备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题56利用点的坐标处理圆锥曲线问题

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库
专题 56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题
【热点聚焦与扩展】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方 面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题； 二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何 性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性 较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最 值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤， 而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题. 本专题在分析 研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备 结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理.然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整
体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与 x1 x2 , x1x2 , y1 y2 , y1 y2 相关，利
用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐.所以要理解“韦达定 理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段. 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受
x1 x2 , x1x2 , y1 y2 , y1 y2 形式的约束
（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算 繁琐.那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解 出来（用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入， 也要考虑整体代入以简化运算.（整体代入是解析几何运算简化的精髓）.有时利用‘点差法’，确定坐标关 系，效果也好，需灵活处理.
【经典例题】
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例 1.【2018 年理新课标 I 卷】设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，
N 两点，则
=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为
，与抛物线方程联立
，
消元整理得：
，解得
，又
，所以
，从而可以求得
，故选 D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先
需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出
，之后借助
于抛物线的方程求得
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求
得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.
例 2.【2018 年理数全国卷 II】设抛物线
的焦点为 ，过 且斜率为
的直线 与 交于 ，
两点，
．
（1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
【答案】(1) y=x–1,(2)
或
．
详解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）．设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
得
．
，故
．
所以 因此 l 的方程为 y=x–1．
．由题设知
，解得 k=–1（舍去），k=1．
2

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（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为
，即
．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得
或
因此所求圆的方程为
或
．
例 3.【2018 年理数天津卷】设椭圆
(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，
点 A 的坐标为 ，且 （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l：
. 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若
(O 为原点) ，求 k 的值.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) 或
详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2c，由已知知
，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b．由已知可得，
，
，
由
，可得 ab=6，从而 a=3，b=2．所以，椭圆的方程为
．
（Ⅱ）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有 y1>y2>0，故
．又
因为
，而∠OAB= ，故
．由
，可得 5y1=9y2．由方程组
消去 x，可得
．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组
消去
x，可得
．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=
，两边平方，整理得
，解得 ，
或
．所以，k 的值为 或
例
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上的点到它的两个焦点的距离之和为
4，以椭圆 C
的短轴为直径
的圆 O 经过这两个焦点，点 A, B 分别是椭圆 C 的左右顶点 （1）求圆 O 和椭圆 C 的方程
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