垂径定理及其推论练习题
第十讲 垂径定理及其推论
第十讲 垂径定理及其推论一、知识要点回顾：1、圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
2、垂径定理： 文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且_______________________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
3、垂径定理的推论： 。
符号语言： ∵ ∴二、例题讲析：用垂径定理解决问题例1、已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径。
例2：如图，过点B 、C 的⊙O 的圆心在等腰三角形的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径。
例3：如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB 的长.例4：如图，某地有一圆弧开拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。
现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？三、巩固练习B ACD O M _B _A _O _垂径定理的推论中的条件要特别注意。
B A E D O CC BD OA 1．判断对错：（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。
（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。
（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。
（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。
（ ）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。
（ ）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。
（ ）8、垂直于弦的直线必经过圆心。
2、已知如右图：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则BC =____，AC =____ ；CE=______ 3、 已知：AB 为⊙O 的弦，⊙O 的直径为26cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求弦AB 的长。
垂径定理专项训练题
最重要是三个定理：1、垂径定理 2、圆周角定理及其推论 3、切线的性质和判定 其它的性质和定理：同圆或等圆的半径相等； 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：经过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧这五个条件中任意两个成立，其它三个也成立 垂径定理的作用：证明线段相等、证明角相等、弧相等、垂直。
1、研究有关弦的问题常用辅助线：作弦心距，构建直角三角形。
2、经过圆内一点的最长弦和最短弦；圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离例1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：该题是典型的研究圆中有关弦的问题，根据常用辅助线需要作弦心距OF ，连接 OC 、OD 从而构建出两个直角三角形Rt △OCF 和Rt △ODF 说明：此题需要利用方程思想，利用勾股定理做等量关系构建出关于半径的一元方程例2：半径为10cm 的⊙O 中，弦AB=16cm ，弦CD=12cm ，且AB ∥CD ，则AB 与CD 此题有两个答案，是分类思想在圆中的经典体现，出题率很高。
也是利用勾股定理。
练习：1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。
专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E 为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC 上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
垂径定理复习
圆的有关概念及性质考点一：垂径定理及推论：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，（平分弦时，直径除外）注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线A．B．C．8 D．12对应训练一、选择题。
1、下列命题中正确的是（）A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（）.A. 2B. 4 C . 45 D. 25第2题第3题第4题3、如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）．cm cm225、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）．cm cm cm或cm D cm或cm6、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）．第6题第7题7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）8、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB和CD的距离是（）A、2cmB、14cmC、2cm或14cmD、2cm或12cm二、填空题。
1、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．第1题第2题第3题2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．3、如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．4、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．第4题第5题第6题5、如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．Θ与x轴交于O,A两点，点A的6、如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ的半径为13，则点P的坐标为____________.坐标为（6,0），P考点二：圆周角定理及其推论：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是例：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE的长是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC．•其中正确结论的序号是_______．对应训练1、如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．第1题第2题第3题第4题2、已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°3、如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．AD=BC C．∠D=12∠AEC D．△ADE∽△CBE5、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°6、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．三，解答题。
部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ 10 m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 26 米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。
【人教版】数学九年级全一册24.垂直于弦的直径——垂径定理的推论及应用随堂练习(课件版)
用垂径定理及其推论解决实际问题
【例 3】如图，实线为一条公路，公路有一段是圆弧 (弧 AB)，已知 AB＝12 米，CD＝2 米，半径 OC⊥AB， 求 OA 的长．
解：∵半径 OC⊥AB，∴AD＝A2B ＝6. 在 Rt△AOD 中， OA2＝OD2＋AD2＝(OC－DC)2＋AD2＝(OA－2)2＋62. ∴OA2－(OA－2)2＝62. 解得 OA＝10. 答：OA 的长为 10 米．
AD＝12 AB＝5.
∴OA2＝(OA－1)2＋52. 解得 OA＝13. ∴⊙O 的半径为 13.
3.如图，M 是⊙O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交⊙O 于点 E，并且 CD＝6，EM＝9，求⊙O 的半径．
解：如图，连接 OC. ∵M 是弦 CD 的中点，EM 过圆心 O， ∴CM＝MD，EM⊥CD. ∵CD＝6，∴CM＝3. 设 OC＝x，则 OM＝9－x. 在 Rt△COM 中，根据勾股定理，得 32＋(9－x)2＝x2. 解得 x＝5. ∴⊙O 的半径为 5.
垂径定理的推论
【例 1】如图，在⊙O 中，点 A 是圆上一点，OA 与 弦 CD 交 于 点 B ， 且 BC ＝ BD ， 则 ∠OBD ＝
_______9_0__°_______，A⌒C ＝____A⌒_D______．
2.如图，CD 是直径，AB 是弦，CD 平分 AB，则下列
结论正确的有_①___②__③__④__．(填序号)
(2)求证，AB∥CD， ∴EF⊥CD. ∵EF 过圆心 O，∴CF＝DF. ∴EC＝ED.
