分式运算的几种技巧(专题复习)超好的整理资料
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
第8讲 分式运算的几种技巧
第8讲 分式运算的几种技巧一、分式的乘除法 1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：bdac d c b a =⋅ （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示：bcad c d b a d c b a =⋅=÷ 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分； （3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：n n n ba b a =）（（其中n 为正整数，a ≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：bc a b c b a ±=± 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
（一）合理运用逐项通分我是一个标题
例1:
常规策略：一次通分，然后化简。
巧妙解法：
画龙点睛：对分母应用平方差公式，依次合并两个分式，比全部通分要简便。
练习题：
（二）恰当利用拆项解题
例2：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：
画龙点睛：化分式为部分分式，其实质就是把分母较复杂的分式拆成几个分母较简单的分式的代数和，能达到化繁为简的目的。
练习题：
（三）巧用换元法解题
例3：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：设x－y＝a，y－z＝b,z－x＝c.
画龙点睛：通过观察发现，
x＋y－2z＝(y－z)－(z－x),
x＋z－2y＝(x－y)－(y－z),
y＋z－2x＝(z－x)－(x－y),
从而考虑用换元法。
练习题：
常规策略：可先解出方程的根，然后代入计算。
巧妙解法：将x4＋x3－4x2＋x＋1＝0方程两边除以x2，得
画龙点睛：注意x≠0时，方程两边才能同时除以x2.
练习题：
（五）设辅助参数
左边＝[a2＋(ak)2＋(ak2)2]
[(ak)2＋(ak2)2＋(ak3)2]＝
a4k2(1＋k2＋k4)2,
右边＝（a2k＋a2k3＋a2k5）2＝
a4k2(1＋k2＋k4)2
所以原式成立。
画龙点睛：遇到连比，可设辅助参数解题。
练习题：。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. 则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算技巧知识点总结
分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。
在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。
本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。
一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。
若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。
例子1：计算1/2 + 1/3。
解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。
将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。
例子2：计算2/5 + 3/5。
解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。
这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
例子3：计算3/10 + 2/5。
解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。
例子4：计算2/3 × 4/5。
解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。
2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。
例子5：计算2/3 ÷ 4/5。
解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。
三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。
「初中数学」分式运算中的十二种技巧
「初中数学」分式运算中的十二种技巧打开今日头条，查看更多图片分式的加减运算中起关键作用的就是通分，但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果.一.分式的化简技巧技巧1.整体通分法此题把a一2看作一个整体，通分较好，把a与2分开通分，2前边是'一'号，还得注意分子加减时变号，易错.技巧2.顺次通分法此题顺次通分正好最简公分母是平分差的形式，有利于计算. 技巧3.分组通分法此题若全部一起通分，不仅计算量大，而且易出错. 技巧4.先约分再通分法分式运算中，能约分的先约分计算简便，需要因式分解，化为积的形式，本题第一个分式中，分子因式分解采用分组分解法，看不懂的同学，看下边技巧5.分离分式后通分法看不懂的同学，看下一个解法，把一1/(x一4)与1/(x一3)对调位置.运算中，特别要注意负号. 技巧6.换元后通分法观察式子都有3m一2n，所以采用换元法技巧7.拆项相消法本题关键看清前后项相消，最后剩下哪一项二.分式的求值技巧技巧8.化简后整体代入法化简时注意先算乘除，后算加减. 技巧9.补项后用整体代入法本题有1/x十1/y 1/z≠0，一定有它的用处，加之给定的是对称式子，想到构造1/x十1/y十1/z这种式子.技巧10.变形后用整体代入法技巧11.倒数求值法本题巧用了x 1/x=2，然后借用完全平方公式，解出所求的值.技巧12.消元约分法设主元法这类题，初一下，二元一次方程组有过类似的题型，通过把一个未知数看成已知数表示出另两个未知数，从而可求出代数式的值.以上分享的技巧，同学们体会它的好处，优点，多问几个为什么，必要的时候记一下题型，对解分式题有帮助.感谢大家的关注、转发、点赞、交流！。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
小学数学分式运算技巧总结
小学数学分式运算技巧总结数学是一门重要的学科，而分式运算是其中的一个重要内容。
在小学阶段，学生需要掌握基本的分式运算技巧，为进一步的数学学习打下基础。
本文将总结小学数学分式运算的技巧，帮助学生更好地理解和应用分式运算。
一、分式的定义和基本性质在学习分式运算之前，我们先来了解分式的定义和基本性质。
分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式可以表示整数之间的除法运算，也可以表示代数式之间的除法运算。
1. 分式的定义：分式是一个形如a/b的数，其中a为分子，b为分母，b不等于0。
2. 基本性质：- 分子与分母互质：分子与分母没有公共的因数。
- 真分式和假分式：分子小于分母的分式被称为真分式，反之为假分式。
二、分式的四则运算1. 加法和减法：- 分母相同的分式，直接将分子相加或相减，不改变分母。
