信号与系统(周期信号傅里叶级数)
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Convergence of the Fourier series
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性
问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 x(t ) 以 T0 为周期 x(t )
xN (t )
k jk0t a e k
16
* Q ak a k
Bk jCk B k jC k
因此 Bk B k 即
Ck Ck
ak的实部关于k 偶对称，虚部关于k 奇对称。
将此关系代入，可得到
jk0t jk0t x(t ) a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
x(t )
k
Ak e e
jk
jk0t
a0
k
1
Ak e
j ( k0t k )
Ak e j (k0t k )
k 1
a0 [ A k e jk0t e j k Ak e jk0t e jk ]
k 1
Q a ak
x(t ) a0 2 Bk cos k0t Ck sin k0t
k 1
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
17
四.连续时间傅里叶级数的系数确定
如果周期信号 x(t )可以表示为傅里叶级数 综合公式
x(t )
k
ae
k
k
jk0t
2 0 则有 T
12
分量 e
j0t
可表示为
1 j0t cos 0t (e e j0t ) 2
1 2 1 2
1
0
0
0
0
因此，当把周期信号x(t ) 表示为傅里叶级数
x(t )
k
ak e jk0t 时，就可以将 x(t ) 表示为
gggg a3
a2
a1
a0
a1
a2
0 0
a3 gggg
这样绘出的图 称为频谱图
13
频谱图其实就是将 ak 随频率的分布表示出来， 即 ak
~ 关系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
示信号的方法称为频域表示法。 三.傅里叶级数的其它形式 若 x(t )是实信号,则有 x(t ) x (t ) ，于是
Signals and Systems
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析
Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质(不讲解）
2
3.0 引言
•
Introduction
2. 当 T1 改变， T 不变时，随 T1 使占空比减小，谱
线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络
主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。
24
信号对称性与频谱的关系：
当 x(t ) x(t ) 时，有
1 ak T
2 T 2
T
x(t )e
jk0t
2 dt T
T
2
0
x(t ) cos k0tdt
e
jk0t T1 T1
2sin k0T1 sin(k0T1 ) k0T k
2T1 sin k0T1 2T1 2T1 2T1 Sa(k0T1 ) sin c( k) T k0T1 T T T
其中
sin x Sa( x ) x
sin x sin c ( x ) x
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许
多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲
折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人
反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
6
Page128 结论：
• 复指数函数
e st、 z n是一切LTI系统的特征函
数。 H ( s ) 、 H ( z ) 分别是LTI系统与复指数信号
相对应的特征值。
H ( s) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h ( n ) z
只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
x(t )e jn0t
ak e j ( k n )0t
对两边同时在一个周期内积分，有
T0
0
x(t )e
jn0t
dt
k
ak e j ( k n )0t dt
0
T0
18
T0
0
e
j ( k n )0t
dt cos(k n)0tdt j sin(k n)0tdt
9
x(t )
显然 x(t ) 也是以
k
ak e jk0t
2
叶级数(指数型的）， a k 为傅立叶级数的系数。
0
为周期的。该级数就是傅里
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数 谐波分量。 例 1：
1 j0t 1 j0t x(t ) cos 0t e e 2 2
表明：偶信号的 ak 是关于 k 的偶函数、实函数。 当 x(t ) x(t ) 时，有
1 T2 2 T2 jk0t ak T x(t )e dt j x(t )sin k0tdt T T 0 2
表明：奇信号的 ak 是关于 k 的奇函数、虚函数。
25
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
* k
Ak e
jk
Ak e
j k
即： Ak A k 表明
k k
15
ak 的模关于 k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t ) a0 [ A k e jk0t e j k Ak e jk0t e jk ]
k 1
x(t ) a0 2 Ak cos(k0t k )
0
2 T0
用有限个谐波分量近似 x(t ) 时，有
k N
N
ak e jk0t
26
误差为 eN (t ) x(t ) xN (t ) 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为
1 EN (t ) T0
1 T0
T0
1 eN (t ) dt T0
2
N
T0
x(t ) xN (t ) dt
T0
T0
x(t )e
0 T0
0
0
0, T0 ,
kn kn
jn0t
1 dt anT0 即 an T0
T0ห้องสมุดไป่ตู้
0
x(t )e jn0t dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为 分析公式 a 1 k *Page134: T
20
1
Sa( x)
0
1
x
sin c( x)
1
0
1
2 1
x
根据 ak 可绘出 x(t ) 称为占空比,即 a0 的值，它代表一个周期内信号 x(t ) 为1时所占的比例。 21
2T1 的频谱图。 T
T 不变 T1 时
2T1 1 T 2
2T1 1 T 4
2T1 1 T 8
22
N *
2
jk0t jk0t x(t ) ak e x(t ) ak e dt T0 k N k N
对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x(n) ,若能将其 表示为下列形式：
x(t ) a1e a2e a3e
s1t s2t
s3t
7
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H (s )es1t 1
e H (s2 )e
s2t
s2t
es3t H (s3 )es3t
s1t
所以有
T
x (t )e
jk0t
dt
1 a0 T
T
x (t )dt
19
a0 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。
*Page135：例3.3、3.4
五.周期性矩形脉冲信号的频谱
x(t )
0T 2
1 ak T