8.如图是一块残破轮片的示意图，点 O 是这块轮片
的圆心，AB＝120 mm，C 是A⌒B 上一点，OC⊥AB，
垂足为 D，CD＝20 mm，求原轮片的半径 r.
最新垂径定理及其推论练习题教学讲义ppt课件
脊柱推拿可能的作用机制
❖ 由于研究条件等因素所限，对脊柱推拿治疗 机理研究的相对较少，对其治疗机理大多仅 为推测。
解除滑膜嵌顿
❖ 最早是由欧洲脊柱推拿治疗者提出，认为脊柱小关 节间的滑膜嵌入是造成脊柱活动受限和疼痛的主要 原因。
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么 C到AB的距离等于 1㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
M
A
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 , AC= 4 ,OA= 13
❖ 快速的推拿手法可使神经根和关节周围的粘 连得到一定程度的松解。
纠正关节错位
❖ 脊椎关节位置异常致椎间孔变小和横突孔狭 窄扭转位移，使神经根受压以及椎动脉管腔 狭窄和扭曲，出现神经根和椎动脉受损的症 状。
❖ 推拿可调整椎间盘与神经根的位置，恢复正 常的颈腰椎关节解剖序列，有利于椎间盘、 韧带和关节囊等处组织水肿的消退，静脉回 流的改善，促使神经根周围炎症减退，从而 达到治疗目的。
❖ 脊柱椎间小关节各有自己独立的关节囊，当颈随头 作各个方向的运动，椎间关节间隙增大时，关节囊 内层的滑膜或滑膜皱襞就有可能嵌入，成为疼痛源。
❖ 脊柱推扳或旋转推拿手法可使嵌入的滑膜或滑膜皱 襞得到解除，从而达到治疗目的。
解除肌肉痉挛
❖ 骨骼肌张力的异常升高以及肌肉痉挛时，肌肉的形 态、组织性质、解剖位置和生化等方面并无病理改 变，只是功能上出现非协调性的异常收缩。
垂径定理及推论
EABC O1． (20１３ 浙江省舟山市) 如图,⊙O 的半径O Ｄ⊥弦AB 于点C ，连结ＡO 并延长交⊙O 于点E ,连结EC .若A Ｂ＝8,C Ｄ=2，则E Ｃ的长为（ ▲ )（A)２15ﻩ （B ）8（C ）２10ﻩﻩ （Ｄ）213答案:D２01309２908２53２９075３９ ４．2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 ２013-0９-2９2. （2０1３ 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中,OC ⊥弦ＡＢ于点C ,AB =4,O Ｃ=１,则OB 的长是(A) 3 (B ） 5 （C)15 (D ） 17答案：Ｂ２01309241５1843286232 4.２ 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2０1３-09-243． (201３ 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．．的是（ ）． （A)AD BD = (Ｂ)AFBF = （C ）OF CF = (D ）90DBC ∠=°答案:C2013092210371４437７04 ４.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 20１3-09-224. （20１3 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为０.８m ，则排水管内水的深度为m.答案：0．2２0130922１014０0８59477 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2０13-09-22５． （20１3 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=,3AC =,4BC =,以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 Ｃ． 185 D. 52CA DB答案：Ｃ20130９2２0918２５984700 4.２ 垂径定理及推论 选择题 基础知识 ２01３-09－２２6. (201３ 湖北省黄冈市) 如图,M 是CD 的中点，EM CD ⊥,若48CD EM ==，，则CED 所在圆的半径为．答案：17420130９22090529390698 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2０１3-０9-２２7. (2013 浙江省绍兴市) 绍兴是著名的桥乡,如图,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8ｍ,桥拱半径ＯC 为5 ｍ,则水面宽AB 为（ ) （Ａ）４ｍ （B ）5m (C)６m (D ）8m答案:Ｄ2013０9220902０2８78151 4．２ 垂径定理及推论 选择题 基础知识 ２013－０9-2２8. (2013 黑龙江省绥化市) 如图,在O 中,弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ,若O 的半径为2，则弦AB 的长为 ．答案:32０１３０922０844０5３905７1 4.２ 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013－0９－２29. (２０1３ 黑龙江省齐齐哈尔市) CD 是O ⊙的一条弦,作直径AB 使AB CD ⊥,垂足为E ,若10,8AB CD ==,则BE 的长是（ )．(A ）8 （B)2 （C)２或8 (D)３或７答案：C２０130922083１３5７341１3 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2０1３-09-2２10. (2013 黑龙江省哈尔滨市） 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ,AC 、CD 是O ⊙的两条弦，且CD AB ∥,若O ⊙的半径为52,4CD =，则弦AC 的长为＿_＿__＿．答案:52０130922０753100９3177 ４．2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 201３-0９－2211． （2０13 四川省泸州市) 已知O ⊙的直径10CD =ｃm,AB 是O ⊙的弦,AB CD ⊥,垂足为M ,且8AB =ｃｍ,则AC 的长为( )(A ）5 （B ）45（Ｃ)25或5ｍ （Ｄ）23或43ｍ答案:Ｃ20130９18113356390655 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 201３-09-1812． （201３ 四川省乐山市） 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙Ｂ与ｙ轴的正半轴交于点A （0,1）,过点P (0,-7）的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦ＣD 长的所有可能的整数值有(A）1个（B)２个（C)３个（D)4个答案:Ｃ201３０91８０８1431484943 4．2 垂径定理及推论选择题基础知识2０１３－09-181３.(2０13 四川省广安市)如图,已知半径OＤ与弦AB互相垂直,垂足为点C,若ＡB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（ )A. 256ｃｍ B． 5cmＣ. ４cm D．