- 分母不同的分式，需先找到它们的公倍数，然后通分，再进行相加或相减。
2. 乘法：- 将分子相乘，分母相乘，得到的新的分子和分母组成新的分式。
- 可以对乘法顺序不同的分式进行变形，结果相同。
3. 除法：- 将被除数与除数的分子和分母对调，然后进行乘法运算。
- 可以将除法转化为乘法，以便进行简化。
三、分式的化简化简分式是将分子与分母约分，使得分子与分母不再有公共的因数，从而得到分式的最简形式。
化简分式的步骤如下：1. 找出分子与分母的公因数，并进行约分。
2. 若分子与分母都可以被一个数整除，则可以继续约分。
四、分式运算中的技巧1. 化简分式时，可以先找出分子与分母的公共因数，然后进行约分。
这样可以简化计算过程，并得到最简形式的分式。
2. 分式运算中，可以将分子和分母分别因数分解，再进行约分。
这样可以更直观地看到哪些因子可以约去。
3. 乘法运算中，可以将分子和分母分别进行因数分解，再进行约分。
这样可以简化分式，并得到最简形式的分式。
4. 在进行分式运算时，可以借助整数运算的方法进行计算。
例如，将分数化为带分数进行运算，再将结果转换为分数形式。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
八年级数学下册16.2分式的运算分式运算技巧点点通素材新人教版
分式运算技巧点点通分式运算是令同学们比较头痛的一种运算，因此如何巧妙地进行分式运算便成了同学们最关心的事情，下面归纳了几种常见的运算技巧，希望对同学们的学习有所帮助．一、巧用乘法公式例1 计算2211a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 分析：本题符合平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2的特征，可应用平方差公式进行计算． 解：原式1111a a a a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭ 242a a a b a b==++． 二、巧用分解因式例2 计算2222222222x xy y x xy y x y xy x y xy-+++--+． 分析：本题每个分式的分子、分母都是多项式，故可先因式分解，约去公因式，然后进行计算．解：原式22()()x y xy x y -=- x y x y xy xy-+=- 22y xy x -==-．2x y x y x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 1x y +与括号里的项相乘，则会使计算简便． 解：原式111()22x y x y x x y x x y+=-++++ 11122x x=-+ =1．四、巧设k 值例4 已知234x y z ==，求2222323x y z xy yz xz-+++的值． 分析：本题与比例有关，可以通过设中间量来达到化简求值的目的．解：设234x y z k ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ． 所以原式222(2)2(3)3(4)(2)(3)2(3)(4)3(2)(4)k k k k k k k k k -+=++ 223454k k = 1727=． 五、巧用整体思想 例5 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b +---的值． 分析：将已知条件变形可得a -b =-3ab ，然后代入原式即可．解：∵113a b-=，∴3a b ab -=-． 代入2322a ab b a ab b +---，得 原式2()3()2a b ab a b ab-+=-- 6332ab ab ab ab-+=-- 35=． 总之，在进行分式的运算时，我们需要根据题目的具体情况，找出分式的特点，采用巧妙灵活的方法进行求解，最后达到事半功倍的效果．牛刀小试：1．化简2211()a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭． 2．已知2231x x x =-+，求2421x x x -+的值． 3．已知1b c c a a b a b c +++===，求()()()abc a b b c c a +++的值． 参考答案：1．-2b；2437．（提示：可将231xx x-+变形为1213xx=-+，得172xx+=，进而求解）；3．1．。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
八年级数学知识点：分式的运算知识点
八年级数学知识点：分式的运算知识点八年级数学知识点：分式的运算知识点数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
以下是店铺精心整理的八年级数学知识点：分式的运算知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学知识点：分式的运算知识点1一、约分与通分：1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分；分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的根据是分式的基本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
约分的方法和步骤包括：（1）当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积；（2）当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。
2、通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。
分式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。
（1）当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的所有不同字母的积；（2）如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母；（3）通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的分式相等；（4）通分和约分是两种截然不同的变形、约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。
注意：（1）分式的约分和通分都是依据分式的基本性质；（2）分式的变号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）约分时，分子与分母不是乘积形式，不能约分、3、求最简公分母的方法是：（1）将各个分母分解因式；（2）找各分母系数的最小公倍数；（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母（求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程时起非常重要的作用）。
掌握分式计算题的这9个解答技巧,轻松迎中考,家长转给孩子看看
掌握分式计算题的这9个解答技巧,轻松迎中考,家长转给孩子看看分式计算题是中考数学的重要考点之一，掌握分式计算题的解答技巧对于提高解题速度和准确性非常重要。
以下是9个解答分式计算题的技巧，希望能够帮助同学们轻松迎考中考。
