
0
T 2
t
2E
4E
3
cos( t ) cos( 2 t ) cos( 4 0t ) ...] 0 0 15 35
4E
4
4E 1 n 1 ( 1) cos( 2 n 0 t ) 2 n 1 ( 4 n 1) 其中 0 2 T0
n 1
f (t )
A
(2) 指数型傅立叶级数
1 Fn T
T
T 2
T 2
f (t )e
2
jn0t
1 dt T
2
2 2
T
t
2
Ae
jn0t
dt
A e jn0t T jn0
2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n0 T 2
吉布斯现象MATLAB程序集\LT3_1.m
本次课的主要内容
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 周期三角脉冲信号
3.4 傅里叶变换
频谱密度函数的概念 傅立叶变换对 傅立叶存在的条件
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
f (t )
T1 2T1
t
T1
T 1 4
T1 4
t
T1
E/2
E 2 E n1 周期矩形脉冲信号: f (t ) Sa ( 2 ) cosn1t T1 T1 n 1 令 a0 0, T1 2 ，则有 n f (t ) E Sa ( ) cos n1t 2 n 1 2E 1 1 (cos1t cos31t cos51t ) 3 5
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
4A n0 2A n0 sin( ) sin( ) n0T 2 n 2 A 2A n0 f (t ) sin( ) cosn0t T n 2
E f (t )
T1
T1 2 2
2
T1 2
T1
t
T1 T1 一个周期[ , ] 内 2 2 E ( t 2 ) f (t ) E[u ( ) u (t )] 2 2 0 (t ) 2
E f (t )
1、傅立叶级数
非周期信号
1 x(t ) Txk e jk0t 0 2 k T jk0t 0 0 Txk x(t )e dt T
X ( jk0 ) X ( j ) k 0
1 x(t ) X ( j )e jt d 2 X ( j ) x(t )e jt d
1 1 f (t ) (cos 1t cos 31t cos 51t ) 3 5
cn
E
2E
31
1
E
71 51