196cm答案：A２0130917１6３944625451 ４.２垂径定理及推论选择题基础知识２０13-09-171４.(2013 上海市) 在⊙O中,已知半径长为3，弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为_____＿＿＿_＿_.２01３0９１７0955５207８０49 4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-０９-１71５. (2０1３ 广西南宁市) 如图,AB 是O ⊙的直径，弦CD 交AB 于点E ，且8AE CD ==，12BAC BOD ∠=∠，则O ⊙的半径为( ).（A) (B)５ (C)４ (D)3答案：B2013０91６10１021603939 4．２ 垂径定理及推论 选择题 基础知识 20１3-０9-１６1６. (2013 山东省潍坊市) 如图,O ⊙的直径12AB =,CD 是O ⊙的弦，CD AB ⊥,垂足为P ，且15BPAP =∶∶，则CD 的长为( ). （A ）24 (B ）28 (C)52 （Ｄ）54答案：D20１309１6０92１252793８0 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-０9-1617. (２０13 山东省济南市) 如图,ＡB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，A Ｂ=10,AC =６，OD BC ⊥，垂足为D ,则B Ｄ的长为(Ａ)2 （B ）3 （C)4 （D ）6答案:C2013０９13165737４６8６33 4.2垂径定理及推论选择题基础知识2０13-０9-13１8．(2０13 青海省西宁市) 如图,AＢ为⊙Ｏ的直径,弦CD⊥AB于点Ｅ,若CＤ=6,且ＡE：BE＝1：3,则AB= .4答案:3201３09１3154１０55936４3 4.2 垂径定理及推论填空题基础知识２0１3-０9-13 1９. (２01３浙江省丽水市) 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径ＯB＝1０,水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（)（A)4 (B)5（C）6 （D)8答案：C２０1３０9１３14４４15376549 ４.２垂径定理及推论选择题基础知识2013-09-1320. （20１3 宁夏回族自治区)如图,将半径为2ｃm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为ｃｍ．答案：32２013091３113８2６765103 ４．２ 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2０13-09-１321． (2013 广西来宾市) 如图是一圆形水管的截面图，已知O ⊙的半径13OA =,水面宽24AB =,则水的深度CD 是_________．答案：8201３０９121６4４２4597０３9 ４.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 201３-０9-１222． (2０1３ 广东省广州市) 如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限,P Θ与x 轴交于O,Ａ两点，为13，则点Ｐ的坐标为 __点Ａ的坐标为（6,0）,P Θ的半径＿__＿＿＿__＿_.答案:(3，2)（第6题图）ODCBA2０130912153３4287６8０4 4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 20１3-0９-1２2３． (2０13 甘肃省兰州市) 如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面A Ｂ宽为8cm ，水的最大深度为２cm,则该输水管的半径为Ａ．3ｃm Ｂ.4cm Ｃ．5cm Ｄ．6cm答案:C2013091２1３582６3８５227 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 ２01３-0９-1224． (2０13 福建省泉州市) 第二节三角形的内角和定理及推论）在ABC△中,2060A B ∠=∠=°，°,则ABC △的形状是( ） （A)等边三角形ﻩﻩ(B)锐角三角形 (C ）直角三角形 （D ）钝角三角形答案:D２0130911171046６3３７21 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 201３-09-1１25. (20１3 福建省南平市） 如图,在⊙O 中,直径CD ⊥弦A Ｂ,则下列结论中正确．．的是 A ． AD ＝ＡＢ B.∠B ＯＣ＝2∠Ｄ C.∠D +∠B ＯC =90°D ．∠D =∠Ｂ答案：B2013０９1１162738535４1６ 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-０9-1１26． (２０13 江苏省徐州市) 如图，AB 是O ⊙的直径,弦CD AB ⊥，垂足为P ,若8CD =,3OP =，则O ⊙的半径为().（Ａ)1０ (Ｂ）8 (Ｃ）5 （D)3答案：C2０1３09101６0３29453５78 4．2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 ２013－09-１027. (2013 四川省资阳市) 在⊙Ｏ中,AB 为直径，点C 为圆上一点,将劣弧沿弦AC 翻折交ＡB 于点Ｄ，连结CD .(1)如图5-1,若点D 与圆心O 重合，AC ＝２,求⊙Ｏ的半径r ；(6分)（2）如图5-２，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝2５°,请直接写出∠DC Ａ的度数. (2分）答案:（1) 过点O 作A Ｃ的垂线交AC 于E 、交劣弧于F ，由题意可知，ＯＥ=EF ,ﻩ1分∵ OE ⊥AC ,∴AE =12AC ，3ﻩ分 在Rt △AOE 中，222AO OE AE =+， ························· 4分∴2211()2r r =+,∴r =233.ﻩ６分 （２)∠D ＣA =4０°． ································ 8分 图5-1 图5-22013０909163１１9１１１５94 4.2 垂径定理及推论 应用题 基础知识 ２013－０9-0928． (2013 吉林省长春市) 如图,ＭＮ是⊙O 的弦,正方形OABC 的顶点B 、C 在ＭＮ上,且点Ｂ是CM 的中点.若正方形O ＡBC 的边长为7，则ＭN 的长为 ．答案:28２01309０8142６３032８０5４ 4.2 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-0829. (２0１３ 吉林省） 如图,AB 是O ⊙的弦,OC AB ⊥于点C ,连接OA OB ，．点P 是半径OB 上任意一点,连接AP ．若5cm 3cm OA OC ==，，则AP 的长度可能是 cm(写出一个符合条件的数值即可）.答案:6（答案不唯一，大于或等于５并且小于或等于8的任意一个数值皆可)201３090８13405３45３816 4.２ 垂径定理及推论 填空题 基础知识 2013-09-0８３0. （201３ 四川省内江市） 在平面直角坐标系ｘOy 中,以原点Ｏ为圆心的圆过点A(13,0）,直线ｙ=ｋx ﹣3k ＋４与⊙O 交于Ｂ、Ｃ两点，则弦ＢC 的长的最小值为 ．答案: 242013０９0５１５5６42５7２7７８４.2垂径定理及推论填空题基础知识2０1３-０9-０5。