1.约分与通分：对于分式计算，首先观察是否可以进行约分或通分，以简化表达式。
约分可以消去公因式，通分则可以将不同的分母统一，便于计算。
2.分子分母分解因式：对于某些分式，可以通过分解因式的方法简化计算。
例如，可以将分子或分母中的某些项进行因式分解，从而简化整个表达式。
3.寻找公共因子：在复杂的分式中，尝试寻找分子和分母的公共因子，以便进行约分。
公共因子可以是数字、字母或它们的组合。
4.使用乘法公式：在处理分式时，可以尝试使用乘法公式（如乘法分配律）来简化表达式。
这有助于将复杂的分式转化为更易于处理的形式。
5.消去分母：如果分子和分母都有相同的因子，尝试消去这些因子，使分式更易于处理。
消去分母的方法是通过乘以适当的表达式来消除公共因子。
6.利用等价无穷小替换：在处理涉及无穷小量的分式时，可以使用等价无穷小替换来简化计算。
例如，可以将无穷小量替换为与其等价的有限量，以便更容易地处理分式。
7.化简复杂表达式：对于复杂的分式表达式，尝试将其化简为更简单的形式。
这可以通过合并同类项、提取公因子或使用其他数学技巧来实现。
8.细心运算：在进行分式计算时，务必保持细心和耐心。
由于分式的运算比较复杂，很容易出错，因此需要仔细检查每一步的计算过程。
9.多做练习题：为了熟练掌握分式计算题的解答技巧，同学们需要多做练习题。
通过练习不同类型的题目，可以加深对分式计算的理解，提高解题速度和准确性。
总之，掌握以上9个解答技巧可以帮助同学们更好地应对中考中的分式计算题。
希望同学们能够认真学习这些技巧，并在实际解题中加以运用，提高自己的数学成绩。
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分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算22212324x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243x x x x =11111243x x x x =。
五、 逐项通分法例5 计算：44322x a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算1x 21x 11x 12+-+--1x 81x 484+-+-六、 裂项相消法例6 计算：1111...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)a a a a a a a a . 分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111(1)1a a a a ，这样可抵消一些项.解：原式=11111111()()()...()11223910a a a a a a a a =111010(10)aa a a 七、 整体代入法例7．已知1x+1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y +-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y+---的值．八、 公式变形法例8．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值． 九、 设中间参数法例9．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。
（2）已知6z 5y 4x ==，则z3z 4y 3x 2+-=_____________。
十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）例10．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a )2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915练习：已知a+1a=5．则2421a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题)例11. 已知abc=1,则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13=1. 说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．练习：（1）已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ （2）已知6z 5y 4x ==，则z3z 4y 3x 2+-=________ 十二、 主元法 例12. 已知xyz ≠0,且3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0,求2222x y z xy yz zx++++的值. 解：将z 看作已知数，把3x －4y －z=0与2x ＋y －8z=0联立，得 3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0.解得 x=3z,y=2z.所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)z z z z z z z z z ++⋅+⋅+⋅=2214 1.14z z= 练习：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222a b c ab bc ac ++++混合运算练习题（1）2222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a . (3) 21x x -－x －1 (4)3a a --263a a a +-+3a (5)x y y y x x y x xy --++-222 (6)293261623x x x -+--+ (7)xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (8)a a a a a a 4)22(2-⋅+-- (9)232224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭ (10))1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+- (11) )252(23--+÷--x x x x (12) (ab b a 22++2)÷b a b a --22 (13)22321113x x x x x x x +++-⨯--+ (14)xx x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+(15)计算：x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22，并求当3-=x 时原式的值．【错题警示】一、错用分式的基本性质例1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 为何值时，分式有意义错解：要使分式有意义，须满足，即.由得，或由得.当或时原分式有意义.分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.故本题的正确答案是且.八、错在忽视特殊情况例8解关于的方程.错解：方程两边同时乘以，得，即.当时，，当时，原方程无解.分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.正解：方程两边同时乘以，得，即当且时，，当或时，原方程无解.。