T
1
t
T
T1
T1
e
jk0t
dt
1 jk0T
4
傅里叶生平
1768—1830
• 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 的分析理论” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
5
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
T1 不变 T 时
2T1 1 T 2
2T1 1 T 4
2T1 1 T 8
23
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1. 离散性
2. 谐波性
3. 收敛性
考查周期 T 和脉冲宽度 2T1 改变时频谱的变化： 1. 当 T1 不变，改变 T 时，随 T 使占空比减小，谱 线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变， 包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。
2)LTI系统满足线性、时不变性。
•
从分解信号的角度出发，基本信号单元必 须满足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。
2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
3
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
10
1 显然该信号中，有两个谐波分量， a1 为相应 2 分量的加权因子。
例2： x(t ) cos 0t 2cos30t 1 j0t j0 t [e e ] e j 30 t e j 30 t 2 在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3,
k
Page130：例3.1 *问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
8
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: (t ) {e jk0t } k 2 其中每个信号都是以 为周期的，它们的公 k0 共周期为 2 ，且该集合中所有的信号都是彼 0 此独立的。 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
jk0t jk0t jk0t x (t ) ak e jk0t ak e a e a e k k k k k k *
ak a
k
或
a ak
* k
14
若令 ak Ak e jk 则 a0 为实数
s2t s3t
x(t ) y(t ) a1H ( s1 )e a2 H (s2 )e a3 H (s3 )e
即：
x(t ) ak e
k sk t
y (t ) ak H ( sk )e sk t
k
同理： x(n) a Z n k k
k
y(n) ak H ( Z k )Z kn
时对应的谐波分量。 *例3 Page 131 3.2
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶 级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。 11
二.频谱（Spectral）的概念 信号集 k (t ) 中的每一个信号，除了成谐波关系 外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的， 差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。
k 1
——傅里叶级数的三角函数表示式 若令 ak Bk jCk 则
x(t ) a0
k
jk0t jk0t ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
1
jk0t jk0t a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性
问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 x(t ) 以 T0 为周期 x(t )
xN (t )
k jk0t a e k
16
* Q ak a k
Bk jCk B k jC k
因此 Bk B k 即
Ck Ck
ak的实部关于k 偶对称，虚部关于k 奇对称。
将此关系代入，可得到
jk0t jk0t x(t ) a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
x(t )
k
Ak e e
jk
jk0t
a0
k
1
Ak e
j ( k0t k )
Ak e j (k0t k )
k 1
a0 [ A k e jk0t e j k Ak e jk0t e jk ]
k 1
Q a ak
x(t ) a0 2 Bk cos k0t Ck sin k0t
k 1
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
17
四.连续时间傅里叶级数的系数确定
如果周期信号 x(t )可以表示为傅里叶级数 综合公式
x(t )
k
ae
k
k
jk0t
2 0 则有 T
12
分量 e
j0t
可表示为
1 j0t cos 0t (e e j0t ) 2
1 2 1 2
1
0
0
0
0
因此，当把周期信号x(t ) 表示为傅里叶级数
x(t )
k
ak e jk0t 时，就可以将 x(t ) 表示为
gggg a3
a2
a1
a0
a1
a2
0 0
a3 gggg
这样绘出的图 称为频谱图
13
频谱图其实就是将 ak 随频率的分布表示出来， 即 ak
~ 关系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
示信号的方法称为频域表示法。 三.傅里叶级数的其它形式 若 x(t )是实信号,则有 x(t ) x (t ) ，于是
Signals and Systems
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析
Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质(不讲解）
2
3.0 引言
•
Introduction
2. 当 T1 改变， T 不变时，随 T1 使占空比减小，谱
线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络
主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。
24
信号对称性与频谱的关系：
当 x(t ) x(t ) 时，有
1 ak T
2 T 2
T
x(t )e
jk0t
2 dt T
T
2
0
x(t ) cos k0tdt
e
jk0t T1 T1
2sin k0T1 sin(k0T1 ) k0T k
2T1 sin k0T1 2T1 2T1 2T1 Sa(k0T1 ) sin c( k) T k0T1 T T T
其中
sin x Sa( x ) x
sin x sin c ( x ) x
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许
多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲
折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人
反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
6
Page128 结论：
• 复指数函数
e st、 z n是一切LTI系统的特征函
数。 H ( s ) 、 H ( z ) 分别是LTI系统与复指数信号
相对应的特征值。
H ( s) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h ( n ) z