专题2.2 垂径定理及其推论【十大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题2.2 垂径定理及其推论【十大题型】【苏科版】【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 (1)【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 (3)【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 (8)【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 (14)【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】 (19)【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】 (23)【题型7 垂径定理的实际应用】 (27)【题型8 垂径定理在格点中的运用】 (33)【题型9 利用垂径定理求整点】 (37)【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】 (41)【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE D．AC=BC【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可；【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故选项A，B，D 正确；OE=DE无法得出，故C错误．故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（）A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线经过圆心C．平分弦的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；故选ABD．【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．DE=BEB ．BC =BD C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形【答案】B【详解】试题分析：∵AB ⊥CD ，AB 过O ，∴DE=CE ，BC =BD ，根据已知不能推出DE=BE ，△BOC 是等边三角形，四边形ODBC 是菱形．故选B ．【考点】垂径定理．【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是（ ）A B ．C ．D 【答案】C【分析】设BC 、OA 交于D ，根据题意和垂径定理得到OD =12r ，BD =3，∠ODB =90°，在Rt △OBD 由勾股定理得到r 2=32+，解方程即可得到答案．【详解】解：设BC 、OA 交于D ，∵弦BC 垂直平分OA ，BC =6，∴OD =12OA =12r ，BD =12BC =3，∠ODB =90°，在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2，∴r2=32+，解得r=故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．【答案】7【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴，∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E 点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CE2的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接BE，如图，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故选：B．【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变）请求出其范围．【答案】（1）2）3）不变，值为12【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则Rt△OHN中，利用勾股定理计算出OH⊥MN得到HM=HN，所以（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出(3) 作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴在Rt△OHN中，∵ON=4，∴∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴∴（3的值不发生变化，为定值1，2作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，=2R2 4R2=1 2的值不发生变化，为定值12．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF为正方形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，∴根据垂径定理得，DF =CF =12CD =12×6=3，AH =BH =12AB =12×6=3，∵AE =1，∴EH =AH−AE =3−1=2，在Rt △OBH 和Rt △OCF 中，OB =OC BH =CF ，∴Rt △OBH≌Rt △OCF(HL)，∴OH =OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠HEF =90°，∵∠OHE =∠OFE =90°，∴四边形OHEF 为正方形，OE 是正方形的对角线，∴OE ==故选：A ．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．【详解】解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，∠OAE =∠COD ∠AEO =∠ODC OA =OC，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD3．【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点G,AD =CB,M,N 分别是CB 和AD 的中点，联结MN,OG ．（1）求证：OG ⊥MN ；（2）联结AC,AM,CN ，当CN//OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OM,ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，由AB =CD ， 可得OM =ON ，可证RtΔEOP≌RtΔFOP (HL )，MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，根据等腰三角形三线合一性质OG ⊥MN ;（2）设OG 交MN 于E ，由RtΔEOP≌RtΔFOP ，可得MG =NG ，可得∠CMN =∠ANM ，CM =12CB =12AD =AN ，可证△CMN≌△ANM 可得AM =CN ，由CN ∥OG ，可得∠AMN =∠CNM =90°，由∠AMN +∠CNM=180°可得AM ∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由∠AMN =90°可证四边形ACNM 是矩形．【详解】证明：（1）连结OM,ON ，∵M 、N 分别是CB 和AD 的中点，∴OM ，ON 为弦心距，∴OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，∴∠GMO =∠GNO =90°，在⊙O 中，AB =CD ，∴OM =ON ，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM =ON OG =OG ，∴RtΔGOM≌RtΔGON (HL )，∴MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，∴OG ⊥MN ;（2）设OG 交MN 于E ，∵RtΔGOM≌RtΔGON (HL )，∴MG =NG ，∴∠GMN =∠GNM ，即∠CMN =∠ANM ，∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中CM =AN ∠CMN =∠ANM MN =NM，∴△CMN≌△ANM，∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，∵CN∥OG，∴∠CNM=∠GEM=90°，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴∠AMN+∠CNM=90°+90°=180°，∴AM∥CN，∴ACNM是平行四边形，∵∠AMN=90°，∴四边形ACNM是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P，四边形ABPD即为所求．【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；∵四边形ACDE 为平行四边形，∴AF =DF ，∵OA =OD ，∴ OP 是∠AOD 的角平分线；（2）如图2，连接OD ，连接DB ，OC 交于点E ，作射线AE 交射线DC 于点P ，四边形ABPD 即为所求；∵点C 是BD 的中点，∴OC ⊥DB ,∵OD =OB ，∴DE =EB ，∵AB∥CD ，∴∠ABE =∠PDE ，在△ABE 与△PDE 中，∠ABE =∠PDE∠AEB =∠PED DE =BE，∴△ABE≌△PDE ，∴AB =DP，∵AB∥DP，∴四边形ABPD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为a的值是（ ）A．4B．3+C．D．3+【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解．【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠PDE =∠ODC =45°，∵PE ⊥AB ，∴△PED 为等腰直角三角形，AE =BE =12AB =12×=在Rt △PBE 中，PB =3，∴PE =1，∴PD =∴a =3故选B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10,0)，点B 的坐标是(8,0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，求点C 的坐标．【答案】点C 的坐标为(1,3)【分析】连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H ，根据题意得CD =OB =8，CN =MH ，CH =MN ，根据垂径定理得出CN =DN = 12 CD =4．MO =MC =5, 在Rt △MNC 中，勾股定理得出MN =3,进而得出C 的纵坐标为3，又OH =OM−MH =5−4=1，即可求解．【详解】解：如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H ．∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8,0)，∴CD =OB =8，CN =MH ，CH =MN ．又∵MN⊥CD，CD=4．∴CN=DN=12∵点A的坐标是(10,0)，∴OA=10，∴MO=MC=5．在Rt△MNC中，MN===3．∴CH=3．又OH=OM−MH=5−4=1．∴点C的坐标为(1,3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【答案】(0,−4)【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB＝4，FC＝FD，2∴OE ＝EB ﹣OB ＝4﹣2＝2，∴E （2，0），设P （2，m ），则F （0，m ），连接PC 、PA ，在Rt △CPF 中，PC 2＝（3﹣m ）2+22，在Rt △APE 中，PA 2＝m 2+42，∵PA ＝PC ，∴（3﹣m ）2+22＝m 2+42，∴m ＝±12（舍正），∴F （0，−12），∴CF ＝DF ＝3−(−12)＝72，∴OD ＝OF +DF ＝12+72＝4，∴D （0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 经过点(0,10)，直线y =kx +2k−4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的最小值是（ ）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k−4过定点D(−2,−4)，运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点(0,10)，可求出半径OB=10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【详解】解：对于直线y=kx+2k−4，当x=−2时，y=−4，故直线y=kx+2k−4恒经过点(−2,−4)，记为点D．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OD⊥BC时，BC最短，连接OB，如图所示，∵D(−2,−4)，∴OD==∵⊙O经过点(0,10)，∴OB=10，∴BD∵OB⊥BC，∴BC=2BD=∴弦BC的最小值是故选：C．【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(−2,−4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB 与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=6，OF=8，∴EF=OF−OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO==6，OF=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD = ．【答案】32【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，EF=2，则EH=FH=12∵GB=5，∴OF =OB =52，在△OHF 中，勾股定理，得OH =32，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形OADH 也是矩形，∴AD =OH =32，故答案为：32．