只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
x(t )e jn0t
ak e j ( k n )0t
对两边同时在一个周期内积分，有
T0
0
x(t )e
jn0t
dt
k
ak e j ( k n )0t dt
0
T0
18
T0
0
e
j ( k n )0t
dt cos(k n)0tdt j sin(k n)0tdt
9
x(t )
显然 x(t ) 也是以
k
ak e jk0t
2
叶级数(指数型的）， a k 为傅立叶级数的系数。
0
为周期的。该级数就是傅里
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数 谐波分量。 例 1：
1 j0t 1 j0t x(t ) cos 0t e e 2 2
表明：偶信号的 ak 是关于 k 的偶函数、实函数。 当 x(t ) x(t ) 时，有
1 T2 2 T2 jk0t ak T x(t )e dt j x(t )sin k0tdt T T 0 2
表明：奇信号的 ak 是关于 k 的奇函数、虚函数。
25
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
* k
Ak e
jk
Ak e
j k
即： Ak A k 表明
k k
15
ak 的模关于 k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t ) a0 [ A k e jk0t e j k Ak e jk0t e jk ]
k 1
x(t ) a0 2 Ak cos(k0t k )
0
2 T0
用有限个谐波分量近似 x(t ) 时，有
k N
N
ak e jk0t
26
误差为 eN (t ) x(t ) xN (t ) 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为
1 EN (t ) T0
1 T0
T0
1 eN (t ) dt T0
2
N
T0
x(t ) xN (t ) dt
T0
T0
x(t )e
0 T0
0
0
0, T0 ,
kn kn
jn0t
1 dt anT0 即 an T0
T0ห้องสมุดไป่ตู้
0
x(t )e jn0t dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为 分析公式 a 1 k *Page134: T
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1
Sa( x)
0
1
x
sin c( x)
1
0
1
2 1
x
根据 ak 可绘出 x(t ) 称为占空比,即 a0 的值，它代表一个周期内信号 x(t ) 为1时所占的比例。 21
2T1 的频谱图。 T
T 不变 T1 时
2T1 1 T 2
2T1 1 T 4
2T1 1 T 8
22
N *
2
jk0t jk0t x(t ) ak e x(t ) ak e dt T0 k N k N
对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x(n) ,若能将其 表示为下列形式：
x(t ) a1e a2e a3e
s1t s2t
s3t
7
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H (s )es1t 1
e H (s2 )e
s2t
s2t
es3t H (s3 )es3t
s1t
所以有
T
x (t )e
jk0t
dt
1 a0 T
T
x (t )dt
19
a0 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。
*Page135：例3.3、3.4
五.周期性矩形脉冲信号的频谱
x(t )
0T 2
1 ak T
T
1
t
T
T1
T1
e
jk0t
dt
1 jk0T
4
傅里叶生平
1768—1830
• 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 的分析理论” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
5
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
T1 不变 T 时
2T1 1 T 2
2T1 1 T 4
2T1 1 T 8
23
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
1. 离散性
2. 谐波性
3. 收敛性
考查周期 T 和脉冲宽度 2T1 改变时频谱的变化： 1. 当 T1 不变，改变 T 时，随 T 使占空比减小，谱 线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变， 包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。
2)LTI系统满足线性、时不变性。
•
从分解信号的角度出发，基本信号单元必 须满足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。
2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
3
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
10
1 显然该信号中，有两个谐波分量， a1 为相应 2 分量的加权因子。
例2： x(t ) cos 0t 2cos30t 1 j0t j0 t [e e ] e j 30 t e j 30 t 2 在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3,
k
Page130：例3.1 *问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
8
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: (t ) {e jk0t } k 2 其中每个信号都是以 为周期的，它们的公 k0 共周期为 2 ，且该集合中所有的信号都是彼 0 此独立的。 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
jk0t jk0t jk0t x (t ) ak e jk0t ak e a e a e k k k k k k *
ak a
k
或
a ak
* k
14
若令 ak Ak e jk 则 a0 为实数
s2t s3t
x(t ) y(t ) a1H ( s1 )e a2 H (s2 )e a3 H (s3 )e
即：
x(t ) ak e
k sk t
y (t ) ak H ( sk )e sk t
k
同理： x(n) a Z n k k
k
y(n) ak H ( Z k )Z kn
时对应的谐波分量。 *例3 Page 131 3.2
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶 级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。 11
二.频谱（Spectral）的概念 信号集 k (t ) 中的每一个信号，除了成谐波关系 外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的， 差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。
k 1
——傅里叶级数的三角函数表示式 若令 ak Bk jCk 则
x(t ) a0
k
jk0t jk0t ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1
1
jk0t jk0t a0 ( B jC ) e ( B jC ) e k k k k k 1