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB ，CD 是半径为15的⊙O 的两条弦，AB ＝24，CD ＝18，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上任意一点，则PA ＋PC 的最小值为 ．【答案】【分析】由于A 、B 两点关于MN 对称，因而PA ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA ＋PC 的值最小，即BC 的值就是PA ＋PC 的最小值．【详解】解：连接BC ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．∵AB ＝24，CD ＝18，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，∴BE ＝12AB ＝12，CF ＝12CD ＝9，∴OE =9，OF =12，∴CH ＝OE ＋OF ＝9＋12＝21，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝12＋9＝21，在Rt △BCH 中，根据勾股定理得：BC即PA ＋PC 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB 于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=EF=BF，求弦AB的长；【答案】（1）7；（2）8AB=3，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=12长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF过圆心，AB=3，∴AF=12∵AO=5，∴OF=4，∵AB//CD，∴EF⊥CD，CD=4，同理DE=12OE=3，∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如图，连接BO和DO，∵CD=∴DE=∴OE=1，设EF=BF=x，则OF=x−1，在Rt△OBF中，OF2+BF2=BO2，(x−1)2+x2=25，解得x1=4，x2=−3（舍去），∴BF=4，∴AB=2BF=8．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）作OE⊥AB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2−DE2，OE2=OB2−BE2，DE=BE−BD=5−2=3，即可求出大圆半径.【详解】解：（1）如图：作OE⊥AB于E，由垂径定理，得：AE=BE，CE=DE，∴BE−DE=AE−CE，即AC=BD；（2）如图，连接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=5-2=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=OD2−DE2，OE2=OB2−BE2，∴OD2−DE2=OB2−BE2，即52−32=OB2−52，解得：OB∴【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE2=OA2−AE2=r2−1002，在RT△OCE中，OE2=OC2−CE2=(r+32)2−1402，则r2−1002=(r+32)2−1402解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6B．C．D．【答案】C【分析】作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，可得CD=2，AC=BC ，由AO 、BO 为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.【详解】解：作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，则CD=2，AC=BC ，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴∴AB=2AC=故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD 的边AB 和CD 分别是两圆的弦，则矩形ABCD 面积的最大值是 ．【答案】16【分析】过点O 作OP ⊥AB 于P 并反向延长交CD 于N ，作OM ⊥AD 于点M ，连接OA 、OD ，根据面积之间的关系得出S △AOD =12S 矩形APND =14S 矩形ABCD ，从而得出S 矩形ABCD 最大时，S △AOD 也最大，过点D 作AO 边上的高h ，根据垂线段最短可得h≤OD ，利用三角形的面积公式即可求出S △AOD 的最大值，从而求出结论．【详解】解：过点O 作OP ⊥AB 于P 并反向延长交CD 于N ，作OM ⊥AD 于点M ，连接OA 、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND 和四边形PBCN 为矩形，PN ⊥CD ，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P 和点N 分别为AB 和CD 的中点，∴S 矩形APND =12S 矩形ABCD∵△AOD 的高OM 等于矩形APND 的宽，△AOD 的底为矩形APND 的长∴S △AOD =12S 矩形APND =14S 矩形ABCD∴S 矩形ABCD 最大时，S △AOD 也最大过点D 作AO 边上的高h ，根据垂线段最短可得h≤OD （当且仅当OD ⊥OA 时，取等号）∴S △AOD =12AO·h≤12AO·OD=12×2×4=4故S △AOD 的最大值为4∴S 矩形ABCD 的最大值为4÷14=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．【题型7 垂径定理的实际应用】【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由APB 和直角∠ACB 围成，且点C 也在APB 所在的圆上，已知AC =4m ，隧道的最高点P 离路面BC 的距离DP =7m ，则该道路的路面宽BC = m ；在APB 上，离地面相同高度的两点E ，F 装有两排照明灯，若E 是AP 的中点，则这两排照明灯离地面的高度是m ．【答案】【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM=CM=2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过证得△EOK≅△OPN求得EK=ON，进一步即可求得EQ．【详解】作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，∴OD=MC=1AC=2，2∵PD=7，∴圆的半径为7−2=5，∴CD∴BC=2CD=连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，∵PD=7，DH=AC=4，∴PH=7−4=3，∵AH=CD=∴PA==∵E是AP的中点，∴OE垂直平分PA，∴PN∴ON∵EQ∥PD，∴∠OEK=∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°EO=PO，∴△EOK≅△OPN(AAS)，∴EK=ON=∴EQ=EK+KQ+2，故答案为．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．【答案】(1)见解析(2)5cm【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=4cm，设这个圆形截面的半径为x cm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可．【详解】（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB=8cm，AB=4cm．∴AD=12设这个圆形截面的半径为x cm，又∵CD=2cm，∴OD=(x−2)cm，在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，即(x−2)2+42=x2，解得x=5cm．∴圆形截面的半径为5cm．【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【答案】(1)5米(2)2米AB=3，DE=1，再由勾股定理【分析】（1）作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE=12即可求出圆的半径；AB=4米．在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA2，则OE=3米，（2）当AB=8米时，AE=12即可求出DE的长．【详解】（1）解：如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．AB=3米，DE=1米．则AE=12设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，∴32+(r−1)2=r2，解得r=5，∴该圆的半径为5米；AB=4米．（2）解：当AB=8米时，AE=12在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，∴42+OE2=52，∴OE=3米，∴DE=5−3=2（米）．答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，≈1.414 1.732）问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得OC的长，据此即可求解．【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，=3°，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°−3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°−30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD，在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2，OA=1，OD=∴AD=12在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2，∴BC=OC=∴CD=OD−OC=≈0.3(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；（2）设AE与⊙I的交点为C，根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M，N两点，然后连接AN，CM 交于点D，连接DI并延长交MN与点G即可求解．【详解】（1）如图所示，连接AD，BC相交于点O，由网格可得，AD1=BC=3，由网格的特点可得，D2B∥AC∵点A，C，B，D2在同一个圆上∴AD2=BC=3∴点D1和D2即为所要求作的D点；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，∴点O即为所求作的点；‘（2）如图所示，∵AC∥MN，点A，C，N，M在⊙I上∴AM=CN∴四边形AMNC是等腰梯形，。
【北师大版】数学九(下)3.垂径定理的推论及应用同步练习本(课件版)
B. 4 cm D. 6 cm
5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m，
其中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管道内水的最大
深度为 0.2
m.
重难易错
6. 如图，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交AB于 点 C，交弦 AB 于点 D. 已知 AB = 12 cm，CD = 4 cm.
2
2
2
在 Rt△EOC 中，OC2 = CE2 + OE2，
∴OC2 = 122 +
1 OC
2
.
2
∴OC = 8 3. ∴☉O 的周长 = 2π·OC = 16 3π.
3. 如图，C 为☉O 的弦 AB 的中点，AB = 2，求☉O 的 面积.
解：∵C 为 AB 的中点， ∴AC = 1AB = 1，OC ⊥ AB.
2
∴OA2 = （OA - 1）2 + 52. 解得 OA = 13.
12. 如图，排水管截面的半径为 5 分米，水面宽 AB = 6 分米，OC ⊥ AB，求水的最大深度 CD.
解：如图，连接 OA. 则 OA = OC = 5 分米.
∵AB = 6 分米，∴AD = BD = AB = 3（分米）.
2
在 Rt△OAD 中， OD = OA2 − AD2= 4（分米）， ∴CD = OC - OD = 1（分米）. 答：水的最形状的拱桥，桥下水面宽度 AB 为 7.2 m，拱顶 C 高出水平面 2.4 m，现有一艘宽 3 m，顶部为长方 形并高出水面 2 m 的货船要经过这里. 此货船能顺利通过拱 桥吗？为什么？
（1）求作此残片所在的圆心 O；（不写作法，保留作 图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径.
圆的认识2圆的对称性垂径定理及其推论+练习课件+ 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册
桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱高CD为4 m.
（1）求拱桥所在圆的半径；
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解：（1）设拱桥所在圆的圆心为O，连结OB，OD，则易知
OD⊥AB，点C在OD的延长线上.∵OC⊥AB，∴D为AB
的中点.∵AB＝12 m，∴BD＝ AB＝6 m.
设OB＝OC＝r m，∵CD＝4 m，∴OD＝（r－4）m.
垂足分别是点D、E，连结DE.
（1）求线段DE的长；
解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD＝DC.同理得CE＝EB.
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE＝ AB.∵AB＝8，∴DE＝4.
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（2）若点O到AB的距离为3，求☉O的半径.
解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，
（r－15）
含 r 的 代 数 式 表 示 OD ， 则 OD ＝
cm. 在
Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝ 452＋
（r－15）2 ，解得r＝75.通过单位换算，得到车轮直径约
为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
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9.已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝
专题-垂径定理的应用
垂径定理的应用知识考点:垂径定理及其推论是指:一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③平分这条弦(平分弦时，直径除外);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧。
“知二推三”数学符号：①CD过O点；②ABCD⊥；③BMAM=;④AC BC=;⑤AD BD=;一、作弦心距+用勾股定理思考1：如图，O的弦AB长为m，圆心O到AB的弦心距为d，O的半径为r，试探究r,m,d 之间的数量关系．①单勾股例1如图，在ABCBACBC=，以点C为圆心，CB为半径∠=︒，2∠=︒，20∆中，已知130ACB的圆交AB于点D，则BD的长为．（限时训练第3题）例1 变式1 例2 【变式练习1】如图，AB为O的直径，弦CD ABEB=，则O的CD=，1⊥于点E，已知6半径为．（课堂完成）②双勾股例2 如图，已知半径为2的O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则22AB CD += ．（限时训练第6题）【变式练习2】（2018长沙26题改编）如图，A ，B ，C ，D 是半径为1的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC BD ⊥，当2267AC BD +时，求OE 的取值范围；（课堂完成）二、弧中点→连半径，得垂径思考2： 如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，你能得到那些结论?例2 如图，AB 为O 直径，D 为BC 弧的中点，DE AC ⊥于E ， （1）求证：DE 为O 的切线；（2）已知：2CE =，4DE =，求O 的半径．（限时训练第7题）【变式练习3】如图，CD为O的直径，弦AB CD=，⊥，垂足为E，AB BFAB=，则弦AF的长度为．（课堂完成）1CE=，6【变式练习4】如图，已知AB是O的直径，O与Rt ACD∆的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，90∠=︒，连接AF．C（1）求证：直线DF是O的切线．（2）若1BD=，2∠的值．（课堂完成）OB=，求tan AFC【拓展提升】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点E 在x 轴的正半轴上，E 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且G 为BC 弧的中点，若点A 的坐标为(2,0)-，4AE =（1）求点C 的坐标； （2）求CAG ∠的度数；（3）若F 点的坐标为(10,0)，问直线FG 与E 的位置关系，并说明理由．限时训练1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为( ) A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m2．如图，O 的半径为4，ABC ∆是O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若BAC ∠与BOC ∠互补，则弦BC 的长为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63第1题 第2题 第3题3．如图，在ABC ∆中，已知130ACB ∠=︒，20BAC ∠=︒，2BC =，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为 ．4．如图，AB 是O 的弦，C 、D 分别是弦AB 和弧AB 的中点，OC AB ⊥于C ，若25AB cm =，1CD cm =，则O 的半径长为 cm ．第4题 第5题 第6题5．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm ，下雨前水面宽为60cm ，一场大雨过后，水面宽为80cm ，则水位上升 cm ．6．如图，已知半径为2的O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则22AB CD += ．7．如图，AB 为O 直径，D 为BC 弧的中点，DE AC ⊥于E ， （1）求证：DE 为O 的切线；（2）已知：2CE =，4DE =，求O 的半径．（此部分课堂完成）【变式练习1】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知6CD =，1EB =，则O 的半径为 ．【变式练习2】（2018长沙26题改编）如图，A ，B ，C ，D 是半径为1的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC BD ⊥，当2267AC BD +时，求OE 的取值范围；【变式练习3】如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．（课堂完成）【变式练习4】如图，已知AB 是O 的直径，O 与Rt ACD ∆的两直角边分别交于点E 、F ，点F 是弧BE 的中点，90C ∠=︒，连接AF ． （1）求证：直线DF 是O 的切线．（2）若1BD =，2OB =，求tan AFC ∠的值．（课堂完成）可做出周考的剩题1．如图，AB 是O 的直径，4AB =，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与O 交于C 、D 两点．若45CMA ∠=︒，则弦CD 的长为 ．2．已知O 的直径10CD cm =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为( ) A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cmD ．23cm 或43cm3．如图，点C 为AB 弧的中点，点D 为O 上一点，30D ∠=︒，4BC cm =，求O 的半径长．。
垂径定理及其推论练习题
5㎝
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB
的距离等于
1㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么
⊙O的半径为
5 cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
M
A
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6,
AC= 4 ,OA=
13
O
N
C
第八页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
1. 已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，
圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
第九页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
跟踪练习
1.已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8
厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中 点的距离。
C
·O
AE
D
∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
第三页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，Biblioteka 2.如图，⊙O的直径为10，
弦AB=8,P为AB上的一个动
点，那么OP长的取值范围
是
。
第十页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
3.某圆直径是10,内有两条平行 弦，长度分别为6和8。求这两条平 行弦间的距离。
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B A P O
y x
垂径定理及其推论练习题
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B ．过弦的中点的直线必过圆心
C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
D ．弦的垂线平分弦所对的弧 3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤
（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<
4、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ） A 、3cm B 、2.5cm C 、2cm D 、1cm 5过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 . 6、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．
8、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_____________ ．
9、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ____________．
10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ．
11、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
12、在弓形ABC 中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。
13、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
14、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。
15．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是
16．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm
17．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那
• E O
D C B A
O D
A
B
C
A B
C
D M
N O
么AD=
18．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米 21、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.则BAC
∠的度数为_____________。
22．在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离是_________________.
23．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD 的长．
24、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。
25、如图，AB 、AC 为⊙O 的两条弦，D 、E 分别为AB 、AC 中点，求证：AM =AN .
26、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： AC = BD 。
C A
D E
A
B C D
O
A C
D
B 27、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。
28、如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．求证：BF AE =．
29、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。
30．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。
已知：AB=24cm ，CD=8cm （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
31、如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为多少？
A
C B
D O O
A P B
C。